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Mathematik Lerneinheit 2Mathematik Lerneinheit 2Mathematik Lerneinheit 2Mathematik Lerneinheit 2
Geometrisches Geometrisches Geometrisches Geometrisches DenkenDenkenDenkenDenken
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LernkontrollenLernkontrollenLernkontrollenLernkontrollen
„Sag es mir, und ich vergesse es;„Sag es mir, und ich vergesse es;„Sag es mir, und ich vergesse es;„Sag es mir, und ich vergesse es; Zeige es mir, und ich werde mich erinnern;Zeige es mir, und ich werde mich erinnern;Zeige es mir, und ich werde mich erinnern;Zeige es mir, und ich werde mich erinnern;
Lass es mich tun, und ich behalte es.“ Lass es mich tun, und ich behalte es.“ Lass es mich tun, und ich behalte es.“ Lass es mich tun, und ich behalte es.“
Konfuzius Konfuzius Konfuzius Konfuzius
Benno FreiBenno FreiBenno FreiBenno Frei ©2013/14©2013/14©2013/14©2013/14
DialogMathe Inhaltsverzeichnis
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 |© BF I
INHALTSVERZEICHNIS
1 Geometrische Grundbegriffe ......................................................................................................... 1
1.1 Gerade, Strahl und Strecke ....................................................................................................... 1 1.2 Winkel und Winkelarten .......................................................................................................... 2 1.3 Senkrecht und parallel .............................................................................................................. 3 1.4 Winkelpaare, Winkel an Parallelen ......................................................................................... 4 1.5 Winkel im Dreieck ..................................................................................................................... 6 1.6 Winkel am Kreis ...................................................................................................................... 11
2 Winkelberechnungen .................................................................................................................... 13
2.1 Geometrische Denkaufgaben Winkel im Dreieck ............................................................... 13 2.2 Geometrische Denkaufgaben Winkel am Kreis .................................................................. 26
3 Berechnungen von Dreieck und Viereck ................................................................................... 32
3.1 Symmetrien .............................................................................................................................. 32 3.2 Übersicht Vierecke................................................................................................................... 36 3.3 Strecken – und Flächenberechnungen .................................................................................. 41 3.4 CAS - Bausteine ....................................................................................................................... 43 3.5 Geometrische Denkaufgaben Dreieck und Viereck............................................................ 47
4 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck ............................................................................... 52
4.1 Sätze am rechtwinkligen Dreieck .......................................................................................... 52 4.2 Geometrische Denkaufgaben Pythagoras ............................................................................ 54 4.3 Spezielle rechtwinklige Dreiecke .......................................................................................... 60 4.4 Pythagoras und Kreisberührungen ...................................................................................... 64
5 Dreieckskonstruktionen ................................................................................................................ 72
5.1 Geometrische Örter ................................................................................................................. 72 5.2 Dreiecksstücke ......................................................................................................................... 74 5.3 Konstruktionsbeschreibung ................................................................................................... 82
6 Streckenverhältnisse ...................................................................................................................... 88
6.1 Ähnliche Dreiecke ................................................................................................................... 89 6.2 Strahlensätze ............................................................................................................................ 94 6.3 Geometrische Denkaufgaben Strahlensätze und Ähnlichkeit .......................................... 98
7 Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben .............................................................. 102
7.1 Geometrische Denkaufgaben Lösungen mit dem CAS ................................................... 102 7.2 Geometrische Denkaufgaben Ansetzen einer Gleichung ................................................ 107 7.3 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck ........................................................................ 114 7.4 Flächeninhalt eines Dreiecks mit Trigo .............................................................................. 130 7.5 Pythagoras für beliebige Dreiecke ...................................................................................... 131
8 Kreisberechnungen ...................................................................................................................... 133
8.1 Kreisumfang ........................................................................................................................... 133 8.2 Kreisfläche .............................................................................................................................. 135
DialogMathe
II Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
9 Stereometrie ................................................................................................................................... 143
9.1 Oberflächen und Volumen einiger Körper ........................................................................ 143 9.2 Berechnungen mit Schnittebenen ........................................................................................ 147 9.3 Ähnliche Körper .................................................................................................................... 148 9.4 Stereometrieaufgaben ........................................................................................................... 149 9.5 Rotationskörper, Guldinsche Regel .................................................................................... 151
„Sag es mir, und ich vergesse es; Zeige es mir, und ich werde mich erinnern; Lass es mich tun, und ich behalte es.“ Konfuzius © DialogMathe Mathematik Lerneinheit 2 Skript Geometrisches Denken 2013/14 Theorie, Übungen, Partnerinterviews, dynamische Experimentiervorlagen, Lernkontrollen Von Benno Frei ©
DialogMathe Vorwort
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF III
Vorwort Die Euklidische Geometrie ist die Geometrie der Ebene (Planimetrie) und des Raumes
(Stereometrie), die auf den von Euklid von Alexandria festgelegten Definitionen,
Postulaten und Axiomen beruht. Üblicherweise wird sie nur als Geometrie
bezeichnet. Es ist eine verbreitete Vorstellung, dass die euklidische Geometrie, wie
man sie in der Schule kennenlernt, „die“ (einzige) Geometrie sei. Das ist falsch:
Erstens wissen wir seit Einstein (Allgemeine Relativitätstheorie), dass unsere Welt
allenfalls lokal als euklidisch beschrieben werden kann. Andererseits wissen wir seit
Gauss, dass Geometrie mathematisch auch ganz anders gedacht werden kann.
Eine Theorie (z.B. die Geometrie) besteht aus Grundsätzen und Definitionen, aus
denen verschiedene Lehrsätze bewiesen werden. Die klassische Geometrie nach
Euklid unterscheidet sich von der nichteuklidischen Geometrie allein durch die
Gültigkeit des Parallelenaxioms. Dieses besagt, dass es zu jeder Geraden g und jedem
nicht auf dieser Geraden liegenden Punkt P genau eine zu g parallele Gerade h gibt,
die durch den Punkt P geht.
In der nichteuklidischen Geometrie, eine Geometrie, in der (fast) alle Axiome der
euklidischen Geometrie gelten mit Ausnahme des Parallelenaxioms, unterscheidet
man die hyperbolische und die elliptische nichteuklidische Geometrie: In der
hyperbolischen Geometrie gehen durch einen gegebenen Punkt mindestens zwei
Parallelen zu einer gegebenen Geraden. Die Winkelsumme im ebenen Dreieck ist
kleiner als 180°. In der elliptischen Geometrie, für die z. B. die Geometrie auf der
Oberfläche einer Kugel ein Modell ist, gibt es keine Parallelen, d.h. zwei Geraden
einer Ebene haben stets einen Punkt gemeinsam. Die Winkelsumme im ebenen
Dreieck ist grösser als 180°. Eine weitere Verallgemeinerung ist die riemannsche
Geometrie [nach G. F. B. Riemann]. Hier handelt es sich um ein System geometrischer
Sätze für n-dimensionale Räume, das die euklidische Geometrie und die
nichteuklidischen Geometrien als Spezialfälle enthält. Die riemannsche Geometrie
beantwortet die Frage nach möglichen Gestaltverhältnissen des Raumes. In ihr wird
der Begriff der Geraden, die zwei Punkte verbindet, ersetzt durch den Begriff der
kürzesten Linie (geodätische Linie) zwischen diesen Punkten, der Raum selbst kann
eine von Ort zu Ort veränderliche Krümmung haben. Die geometrischen
Eigenschaften dieses Raumes werden durch den Fundamentaltensor (metrischer
Tensor) beschrieben. Die riemannsche Geometrie ist das wichtigste mathematische
Hilfsmittel der allgemeinen Relativitätstheorie.
Vorwort DialogMathe
IV Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Die Grenze: Naturwissenschaft lässt sich mit Bildern popularisieren, aber nur mit
Mathematik verstehen (Auszug aus einem Artikel von Holm Tetens, Die Zeit 1999)
Wer würde nicht gern wissen, was die Welt im Innersten zusammenhält? Wann
immer die Wissenschaftler glauben, auf die letzten Bausteine der materiellen Welt
gestossen zu sein, melden sie uns Laien ihren Fund; unterstützt werden sie von einem
Heer von Wissenschaftsjournalisten. Es sind merkwürdige Meldungen.
Gegenwärtig werden wir überhäuft mit sensationell klingenden Berichten, wonach
Wissenschaftler mit dem Gedanken spielen, die Welt könne aus unvorstellbar kleinen
Fäden, "Superstrings" genannt, bestehen, die in einem elfdimensionalen "Raum"
schwingen. Von den elf Dimensionen liessen sich nur vier, die uns vertrauten drei
räumlichen Dimensionen und die Zeit als vierte Dimension, beobachten, die restlichen
sieben seien zu so unglaublich winziger Grösse "zusammengerollt", dass niemand sie
je beobachten wird. Nicht selten werden diese Schilderungen durch Bilder wild
ineinander verschlungener fadenartiger Gebilde illustriert. Haben wir uns die Bau-
steine der materiellen Welt also wie schwingende Fäden vorzustellen? Um Gottes
willen nein, eilig korrigieren sich die Wissenschaftler und Wissenschaftsjournalisten,
die Superstrings seien ganz und gar unanschaulich; die Rede und Bilder von Fäden
und die Metapher von zusammengerollten Dimensionen sollten wir nur ja nicht
missverstehen, es seien lediglich Krücken, damit wir Laien uns einem Verständnis der
unanschaulichen und eigentlich unvergleichlichen Superstrings wenigstens etwas
weiter annähern könnten. Genau beschreiben liessen sich die Superstrings nur in einer
unermesslich komplizierten Mathematik, so kompliziert, dass sie selbst die grössten
mathematischen Genies ins Schwitzen brächte. Es fragt sich, ob wir Laien nach
solchen und vielen anderen, aber ähnlichen Auskünften irgendetwas von dem
verstehen, was die Superstringtheorie über die Welt aussagt.
Und wer würde nicht gerne hinter das Geheimnis von Raum und Zeit kommen?
Die Wissenschaft, so erfahren wir Laien, habe sich in diesem Jahrhundert unter der
Federführung von Albert Einstein von den alltäglichen Vorstellungen von Raum und
Zeit für immer verabschiedet. Und wieder sind die uns Laien zugetanen Dolmetscher
aus Wissenschaft und Journalismus zur Stelle, diesmal um das ABC der Relativitäts-
theorie aufzusagen: Raum und Zeit seien untrennbar zu einem vierdimensionalen
Gebilde, "Raumzeit" genannt, "zusammengeschweisst", und diese Raumzeit werde
durch Materie "verbogen". Wieder sollen zweidimensionale Bilder raffiniert geformter
und verbogener dreidimensionaler Körper, Pferdesattel zum Beispiel, unserem Laien-
verstand auf die Sprünge helfen.
DialogMathe Vorwort
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF V
Zurück zur Euklidischen Geometrie
In der euklidischen Geometrie spielen Dreiecke eine wichtige Rolle, da sich alle ande-
ren Vielecke (Polygone) in Dreiecke zerlegen lassen. Wir werden uns also vorwiegend
mit Berechnungen von Dreiecken beschäftigen. Entscheidend ist aber das mathemati-
sche Denken, das wir entwickeln können, wenn wir uns mit der Geometrie auseinan-
dersetzen. Definitionen sind die Grundbausteine, auf denen eine Theorie aufbaut.
Daraus lassen sich Aussagen (Sätze) als Folgerungen beweisen. Von Interesse sind
Strategien und Methoden für Problemlösungen.
Ziele der Lerneinheit geometrisches Denken
Inhaltsdimension
• Winkelberechnungen, Dreieck, Kreis
• Berechnung von Dreieck und Viereck
• Pythagoras, Strahlensätze, Ähnlichkeit
• Definition Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck
• Trigonometrie: Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
• Kreisberechnungen, Bogenmass
• Stereometrie (räumliche Berechnungen)
Der Stoff, den wir in dieser Lerneinheit behandeln, hast du schon in der Sekundar-
schule kennengelernt. Es handelt sich daher vorwiegend um eine Repetition. Schau
dir die alten Hefte deiner früheren besuchten Schulen an!
Wir wollen jedoch nicht nur Kenntnisse auffrischen, sondern das wesentliche Ziel
wird sein, Zusammenhänge zu erkennen und die Mathematik zu verstehen. Zudem
können wir in der Geometrie algebraische Berechnungen durchführen. Daher wird
diese Lerneinheit auch eine Anwendung der Algebra sein.
Anwenden der Algebra
Erfassen von geometrischen Problemstellungen und Entwickeln von strukturierten
Lösungswegen mit Hilfe von Schaufiguren und mathematischen Sätzen. Algebraische
Behandlung, einführen von Unbekannten, ansetzen einer Gleichung (Lösungsprinzip:
für n Unbekannte brauchen wir n Gleichungen), Training im Kopfrechnen mit Hilfe
von geometrischen Denkaufgaben. Einsatz des CAS-Rechners für aufwendige Glei-
chungen oder Gleichungssysteme. Automatisieren von Berechnungen durch CAS-
Bausteine.
Vorwort DialogMathe
VI Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Handlungsdimmension
• Modellieren und Transferieren
Modellieren erfordert, dass wir in einem gegebenen Sachverhalt die
relevanten mathematischen Beziehungen erkennen und diese dann in
mathematischer Form darstellen, allenfalls Annahmen treffen und
Vereinfachungen bzw. Idealisierungen vornehmen.
Transferieren erfordert ein adäquates Nutzen oder Übertragen fachlicher
Kompetenzen in den Alltag sowie in berufsfeldspezifische Bereiche.
• Operieren und Technologieeinsatz
Operieren meint die Planung sowie die korrekte, sinnvolle und effiziente
Durchführung von Rechen- oder Konstruktionsabläufen oder das Arbeiten
mit Tabellen und Grafiken mit ein und beinhaltet immer auch die
zweckmässige Auslagerung operativer Tätigkeiten an die verfügbare
Technologie.
Technologieeinsatz: Mathematisches Tun wird heute in vielen Bereichen
durch die permanente Verfügbarkeit und Verwendung elektronischer
Werkzeuge unterstützt oder überhaupt erst ermöglicht. Dies gilt für nahezu
alle Ebenen mathematischen Arbeitens. Eine entsprechende
„Werkzeugkompetenz“ ist daher integraler Bestandteil mathematischer
Kompetenzen.
• Interpretieren und Dokumentieren
Interpretieren erfordert, dass wir aus Informationen oder aus
mathematischen Darstellungen Fakten, Zusammenhänge oder Sachverhalte
erkennen und darlegen, sowie mathematische Sachverhalte und Beziehungen
im jeweiligen Kontext deuten.
Dokumentieren meint, Modelle, Lösungswege und Ergebnisse für sich und
andere brauchbar darzustellen und zu erläutern.
• Argumentieren und Kommunizieren
Argumentieren begründet Entscheidungen oder erfordert die Angabe von
Aspekten, die für oder gegen eine bestimmte Sichtweise sprechen.
Argumentieren benötigt die korrekte und adäquate Verwendung
mathematischer Regeln sowie die Kenntnis der mathematischen Fachsprache.
Kommunizieren meint, kontextbezogene Informationen in
adressatengerechter Fachsprache auszutauschen
DialogMathe Vorwort
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF VII
Notizen
Vorwort DialogMathe
VIII Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Notizen
DialogMathe Gerade, Strahl und Strecke
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 1
1 Geometrische Grundbegriffe
1.1 Gerade, Strahl und Strecke Punkte werden mit Grossbuchstaben benannt. Eine gerade Linie besteht aus
unendlich vielen Punkten.
� Ist sie auf beide Seiten unbegrenzt, so nennen wir sie Gerade.
� Ist sie in eine Richtung begrenzt und in die andere unbegrenzt, so heiss
sie Strahl.
� Ist sie in beide Richtungen begrenzt, so nennen wir sie eine Strecke.
Strecken können wir messen (m, cm, usw.), z.B.: PQ ist die Länge der
Strecke PQ .
Geraden, Strahlen und Strecken werden mit kleinen Buchstaben oder mit
Hilfe der beiden Punkte benannt, die sie festlegen. Z.B.:
1.1.1 Gerade g durch die Punkte P und Q: PQ
1.1.2 Strahl s von P durch Q: PQ
1.1.3 Strecke a durch P und Q: PQ
Geometrische Grundbegriffe DialogMathe
2 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
1.2 Winkel und Winkelarten 1.2.1 Bezeichnung von Winkel
Eine Figur aus zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt S heisst
Winkel. Die beiden Strahlen g und h sind die Schenkel des Winkels. Winkel
werden mit kleinen griechischen Buchstaben ( α : Alpha, β : Beta, γ : Gamma,
δ : Delta, usw.) benannt und in Grad gemessen.
Winkel 045α =
Der Winkel α kann durch die beiden Strahlen g und h oder durch die drei
Punkte P,S und Q festgelegt werden (S = Scheitel). ( )g,h PSQα = =∢ ∢
1.2.2 Winkelarten
Spitze Winkel
0 00 90< α <
Rechter Winkel
090α =
Stumpfe Winkel
0 090 180< α <
Gestreckter Winkel
0180α =
Überstumpfe Winkel
0 0180 360< α <
Vollwinkel
0360α =
DialogMathe Senkrecht und parallel
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 3
1.3 Senkrecht und parallel
1.3.1 Senkrechte Geraden
Zwei Geraden g und h heissen senkrecht
zueinander, wenn sie einen rechten
Winkel ( 090 ) einschliessen.
In Zeichen: g h⊥ .
(Synonym für senkrecht: normal, orthogonal)
1.3.2 Parallele Geraden
Zwei Geraden g und h heissen parallel
zueinander, wenn sie eine gemeinsame
Senkrechte besitzen.
In Zeichen: g h� .
g s⊥ und h s⊥ also g h�
Zwei verschiedene parallele Geraden haben keinen Schnittpunkt.
1.3.3 Abstand Der Abstand d bedeutet die kürzeste Entfernung.
Punkt – Punkt Punkt – Gerade Gerade – Gerade
Geometrische Grundbegriffe DialogMathe
4 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
1.3.4 Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte ABm zu einer Strecke AB
geht durch den Mittelpunkt von AB und ist
senkrecht zu AB .
Wenn ein Punkt P auf der Mittelsenkrechten von AB liegt, dann ist der Ab-
stand von P zu A und von P zu B gleich.
Und Umgekehrt: Wenn der Abstand eines Punktes P zu A und zu B gleich ist,
dann liegt P auf der Mittelsenkrechten von AB .
1.3.5 Winkelhalbierende
Die Winkelhalbierende wα eines
Winkels α geht durch den Scheitel
S von α und halbiert α .
Wenn ein Punkt P auf der Winkelhalbierende wα eines Winkels α liegt, dann
ist der Abstand d von P zu beiden Schenkeln von α gleich.
Und Umgekehrt: Wenn der Abstand eines Punktes P zu beiden Schenkeln von
α gleich ist, dann liegt P auf der Winkelhalbierende wα .
1.4 Winkelpaare, Winkel an Parallelen 1.4.1 Nebenwinkel
0180α + β =
0180→ β = − α
DialogMathe Winkelpaare, Winkel an Parallelen
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 5
1.4.2 Scheitelwinkel
Scheitelwinkel sind gleich gross.
α = β
1.4.3 Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen
Die parallelen Geraden p und q werden von der Geraden g geschnitten.
Die Winkelpaare und 'α α
heissen Stufenwinkel.
Stufenwinkel an Parallelen
sind gleich gross: 'α = α .
1.4.4 Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen
Die parallelen Geraden p und q werden von der Geraden g geschnitten.
Die Winkelpaare und 'β β
heissen Wechselwinkel.
Wechselwinkel an Parallelen
sind gleich gross: 'β = β .
Geometrische Grundbegriffe DialogMathe
6 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
1.5 Winkel im Dreieck 1.5.1 Innenwinkel-Satz im Dreieck
Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt
0180 .
0180α + β + γ =
1.5.2 Aussenwinkel-Satz am Dreieck
Der Nebenwinkel 'α von α heisst
Aussenwinkel.
Es gilt: 0' 180α + α =
Und weiter
'α = β + γ
Der Aussenwinkel im Dreieck ist die Summe der beiden nicht anliegenden
Innenwinkel.
Aus 0' 180α + α = (Nebenwinkel) und 0180α + β + γ = (Innenwinkelsumme)
folgt: ' /α + α = α + β + γ −α
'α = β + γ
1.5.3 Gleichschenkliges Dreieck
c AB= heisst Basis, a, b Schenkel.
Da a b= liegen die Eckpunkte A und B auf
einem Kreisbogen mit Mittelpunkt C.
Die beiden Basiswinkel sind gleich: α = β .
Mit Hilfe der Innenwinkelsumme erhalten wir:
0180 2γ = − α ; 01802
− γα = β =
DialogMathe Winkel im Dreieck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 7
1.5.4 Partnerinterview Innenwinkelsumme im n-Eck
Partnerinterview Innenwinkelsumme im n-Eck Zeit: 15 Minuten
Problem 1
Zeige mit Hilfe der
nebenstehenden Figur dass die
Innenwinkelsumme im 3-Eck
0180 beträgt.
Problem 2
Berechne die Innenwinkelsumme eines 4-Ecks mit Hilfe der
Innenwinkelsumme des Dreiecks.
Analog die Innenwinkelsumme eines 5-Ecks, 6-Ecks, . . . . .
Verallgemeinere auf ein n-Eck (Gib eine Formel an!)
Geometrische Grundbegriffe DialogMathe
8 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
1.5.5 Satz von Thales experimentell
Wir betrachten ein Dreieck, dessen
eine Seite AB der Durchmesser ei-
nes Kreises ist. Wählen wir die Ecke
C auf dem Kreis (Thaleskreis), so
ergibt sich immer ein rechtwinkli-
ges Dreieck ( 090γ = ).
Arbeiten mit dem dynamischen Geometrieprogramm von TI-Nspire
Wir können die Situation mit unserem Rechner aufzeichnen und den Winkel
γ messen, wobei wir die Ecke C dynamisch auf dem Kreis bewegen können.
Wir benutzen dafür Geometry.
Der TI-Nspire ist dokumentenbasiert.
Dokumente lassen sich in Ordnern
unter einem Namen abspeichern. Ein
Dokument kann maximale 30 Probleme
enthalten. Jedes Problem kann maximal
50 Seiten umfassen.
DialogMathe Winkel im Dreieck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 9
1) Strecke zeichnen 2) Mittelpunkt 3) Kreis 4) Punkt C auf Kreis 5) Winkel messen 6) Winkel Gradmass / Bogenmass 7) Ecke C auf Kreis verschieben
Geometrische Grundbegriffe DialogMathe
10 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
1.5.6 Beweis Satz von Thales
Partnerinterview: Beweis Satz von Thales Zeit: 10 Minuten
Versuche diesen Sachverhalt zu beweisen. Diskutiere mit deinem Lernpartner!
Benütze dazu die folgende Figur und die Eigenschaften von Dreieckswinkel.
DialogMathe
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14
1.6 Winkel am Kreis
α : Peripheriewinkel
β : Zentriwinkel
γ : Sehnen – Tangenten
Für Peripheriewinkel und Zentriwinkel
über der gleichen Sehne
Der Zentriwinkel ist doppelt so gross wie
der Peripheriewinkel.
Alle Peripheriewinkel über der gleichen Sehne
Für Peripheriewinkel und Sehnen
Peripheriewinkel und Sehnen
Merke: Der Berührungsradius
1.6.1 Dynamisches Arbeitsblatt Kreiswinkel
Dynamisches Arbeitsblatt PeripheriewinkelZeit: 10 Minuten
Arbeitsaufträge
1) Bewege den Punkt Q auf der
Kreislinie. Was stellst du fest?
2) Wie ändert sich der Winkel, wenn
Q ausserhalb (innerhalb) des
Kreises liegt?
3) Verlängere die Sehne, indem du
einen Endpunkt auf dem Kreis
bewegst. Wie ä
Zentriwinkel und
4) Wähle den Durchmesser als Sehne. Wie gross wird dann der
Peripheriewinkel?
2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
: Peripheriewinkel
: Zentriwinkel
Tangenten – Winkel
Für Peripheriewinkel und Zentriwinkel
gleichen Sehne AB gilt: 2β = α
Der Zentriwinkel ist doppelt so gross wie
der Peripheriewinkel.
Alle Peripheriewinkel über der gleichen Sehne AB sind gleich gross.
Für Peripheriewinkel und Sehnen – Tangenten – Winkel gilt:
Peripheriewinkel und Sehnen – Tangenten – Winkel sind gleich gross.
Merke: Der Berührungsradius ZB steht rechtwinklig zur Tangente.
Dynamisches Arbeitsblatt Kreiswinkel
Dynamisches Arbeitsblatt Peripheriewinkel Zeit: 10 Minuten
Bewege den Punkt Q auf der
Kreislinie. Was stellst du fest?
Wie ändert sich der Winkel, wenn
Q ausserhalb (innerhalb) des
Kreises liegt?
Verlängere die Sehne, indem du
Endpunkt auf dem Kreis
Wie ändert sich der
Zentriwinkel und Peripheriewinkel.
Wähle den Durchmesser als Sehne. Wie gross wird dann der
Peripheriewinkel?
Winkel am Kreis
11
sind gleich gross.
Winkel gilt: α = γ .
Winkel sind gleich gross.
steht rechtwinklig zur Tangente.
Wähle den Durchmesser als Sehne. Wie gross wird dann der
Geometrische Grundbegriffe DialogMathe
12 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
1.6.2 Anwendung Kreiswinkel
Partnerinterview (Zeit: 15 Minuten) 1) Winkel im Sehnenviereck 2) Konstruktion eines Ortsbogen
1) Winkel im Sehnenviereck
Definition: Ein Viereck, dessen vier Seiten Sehnen in einem
Kreis sind, nennen wir Sehnenviereck. Vierecke mit
einem Umkreis (alle Ecken liegen auf dem Kreis),
sind Sehnenvierecke.
Satz: In einem Sehnenviereck ist die Summe von zwei
gegenüberliegenden Winkel o180 : α + γ = o180 und β + δ = o180
Beweis: Zeige in untenstehender Figur, dass α + γ = o180 beträgt.
2) Konstruktion eines Ortsbogen
Bei geometrischen Konstruktionen (siehe Kap. 5 Dreieckskon-
struktionen) muss häufig die folgende Problemstellung als
Grundaufgabe gelöst werden.
Wir suchen alle Punkte P, von denen die Endpunkte A und B
einer Strecke unter dem gleichen Winkel α gesehen werden.
Analysiere das Problem! Auf welcher Linie liegen alle
möglichen Punkte P? Betrachte den Spezialfall α = o90 .
Wie kann diese Linie konstruiert werden, wenn die Strecke
AB und der Winkel α gegeben sind?
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Winkel im Dreieck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 13
2 Winkelberechnungen
Mit den folgenden geometrischen Denkaufgaben kannst du deine
mathematischen Fähigkeiten anwenden und weiter entwickeln.
Lernziele
− Erfassen von geometrischen Problemstellungen und entwickeln von
strukturierten Lösungewegen mit Hilfe von Schaufiguren und
mathematischen Sätzen.
− Training im Kopfrechnen
− Algebraische Behandlung: Einführen von Unbekannten und aufstellen von
Gleichungen (Lösungsprinzip: Pro Unbekannte brauchen wir eine
Gleichung, d.h. für n Unbekannte brauchen wir n Gleichungen, so ergeben
sich Gleichungssysteme, die der Rechner lösen kann).
− Einsatz des Rechners: Erhalten wir bei der Lösung einer Aufgabe
Gleichungen, die wir noch nicht lösen können, so hilft uns der Rechner mit
dem solve – Befehl. Interpretiere jeweils die vom Rechner vorgeschlagenen
Lösungen.
2.1 Geometrische Denkaufgaben Winkel im Dreieck − Beschreibe und begründe deine Lösungswege!
− Entwickle Strategien und wende diese auf neue Aufgaben an!
− Überprüfe die erhaltenen Ergebnisse auf Plausibilität!
− Diskutiere deine Lösungswege mit anderen. Kommuniziere mit Hilfe der
mathematischen Fachsprache.
2.1.1 Musterbeispiel Berechne α .
Winkelberechnungen DialogMathe
14 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Lösungsvariante 1 (sequentielle Lösung, schrittweise Berechnung)
1) Hilfslinie AD
2) Winkel 0 0 0ABD 180 141 39= − =∢ (Nebenwinkel)
3) Winkel 0DAB ABD 39= =∢ ∢ ( ABD∆ gleichschenklig)
4) Winkel 0 0ADC 2 39 78= ⋅ =∢ (Aussenwinkel ABD∆ )
5) Winkel 0DCA ADC 78= =∢ ∢ ( ADC∆ gleichschenklig)
6) Winkel 0 0 0CAD 180 2 78 24= − ⋅ =∢ (Innenwinkelsumme ADC∆ )
7) 0 0 039 24 63α = + =
oder Innenwinkelsumme ABC∆ : 0 0 0 0180 39 78 63α = − − =
Lösungsvariante 2 (Einführen von Unbekannten, aufstellen von Gleichungen)
Unbekannte , ,α β γ Innenwinkel des Dreiecks ABC∆ , Schaufigur entwickeln:
1) Hilfslinie AD
3) Winkel DAB = β∢ ( ABD∆ gleichschenklig)
4) Winkel ADC = γ∢ ( ADC∆ gleichschenklig)
5) Winkel 0CAD 180 2= − γ∢ (Innenwinkelsumme ADC∆ )
Gleichungen (3 Unbekannte / 3 Gleichungen)
Gleichung 1: 0 0141 180+ β = (Nebenwinkel)
Gleichung 2: 2γ = β (Aussenwinkel ABD∆ )
Gleichung 3: 0180α + β + γ = (Innenwinkelsumme ABC∆ )
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Winkel im Dreieck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 15
Ersetzen wir Gleichung 1 durch 0180 2α = β + − γ (Winkel bei A zweimal
ausdrücken DAB CADα = +∢ ∢ ), so ist das Problem unterbestimmt, d.h. es
gibt unendlich viele Lösungen.
Interpretation und Analyse der Rechnerlösung
Taschenrechnerlösung: 0 32180 c1α = − ⋅ und 1
2 c1β = ⋅ und c1γ = , wobei die
Variable c1 eine beliebige Zahl sein kann (Einschränkungen durch die
Problemstellung: , ,α β γ sind Dreieckswinkel).
Z.B. 0 0 0 0c1 40 120 , 20 , 40= → α = β = γ = . Diese Lösung erfüllt die
Gleichung 0 0141 180+ β = , welche den Winkelβ bestimmt, nicht. Warum
ergibt das zweite Gleichungssystem nicht die korrekte Lösung?
Gleichung 1: 0180 2α = β + − γ 02 180→ α − β + γ =
Gleichung 2: 2γ = β → 02 0− β + γ =
Gleichung 3: 0180α + β + γ = → 0180α + β + γ =
Die Informationen der Gleichung 1 sind schon in den Gleichungen 2 und 3
enthalten. Gleichung 1 bekommen wir, indem wir Gleichung 2 und 3
addieren, Gleichung 1 ist also abhängig von Gleichung 2 und 3. Unser
Problem hat 3 Unbekannte aber nur 2 Gleichungen (Bedingungen). Wir sagen
das Problem ist unterbestimmt (zu wenige Bedingungen).
MERKE: Anzahl Unbekannte: So wenig wie möglich, so viel wie nötig !..
Wird beim Aufstellen von Gleichungen eine gegebene Information eines
Problems zweimal benutzt, dann erhalten wir unendlich viele Lösungen.
Je weniger Unbekannte ein Problem hat, desto besser ist die Überischt!
Winkelberechnungen DialogMathe
16 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
2.1.2 Übungsbeispiele Winkel im Dreieck Aufgabe 1 (w = AF = Winkelhalbierende)
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Lösungen A1: 012α = A2: α = β = γ =0 0 060 / 75 / 82,5 A3: 066α = A4: 011,5α =
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Winkel im Dreieck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 17
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Lösungen A5: α = β = γ =0 0 078 / 51 / 27 A6: 068α = A7:
042α = A8: 0115,5α =
Winkelberechnungen DialogMathe
18 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Aufgabe 9
Aufgabe 10
Aufgabe 11
Aufgabe 12
Lösungen A9: 051α = A10: 051α = A11: 061,5α = A12:
075α =
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Winkel im Dreieck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 19
2.1.3 Repetitionstest Winkel im Dreieck
Repetitionstest : Winkel im Dreieck Zeit: 45 Minuten Löse die 5 Aufgaben ohne Hilfsmittel als Test.
Simuliere eine Prüfungssituation, arbeite mit einer Uhr. Zeit für eine Augabe
ca. 9 Minuten. Falls dir der Zugang zu einer Aufgabe innerhalb nützlicher
Frist nicht gelingt, überspringe sie. Ziel: In der vorgegebenen Zeit möglichst
viele gelöste Aufgaben!
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Winkelberechnungen DialogMathe
20 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Lösungen A1: 067,5α = A 2: α = β = γ =0 0 045 / 67,5 / 78,75 A3: 0100α =
A4: α = β = γ =0 0 025 / 75 / 50 A5: 044γ =
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Winkel im Dreieck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 21
2.1.4 Berechnungsaufgaben mit Parametern In den folgenden Aufgaben sind keine konkreten Zahlen gegeben. Die Winkel
werden mit Hilfe von Platzhaltern sogenannten Parametern gegeben. Für die-
se können dann im Resultat verschiedene Zahlen eingesetzt werden. Dies
bringt den Vorteil, dass durch eine Rechnung mit den Parametern, unendlich
viele Zahlenbeispiele durchgerechnet werden können. Weiter können Bedin-
gungen für die Parameter diskutiert werden (welche Zahlen sind möglich,
welche nicht?).
Aufgabe 1 Gegeben Winkel α ; Gesucht Winkel ϕ
Musterlösung
Lösungsidee: Winkel ABCβ = ∢ zweimal ausdrücken und gleichsetzen:
Innenwinkelsumme FBC∆ : 0 0 090 180 90+ ϕ + β = → β = − ϕ
Gleichschenkliges Dreieck ABC∆ : 01802
− αβ =
00 180
902 2
− α α− ϕ = → ϕ =
Winkelberechnungen DialogMathe
22 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Aufgabe 2 Gegeben Winkel α ; Gesucht Winkel ϕ
Aufgabe 3 Gegeben Winkel α , AD AB BC s= = = ; Gesucht Winkel ϕ
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Winkel im Dreieck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 23
Aufgabe 4 Gegeben Winkel α ; Gesucht Winkel ϕ
Aufgabe 5 Gegeben Winkel ,α β ; Gesucht Winkel ϕ
Winkelberechnungen DialogMathe
24 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Aufgabe 6 Gegeben Winkel α ; Gesucht Winkel ϕ
Aufgabe 7 Gegeben Winkel α , DE MB r= = ; Gesucht Winkel ϕ
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Winkel am Kreis
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 25
Aufgabe 8 Es ist AC BC= und AE DE= . Berechne den Winkel ϕ aus den
gegebenen Winkeln α und β .
2.1.5 Lösungen Berechnungsaufgaben mit Parametern
Aufgabe 1: 2αϕ =
Aufgabe 2: 01352αϕ = −
Aufgabe 3: 3ϕ = α
Aufgabe 4: 0902αϕ = +
Aufgabe 5: 0180 2 2ϕ = − α − β
Aufgabe 6: 4ϕ = α
Aufgabe 7: 3ϕ = α
Aufgabe 8: ϕ = β − α
Winkelberechnungen DialogMathe
26 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
2.2 Geometrische Denkaufgaben Winkel am Kreis
2.2.1 Übungsbeispiele Kreiswinkel
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Lösungen A1: 036α = A2: 066α = A3:
044α = A4: 079α =
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Winkel am Kreis
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 27
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Lösungen A5: 024α = A6: 0105α = A7: 010α = A8:
067,5α =
Winkelberechnungen DialogMathe
28 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
2.2.2 Repetitionstest Kreiswinkel
Repetitionstest: Kreiswinkel Zeit: 45 Minuten Löse die 5 Aufgaben ohne Hilfsmittel als Test.
Simuliere eine Prüfungssituation, arbeite mit einer Uhr. Zeit für eine Augabe
ca. 9 Minuten. Falls dir der Zugang zu einer Aufgabe innerhalb nützlicher
Frist nicht gelingt, überspringe sie.
Ziel: In der vorgegebenen Zeit möglichst viele gelöste Aufgaben!
Aufgabe 1
Aufgabe 2
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Winkel am Kreis
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 29
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Lösungen A1: 0112,5α = A2: 0106α = A3:
0100α = A4: 068α = A5:
048α =
Winkelberechnungen DialogMathe
30 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
2.2.3 Berechnungsaufgaben mit Parametern Aufgabe 1 Berechne den Winkel α mit Hilfe einer Gleichung. Aufgabe 2 Berechne den Winkel α aus β !
Aufgabe 3 Berechne ε aus α und β .
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Winkel am Kreis
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 31
Aufgabe 4 Berechne die Winkel α undβ . Aufgabe 5 Berechne den Winkel α aus β !
Lösungen Kreiswinkel Berechnungsaufgaben mit Parametern
Aufgabe 1: α = 054
Aufgabe 2: βα =3
Aufgabe 3: ε = + α − β090
Aufgabe 4: α = 018 ; β = 033
Aufgabe 5: α = β − 02 180
Berechnungen von Dreieck und Viereck DialogMathe
32 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
3 Berechnungen von Dreieck und Viereck
3.1 Symmetrien Symmetrie als Strukturprinzip in Natur und
Technik ist ein faszinierendes und in der
Mathematik ein überaus bedeutsames Thema.
Symmetrie leitet sich vom altgriechischen
symmetria her und bedeutet "Ebenmass". Ein
Objekt wird als symmetrisch bezeichnet, wenn
es gegenüber bestimmten Transformationen
unverändert (invariant) bleibt.
Transformationen dieser Art werden als Symmetrieoperationen bezeichnet.
Symmetrien führen vielfach zur Vereinfachung von Problemlösungen.
In der Physik spricht man u. a. von Symmetrie, wenn ein System im Verlauf
von Operationen, beispielsweise bei Umkehr der Zeitrichtung und einer
Raum-Zeit-Verschiebung, unverändert bleibt. Viele physikalische Systeme
gehorchen solchen Symmetrien, auf die sich auch die Erhaltungssätze der
Physik beziehen. Alle fundamentalen Wechselwirkungen, Gravitation, die
elektromagnetische, schwache und starke Wechselwirkung werden nach
heutigem Wissen durch Symmetrien (Eichtheorien) beschrieben. Das
Fundament der Naturgesetze ist vermutlich eine perfekte, grossartige
Symmetrie. Seit Albert Einstein ist die Physik auf der Suche nach einer
»Theorie für Alles«. Zwei Kandidaten gelten derzeit als vielversprechend: die
Stringtheorie und die Schleifen-Quantengravitation (»loop quantum gravity«).
Die Schleifen-Quantengravitation beschreibt den geometrischen Raum als
Verkettung winziger Quanten und Schleifen.
Stringtheorie [englisch string »Faden«]
Die Stringtheorie ist eine Klasse physikalischer Theorien, die als fundamentale
Gebilde submikroskopische, schwingende »Fäden« betrachten. Diese werden
als Urgebilde des Weltalls angesehen und sollen nach einer möglichen String-
theorie als geschlossene Schleifen (Umfang 10−33 cm) einen zehndimensionalen
Raum bilden, in dem sie miteinander in Wechselwirkung stehen.
DialogMathe
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14
Möglicherweise gestattet die Stringtheorie beziehungsweise die mit Anwe
dung der Supers
Quantenfeldtheorie aller Wechselwirkungen der Elementarteilchen.
Symmetrieverletzungen Die meisten Theo
allerdings nicht alle: Die
da die Zunahme der Entropie eine Zeitrichtung auszeichnet
spiel ist die zerbrochene Tasse, die sich nicht von selbst wieder zusam
fügt. Asymmetrien sind oft
Supraleitung durch eine Symmetriebrechung erklärt werden.
Chiralität (Händigkeit) Beim sp3-hybridisierten Kohlenstoffatom weisen die vier Bindungen in die
Ecken eines Tetraeders. Sind vier verschiedene Atome bzw. Gruppen an ein
C-Atom gebunden, gibt es zwei Konfigurationen, d.h. zwei unterschiedliche
Möglichkeiten, diese
Gruppen anzu-
ordnen. Man nennt
ein solches C-Atom
ein asymmetrisches
C-Atom (da sich
durch das Atom keine Spiegelebene legen läss
sitzt ein Molekül ein solches chirales C
Isomere, die sich wie Bild und Spi
Enantiomere unterscheiden sich nicht in ihrem chemischen Verhalten und, mit
Ausnahme ihrer
ten. Unterschiede gibt es j
Organismus kommt es zu Wechselwirkungen mit anderen chiralen Molek
len, bei denen die Konfigur
Beispiel: Struktur der beiden
Enantiomere von
Links (S)-Milchsäure, rechts
(R)-Milchsäure.
2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Möglicherweise gestattet die Stringtheorie beziehungsweise die mit Anwe
dung der Supersymmetrie entstandene Superstringtheorie
Quantenfeldtheorie aller Wechselwirkungen der Elementarteilchen.
Die meisten Theorien erfüllen jeweils die vorgegebenen Symmetrien,
nicht alle: Die Thermodynamik ist nicht T-invariant
da die Zunahme der Entropie eine Zeitrichtung auszeichnet
spiel ist die zerbrochene Tasse, die sich nicht von selbst wieder zusam
Asymmetrien sind oft Hinweise auf tiefere Strukturen, so kann heute die
Supraleitung durch eine Symmetriebrechung erklärt werden.
hybridisierten Kohlenstoffatom weisen die vier Bindungen in die
Ecken eines Tetraeders. Sind vier verschiedene Atome bzw. Gruppen an ein
Atom gebunden, gibt es zwei Konfigurationen, d.h. zwei unterschiedliche
Möglichkeiten, diese
-
Man nennt
Atom
ein asymmetrisches
Atom (da sich
durch das Atom keine Spiegelebene legen lässt) oder Chiralitäts
sitzt ein Molekül ein solches chirales C-Atom, existieren zwei Konfigurations
Isomere, die sich wie Bild und Spiegelbild verhalten: die zwei
Enantiomere unterscheiden sich nicht in ihrem chemischen Verhalten und, mit
Ausnahme ihrer optischen Aktivität, auch nicht in physikalischen Eigenscha
ten. Unterschiede gibt es jedoch in ihrem biochemischen Verhalten,
Organismus kommt es zu Wechselwirkungen mit anderen chiralen Molek
len, bei denen die Konfiguration einen wesentlichen Einfluss
Struktur der beiden
Enantiomere von Milchsäure.
Milchsäure, rechts
Milchsäure.
Symmetrien
33
Möglicherweise gestattet die Stringtheorie beziehungsweise die mit Anwen-
eine einheitliche
Quantenfeldtheorie aller Wechselwirkungen der Elementarteilchen.
Symmetrien,
invariant (Zeitumkehr),
da die Zunahme der Entropie eine Zeitrichtung auszeichnet - alltägliches Bei-
spiel ist die zerbrochene Tasse, die sich nicht von selbst wieder zusammen-
Hinweise auf tiefere Strukturen, so kann heute die
Supraleitung durch eine Symmetriebrechung erklärt werden.
hybridisierten Kohlenstoffatom weisen die vier Bindungen in die
Ecken eines Tetraeders. Sind vier verschiedene Atome bzw. Gruppen an ein
Atom gebunden, gibt es zwei Konfigurationen, d.h. zwei unterschiedliche
t) oder Chiralitäts-Zentrum. Be-
Atom, existieren zwei Konfigurations-
bild verhalten: die zwei Enantiomere.
Enantiomere unterscheiden sich nicht in ihrem chemischen Verhalten und, mit
, auch nicht in physikalischen Eigenschaf-
doch in ihrem biochemischen Verhalten, denn im
Organismus kommt es zu Wechselwirkungen mit anderen chiralen Molekü-
tion einen wesentlichen Einfluss hat.
Berechnungen von Dreieck und Viereck DialogMathe
34 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Biochemie Viele biologisch wichtige Substanzen sind chiral, nicht nur die kleineren
Moleküle von Aminosäuren und Zuckern, sondern auch biologische
Makromoleküle wie Enzyme oder Rezeptoren. Bei einigen Substanzklassen
überwiegt oft ein Chiralitätssinn, so herrscht beispielsweise bei den
natürlichen Aminosäuren die L-Form vor. Chiralität als Folge des räumlichen
Baus von Molekülen hat entscheidende Bedeutung für das Funktionieren
biologischer Systeme, die alle selbst chiral sind. So sind viele Enzymreaktio-
nen auf ein Enantiomer, entweder das linksdrehende oder das rechtsdrehen-
de, spezialisiert, die Reaktionsgeschwindigkeit mit dem spiegelbildlichen
Enantiomer als Substrat ist dann deutlich geringer oder es wird gar nicht um-
gesetzt. Gar nicht so selten entfaltet das „falsche“ Enantiomer auch eine völlig
andere biologische Wirkung. Beispielsweise schmeckt bei einer bestimmten
Verbindung das eine Enantiomer süss, während sein Partner bitter ist. Bei
zahlreichen Geruchsstoffen unterscheidet sich der Geruchseindruck hinsicht-
lich Intensität und Ausprägung. Auch bei Pharmazeutika treten solche Effekte
fast regelmässig auf. Bei einigen Betablockern wirkt das eine Enantiomer
selektiv auf das Herz, das andere an den Zellmembranen des Auges.
Enzymreaktionen sind oft spezifisch für bestimmte Enantiomere, da das
aktive Zentrum eines Enzyms vielfach das eine Enantiomer leichter
aufnehmen kann als das andere. Das Enantiomere des Pharmawirkstoffes
D-Penicillamin, also das L-Penicillamin, ist toxisch. Deshalb ist eine hohe
Enantiomerenreinheit bei Arzneistoffen von überragender Bedeutung.
Geometrie
In der Geometrie ist die Symmetrie ein Merkmal bestimmter ebener und
räumlicher Formen. Unter Symmetrieoperationen versteht man Bewegungen,
die eine symmetrische Figur mit sich selbst zur Deckung bringen.
Die Symmetrieoperationen sind bezüglich eines gegebenen Punktes (Symmet-
riezentrum), einer Linie (Symmetrieachse) und einer Ebene (Symmetrieebene)
definiert.
DialogMathe Symmetrien
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 35
3.1.1 Achsensymmetrie Eine geometrische Figur heisst achsensymmetrisch, wenn sie
durch Umklappen um eine Gerade a (die Symmetrieachse)
mit sich selbst zur Deckung gebracht werden kann. P wird
durch Achsenspiegelung an der Achse a auf P' abgebildet.
Eigenschaften Achsenspiegelung • Die Strecke [PP'] wird durch die Symmetrieachse senkrecht halbiert.
• Zueinander achsensymmetrische Winkel sind gleich gross, aber
entgegengesetzt orientiert.
• Zueinander achsensymmetrische Strecken sind gleich lang.
• Geraden werden auf Geraden und Kreis auf Kreis abgebildet.
3.1.2 Drehsymmetrie Eine Figur heisst drehsymmetrisch, wenn sie durch Drehung um einen Punkt
um einen von 360°verschiedenen Winkel mit sich selbst zur Deckung gebracht
werden kann. Bei der Drehsymmetrie unterscheidet man zwischen 2 (3, 4, 5,...)
zähliger Drehsymmetrie, je nachdem, ob eine Halb-, (Drittel-, Viertel-,...) Dre-
hung möglich ist.
3.1.3 Punktsymmetrie Die Punktsymmetrie ist ein Spezialfall der
Drehsymmetrie. Unter Punktsymmetrie versteht man die
2-zählige Drehsymmetrie. Eine geometrische Figur heisst
punksymmetrisch, wenn sie durch eine Drehung von 180°
um einen Punkt Z (Symmetriezentrum) mit sich selbst zur Deckung gebracht
werden kann. P wird durch Punktspiegelung am Zentrum Z auf P' abgebildet.
Eigenschaften Punktspiegelung • Die Strecke [PP'] wird durch das Symmetriezentrum halbiert.
• Zueinander punktsymmetrisch Winkel sind gleich gross und
gleichsinnig orientiert.
• Zueinander punktsymmetrische Strecken sind gleich lang.
• Geraden werden auf Geraden und Kreise auf Kreise abgebildet.
3.1.4 Schubsymmetrie Eine Figur heisst schubsymmetrisch, wenn jeder ihrer Punkte durch eine
Verschiebung mit sich selbst zur Deckung kommt.
Berechnungen von Dreieck und Viereck DialogMathe
36 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
3.2 Übersicht Vierecke
Bestimmungsstücke
Ein Viereck wird im Allgemeinen eindeutig bestimmt, wenn von den vier
Seiten und vier Winkeln fünf Stücke gegeben sind. Ein Dreieck erfordert drei
Stücke, für den vierten Eckpunkt des Vierecks benötigt man zwei weitere. Hat
das Viereck spezielle Eigenschaften, so vermindert sich die Anzahl bis auf 1
beim Quadrat.
Symmetrie
Das symmetrische Drachenviereck hat eine Symmetrieachse und das
Parallelegramm ein Symmetriezentrum. Beide liegen deshalb in einer Zeile.
Dann liegen Raute und Rechteck nebeneinander. Beide haben zwei
aufeinander senkrecht stehende Symmetrieachsen und ein
Symmetriezentrum. Das Quadrat hat vier Achsen. Das Trapez passt nicht in
diese Anordnung. (Das gleichschenklige Trapetz hat eine Symmetrieachse).
DialogMathe Übersicht Vierecke
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 37
3.2.1 Quadrat
Definierende Eigenschaft 090α = β = γ = δ =
a b c d= = = Flächeninhalt und Umfang
2A a= ; U 4a= Diagonalen e f 2 a= = ⋅ ; e f⊥ e und f halbieren einander weitere Eigenschaften: vier Symmetrieachsen, Punktsymmetrie zu S
3.2.2 Rechteck
Definierende Eigenschaft 090α = β = γ = δ =
Flächeninhalt und Umfang A a b= ⋅
( )U 2 a b= ⋅ +
Diagonalen e f= , e und f halbieren einander weitere Eigenschaften a c= und b d= , zwei Symmetrieachsen, Punktsymmetrie zu S
3.2.3 Raute (Rhombus) Definierende Eigenschaft a b c d= = = Flächeninhalt und Umfang
12A e f= ⋅ ⋅ ; U 4a=
Diagonalen e f⊥ , e und f halbieren einander weitere Eigenschaften α = γ und β = δ , Punktsymmetrie zu S
Berechnungen von Dreieck und Viereck DialogMathe
38 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
3.2.4 Parallelogramm
Definierende Eigenschaft a c� und b d� Flächeninhalt und Umfang
a bA a h b h= ⋅ = ⋅ ( )U 2 a b= ⋅ +
Diagonalen e und f halbieren einander weitere Eigenschaften: α = γ und β = δ , a c= und b d=
Benachbarte Winkel haben die Summe 0180 , Punktsymmetrie zu S
3.2.5 Drachenviereck
Definierende Eigenschaft Eine Diagonale ist Symmetrieachse Flächeninhalt und Umfang
12A e f= ⋅ ⋅
( )U 2 a b= ⋅ +
Diagonalen e f⊥ , eine Diagonale wird halbiert weitere Eigenschaften: a d= und b c=
3.2.6 Trapez
Definierende Eigenschaft Mindestens zwei Seiten sind parallel Flächeninhalt und Umfang
( )12A a c h m h= ⋅ + ⋅ = ⋅
U a b c d= + + + Diagonalen Nichts Spezielles weitere Eigenschaften
0180α + δ = ; 0180β + γ =
DialogMathe Übersicht Vierecke
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 39
3.2.7 Partnerinterview Vierecke
Partnerinterview Vierecke Zeit: 15 Minuten
Löse den Multiple – Choice Test (Es sind mehrere Antworten pro Aufgaben-
stellung möglich). Diskutiere deine Ergebnisse mit deinem Lern-Partner. Falls
Fragen oder Unklarheiten auftauchen, notiere sie! Die Lösungen befinden sich
am Ende des Tests.
Multiple – Choice – Test Vierecke
1) Die Summe der Winkel im Viereck beträgt ... A) 0180 B) 0270 C) Das Doppelte der Winkelsumme im Dreieck. D) 0360 E) 090
2) Ein allgemeines Trapez ...
A) hat zwei parallele Seiten.
B) hat vier gleich lange Seiten.
C) hat zwei gleich lange Diagonalen.
D) ist achsensymmetrisch
3) Gegenüberliegende Winkel sind gleich gross ...
A) beim Quadrat
B) beim Rechteck
C) beim Drachen
D) beim gleichschenkligen Trapez
E) bei der Raute
4) Ein Quadrat ist auch ...
A) ein Parallelogramm, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.
B) ein Rechteck mit gleich langen Seiten.
C) eine Raute mit vier rechten Winkeln.
D) ein Trapez mit vier rechten Winkeln.
5) Welche Vierecke haben mindestens zwei Symmetrieachsen?
A) Drachen
B) Parallelogramm
C) Raute
D) Rechteck
E) Quadrat
Berechnungen von Dreieck und Viereck DialogMathe
40 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
6) Welche Aussagen treffen zu?
A) Jedes Viereck hat mindestens zwei parallele Seiten.
B) Jedes Viereck lässt sich in zwei Dreiecke zerlegen.
C) Die Winkelsumme beträgt immer 360°.
D) Diagonalen liegen immer senkrecht zueinander.
E) Jedes Viereck hat genau zwei Diagonalen.
7) Was macht ein Viereck zu einem allgemeinen Trapez?
A) zwei senkrecht zueinander liegende Seiten
B) zwei gleich lange Seiten
C) zwei gleich grosse Winkel
D) zwei gleich lange Diagonalen
E) zwei parallele Seiten
8) Es gibt nur eine Symmetrieachse ...
A) beim gleichschenkligen Trapez
B) beim Rechteck
C) beim Quadrat
D) beim Drachen
E) beim Parallelogramm
9) Benachbarte Winkel sind immer 180° gross ...
A) beim Drachen
B) beim Trapez
C) beim Parallelogramm
D) beim Quadrat
E) beim Rechteck
10) Für jede Raute gilt:
A) Jede Raute ist auch ein Trapez.
B) Jede Raute ist auch ein Parallelogramm.
C) Jede Raute ist auch ein Drachen.
D) Jede Raute ist auch ein Rechteck
Lösungen: Multiple – Choice – Test Vierecke
1) C, D 2) A 3) A,B,E 4) B,C 5) C,D,E
6) B,C,E 7) E 8) A, D 9) C,D,E 10) A,B,C
DialogMathe Strecken – und Flächenberechnungen
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 41
3.3 Strecken – und Flächenberechnungen 3.3.1 Dreiecksfläche und Heron
Grundformel Dreiecksfläche
12A Grundlinie Höhe∆ = ⋅ ⋅
a12A a h∆ = ⋅ ⋅
Heron’sche Flächenformel
( ) ( ) ( )A s s a s b s c∆ = ⋅ − ⋅ − ⋅ −
Wobei a, b und c die Längen der Dreiecksseiten sind und s der halbe Umfang.
( )12s a b c= ⋅ + +
3.3.2 Berechnungen von Strecken über Flächen
Beispiel 1 Anwendung zur Heron‘schen Flächenformel
Berechne die Dreieckshöhe ah , wenn die Seiten a 21cm= , b 10cm= und
c 17cm= gegeben sind.
a a12
2 AA a h h
a∆
∆⋅= ⋅ ⋅ → =
( ) ( )1 12 2s a b c 21 10 17 24= ⋅ + + = ⋅ + + =
( ) ( ) ( )A s s a s b s c 24 3 14 7 2 4 3 3 2 7 7 84∆ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
a2 A 2 84
h 8cma 21
∆⋅ ⋅= = =
Beispiel 2 Abstand im Quadrat
Gegeben ist das Quadrat ABCD mit der
Seitenlänge a 4cm= . BP 1cm= ,
1M und 2M sind Seitenmitten.
Berechne den Abstand x von P zur Strecke 1 2M M .
Berechnungen von Dreieck und Viereck DialogMathe
42 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Lösungsidee: x als Höhe des Dreiecks 1 2PM M∆
berechnen.
Quadrat 1 2 3A A A A A
16 2 3 6 5∆ = − − −
= − − − =
1 2M M 2 2= ⋅ (Diagonale des Quadrates mit der
Seitenlänge 2)
1 2
2 A 2 5 5 5 2x 3,54
22 2 2M M∆⋅ ⋅ ⋅= = = = =
⋅
Nenner wurzelfrei machen
Beachte die Umformung: 5 5 2
22⋅= .
Wir erweitern den Bruch 5
2mit 2 :
5 2 5 222 2
⋅ ⋅=⋅
.
Warum machen wir diese Umformung?
Da 2 eine irrationale Zahl ist, können wir uns eine Teilung durch 2 nur
schwer vorstellen! Daher macht es Sinn generell Wurzeln im Nenner durch
Erweitern wegzuschaffen.
Teilen im Alltag: Du hast sicher schon einen Apfel halbiert oder in vier Teile
geteilt. Was würdest du machen, wenn du einen Apfel in 2 Teile teilen
müsstest?
Aufgabe
Das Quadrat ABCD hat die Seitenlänge 6cm.
M ist der Mittelpunkt der Quadratseite.
Berechne die schraffierte Dreiecksfläche, wenn
die Dreiecke AEM und BCE flächengleich sind.
[Lösung: 2A 15cm= ]
DialogMathe CAS - Bausteine
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 43
3.4 CAS - Bausteine
3.4.1 Rechner - Einsatz: CAS-Bausteine
(CAS = Computer-Algebra-System)
Die mühsame Berechnungsarbeit bei der Anwendung der Heron’schen
Flächenformel, kann mit dem Rechner automatiesiert werden.
Wir definieren einen CAS-Baustein heron(a,b,c):
Der CAS-Baustein ( )ah a,b,c berechnet aus den Seiten eines Dreiecks die
Höhe. Beachte, dass die entsprechende Höhe ( )ah a, ,… … durch die Eingabe
der ersten Seite festgelegt wird!
3.4.2 Arbeiten mit „CAS-Bausteinen“ Ein CAS-Baustein ist eine eindeutige Zuordung (siehe später Funktion).
Der Baustein heron(a,b,c) ordnet den drei Seiten a,b,c eines Dreiecks die
Fläche zu. Bausteine sind eine sinnvolle Anwendung, wenn es darum geht,
ein Problem schnell und immer wieder zu lösen. Da der Baustein vom
Benutzer selbst erarbeitet werden muss und der Baustein in der Regel eine
allgemeine Lösung ist (Baustein mit Variablen), ist es eine wunderschöne
Übung, um allgemeine Lösungsansätze herauszufinden. Mit einem Baustein
lässt es sich auch wunderbar experimentieren.
TI-Nspire: Bibliotheken
Eine Bibliothek ist ein TI-Nspire-Dokument, dessen Daten allen andern
Dokumenten zur Verfügung stehen. Objekte einer Bibliothek sind global zum
gesamten Nspire System, während normale Objekte lokal innerhalb eines
Problems sind. Bibliotheken lassen sich im Programmeditor erstellen.
Berechnungen von Dreieck und Viereck DialogMathe
44 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Arbeiten mit dem Programmeditor von TI-Nspire
Programme werden in der Applikation Calculator erstellt. TI-Nspire verfügt
über einen Programmeditor, der über „menu“,9,1,1 gestartet wird. Gib im
sich öffnenden Fenster den Programmnamen „heron“ ein, als Typ Program
und für Bibliothekszugriff Lib Pub (im Katalog anzeigen).
Mit „OK“ öffnet sich eine geteilte Seite. Im rechten Fenster erscheint das
Programmgerüst unseres Programms. Mit „doc“,5,1 kann das rechte Fenster
verbreitert werden. Die Begrenzung wird mit den Pfeiltasten verschoben.
heron(a,b,c): Das Programm benötigt die drei Seiten des Dreiecks als Eingabe.
a,b,c,s und fläche werden als lokale Variablen definiert. Dann wird der halbe
Umfang s und die Fläche berechnet. Zuletzt wird die Fläche ausgegeben.
Der Stern (*heron) weist darauf hin, dass das Programm noch nicht gespei-
chert ist. Mit „menu“,2,1 kann die Syntax des Programms geprüft und das
DialogMathe CAS - Bausteine
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 45
Programm als Variable gespeichert werden. Ist das Programm fehlerfrei, er-
scheint die Meldung „heron“ erfolgreich gespeichert.
Das Programm kann nun mit „Var“ als Variable „heron“ im Calculator (linke
Seite) aufgerufen werden. Dazu kann mit „doc“,5,1 das linke Fenster wieder
verbreitert werden. Um das Programm in allen Anwendungen zur Verfü-
gung zu haben, muss es mit „Save“ in den Ordner MyLib gespeichert werden.
Gib als File Name „program“ ein (den File Name kannst du wählen! ).
Bevor die Variable „heron“ im Dokument „program“ mittels Katalog aufgeru-
fen werden kann, muss mit „Doc“, 6 die Bibliothek aktualisiert werden.
Beachte: „heron“ ist nun eine Variable im Dokument „program“ und kann
über den Katalog in allen TI-Nspire Dokumenten aufgerufen werden.
Es können weitere Programme als Probleme ins Dokument „program“ ge-
schrieben werden (maximal 30). Verlasse das Dokument „program“ und öffne
Berechnungen von Dreieck und Viereck DialogMathe
46 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
ein neues. Wähle die Applikation Calculator. Unser Programm kann im Kata-
log im Register 6 durch „anklicken“ aufgerufen werden. Mit „menu“,1,7,3
kann für „program“ ein shortcut z.B. „p“definiert werden. Gib p. (p Punkt)
ein und es erscheint eine Liste aller Programme im Dokument „program“.
Partnerinterview: Erstellen von CAS-Bausteinen Zeit: 15 Minuten
Überlege, wo dir die Anwendung von CAS-Bausteinen Vorteile bringen kann.
Erstelle einige nützliche CAS-Bausteine in der Mathematik oder in den
Naturwissenschaften.
CAS-Bausteine in der Mathematik
CAS-Bausteine in der Physik
CAS-Bausteine in der Chemie
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Dreieck und Viereck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 47
3.5 Geometrische Denkaufgaben Dreieck und Viereck
3.5.1 Übungsbeispiele Dreieck und Viereck
Aufgabe 1
Aufgabe 2 M = Mittelpunkt
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Lösungen A1: x 6cm=
A3: x 12cm= A2:
21A 6cm= , = 2
2A 20cm , = 23A 14cm
A4: x y 25cm+ =
Berechnungen von Dreieck und Viereck DialogMathe
48 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Aufgabe 5 M = Mittelpunkt
Aufgabe 6
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Lösungen A5: 38
A6: x 18cm= A7: x 20cm= A8: x 45 cm=
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Dreieck und Viereck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 49
Aufgabe 9
Aufgabe 10
Aufgabe 11
Aufgabe 12
Lösungen A9: 2A 28cm= A10: 2A 28cm= A11:
2A 9cm= A12: 2D 15cm=
Berechnungen von Dreieck und Viereck DialogMathe
50 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
3.5.2 Repetitionstest Dreieck und Viereck
Repetitionstest: Dreieck und Viereck Zeit: 45 Minuten
Aufgabe 1 M = Mittelpunkt
Aufgabe 2
Aufgabe 3
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Dreieck und Viereck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 51
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Lösungen A1: x 8cm= A2: x 4cm= A3: 2A 240cm= A4: x 6cm=
A5: x 9cm= A6: 2A 26cm=
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck DialogMathe
52 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
4 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
Bezeichnungen a, b : Katheten ; c : Hypotenuse
h : Höhe ; p, q : Hypotenusenabschnitte
4.1 Sätze am rechtwinkligen Dreieck
Pythagoras : 2 2 2c a b= +
Höhensatz: 2h p q= ⋅
Kathetensatz: 2a p c= ⋅ , 2b q c= ⋅
4.1.1 Beweis Satz von Pythagoras
Partnerinterview: Beweis Satz von Pythagoras Zeit: 15 Minuten
Für den Satz von Pythagoras gibt es zahlreiche Beweise!
Entwickle eine Idee, für einen Beweis des Satzes von Pythagoras.
Suche einen Beweis im Internet!
DialogMathe / Sätze am rechtwinkligen Dreieck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 53
Beweis: Satz von Pythagoras
4.1.2 Beweis Höhensatz, Kathetensatz
Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras lassen sich der Höhen- und Kathetensatz
rein algebraisch beweisen: Betrachte die beiden rechtwinkligen Teildreiecke
AFC und FBC (siehe Figur Seite 50).
Pythagoras: = +2 2 2b q h und = +2 2 2a p h
Addiere die beiden Gleichungen: + = + +2 2 2 2 2a b p q 2h
Mit ( )22 2 2 2 2a b c p q p 2pq q+ = = + = + + erhalten wir
( )22 2 2 2 2a b c p q p 2pq q+ = = + = + + und damit
Kathetensatz: ( )2 2 2 2a p h p pq p p q pc= + = + = + = . Die beiden Sätze lassen
sich auch mit Hilfe der Ähnlichkeit beweisen (siehe Kap. 6.1.2 Seite 91)
2 2 2 2 2 2 2p 2pq q p q 2h 2pq 2h h pq+ + = + + → = → =
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck DialogMathe
54 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
4.2 Geometrische Denkaufgaben Pythagoras
4.2.1 Übungsbeispiele Pythagoras
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Lösungen A1: x 10cm= A2: A 2100 / x y z 240= + + = A3: x 17cm= A4: x 14cm=
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Pythagoras
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 55
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Lösungen A5: x 4cm= A6: x 30 cm= A7: x 26cm= A8: 2A 98cm=
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck DialogMathe
56 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Aufgabe 9
Aufgabe 10
Aufgabe 11
Lösungen A9: x 13cm= A10: x 13cm= A11: x 6cm=
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Pythagoras
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 57
4.2.2 Repetitionstest Pythagoras
Repetitionstest: Pythagoras Zeit: 45 Minuten Löse die 5 Aufgaben ohne Hilfsmittel als Test.
Simuliere eine Prüfungssituation, arbeite mit einer Uhr. Zeit für eine Augabe
ca. 9 Minuten. Falls dir der Zugang zu einer Aufgabe innerhalb nützlicher
Frist nicht gelingt, überspringe sie.
Ziel: In der vorgegebenen Zeit möglichst viele gelöste Aufgaben!
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck DialogMathe
58 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Lösungen A1: x 28cm= A2: x 8cm= A3: =x 7cm A4: x 10cm= A5: x 74 cm=
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Pythagoras
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 59
4.2.3 Berechnungsaufgaben mit Parametern Aufgabe 1: Drücke x durch a aus.
Aufgabe 2: Berechne x aus a.
Aufgabe 3: Berechne den Abstand x der Ecke B von der Geraden AE, ausgedrückt durch a.
Lösungen Berechnungsaufgaben mit Parametern
Aufgabe 1: x 10 a 3,16a= ⋅ ≈
Aufgabe 2: 5
x a 0,745a3
= ⋅ ≈
Aufgabe 3: 30
x a 5,14a34
= ⋅ ≈
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck DialogMathe
60 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
4.3 Spezielle rechtwinklige Dreiecke
4.3.1 Memo: Spezielle rechtwinklige Dreiecke
Memo Spezielle rechtwinklige Dreiecke
0 0 0 0 0 090 45 45 Dreieck / 90 60 30 Dreieck− − − − − −
Das gleichschenklig rechtwinklige Dreieck ( 0 0 090 45 45 Dreieck− − − ) → halbes Quadrat !
AB BC s= =
AC d 2 s= = ⋅ (Diagonale)
Die Hypotenuse ist 2 mal die Kathete!
Pythagoras: 2 2 2d s s= +
2 2d 2s=
2d 2s 2 s= = ⋅
d 2
s d22
= = ⋅
Das 0 0 090 60 30 Dreieck− − − → halbes gleichseitiges Dreieck
s
AB2
= ; BC s=
3AC h s
2= = ⋅ (Höhe)
Die Kathete h ist 3
2mal die Hypotenuse!
Pythagoras: 2
2 2 sh s
2 = −
2 23h s
4= ⋅
23 3h s s
4 2= ⋅ = ⋅
2 2 3
s h h33
⋅= ⋅ = ⋅
DialogMathe Spezielle rechtwinklige Dreiecke
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 61
4.3.2 Repetitionstest: Spezielle Dreiecke
Repetitionstest: Spezielle Dreiecke Zeit: 15 Minuten
Aufgabe 1
Gegeben: Gleichschenkliges
Dreieck ABC (a = b), Seite c
Gesucht: Seite a und Höhe h
Aufgabe 2
Gegeben: z
Gesucht: x und y
Aufgabe 3
Gegeben: Gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge s.
Gesucht: Fläche des Dreiecks.
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck DialogMathe
62 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
4.3.3 Aufgaben: Spezielle Dreiecke Aufgabe 1
Das rechtwinklige Dreieck ACD ist
gleichschenklig CD AD= .
Berechne die Fläche des Vierecks ABCD,
wenn die Seite AB 2= ist. (Lösung exakt
angeben, d.h. nicht aufgehende Wurzeln
stehen lassen)
Aufgabe 2
Berechne die Fläche des Trapezes
ABCD ausDC s= .
Aufgabe 3
Die Geraden a und b sind Tangenten
an den Kreis.
Berechne aus h = 10 cm den Radius r
des Kreises.
Aufgabe 4
Das Dreieck ABC ist gleichseitig
und hat die Seitenlänge c = 5.
Berechne den Inhalt der
schraffierten Fläche BDEF.
DialogMathe Spezielle rechtwinklige Dreiecke
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 63
Aufgabe 5 In der nebenstehenden Figur ist D der
Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
des Winkels 0BCA 60=∢ mit dem
Umkreis des Dreiecks ABC.
Berechne den Flächeninhalt des
Dreiecks ABD aus der Länge c der
Seite AB
4.3.4 Lösungen Spezielle Dreiecke Repetitionstest: Spezielle Dreiecke
Aufgabe 1: c 2 c
a22
⋅= =
ch
2=
Aufgabe 2: 2 2 3x z z
33
⋅= ⋅ = ⋅
Aufgabe 3: 23A s
4= ⋅
Aufgaben: Spezielle Dreiecke
Aufgabe 1: 32A 3= +
Aufgabe 2: 21 3s
2 12 + ⋅
Aufgabe 3: r 20 3= ⋅ Aufgabe 4: 2
schraffiertA 0,125c 3,125= =
Aufgabe 5: 2c
A4 3
=⋅
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
64
4.4 Pythagoras und Kreisberührungen
Memos Pythagoras und Kreisberührungen
Merke
Bei einer Berührung von zwei Kreisen k
immer auf der Verbindungslinie
M1 und M2.
Für die Berührung
zwei Fälle unterscheiden:
Äussere Berührung
Begründung Die beiden sich berührenden Kreise k
gente t. Der Berührungsradius steht jeweils senkrecht zur Tangente. Damit e
geben sich bei der äusseren Berührung beim Berührungspunkt B zwei 90
Winkel, d.h. ein gestreck
M1 und M2 und der Berührungspunkt B auf einer Geraden. Bei der inneren B
rührung liegen die Berührungsradien aufeinander.
Wir können drei verschiedene Aufgabentypen (Lösungsideen) unterscheiden.
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14
und Kreisberührungen
Pythagoras und Kreisberührungen
Berührung von zwei Kreisen k1 und k2 liegt der Berührungspunkt B
immer auf der Verbindungslinie 1 2M M der beiden Kreismittelpunkten
Für die Berührung von zwei Kreisen k1 und k2 können wir
zwei Fälle unterscheiden:
Innere Berührung
beiden sich berührenden Kreise k1 und k2 haben eine gemeinsame Ta
gente t. Der Berührungsradius steht jeweils senkrecht zur Tangente. Damit e
geben sich bei der äusseren Berührung beim Berührungspunkt B zwei 90
Winkel, d.h. ein gestreckter Winkel (1800). Somit liegen die Kreismittelpunkte
und der Berührungspunkt B auf einer Geraden. Bei der inneren B
rührung liegen die Berührungsradien aufeinander.
Wir können drei verschiedene Aufgabentypen (Lösungsideen) unterscheiden.
DialogMathe
2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
liegt der Berührungspunkt B
der beiden Kreismittelpunkten
haben eine gemeinsame Tan-
gente t. Der Berührungsradius steht jeweils senkrecht zur Tangente. Damit er-
geben sich bei der äusseren Berührung beim Berührungspunkt B zwei 900
). Somit liegen die Kreismittelpunkte
und der Berührungspunkt B auf einer Geraden. Bei der inneren Be-
Wir können drei verschiedene Aufgabentypen (Lösungsideen) unterscheiden.
DialogMathe Pythagoras und Kreisberührungen
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 65
4.4.1 Typ 1: ein rechtwinkliges Dreieck
Berechne r aus b.
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck DialogMathe
66 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
4.4.2 Typ 2: Eine Strecke auf zwei verschiedene Arten berechnen
Berechne r aus a.
Lösungsvariante (Typ 1)
DialogMathe Pythagoras und Kreisberührungen
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 67
4.4.3 Typ 3: zwei rechtwinklige Dreiecke
Berechne r aus b.
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck DialogMathe
68 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
4.4.4 Lösungen der Beispiele Typ 1 , 2 und 3 mit dem Rechner Interpretiere die Rechnerlösungen
4.4.5 Aufgaben: Kreisberührungen
Aufgabe 1 In einem Viertelkreis befinden sich zwei
Halbkreise, die sich berühren (siehe Figur).
Berechne den Radius x, wenn der Radius r
gegeben ist.
DialogMathe Pythagoras und Kreisberührungen
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 69
Aufgabe 2 Gegeben sei ein Quadrat ABCD mit
der Seitenlänge a. Berechne den
Radius x aus a.
Aufgabe 3 Gegeben ist ein Quadrat mit der
Seitenlänge 3a und ein Kreis mit
Radius a.
Wie gross ist der Radius x des
Halbkreises?
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck DialogMathe
70 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Aufgabe 4 Berechne aus der folgenden Figur
den Radius x aus r.
ZA r= ; rZP
4= r
WZ2
=
Aufgabe 5 Gegeben: Rechteck mit den Seiten a
und b.
Gesucht: Radius x des kleinen
Kreises.
DialogMathe Pythagoras und Kreisberührungen
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 71
Aufgabe 6: Kirchenfenster
Berechne x aus r.
4.4.6 Lösungen der Aufgaben 1 bis 6 mit dem Rechner
Interpretiere die Rechnerlösungen!
Dreieckskonstruktionen DialogMathe
72 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
5 Dreieckskonstruktionen
Kennen wir drei Stücke eines Dreiecks, so lässt es sich konstruieren.
Konstruieren heisst Punkte durch schneiden von geometrischen Örtern zu
bestimmen.
Später in der Trigonometrie werden wir sehen, dass sich ein Dreieck aus drei
gegebenen Stücken vollständig berechnen lässt.
5.1 Geometrische Örter
Geometrische Örter sind Punktmengen, die gewisse Bedingungen erfüllen.
5.1.1 Kreis
Wo liegen alle Punkte P, die von
einem Punkt M den gleichen
Abstand r haben?
5.1.2 Parallelenstreifen
Wo liegen alle Punkte P, die
von einer Geraden g den
gleichen Abstand h haben?
DialogMathe Geometrische Örter
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 73
5.1.3 Mittelsenkrechte
Wo liegen alle Punkte P, die von
zwei Punkten A und B den
gleichen Abstand haben?
=AP BP
5.1.4 Winkelhalbierende
Wo liegen alle Punkte P, die
von zwei sich schneidenden
Geraden g und h den gleichen
Abstand haben?
5.1.5 Ortsbogen für einen Winkel α
Wo liegen alle Punkte P, von
welchen eine Strecke AB unter
einem beliebigen Winkel
] 0 ;180 [α ∈ erscheint.
5.1.6 Speziell: Thaleskreis
Wo liegen alle Punkte P, von
welchen eine Strecke AB unter
einem rechten Winkel erscheint.
Dreieckskonstruktionen
74
5.2 Dreiecksstücke
Seiten a, b, c
Winkel , ,α β γ
Höhen a b ch , h , h
Seitenhalbierende
Winkelhalbierende
Umkreisradius R
5.2.1 Partnerinterview spezielle Linien
Partnerinterview spezielle Linien im DreieckZeit: 15 Minuten
1. Höhen
Wie ist eine Höhe im Dreieck definiert?
2. Seitenhalbierende
Wie ist die Seitenhalbierende im Dreieck definiert?
Die drei Seitenhalbierenden in einem Dreieck
Punkt. Wie nennen wir diesen Punkt und welche Eigenschaften hat er?
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14
α β γ
a b ch , h , h
Seitenhalbierende a b cs , s , s
Winkelhalbierende a b cw , w , w
Umkreisradius R, Inkreisradius r
Partnerinterview spezielle Linien im Dreieck
Partnerinterview spezielle Linien im Dreieck Zeit: 15 Minuten
Wie ist eine Höhe im Dreieck definiert?
2. Seitenhalbierende
Wie ist die Seitenhalbierende im Dreieck definiert?
Die drei Seitenhalbierenden in einem Dreieck schneiden sich in einem
Punkt. Wie nennen wir diesen Punkt und welche Eigenschaften hat er?
DialogMathe
2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
schneiden sich in einem
Punkt. Wie nennen wir diesen Punkt und welche Eigenschaften hat er?
DialogMathe Dreiecksstücke
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 75
3. Winkelhalbierenden
Wie ist eine Winkelhalbierende im Dreieck definiert? Welche Eigenschaften
besitzen die Punkte auf der Winkelhalbierenden?
Die drei Winkelhalbierenden in einem Dreieck schneiden sich in einem
Punkt. Wie nennen wir diesen Punkt und welche Eigenschaften hat er?
4. Mittelsenkrechten
Wie ist eine Mittelsenkrechte im Dreieck definiert? Welche Eigenschaften
besitzen die Punkte auf der Mittelsenkrechten?
Die drei Mittelsenkrechten in einem Dreieck schneiden sich in einem Punkt.
Wie nennen wir diesen Punkt und welche Eigenschaften hat er?
Dreieckskonstruktionen DialogMathe
76 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
5.2.2 Der Schwerpunkt eines Dreiecks
Der Schwerpunkt S eines beliebigen Dreiecks teilt jede Schwerelinie
(Seitenhalbierende) im Verhältnis 2 : 1.
5.2.3 Umkreismittelpunkt
Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt U.
Der Schnittpunkt ist Zentrum des Umkreises.
5.2.4 Inkreismittelpunkt
Die drei Winkelhalbierenden in einem Dreieck schneiden sich in einem Punkt
I. Der Schittpunkt ist Zentrum des Inkreises.
DialogMathe Dreiecksstücke
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 77
5.2.5 Die Winkelhalbierende im Dreieck
In jedem Dreieck gilt: Eine Winkelhalbierende ( w γ ) teilt die Gegenseite (c) im
Verhältnis der anliegenden Seiten. u av b
=
5.2.6 Anwendungen Winkelhalbierende: Berechnungsaufgaben
Aufgabe 1
Berechne die Fläche A des rechtwinkligen Dreiecks ABC.
(w = CE = Winkelhalbierende)
Dreieckskonstruktionen DialogMathe
78 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Aufgabe 2
Berechne die schraffierte Fläche A. (w = BE = Winkelhalbierende)
Aufgabe 3 Strahlensatz, siehe Kap. 6.2 Seite 94
(w = Winkelhalbierende)
Lösungen A1: = 2A 294cm A 2: = 2A 54cm A3: =x 60cm
DialogMathe Dreiecksstücke
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 79
5.2.7 Tangentenabschnitte
Die Tangentenabschnitte sind gleich lang: 1 2a a=
(Die Dreiecke 1PMB∆ und 2PMB∆ sind deckungsgleich.)
Anwendung
Lösungen =x 15cm Tangentenviereck
Vierecke, die einen Inkreis besitzen. Zeige: Es gilt a c b d+ = + .
Dreieckskonstruktionen DialogMathe
80 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
5.2.8 Dynamisches Geometrieprogramm von TI-Nspire
Mit Hilfe von TI-Nspire lassen sich geometrische Sachverhalte dynamisch
veranschaulichen. Im Folgenden einige Beispiele:
Beispiel 1: Umkreismittelpunkt Dreieck ABC zeichnen und die Mittelsenkrechten konstruieren. Diese
schneiden sich in einem Punkt U, dem Umkreismittelpunkt.
Nun können wir die Form des Dreiecks verändern und dabei die Lage von U
beobachten.
Spizwinkliges Dreieck
Umkreismittelpunkt U
liegt im Innern des
Dreiecks!
Rechtwinkliges Dreieck
Umkreismittelpunkt U
liegt auf der Hypotenuse
Stumpfwinkliges Dreieck
Umkreismittelpunkt U
liegt ausserhalb des
Dreiecks
DialogMathe Dreiecksstücke
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 81
Beispiel 2: Teilverhältnis der Winkelhalbierenden
Dreieck ABC zeichnen und eine Winkelhalbierende konstruieren.
Die Dreiecksseiten b und c , sowie die beiden Teilabschnitte u und v können
gemessen werden und damit die beiden Verhältnisse berechnet werden.
Analog lassen sich andere Eigenschaften im Dreieck veranschaulichen., z.B.,
Lage des Höhenschnittpunkts Teilverhältnis Seitenhalbierende
Dreieckskonstruktionen DialogMathe
82 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
5.3 Konstruktionsbeschreibung
Ein Dreieck konstruieren heisst die drei Eckpunkte des Dreiecks bestimmen.
Die Eckpunkte erhalten wir durch schneiden von geometrischen Örtern.
Im folgenden wollen wir Dreiecke nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren,
sondern mit Hilfe einer Schaufigur und einer Konstruktionsbeschreibung.
Diese soll sich auf die Schaufigur beziehen und in einer mathematischen
Sprache kompakt und verständlich die einzelnen Schritte der Konstruktion
wiedergeben.
5.3.1 Musterbeispiele Beispiel 1 Gegeben: a, a, hα
KB (Konstruktionsbeschreibung):
1) aHöhenstreifen h p, q→
2) a auf p hinlegen B, C→
3) Ortsbogen für über BC q Aα ∩ →
Kommentar
Schritt 1: aHöhenstreifen h p, q→
Auf q liegt der Punkt A, q ist der 1. geometrische Ort für die Ecke A.
p ist der 1. geometrische Ort für die Ecke B und C
Schritt 2: a auf p hinlegen B, C→
Schritt 3: Ortsbogen für über BC q Aα ∩ →
Der Ortsbogen ist der 2. geometrischer Ort für A.
Die Ecke A ergibt sich als Schnittpunkt der beiden geometrischen Örter.
DialogMathe Konstruktionsbeschreibung
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 83
Beispiel 2 Gegeben: a b, h , hα
KB. 1) ( )0
b bTeildreieck ABF h , , 90α
2) ( )a aThaleskreis über AB Kreis A,r h F∩ = →
3) a bBF AF C∩ →
Oder 1) bHöhenstreifen h p, q→
2) A auf p wählen A→
3) Winkel α bei A an p antragen AB→
4) AB q B∩ →
5) aThaleskreis über AB q F∩ →
6) aBF p C∩ →
Beispiel 3 Gegeben: a, , sβ γ
KB. Lösungsidee: B und C sind Punktsymmetrisch 1) a as hinlegen A, M→
2) ∗β →a aOrtsbogen für über AM spiegeln an M Ortsbogen
3) ∗γ ∩ →aOrtsbogen für über AM Ortsbogen C 4) C an aM spiegeln B→
Oder 1) Ähnliches Dreieck AB'C'mit a, , s 'β γ
2) Zentrische Streckung =
a
a
sStrekungszentrum A,Streckungsfaktor z
s '
Dreieckskonstruktionen DialogMathe
84 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Beispiel 4 Gegeben: a bs , s ,γ
KB. 1) b2s hinlegen B, D→
2) ( )1b b b3Kreis M ,r s M B S= ∩ →
3) ( )2a b3Kreis S,r s Ortsbogen für über DM A= ∩ γ →
4) bA an M spiegeln C→
Oder 1) a as hinlegen A, M→
2) ( )2a a3Kreis A,r s AM S= ∩ →
3) ∗γ →a aOrtsbogen für über AM an M spiegeln Ortsbogen
4) ( ) ∗= ∩ →2b3Kreis S,r s Ortsbogen B
5) aB an M spiegeln C→
5.3.2 Übungsbeispiele Dreieckskonstruktionen
Übung 1 Gegeben: ab, c, h
DialogMathe Konstruktionsbeschreibung
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 85
Übung 2 Gegeben: a, , hβ γ
Übung 3 Gegeben: a ba, h , h
Übung 4 Gegeben: aa, s , α
Übung 5 Gegeben: ac, s ,γ
Dreieckskonstruktionen DialogMathe
86 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Übung 6 Gegeben: a ba, s , s
Übung 7 Gegeben: a bb, h , s
Übung 8 Gegeben: bw , h ,α α
Übung 9 Gegeben: ar, h , α
DialogMathe Konstruktionsbeschreibung
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 87
Übung 10 Gegeben: aR, h , α
5.3.3 Partnerinterview Lösungsideen für Dreieckskonstruktionen
Partnerinterview Lösungsideen für Dreieckskonstruktionen Zeit: 20 Minuten
Fasse die wichtigsten Lösungsideen für die Dreieckskonstruktionen
zusammen und diskutiere sie! Höhenstreifen, Ortsbogen, Teildreieck,
Symmetrie, Ähnlichkeit, Parallelogramm
Streckenverhältnisse DialogMathe
88 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
6 Streckenverhältnisse
Wir haben schon zwei wichtige Sätze kennengelernt, in denen
Streckenverhältnisse vorkommen.
1. Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1.
2. Die Winkelhalbierende teilt die gegenüberleigende Seite im Verhältnis
der anliegenden Seiten.
Hier handelt es sich um Teilungsverhältnisse. Im Folgenden wollen wir die
Seitenverhältnisse von ähnlichen (formgleichen) Dreiecken betrachten.
Du kennst den wichtigen Begriff kongruente (deckungsgleiche) Dreiecke.
Dreiecke, die deckungsgleich sind, besitzen den gleichen Flächeninhalt und
die gleiche Form. (deckungsgleich = flächengleich + formgleich)
Flächengleichheit
Berechnung der Dreiecksfläche: g h Grundlinie mal HöheA
2 2⋅= =
Begründe: Die Dreiecke ABC∆ , 1ABC∆ , 2ABC∆ und 3ABC∆ haben die
gleiche Fläche.
Formgleichheit Wann sind Dreiecke formgleich?
DialogMathe Ähnliche Dreiecke
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 89
Bei kongruenten (deckungsgleichen) Dreiecken sind zwei entsprechende
Strecken (z.B. Seiten, Höhen usw.) gleich. Bei ähnlichen (formgleichen)
Dreiecken ist das Verhältis von zwei entsprechenden Strecken gleich.
Durch Gleichsetzen von Streckenverhältnissen ähnlicher Figuren erhalten wir
Gleichungen, aus denen jeweils eine Strecke berechnet werden kann. Dies
wollen wir im Kapitel 6.1 für Dreiecke anwenden.
Bei ähnlichen Dreiecken in perspektivischer Lage (zentrische Streckung)
kennen wir die Strahlensätze (Kap. 6.2), die uns bei Streckenberechnungen
helfen können.
Speziell untersuchen wir in Kap. 7.3 den Zusammenhang zwischen Winkel
und Seitenverhältnissen von ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken. Wir
definieren Zuordungen (trigonometrische Funktionen) bei denen einem
Seitenverhältnis ein Winkel zugeordnet wird. Mit diesem Werkzeug lassen
sich Dreiecksberechnungen durchführen.
6.1 Ähnliche Dreiecke
Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, dann sind sie ähnlich.
'α = α und 'β = β ⇒ ABC A 'B'C'∆ ∆∼
Streckenverhältnisse DialogMathe
90 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
6.1.1 Partnerinterview ähnliche Dreiecke
Partnerinterview ähnliche Dreiecke Zeit: 20 Minuten
Finde alle ähnlichen Dreiecke und beweise deren Ähnlichkeit.
Beispiel 1
Beispiel 2
Beispiel 3
DialogMathe Ähnliche Dreiecke
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 91
Berechnungen mit Ähnlichkeit
Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, dann haben zwei entsprechende Strecken
(z.B. Seiten, Höhen, Winkelhalbierende, Umkreisradien, Umfänge . . . . ) das
gleiche Längenverhältnis.
ABC A 'B'C'∆ ∆∼ ⇒ a ' h ' w ' R ' U'k
a h w R U= = = = =
6.1.2 Partnerinterview Berechnungen mit Ähnlichkeit
Partnerinterview Berechnungen mit Ähnlichkeit Zeit: 10 Minuten
Zeige mit Hilfe ähnlicher Dreiecke, dass die folgenden Sätze am rechtwinkli-
gen Dreieck gelten.
Höhensatz: 2h p q= ⋅
Die beiden ähnlichen Dreiecke:
Seitenverhältnis:
Kathetensatz: 2a p c= ⋅
Die beiden ähnlichen Dreiecke:
Seitenverhältnis:
Kathetensatz: 2b q c= ⋅
Die beiden ähnlichen Dreiecke:
Seitenverhältnis:
Streckenverhältnisse DialogMathe
92 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke
Die Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate
entsprechender Strecken.
ABC A 'B'C'∆ ∆∼ ⇒ A 'B'C ' 2 2A 'B 'C ' ABC
ABC
Ak A k A
A= ⇒ = ⋅
2 2 2
2 a ' h ' w 'k
a h w = = = =
⋯⋯
6.1.3 Partnerinterview Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke
Partnerinterview Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke Zeit: 10 Minuten
Gegeben ABC A 'B'C'∆ ∆∼
Dreieck ABC: Grundlinie c und Höhe h
Dreieck A’B’C’: Grundlinie c’ = 2c und Höhe h’ = 2h
Streckenverhältnis:
c ' h 'k
c h= = =
Flächenverhältnis:
DialogMathe Ähnliche Dreiecke
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 93
6.1.4 Aufgaben zur Ähnlichkeit Aufgabe 1
Berechne im nebenstehenden Dreieck ABC die Seite AC x= , wenn BC 5cm= und BD 3cm= gegeben sind.
Aufgabe 2
Für die Flächen der Dreiecke ASD und BCS gilt: ASD
BCS
A 225A 49
∆
∆=
a) Zeige, dass die Dreiecke ASD und BCS ähnlich sind.
b) Berechne den Radius r MA MB= = des Halbkreises, wenn AD 12= und DS 9= ist.
Lösungen
Aufgabe 1: 809x 8,89= ≈
Aufgabe 2: a) Dreiecke haben gleiche Winkel (Thaleskreis, Scheitelwinkel) b) r 10=
Streckenverhältnisse DialogMathe
94 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
6.2 Strahlensätze
Eine Strahlensatzfigur besteht aus zwei sich schneidenen Geraden g und h
und zwei parallelen Geraden p und q.
Der Schnittpunkt Z von g und h nennen wir Strahlensatzzentrum.
Die Strecken auf den sich schneidenden Geraden g und h heissen
Strahlenabschnitte.
Die Strecken auf den Parallelen p un q heissen Parallelenabschnitte.
DialogMathe Strahlensätze
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 95
6.2.1 Erster Strahlensatz Ohne Parallelenabschnitte (c, d) oder (m, n)
nur mit Strahlenabschnitten ( 1 2 1 2a ,a ,b ,b ) oder ( 1 2 1 2u ,u ,v ,v )
1 1
2 2
a ba b
= 1 1
2 2
u vu v
=
oder 1 1
1 2 1 2
a ba a b b
=+ +
Auch möglich 1 2
1 2
a ab b
=
6.2.2 Zweiter Strahlensatz Mit Parallelenabschnitten (c,d) oder (m, n) und
mit Strahlenabschnitten ( 1 2 1 2a ,a ,b ,b ) oder ( 1 2 1 2u ,u ,v ,v )
1
1 2
c ad a a
=+
1
2
m un u
=
oder 1
1 2
c bd b b
=+
oder 1
2
m vn v
=
Auch möglich 1 1 2
c db b b
=+
Auch möglich 1 2v vm n
=
Streckenverhältnisse DialogMathe
96 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
6.2.3 Partnerinterview Berechnungen mit den Strahlensätzen
Partnerinterview Berechnungen mit Strahlensätzen Zeit: 10 Minuten
Berechnungen ohne Taschenrechner!
1. Strahlensatz : Berechne x und y. (Strahlenabschnitte)
2. Strahlensatz: Berechne x, y und z. (Strahlenabschnitte und
Parallelabschnitte)
Berechne x und die Fläche 1A , wenn 22A 4cm=
DialogMathe Strahlensätze
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 97
6.2.4 Aufgaben Strahlensätze Aufgabe 1 : Geometrie im Garten
In einem Garten stehen zwei Pfähle mit den
Höhen a = 2m und b = 3m im Abstand d = 5m.
Jede Pfahlspitze ist mit dem Fuss des andern
Pfahles durch eine gespannte Schnur verbunden.
a) In welcher Höhe h treffen sich die Schnüre? b) Wie ändert sich die Höhe h, wenn der Abstand d halbiert wird?
Aufgabe 2 Gegeben: Quadrat ABCD mit der Seite s 10cm= ; FA 2s=
M = Mitte von BC
Gesucht: Strecke EM x=
Aufgabe 3
Gegeben: rechtwinkliges Dreieck ABC mit BC 6cm= ; AC 8cm= .
Gesucht: Strecke EF x=
Lösungen Aufgaben Strahlensätze
Aufgabe 1: a) h 1,2 m= b) h bleibt gleich (ist unabhängig von d)
Aufgabe 2: x 10,14 cm=
Aufgabe 3: x 3,43 cm=
Streckenverhältnisse DialogMathe
98 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
6.3 Geometrische Denkaufgaben Strahlensätze und Ähnlichkeit 6.3.1 Übungsbeispiele Strahlensätze und Ähnlichkeit Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Lösungen A1: 2A 27cm= A 2: 2A 84cm= A3:
2A 300cm= A4: x 6cm=
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Strahlensätze und Ähnlichkeit
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 99
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Lösungen A5: x 3cm= A 6: x 100cm= A7: x 6cm= A8: x 12cm=
Streckenverhältnisse DialogMathe
100 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Aufgabe 9
Aufgabe 10
Aufgabe 11
Aufgabe 12
Lösungen A9: x 24cm= A 10: x 35 cm= A11: 2A 42cm= A12: x 6cm=
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Strahlensätze und Ähnlichkeit
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 101
6.3.2 Repetitionstest Strahlensätze und Ähnlichkeit
Repetitionstest : Strahlensätze und Ähnlichkeit Zeit: 25 Minuten
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Lösungen A1: =x 10cm A2: = 2A 864cm A3: =x 45cm A4: = 2A 42cm
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe
102 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
7 Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben
7.1 Geometrische Denkaufgaben Lösungen mit dem CAS
Mathematisch arbeiten heisst Gleichungen aufstellen. Beim Lösen von
Problemen können wir Unbekannte einführen. Brauchen wir eine Grösse zur
Berechnung einer anderen und ist diese nicht bekannt, so geben wir ihr einen
Namen. Somit haben wir eine weitere Unbekannte in unser Problem
eingeführt. Die Anzahl der Unbekannten sollte möglichst klein sein, denn für
jede Unbekannte braucht es eine Gleichung, damit diese bestimmt werden
kann. In den Gleichungen, die wir aufstellen können mehrere Unbekannten
vorkommen. Da die Gleichungen miteinander gekoppelt sind, sprechen wir
von einem Gleichungssystem. Ein 2x2 Gleichungssystem besteht aus zwei
Gleichungen, die zwei Unbekannten bestimmen können. Das Auflösen von
Gleichungssystemen ist in der Regel sehr aufwendig (siehe später). Der
Rechner kann uns diese Arbeit mit Hilfe des „solve-Befehles“ abnehmen!
Dadurch gewinnen wir Zeit, vor allem wenn es sich um 3x3 oder grössere
Gleichungssysteme handelt. Jedoch müssen wir die vom Rechner
vorgeschlagene Lösung Interpretieren und auf ihre Richtigkeit überprüfen!
Im folgenden diskutieren wir einige schon gelöste geometrische
Denkaufgaben. Dabei verwenden wir jeweils die folgenden zwei
verschiedenen Lösungsansätze:
• Algebraische Lösungsmethode (Gleichungssystem)
Wir führen Unbekannte ein und stellen Gleichungen auf. Die
Gleichungen erhalten wir durch Anwenden von geometrischen Sätzen.
Zum Auflösen des Gleichungssystems brauchen wir den Rechner!
• Geometrische Lösungsmethode (sequentielle Lösung)
Wir berechnen Hilfsgrössen, die zur gesuchten Grösse führen, jeweils
nacheinander. Der Rechner wird nicht benötigt.
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Lösungen mit dem CAS
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 103
7.1.1 Aufgabe 1 Seite 101: Vergleich von zwei verschiedenen Lösungen
Algebraische Lösung mit Hilfe von Gleichungen (Gleichungssystem)
Einführung von zwei Unbekannten:
y DE= und z DB= .
Wir brauchen drei Gleichungen für die Unbekannten x, y und z.
1. Strahlensatz Zentrum Punkt A: ( )12 : y 12 z : 24= +
2. Bestimmungsgleichung 5D = 4T: 12 y y 245 4 z
2 2⋅ +⋅ = ⋅ ⋅
3. Pythagoras Dreieck EFC : ( )22 2x z 24 y= + −
Auflösen des Gleichungssystems mit Hilfe des Rechners.
Berechnung von y und z (2x2 – Gleichungssystem), anschliessend Berechnung
von x!
Berechnung von x , y und z (3x3 – Gleichungssystem)
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe
104 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Lösung ohne Rechner (geometrische Lösung mit Hilfe des Ähnlichkeitsfaktors)
Ähnliche Flächen: = =+
2D 4k
D T 9
→ = 2k
3 (Ähnlichkeitsfaktor)
AE 2x= ; AC 3x= ;
3AB AD 18cm
2= ⋅ =
Pythagoras im Dreieck ABC: 2 23x 18 24 30 x 10cm→ = + = → =
7.1.2 Aufgabe 8 Seite 99: Vergleich von zwei verschiedenen Lösungen
Lösung ohne Rechner (geometrische Lösung mit Hilfe des Ähnlichkeitsfaktors)
Hilfslinie 1 3M M , Strahlensatz Zentrum B
3GM 5= 1GM 15→ =
Ähnliche Dreiecke: 1 2M GE CM E∆ ∆∼
Ähnlichkeitsfaktors: 15 3k
10 2= =
1M E 3T= ; EC 2T=
Strahlensatz Zentrum 1M : 3T 203T : x 5T : 20 x 12
5T⋅= → = =
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Lösungen mit dem CAS
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 105
Algebraische Lösung mit Hilfe von Gleichungen (Gleichungssystem)
Hilfslinie EH
Unbekannte y CH= einführen.
Wir brauchen zwei Gleichungen für die Unbekannten x und y.
Erste Lösungsvariante
1. Strahlensatz Zentrum B: ( ) ( )20 y : 20 x 20 : 10− − =
2. Strahlensatz Zentrum E: ( ) ( )20 x : y x : 10 y− = −
Zweite Lösungsvariante
1. Strahlensatz Zentrum 1M : ( )x : 10 y 20 : 10− =
2. Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck CEB: ( ) ( )2y 20 y 20 x⋅ − = −
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe
106 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Interpretation der Taschenrechnerlösung
Analysiere die folgende Lösungsvariante.
Einführung von zwei Unbekannten:
1y M E= und 1z M F= .
Wir brauchen drei Gleichungen für die
Unbekannten x, y und z.
2 21M C 10 20 500= + =
Strahlensatz Zentrum 1M 1. x : y 20 : 500=
2. z : x 10 : 20=
Pythagoras 3. 2 2 2y x z= +
Als Lösung erhalten wir vom Rechner ein Resultat mit einer Konstanten c1.
Diese kann durch eine beliebige Zahl ungleich Null belegt werden.
Das Gleichungssystem hat somit unendlich viele Lösungen, z.B. die Lösung
z = c1 = 1 , y = 2.236 , x = 2
Die Figur zeigt aber, dass es nur eine Lösung geben kann. Wo liegt der Fehler?
Die eingeführten Unbekannten x, y, z sind die Seiten des rechtwinkligen
Dreiecks EFM1, dadurch wird das Problem unterbestimmt.
Lösungsvariante
Strahlensatz Zentrum 1M : x : z 20 : 10=
Strahlensatz Zentrum E: ( ) ( )x : z 20 x : 10 z= − −
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Ansetzen einer Gleichung
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 107
7.2 Geometrische Denkaufgaben Ansetzen einer Gleichung
7.2.1 Winkelaufgaben
Aufgabe 1
Musterlösung
Schaufigur entwickeln:
Hilfslinien AD und CD .
ABD gleichschenklig DAB∆ → = α∡
BCD gleichschenklig, Aussenwinkel bei B BCD2α∆ = α → =∡
1 Unbekannte braucht eine Gleichung:
Innenwinkelsumme ACD∆ : 01802αα + + α =
0 05180 72
2α = → α =
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe
108 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Aufgabe 2
Musterlösung
Schaufigur entwickeln:
0ABC gleichschenklig ABC und CAB 180 2∆ → = γ = − γ∡ ∡
3 Unbekannte benötigen 3 Gleichungen:
gestreckter Winkel bei F: 02 180α + β =
Innenwinkelsumme ADE∆ : 0 0 0180 2 90 180− γ + β + =
Innenwinkelsumme Viereck DBCF : 02 2 360γ + β + α =
Gleichungssystem
02 180α + β =
02 90−β + γ = 02 2 360α + β + γ =
Lösung mit Taschenrechner
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Ansetzen einer Gleichung
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 109
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Lösungen A3: 072α = A4:
020α = A5: α = β = γ =0 0 048 / 66 / 84 A6: 0108α =
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe
110 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Aufgabe 9
Aufgabe 10
Lösungen A7:
054α = A8: 036α = A9:
01
777α = A10:
030α =
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Ansetzen einer Gleichung
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 111
7.2.2 Flächen und Streckenberechnungen Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Lösungen A1: 2A 6 cm= A2: x 3cm= A3: x 21cm= A4: x 12cm=
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe
112 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Lösungen A5: x 17cm= A6: x 8cm= A7: x 5cm= A8: x 18cm=
DialogMathe Geometrische Denkaufgaben Ansetzen einer Gleichung
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 113
7.2.3 Repetitionstest Ansetzen einer Gleichung
Repetitionstest Ansetzen einer Gleichung Zeit: 25 Minuten
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Lösungen A1:
090α = A2: x 48 cm= A3: x 18cm= A4: x 21cm=
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe
114 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
7.3 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck 7.3.1 Warum Trigonometrie?
Die Trigonometrie (griechisch „Dreiecksmessung“) beschäftigt sich mit der
Berechnung von Seiten und Winkeln in einem Dreieck. Darüber hinaus wird
sie aber auch in nichtgeometrischen Gebieten vielfältig angewendet.
Zusammenhang Streckenlänge und Winkel
Bis jetzt kennen wir in der Geometrie Sätze, die Aussagen über nur Winkel
oder nur Strecken machen.
Beispiele für geometrische Sätze
Dreieckswinkel
Innenwinkelsumme: 0180α + β + γ = , Aussenwinkelsatz: 'α = β + γ
Strecken im rechtwinkligen Dreieck
Pythagoras: 2 2 2a b c+ = , Höhensatz: 2h p q= ⋅
Sind drei Grössen eines Dreiecks bekannt, so kann dieses mit Zirkel und
Lineal konstruiert werden. Ziel der Trigonometrie ist es, ein Dreieck aus
beliebigen drei Stücken zu berechnen, z.B. aus zwei Dreiecksseiten und einem
Winkel können alle anderen Stücke des Dreiecks berechnet werden. Dazu
brauchen wir geometrische Sätze, die Strecken und Winkel enthalten.
Zuordnung zwischen Winkel und Seitenverhältnis
Wir werden sehen, dass es zwischen Winkeln und Strecken keinen direkten
Zusammenhang gibt, dass wir aber im rechtwinkligen Dreieck eine
Zuordnung zwischen Winkeln und Seitenverhältnissen definieren können.
Diese Zuordnungen werden wir Winkelfunktionen (trigonometrische
Funktionen) nennen. Die trigonometrischen Funktionen spielen in der
Technik und dort vor allem zur Beschreibung von periodischen Vorgängen
eine bedeutende Rolle. Ihre Ursprünge reichen sehr weit zurück und im
Gegensatz zu anderen Funktionen liegen ihre Wurzeln deutlich im
geometrischen Bereich. Grundlage aller Berechnungen ist das rechtwinklige
Dreieck. Jedes andere Dreieck können wir durch zeichnen einer Höhe in zwei
rechtwinklige Dreiecke zerlegen.
DialogMathe
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14
7.3.2 Definition am rechtwinkligen Dreieck
Untersuche den
Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken.
Dyn. Arbeitsblatt Seitenverhältnisse rechtwinkliges Dreieck
Dynamisches ArbeitsblattGeoGebra: Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck
Zeit: 10 Minuten
Schieberegler:
• Winkel
• Mit dem Faktor
verändert werden.
a, b,c sind die Seiten im rechtwinkligen Dreieck
(für den Winkel
1 1 1a , b ,c sind die Seiten im rechtwinkligen Dreieck
Arbeitsaufträge
1) Wir betrachten Seitenverhältnisse der drei Seiten a, b und c. Wie viele Mö
lichkeiten zur Bildung von Verhältnissen gibt es? Notiere dir alle Verhältnisse
und versuche sie
Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Definition am rechtwinkligen Dreieck
Untersuche den Zusammenhang zwischen den Seitenverhältnissen und den
Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken.
Dyn. Arbeitsblatt Seitenverhältnisse rechtwinkliges Dreieck
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra: Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck
Zeit: 10 Minuten
Winkel α für die zwei rechtwinkligen Dreiecke ABC∆
dem Faktor [ ]k 10 ; 20∈ − kann das Dreieck AB C∆
verändert werden.
die Seiten im rechtwinkligen Dreieck ABC∆
den Winkel α sind: a = Gegenkathete, b = Ankathete, c = Hypotenuse)
die Seiten im rechtwinkligen Dreieck 1 1AB C∆
betrachten Seitenverhältnisse der drei Seiten a, b und c. Wie viele Mö
lichkeiten zur Bildung von Verhältnissen gibt es? Notiere dir alle Verhältnisse
und versuche sie zu ordnen.
Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
115
Zusammenhang zwischen den Seitenverhältnissen und den
ABC und 1 1AB C∆ .
1 1AB C in der Grösse
= Hypotenuse)
1 1
betrachten Seitenverhältnisse der drei Seiten a, b und c. Wie viele Mög-
lichkeiten zur Bildung von Verhältnissen gibt es? Notiere dir alle Verhältnisse
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe
116 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
2) Im Arbeitsblatt werden alle Verhältnisse für die zwei verschiedenen Drei-
ecke berechnet. Verändere den Winkel α und beobachte jeweils die entspre-
chenden Verhältnisse in den beiden Dreiecken. Was stellst du fest? Kannst du
diese Gesetzmässigkeit mit einem Satz aus der Geometrie begründen? Formu-
liere einen Satz über die Seitenverhältnisse und den Winkel α am rechtwink-
ligen Dreieck.
3) Verändere die Grösse des Dreiecks 1 1AB C∆ mit Hilfe des Faktors k und
beobachte die Seitenverhältnisse. Was stellst du fest?
Ergebnis
Im rechtwinkligen Dreieck besteht ein Zusammenhang zwischen Winkeln
und Seitenverhältnissen. Ein Winkel im rechtwinkligen Dreieck wird durch
ein Seitenverhältnis eindeutig bestimmt. Und umgekehrt gilt: Wenn ein
Winkel gegeben ist, sind die Seitenverhältnisse eindeutig bestimmt. Es gilt:
Das Verhältnis zweier Seiten am rechtwinkligen Dreieck ist eine Funktion des
Winkels. Diese Zuordnungen ergeben die trigonometrischen Funktionen.
Definition der trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck
(3 Winkelfunktionen genügen für die praktische Arbeit):
Definition
Gegenkathetesin( )
Hypotenuseα =
Ankathetecos( )
Hypotenuseα =
Gegenkathetetan( )
Ankatheteα =
Zur Information: Die anderen möglichen Verhältnisse definieren den Sekans,
Kosekans und den Kotangens.
Hypotenuse Hypotenuse Ankathetesec( ) ; csc( ) ; cot( )
Ankathete Gegenkathete Gegenkatheteα = α = α =
DialogMathe
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14
Dyn. Arbeitsblatt Definition der trigonometrischen Funktionen
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra: Definition_TrigoFunk am Zeit: 15 Minuten
Definition der trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck
Schieberegler:
a, b,c sind die Seiten im rechtwinkligen Dreieck
(für den Winkel
Arbeitsaufträge
1) Von den 6 möglichen Seitenverhältnissen genügt es für die Praxis, wenn
wir drei als Winkelfunktionen definieren.
Wie sind die drei Winkelfunktionen
2) Im Allgemein
Rechner möglich (Beachte Einstellung Bogenmass / Gradmass).
Für einige spezielle Winkel gelingt uns die Berechnung von Hand. Berechne
( )sin α , (cos α
[eventuell 15 und 22,5α =
3) Die beiden Winkel
definiert. Welche Werte würdest du den drei Winkelfunktionen für diese be
den Winkel zuordnen?
Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Dyn. Arbeitsblatt Definition der trigonometrischen Funktionen
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra: Definition_TrigoFunk am rechtwinkligen Dreieck Zeit: 15 Minuten
Definition der trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck
: Winkel α für das rechtwinklige Dreieck ABC∆
die Seiten im rechtwinkligen Dreieck ABC∆
Winkel α sind: a = Gegenkathete, b = Ankathete, c = Hypotenuse)
den 6 möglichen Seitenverhältnissen genügt es für die Praxis, wenn
wir drei als Winkelfunktionen definieren.
Wie sind die drei Winkelfunktionen ( )sin α , ( )cos α und tan
Allgemeinen sind Berechnungen der Winkelfunktionen nur durch den
echner möglich (Beachte Einstellung Bogenmass / Gradmass).
Für einige spezielle Winkel gelingt uns die Berechnung von Hand. Berechne
)α und ( )tan α für die speziellen Winkel α =
0 015 und 22,5α = ]
Winkel 0 00 und 90α = sind im rechtwinkligen Dreieck nicht
definiert. Welche Werte würdest du den drei Winkelfunktionen für diese be
den Winkel zuordnen?
Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
117
rechtwinkligen Dreieck
Definition der trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck
ABC∆
sind: a = Gegenkathete, b = Ankathete, c = Hypotenuse)
den 6 möglichen Seitenverhältnissen genügt es für die Praxis, wenn
( )tan α definiert?
nktionen nur durch den
echner möglich (Beachte Einstellung Bogenmass / Gradmass).
Für einige spezielle Winkel gelingt uns die Berechnung von Hand. Berechne
0 0 030 ,45 ,60α = .
sind im rechtwinkligen Dreieck nicht
definiert. Welche Werte würdest du den drei Winkelfunktionen für diese bei-
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe
118 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Ergebnis
Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck: Das Verhältnis entsprechen-
der Seiten ist konstant. Wenn der Winkel α gegeben ist, sind die Seitenver-
hältnisse bestimmt. Einem Winkel α können Seitenverhältnisse zugeordnet
werden und umgekehrt kann den Seitenverhältnissen ein Winkel α zugeord-
net werden.
Wir sagen: Das Verhältnis zweier Seiten am rechtwinkligen Dreieck ist eine
Funktion des Winkels α (Winkelfunktion = trigonometrische Funktion)
7.3.3 Repetitionstest: Definition trigonometrische Funktionen
Repetitionstest: Definition trigonometrische Funktionen Zeit: 10 Minuten
Ergänze die fehlenden Winkel bzw. Seitenlängen!
f
cos =
f
tan =
f
sin =
Ergänze sin, cos oder tan
c( )
dα =
c( )
dβ =
e( )
cβ =
Ergänze sin, cos oder tan und die zugehörigen Winkel
ba
=
cb
=
ca
=
DialogMathe Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 119
Beschrifte die beiden Dreiecke, so dass die dahinter stehenden Beziehungen gelten.
csin
aα =
btan
cβ =
dsin
eγ =
d
tanf
ϕ =
Partnerinterview Sinus Kosinus Tangens rechtwinkliges Dreieck Zeit: 10 Minuten
Frage 1: Wie lauten die Verhältnisse für die folgenden Winkelfunktionen?
Ermittle aus der nebenstehenden Figur: sin( )α =
cos( )ε =
tan( )ε =
cos( )β = tan( )α = sin( )γ =
Frage 2: Welche Winkel gehören zu den folgenden Verhältnissen?
Ergänze den Winkel (siehe Figur oben): h
tan( )u
= ; hsin( )
m=
h
cos( )m
= ; vsin( )
n=
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe
120 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Diskutiere folgende Aussagen.
• Ein Sinuswert kann nicht über 1 liegen.
• Die Sinuswerte nehmen zu, wenn α von 00 bis 090 zunimmt.
• Ein Tangenswert kann niemals über 1 liegen.
• Ein Kosinuswert kann über 1 liegen.
• Die Kosinuswerte nehmen zu, wenn α von 00 bis 090 zunimmt.
• Der Tangens ist 1, wenn 045α = ist.
Anwendung Ein Ballon ist mit einem 300m langen Seil mit
dem Erdboden verbunden. In welcher Höhe
befindet sich der Ballon, wenn windbedingt
das Seil einen Winkel von 700 mit dem
Erdboden bildet?
Merke: Zentrale Entdeckung der Trigonometrie
Die Beherrschung der Verhältnisse am rechtwinkligen Dreieck sind
fundamental. Durch sie lassen sich die Verhältnisse an beliebigen Dreiecken
ableiten. Mit Hilfe des Einheitskreises können die Definitionen am
rechtwinkligen Dreieck auf beliebige Winkel erweitert werden (siehe später).
DialogMathe Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 121
7.3.4 Spezielle Dreiecke
Mit Hilfe von speziellen Dreiecken lassen sich die trigonometrischen
Funktionen für spezielle Winkel exakt berechnen.
30o – 60o – 90o Dreieck (halbes geleichseitiges Dreieck)
45o – 45o – 90o Dreieck (halbes Quadrat)
Damit lassen sich für die Winkel 30o , 45o und 60o die Seitenverhältnisse
berechnen.
Beispiel: ( )0sin 30 , ( )0cos 30 , ( )0tan 30
( )012 1
sin 301 2
= =
( )032 3
cos 301 2
= =
( )01232
1 2 1 3tan 30
2 33 3= = ⋅ = =
Für die Winkel 15o und 22,5o lassen sich die
trigonometrischen Funktionen auch exakt
berechnen. Überlege wie?
Beispiel: ( )0 usin 22,5
w=
u 1v 2u v 1
=
+ = ; 2w 1 u= +
1v 2 u u 2 u 1 u 2 1
2 1= ⋅ → + ⋅ = → = = −
+
2w 1 u 1 2 2 2 1 4 2 2 2 2 2= + = + − + = − = ⋅ −
( )0 u 2 1 2 2 2 2sin 22,5
w 22 2 2 2 2 2
− − −= = = =⋅ − ⋅ −
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe
122 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
7.3.5 Partnerinterview spezielle Winkel im rechtwinkligen Dreieck
Partnerinterview Trigo_spezielle Winkel im rechtwinkligen Dreieck Zeit: 15 Minuten
Frage 1: Wie kannst du die exakten Werte der Winkelfunktionen für spezielle Winkel ohne Taschenrechner berechnen?
Berechne für die in unten stehender Tabelle aufgeführten Winkel die Werte mit Hilfe eines speziellen Dreiecks!
Fülle die Tabelle aus!
030α = 045α = 060α =
( )sin α
( )cos α
( )tan α
Frage 2: Was für Werte ergeben sich für die Winkel 00α = und 090α = . Da diese im rechtwinkligen Dreieck nicht vorkommen, überlege dir die Verhält-nisse mit Hilfe von „entarteten Dreiecken“.
( )0sin 0 =
0sin(90 ) =
( )0cos 0 =
0cos(90 ) =
( )0tan 0 =
0tan(90 ) =
DialogMathe Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 123
7.3.6 Übersicht Berechnungen
Gegeben Gesucht Zusammenhang
zwei Seiten dritte Seite Satz des Pythagoras
zwei Winkel dritter Winkel Innenwinkelsumme
Hypotenuse, Winkel beide Katheten Kosinus, Sinus
Ankathete, Winkel Gegenkathete, Hypotenuse Tangens, Kosinus
Gegenkathete, Winkel Ankathete, Hypotenuse Tangens, Sinus
Gradmass / Bogenmass (Taschenrechner Einstellung)
Die folgenden Berechnungen führen wir im Gradmass durch. Du musst dei-
nen Rechner auf das Gradmass (DEG) einstellen! Der Wechsel zum Bogen-
mass (RAD) wird später wichtig sein.
Beispiel 1: Gegeben: Hypotenuse c = 9,3 ; Winkel o26α =
Gesucht: Katheten a und b
( ) asin
cα =
( ) ( )0a c sin 9,3 sin 26 4,1→ = ⋅ α = ⋅ =
( ) ( ) ( )0bcos b c cos 9,3 cos 26 8,4
cα = → = ⋅ α = ⋅ =
Beispiel 2: Gegeben: Hypotenuse c = 9,3 ; Kathete a = 3,1
Gesucht: Winkel α
( ) asin
cα =
Wir kennen das Verhältnis a 3,1 1c 9,3 3
= = .
Den Winkel α erhalten wir mit dem Taschenrechner mit Hilfe der
Umkehrfunktion ( )arc sin x oder ( )1sin x−
1 0a 1arc sin sin 19,5
c 3− α = = =
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe
124 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Beispiel 3:
Für einen Brückenbau muss die Breite
b FP= einer Schlucht ausgemessen
werden. Dazu wird am linken
Schluchtrand eine Strecke AB 50m=
abgesteckt. An den Endpunkten A und
B wird ein Punkt P auf der anderen
Seite der Schlucht anvisiert und die
Winkel 042α = und 067β =
gemessen. Berechne die Entfernung b FP= (FP ist rechtwinklig auf AB ).
Einführen einer Unbekannten: x BF=
Dauraus ergibt sich für AF 50 x= − .
Für die beiden Unbekannten b und x
brauchen wir zwei Gleichungen. Diese
erhalten wir aus den zwei rechtwinkligen
Dreiecken FPB∆ und FAP∆ :
FAP∆ : ( ) btan
50 xα =
−
FPB∆ : ( ) btan
xβ =
Auflösen des Gleichungssystems: Beide Gleichungen nach x auflösen und
gleichsetzen ( ) ( )( ) ( )
50 tan tanb 32,57m
tan tan⋅ α ⋅ β
= =α + β
oder mit dem TR:
DialogMathe Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 125
7.3.7 Übungen Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
Figur für Aufgabe 1 bis 3
Aufgabe 1
Berechne die fehlenden Seiten.
a) a 8,9cm= , 034,8β =
b) b 12,0cm= , 021,8β =
c) c 11,04cm= , 050,1α =
d) c 22,3cm= , 034,3β =
Aufgabe 2
In einem rechtwinkligen Dreieck ist das folgende Seitenverhältnis bekannt.
Berechne den Winkel α .
a) a : c 3 : 7=
b) b : a 2 : 3=
c) b : c 17 : 28=
d) a : b 1 : 38=
e) a : c 39 : 31=
Aufgabe 3
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel.
a) b 31,4cm= , 068,4β =
b) c 13,8m= , 051,2α =
c) a 38,7cm= , c 36,3cm=
d) c 25,4dm= , 085,1β =
e) a 54,3cm= , b 18,2cm=
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe
126 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Aufgabe 4
Berechne die Länge der Winkelhalbierenden wα eines rechtwinkligen Drei-
ecks, wenn die Katheten a 16,6cm= und b 23,2cm= messen.
Aufgabe 5
Von einem Dreieck ABC sind die Höhe ch 6,3cm= , die Winkelhalbierende
w 6,8cmγ = und der Winkel 070γ = gegeben.
Berechne die Seite c sowie die Winkel α und β .
Aufgabe 6
Ein Rechteck hat die Fläche 2A 310cm= , die Diagonalen schneiden sich unter
einem Winkel 0113β = . Berechne die Seiten a und b des Rechtecks.
Aufgabe 7
Im quadratischen Einheits – Netz sind die Graden a und b, sowie die Punkte
A und B gegeben.
a) Berechne den Schnittwinkel γ zwischen den Geraden a und b.
b) Berechne die Fläche des Dreiecks ABC, wenn C der Schnittpunkt der Ge-
raden a und b ist.
DialogMathe Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 127
Aufgabe 8
In einem Fluss liegt eine Insel mit einem Turm (siehe Skizze). Am Ufer wird
eine Strecke AB 50m= abgesteckt. Um die Entfernung e FE= des Fusspunk-
tes F des Turmes von der Strecke AB zu bestimmen, werden die beiden Win-
kel 0(BAF) 58= α =∡ und 0(FBA) 47= β =∡ gemessen.
Bestimme die Entfernung e?
Aufgabe 9
Wir sollen nach der untenstehenden Skizze den horizontalen Abstand x
zweier Punkte A und B im Gelände bestimmen. Dazu wird im Punkt B eine
Messlatte der Länge a 2,00m= senkrecht aufgestellt. In A werden die
„Höhenwinkel“ zum unteren und oberen Ende der Messlatte gemessen
015,8α = und 014,2β = .
Aufgabe 10
M ist Kreismittelpunkt.
Radius r 4=
AB AM=
Berechne x BC=
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe
128 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
7.3.8 Aufgaben mit Parametern Aufgabe 1
Einem Quadrat mit der Seite a wird ein zweites
einbeschrieben. Bestimme die Seitenlänge b des
einbeschriebenen Quadrates aus a und α .
Aufgabe 2
Berechne die Strecke x, wenn
b, α und β gegeben sind.
Aufgabe 3
Zeige, ausgehend von den Definitionen der trigonometrischen Funktionen
am rechtwinkligen Dreieck,
dass:
a) sin( )
tan( )cos( )
αα =α
b) sin( )
1cos( )
α =β
b αααα
a
DialogMathe Flächeninhalt eines Dreiecks mit Trigo
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 129
7.3.9 Lösungen Übungen Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck
Aufgabe 1 a) b 6,2cm= , c 10,8cm= b) a 30,0cm= , c 32,3cm= c) a 8,47cm= , b 7,08cm= d) a 18,4cm= , b 12,6cm=
Aufgabe 2 a) 025,4α = b) 056,3α = c) 052,6α = d) 01,51α = e) keine Lösung
Aufgabe 3 a) a 12,4cm= , c 33,8cm= , 021,6α =
b) a 10,8m= , b 8,65m= , 038,8β =
c) keine Lösung d) a 2,17dm= , b 25,3dm= , 04,9α =
e) c 57,3cm= , 071,5α = , 018,5β =
Aufgabe 4 w 24,4cmα =
Aufgabe 5 c 11,2cm= , 077,1α = , 032,9β =
Aufgabe 6 a 21,6cm= , b 14,3cm=
Aufgabe 7
a) 063,4γ = b) A 6,4=
Aufgabe 8 e 32,1m=
Aufgabe 9 x 66,8m=
Aufgabe 10 x 5,37=
Aufgaben mit Parametern
Aufgabe 1
( ) ( )a
bsin cos
=α + α
Aufgabe 2
( ) ( )b
xtan tan
=α + β − α
Aufgabe 3
a) ( ) asin
cα = ; ( ) b
cosc
α = ; ( )( ) ( )sin a c a
tancos c b b
α= ⋅ = = α
α
b) ( ) acos
cβ = ; ( )
( )sin a c
1cos c a
α= ⋅ =
β
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben DialogMathe
130 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
7.4 Flächeninhalt eines Dreiecks mit Trigo
Gegeben:
zwei Dreiecksseiten p, q und der
Zwischenwinkel ϕ
Fläche des Dreiecks:
( )12A p q sin= ⋅ ⋅ ⋅ ϕ
Ein beliebiges Dreieck kann durch die Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke
zerlegt werden.
( ) ( )
( )
cc
c1 12 2
hsin h p sin
p
A q h q p sin
ϕ = → = ⋅ ϕ
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ϕ
Aufgabe Berechne den Flächeninhalt A des gleichschenkligen Dreiecks aus dem Um-
kreisradius R und dem Basiswinkel 063α =
DialogMathe Pythagoras für beliebige Dreiecke
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 131
7.5 Pythagoras für beliebige Dreiecke 7.5.1 Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke
o90γ =
2 2 2c a b= +
7.5.2 Pythagoras für spitzwinklige Dreiecke
Kosinussatz
( )2 2 2c a b 2ab cos= + − ⋅ γ
o90γ <
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben
132
7.5.3 Dynamisches Arbeitsblatt Kosinussatz als Flächensatz
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Kosinussatz als FlächensatzZeit: 15 Minuten
Die Ecke C des Dreiecks ABC kann mit der Maus bewegt werden.
Achtung: Die dynamische Konstruktion ist nicht definiert, wenn sich die Ecke
C innerhalb des Halbkreises befindet (stumpfwinklige Dreiecke).
Arbeitsaufträge:
1) Verschiebe die Ecke C auf den HalbDreieck).
2 2 2c a b= +
2) Spezialfall: Ziehe C weg vom Halbkreis, so dass
Verändere die Position von C so, dass der Winkel bei A
( CAB 90α = =∡
3) Zeige, das für eine beliebige Position der Ecke C ausserhalb des Hal
kreises gilt:
Teildreiecke.
Algebraische Behandlung von Geometrieaufgaben
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14
Dynamisches Arbeitsblatt Kosinussatz als Flächensatz
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Kosinussatz als Flächensatz Zeit: 15 Minuten
Die Ecke C des Dreiecks ABC kann mit der Maus bewegt werden.
Achtung: Die dynamische Konstruktion ist nicht definiert, wenn sich die Ecke
C innerhalb des Halbkreises befindet (stumpfwinklige Dreiecke).
Verschiebe die Ecke C auf den Halbkreis (Thaleskreis, rechtwinkliges Dreieck). Überzeuge dich, dass der folgende Flächensatz gilt:
2 2 2c a b= + (Pythagoras)
Spezialfall: Ziehe C weg vom Halbkreis, so dass γ kleiner als
Verändere die Position von C so, dass der Winkel bei A
) oCAB 90α = =∡ wird.
Zeige, das für eine beliebige Position der Ecke C ausserhalb des Halkreises gilt: ( )2 2 2c a b 2ab cos= + − ⋅ γ . Benutze dazu rechtwinklige
Teildreiecke.
DialogMathe
2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Die Ecke C des Dreiecks ABC kann mit der Maus bewegt werden.
Achtung: Die dynamische Konstruktion ist nicht definiert, wenn sich die Ecke
C innerhalb des Halbkreises befindet (stumpfwinklige Dreiecke).
kreis, rechtwinkliges Überzeuge dich, dass der folgende Flächensatz gilt:
kleiner als o90 wird.
Verändere die Position von C so, dass der Winkel bei A
Zeige, das für eine beliebige Position der Ecke C ausserhalb des Halb-. Benutze dazu rechtwinklige
DialogMathe Kreisumfang
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 133
8 Kreisberechnungen
Definition Kreis
Der Kreis ist die Ortslinie aller Punkte, die von einem Punkt den gleichen Ab-
stand haben.
Am Kreis werden die folgenden Bezeichnungen verwendet.
Bezeichnungen
Kreislinie k
Mittelpunkt M
Durchmesser d
Radius r
Sehne s
Sekante g
Tangente t
Passante p
Merke
• Der Radius r steht im Berührungspunkt B senkrecht auf der Tangente t.
• Das Lot (RechtwinkligeMF ) vom Mittelpunkt M auf eine Sehne s halbiert
die Sehne. Der Fusspunkt F ist Mittelpunkt der Sehne CD , d.h. CF FD= .
8.1 Kreisumfang
Ein Kreis mit Radius r hat den Umfang:U 2 r= π ⋅ , wobei 3,14159π = …… ist.
Herleitung als Grenzwert: Einem Kreis mit Durchmesser d lassen sich regulä-
re n – Ecke einbeschreiben und umschreiben. Der Umfang U des Kreises liegt
dann zwischen dem Umfang nu des einbeschriebenen und dem Umfang nU
des umschriebenen n – Ecks. Mit zunehmender Eckenzahl kommen sich nu
und nU beliebig nahe. Für den Kreisumfang U gilt dann n nu U U< < .
Kreisberechnungen DialogMathe
134 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
8.1.1 Das Bogenmass Mit dem Kreisumfang lässt sich ein neues Winkelmass definieren:
Definition Bogenmass
Unter dem Bogenmass eines Winkels verstehen wir die Masszahl der Länge
des zugehörigen Bogens auf dem Einheitskreis.
Die in der Dreieckslehre übliche Methode, Winkel in Graden zu messen, ist
für unsere Zwecke ungeeignet. Ein geeignetes Mass, Winkel durch Zahlen
und nicht durch Grade, zu messen, ist das Bogenmass. Die Grundidee liegt
dabei in der Beobachtung, dass jeder Winkel, im Mittelpunkt eines
vorgelegten Kreises angetragen, einen Ausschnitt des Kreisesbogens liefert.
Da allerdings ein Winkel bei verschieden grossen Kreisen unterschiedliche
grosse Bögen ausschneidet, ist eine Festlegung auf einen bestimmten Kreis
zwingend.
Einheitskreis
Zur Winkelmessung durch Bögen
werden wir daher stets einen Kreis mit
Radius 1 und Mittelpunkt im Ursprung
des Koordinatensystems zugrunde
legen, den sog. Einheitskreis.
Jedem gemäss nebenstehender Skizze
eingetragenem Winkel α kommt nun
neben seinem (orientierten) Gradmass α
auch sein (orientiertes) Bogenmass ⌢
bα = , d.h. die Länge des von ihm ausgeschnittenen Bogens, zu. Dabei bezieht
sich der Zusatz "orientiert" auf die Vereinbarung, dass im Gegenuhrzeigersinn
eingezeichnete Winkel positive Masszahlen haben, und Winkeln, die im
Uhrzeigersinn eingetragen sind, negative Masszahlen zukommen. Der Winkel
im Bogenmass ist eine Zahl und hat somit keine Einheit (Masszahl der
Bogenlänge). Um den Winkel im Bogenmass trotzdem mit einer Einheit
nennen zu können, wird das rad (Radiant) verwendet.
DialogMathe Kreisfläche
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 135
8.1.2 Bogenlänge
�AB b r= = ⋅ α (Winkel im Bogenmass)
8.2 Kreisfläche
Ein Kreis mit Radius r hat die Fläche: 2A r= ⋅ π , wobei 3,14159π = …… ist.
8.2.1 Kreissektor
2
Kreissektorb r r
A2 2⋅ α ⋅= =
Kreissektorb r
A2⋅= .
Vergleiche die Flächenberechnung mit derjenigen des Dreiecks g hA
2⋅= .
Die Bogenlänge b entspricht der Grundlinie g und der Radius der Höhe h.
Kreisberechnungen DialogMathe
136 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
8.2.2 Kreissegment
= −Kreissegment Kreissektor DreieckA A A
Berechne KreissegmentA für 3πα = .
DialogMathe Kreisfläche
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 137
8.2.3 Partnerinterview Bogenmass, Bogenlänge, Kreissektor
Partnerinterview Kreis Bogenmass, Bogenlänge, Kreissektor Zeit: 10 Minuten
Frage 1: Wie ist das Bogenmass definiert? Erkläre anhand einer Figur!
Frage 2: Wie lassen sich Winkel im Gradmass ins Bogenmass umrechnen?
Entwickle eine Umrechnungsformel. Benutze dazu die Definition des Bogen-masses und den Dreisatz. Teste deine Formel für einige spezielle Winkel!
Frage 3: Wie lautet die Formel zur Berechnung einer Bogenlänge und eines Kreissektors für einen gegebenen Winkel α und einen Kreis mit Radius r?
Kreisberechnungen DialogMathe
138 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
8.2.4 Übungen schraffierte Kreisflächen
Berechne die schraffierten Flächen
DialogMathe Kreisfläche
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 139
Kreisberechnungen DialogMathe
140 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
8.2.5 Übungen Kreis
Übung 1
Sektoren, Bogenlängen
a) Der wievielte Teil der Sektorfläche ASB ist schraffiert?
b) Berechne das Verhältnis der Bogenlängen b : B , wenn α gegeben ist. B = Bogen �RS , b = Bogen �PQ
Übung 2
Gegeben ist die Höhe h CD= des Dreiecks ABC mit den Winkeln
oCAB 45α = =∡ und oABC 60β = =∡ .
Der gezeichnete Kreis hat sein Zentrum in C und den Radius h.
Berechne:
a) den Umfang U des Dreiecks ABC.
b) die Fläche A des Dreiecks ABC.
c) die Länge des Bogens EF.
d) die schraffierte Fläche.
Übung 3
Berechne den Umfang ABCU und den Flä-
cheninhalt A der schraffierten Fläche,
wenn r gegeben ist.
DialogMathe Kreisfläche
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 141
Übung 4
Einem Kreisring mit gegebenem Aussenradius R
und dem Innenradius r wird ein gleichschenkliges
Dreieck ABC einbeschrieben. Die Schenkel AC
und BC sind doppelt so lang wie die Basis AB. Wie
gross muss r sein, damit die Flächen des Dreiecks
ABC und des Kreisrings gleich gross sind?
Übung 5
Berechne die Fläche des Kreissegments AB.
Gegeben: 0(ASB) 17=∡ , AB 34=
Übung 6
In der Figur ist R = 2r. Berechne ausgedrückt durch r
a) die Länge von a
b) die schraffierte Fläche
DialogMathe
142 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
8.2.6 Lösungen Kreisberechnungen Übungen schraffierte Kreisflächen
a) 2SchraffiertA s 1
4π = ⋅ −
b) 2
SchraffiertA s=
c) 2SchraffiertA d
16π= ⋅ d) 2
SchraffiertA s 12π = ⋅ −
e) 2Schraffiert
2 3A r
3 2 π= ⋅ −
f) 2SchraffiertA s 1 3
3π = ⋅ − +
g) 2Schraffiert
3A s
4 48 π= ⋅ −
h) 2Schraffiert
3A s
12 24 π= ⋅ −
Übungen Kreis
Übung 1 a) Schraffiert
Sektor
A 3A 4
= b) b : B 1 : 1=
Übung 2 a) ( )U 1 2 3 h 4,146 h= + + ⋅ = ⋅
b) 2 23 3A h 0,789 h
6+= ⋅ = ⋅
c) � 5b EF h 1,309 h
12π= = ⋅ = ⋅
d) 2 21A h 0,1073 h
2 8π = − ⋅ = ⋅
Übung 3 ABC2 2
U 2 2 r 3,27r4
+= − + π ⋅ ⋅ ≈
; 2r
A2
=
Übung 4 r 0,881 R= ⋅ Übung 5 Segment Sektor DreieckA A A 1962,34 1933,75 28,59= − = − =
Übung 6 a) a 4 2 r 5,657r= ⋅ ⋅ ≈ b) 2A 1,651 r= ⋅
DialogMathe Oberflächen und Volumen einiger Körper
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 143
9 Stereometrie
9.1 Oberflächen und Volumen einiger Körper
Körper Beschreibung und Figur Oberfläche Volumen Prisma Prisma mit der Grundfläche G und der
Höhe h. Beispiel: Gerades fünfseitiges Prisma (Kanten rechtwinklig zu G)
= +O 2G M
= ⋅V G h
Quader Quader mit den Kantenlängen a, b und c. Prisma mit Rechteck als Grundfläche
( )=
⋅ + ⋅ + ⋅O
2 a b b c a c
V a b c= ⋅ ⋅
Würfel Hexaeder
Quader mit gleichen Kantenlängen a
= 2O 6a
= 3V a
Zylinder Zylinder mit dem Grundkreisradius r und der Höhe h
= +
= ⋅ + ⋅ ⋅2
O 2G M
2 r 2 r hπ ππ ππ ππ π
= ⋅ ⋅2V r hππππ
Stereometrie DialogMathe
144 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
Pyramide Pyramide mit der Grundfläche G und der Höhe h Beispiel: Quadratische Pyramide mit der Grundseitenlänge a, der Höhe h und der Dreieckshöhe Sh der Seitenfläche.
= +O G M
⋅
= + ⋅2 Sa hO a 4
2
= ⋅1
3V G h
= ⋅213V a h
Tetraeder Reguläres Tetraeder (4 gleichseitige Drei-ecke): Kantenlänge s
= ⋅23h s ; =S
s2h 3
= ⋅ 2O 3 s
= ⋅ 3212V s
Kegel Kegel mit dem Radius r, der Höhe h und der Mantellinie m
= +
= ⋅ + ⋅ ⋅2
O G M
r r mπ ππ ππ ππ π
= ⋅ ⋅21
3V r hππππ
DialogMathe
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14
Oberfläche Kegel
Kugel Kugel mit Radius r
In der vorhergehenden Z
sammenstellung sind die
Formeln für sogenannte
gerade Körper angegeben.
Diese gelten aber auch für
schiefe Körper, wie der Satz
von Cavalieri verdeutlicht.
Dass die Formel
für schiefe Prismen gilt, zeigt
das Prinzip von Cavalieri. Ein
gerades Prisma werde durch
Schnitte parallel zur Grundfläche in
bung bleibt das Volumen unverändert. Werden die einzelnen Scheiben immer
dünner, so stellt der Körper rechts im Grenzfall ein schiefes Prisma dar.
Oberflächen und Volumen einiger Körper
2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
= ⋅ 2G rππππ = ⋅b 2 rππππ
⋅= = ⋅ ⋅m bM r m
2ππππ
Kugel mit Radius r
= ⋅ 2O 4 rππππ
In der vorhergehenden Zu-
sammenstellung sind die
sogenannte
gerade Körper angegeben.
gelten aber auch für
schiefe Körper, wie der Satz
von Cavalieri verdeutlicht.
Dass die Formel = ⋅V G h auch
für schiefe Prismen gilt, zeigt
das Prinzip von Cavalieri. Ein
gerades Prisma werde durch
Schnitte parallel zur Grundfläche in Scheiben zerlegt. Bei seitlicher Verschi
bung bleibt das Volumen unverändert. Werden die einzelnen Scheiben immer
dünner, so stellt der Körper rechts im Grenzfall ein schiefes Prisma dar.
Gerades Prisma Schiefes Prisma
Oberflächen und Volumen einiger Körper
145
= = ⋅ ⋅M r m
= ⋅ 343V rππππ
Scheiben zerlegt. Bei seitlicher Verschie-
bung bleibt das Volumen unverändert. Werden die einzelnen Scheiben immer
dünner, so stellt der Körper rechts im Grenzfall ein schiefes Prisma dar.
Schiefes Prisma
Stereometrie
146
Satz von Cavalieri
Alle Körper, die in jeweils gleicher H
he die gleichen Querschnittsflächen
besitzen, haben das gleiche Volumen
Anwendung Kugelvolumen
Um die Formel für das
nach dem Satz
bekannt ist. Der Ve
genommen wurde.
und die Höhe ist ebenfalls r. Gelingt es zu beweisen, dass die Quer
flächeninhalte beider Körper in be
ihre Volumeninhalte gleich.
Restkörper = Zylinder
Schnittfläche = Kreisring
Kreisring auf der Höhe x hat äusseren
Radius r und innneren Radius x (gleic
schenkliges Dreieck):
= ⋅ − ⋅ = ⋅ −2 2 2 2RingA r x r xπ π ππ π ππ π ππ π π
=Ring Kreis Halbkugel Zylinder KegelA A V V V r r r r r
Also: = ⋅ π ⋅4Kugel 3V r
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14
Alle Körper, die in jeweils gleicher Hö-
gleichen Querschnittsflächen
haben das gleiche Volumen.
Um die Formel für das Volumen der Kugel herzuleiten, wird die Halbkugel
von Cavalieri mit einem Körper verglichen, dessen Volumen
kannt ist. Der Vergleichskörper ist ein Zylinder, aus dem ein Kegel herau
nommen wurde. Der Zylinder hat den gleichen Radius wie die Halbkugel
und die Höhe ist ebenfalls r. Gelingt es zu beweisen, dass die Quer
inhalte beider Körper in beliebiger Höhe gleich sind, dann sind auch
meninhalte gleich.
körper = Zylinder – Kegel
Schnittfläche = Kreisring
Halbkugel
Schnittfläche = Kreis
Kreisring auf der Höhe x hat äusseren
Radius r und innneren Radius x (gleich-
schenkliges Dreieck):
( )= ⋅ − ⋅ = ⋅ −2 2 2 2A r x r xπ π ππ π ππ π ππ π π
Satz von Pythagoras:
= −2 2 2xr r x
= ⋅ = ⋅ −Kreis xA r r xπ ππ ππ ππ π
⇒ = − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅2 2 31 2Ring Kreis Halbkugel Zylinder Kegel 3 3A A V V V r r r r rπ π ππ π ππ π ππ π π
= ⋅ π ⋅ 343V r
DialogMathe
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gel herzuleiten, wird die Halbkugel
von Cavalieri mit einem Körper verglichen, dessen Volumen
rgleichskörper ist ein Zylinder, aus dem ein Kegel heraus-
Der Zylinder hat den gleichen Radius wie die Halbkugel
und die Höhe ist ebenfalls r. Gelingt es zu beweisen, dass die Querschnitts-
e gleich sind, dann sind auch
Schnittfläche = Kreis
Satz von Pythagoras:
2 2 2
( )= ⋅ = ⋅ −2 2 2Kreis xA r r xπ ππ ππ ππ π
= − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅2 2 31 23 3A A V V V r r r r rπ π ππ π ππ π ππ π π
DialogMathe
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14
9.2 Berechnungen mit Schnittebenen
Um im dreidimensionalen Raum Berechnungen durchzuführen,
wir Schnittebenen. Diese sind so zu wählen, dass die zu berechnenden Winkel
oder Längen in wahrer Grösse erscheinen.
Beispiel 1: Volumen eines regulären Tetraeders
Das reguläre Tetraeder ist eine dreisei
gleiche Länge haben.
Räumliche Skizze des Tetraeders
Volumenberechnung
( )= −2 21
23h s h
= − = → = ⋅2 22 2 s 2s3 3h s h s
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅1 13 3 12V G h s s
Oberflächenberechnung
⋅= = ⋅ = ⋅2s4O 4G 4 3 s
Zusatzaufgaben:
Das reguläre Tetraeder besitzt eine In
Berechne die Radien aus der Kantenlänge s.
Berechne den Winkel
Lösungen: Inkugelr 6
Berechnungen mit Schnittebenen
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Berechnungen mit Schnittebenen
Um im dreidimensionalen Raum Berechnungen durchzuführen,
wir Schnittebenen. Diese sind so zu wählen, dass die zu berechnenden Winkel
oder Längen in wahrer Grösse erscheinen.
Beispiel 1: Volumen eines regulären Tetraeders
Das reguläre Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide, deren Kanten alle die
gleiche Länge haben.
Räumliche Skizze des Tetraeders Schnittebene UVW für Berechnung
Volumenberechnung
)21 mit =1
s2h 3
= − = → = ⋅2 2 23
s 2s3 3h s h s , ⋅=
2 3s4G
⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅2 33 22
3s
43 3 12V G h s s
Oberflächenberechnung
⋅= = ⋅ = ⋅ 234O 4G 4 3 s
Das reguläre Tetraeder besitzt eine In – und eine Umkugel.
Berechne die Radien aus der Kantenlänge s.
Berechne den Winkel α zwischen Grundfläche und Seitenfläche.
=Inkugels
12r 6 ; =Umkugels4r 6 ; ( )α = → α =1
3cos 70,53
Berechnungen mit Schnittebenen
147
Um im dreidimensionalen Raum Berechnungen durchzuführen, verwenden
wir Schnittebenen. Diese sind so zu wählen, dass die zu berechnenden Winkel
tige Pyramide, deren Kanten alle die
Schnittebene UVW für Berechnung
und eine Umkugel.
Grundfläche und Seitenfläche.
α = → α = ocos 70,53
Stereometrie DialogMathe
148 Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
9.3 Ähnliche Körper
Eine quadratische Pyramide wird auf halber Höhe geschnitten. Die so ent-
standene kleine Pyramide ist ähnlich zur grossen Pyramide. Es gilt:
Streckenverhältnis (Höhen): =gross
klein
h2
h
Flächenverhältnis (Grundfläche): = =gross 2
klein
G2 4
G
Volumenverhältnis: = =gross 3
klein
V2 8
V
Das Volumen der kleinen angeschnittenen Pyramide beträgt: =klein gross18V V .
Das Volumen des Restkörpers (Pyramidenstumpf):
= − =Pyramidenstumpf gross klein gross78V V V V
Beispiel Ein randvoll gefülltes kegelförmiges Glas beinhaltet
0,27 Liter Flüssigkeit. Wie viele Liter wurden dem Glas
entnommen, wenn der Flüssigkeitsspiegel um
h3
gesunken ist?
= −Kegel 1V V V ; =KegelV 0,27 Liter ; = ⋅123h h
⋅ = = = =
→ = ⋅ = ⋅ =
1 1
Kegel
1 Kegel
23
33 3hV h 2 8V h h 3 27
8 8V V 0,27 0,08 Liter
27 27
DialogMathe Stereometrieaufgaben
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF 149
9.4 Stereometrieaufgaben
Beispiel 1: Abgeschnittene Würfelkante Eine Ecke eines Würfels wird abge-
schnitten (siehe Figur). Es entsteht ein
Tetraeder mit den Kantenlängen a, a
und b. Berechne:
a) Das Volumen des Tetraeders (Es
gibt eine einfache Lösung)
b) Die Höhe des Tetraeders in Bezug
auf das Dreieck PQR als Grund-
fläche.
c) Das Volumen des Tetraeders mit Hilfe der Höhe Ah und des Dreiecks
PQR als Grundfläche.
Zahlenbeispiel: a = 3 cm, b = 5cm
Beispiel 2: Pyramide mit einbeschriebenen Quader Die Kanten einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche haben alle die
Länge s. Auf der Grundfläche der Pyramide steht ein Quader mit quadrati-
scher Grundfläche. Die Diagonale der Grundfläche des Quaders hat ebenfalls
die Länge s. Die Kanten der Deckfläche des Quaders liegen in den Seitenflä-
chen der Pyramide.
Berechne das Verhältnis der Volumina Quader PyramideV : V .
Beispiel 3: Halbkugel mit einbeschriebenem Würfel Einer Halbkugel mit dem Radius r wird ein Würfel einbeschrieben.
Berechne das Verhältnis der Volumina Würfel HalbkugelV : V .
Beispiel 5: Auftrieb eines Kreiskegels Ein gerader Kreiskegel Mit dem Radius R, der Höhe H und der Dichte ρ
schwimmt im Wasser mit der Spitze nach unten ohne umzukippen.
Bestimme die Höhe der Wasserlinie am Kegel.
Zahlenbeispiel: R = 4 cm, H = 5 cm, ρ = 30,8kg / dm , ρ = 3W 1kg / dm
Stereometrie
150
Beispiel 6: Zwei Pyramiden in einem WürfelIn welchem Verhältnis steht das Volumen des
Würfels mit der Kantenlänge a zum Volumen
des stark ausgezogenen Körpers?
Der Lösungsweg muss ersichtlich
Beispiel 7: Pyramide im Kegel
In einem mit der Spitze nach unten in die Erde
gesteckten geraden Kreiskegel mit dem Radius r
und der Höhe h = 3r wird eine gerade quadratische
Pyramide mit der Grundkantenlänge r und der
Höhe =P32h r gestellt. Wie viel Prozent des Pyr
midenvolumens sind innerhalb des Kegels?
Beispiel 8: Tetraeder im Wü
In einem Würfel mit der Kantenlänge a
kann durch sechs Flächendi
Tetraeder festgel
man die Kantenmi
entsteht ein Oktaeder.
Berechne das Verhältnis der drei Volumen.
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14
Beispiel 6: Zwei Pyramiden in einem Würfel In welchem Verhältnis steht das Volumen des
Würfels mit der Kantenlänge a zum Volumen
des stark ausgezogenen Körpers?
Der Lösungsweg muss ersichtlich sein!
Pyramide im Kegel
In einem mit der Spitze nach unten in die Erde
gesteckten geraden Kreiskegel mit dem Radius r
und der Höhe h = 3r wird eine gerade quadratische
Pyramide mit der Grundkantenlänge r und der
h r gestellt. Wie viel Prozent des Pyra-
midenvolumens sind innerhalb des Kegels?
Beispiel 8: Tetraeder im Würfel, Oktaeder im Tetraeder In einem Würfel mit der Kantenlänge a
kann durch sechs Flächendiagonalen ein
Tetraeder festgelegt werden. Verbindet
man die Kantenmitten des Tetraeders, so
entsteht ein Oktaeder.
Berechne das Verhältnis der drei Volumen.
DialogMathe
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DialogMathe
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14
9.5 Rotationskörper, Guldinsche Regel
Lässt man eine ebene Fläche
um eine Achse rotieren, so en
bzw. eine Fläche
Volumenregel
Das Volumen eines Rotationskörpers
der auf einer Seite der Drehachse liegenden (erzeugenden) Fläche und der
Länge des Weges, den der Flächenschwerpunkt bei einer Volldrehung um die
Drehachse zurücklegt.
Weg des Flächenschwerpunkts
Erzeugende Fläche: A (Dreiecksfläche)
Volumen des Rotationskörpers:
= π ⋅ ⋅AV 2 r A
Beispiel
Das schraffierte gleichseitige Dreieck wird 360
eingezeichnete Achse gedreht (Eine Ecke des Dreiecks
liegt auf der Achse und eine Seite ist parallel zur Achse).
Berechne das Volumen des so entstandenen Rotation
körpers.
Guldin: = ⋅ πV A 2 r
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
△
S
1 12 2 2
2 23 3 2 3
A s h s s s
r h s s
= ⋅ π ⋅ = ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ = ⋅△ SV A 2 r s 2 s s
alternativ: = −V V 2V
= π ⋅ = ⋅ ⋅ π ⋅ = ⋅
= ⋅ π = ⋅ ⋅ π ⋅ = ⋅
2 3Zylinder
2 3Kegel
1 1 1 13 2 3 2 2 8
V h s s s s
V h s s s s
= − = ⋅ − ⋅ = ⋅Zylinder KegelV V 2V s s s
Rotationskörper, Guldinsche Regel
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Rotationskörper, Guldinsche Regel
Lässt man eine ebene Fläche oder eine Linie
um eine Achse rotieren, so entsteht ein Körper
bzw. eine Fläche
Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt
der auf einer Seite der Drehachse liegenden (erzeugenden) Fläche und der
Länge des Weges, den der Flächenschwerpunkt bei einer Volldrehung um die
Drehachse zurücklegt.
Weg des Flächenschwerpunkts: π ⋅ A2 r
Erzeugende Fläche: A (Dreiecksfläche)
Volumen des Rotationskörpers:
Das schraffierte gleichseitige Dreieck wird 3600 um die
eingezeichnete Achse gedreht (Eine Ecke des Dreiecks
liegt auf der Achse und eine Seite ist parallel zur Achse).
Berechne das Volumen des so entstandenen Rotations-
= ⋅ π△ SV A 2 r
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
3 3 2
3 3
1 142 2 2
3 3 2 3
A s h s s s
r h s s
π= ⋅ π ⋅ = ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ = ⋅3 32 34 3 2V A 2 r s 2 s s
= −Zylinder KegelV V 2V
( )( )
π
π
= π ⋅ = ⋅ ⋅ π ⋅ = ⋅
= ⋅ π = ⋅ ⋅ π ⋅ = ⋅
232 3
232 3
342
1 1 1 13 2 3 2 2 8
V h s s s s
V h s s s s
π π π= − = ⋅ − ⋅ = ⋅3 3 3Zylinder Kegel
34 4 2V V 2V s s s
Rotationskörper, Guldinsche Regel
151
ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt
der auf einer Seite der Drehachse liegenden (erzeugenden) Fläche und der
Länge des Weges, den der Flächenschwerpunkt bei einer Volldrehung um die
Stereometrie
152
Beispiel 1: Volumen eines Torus (Autoreifen)
Berechne das Volumen des skiz
Beispiel 2: Schwerpunkt eines Halbkreises
Berechne die Lage des Schwer
Mantelflächenregel
Der Inhalt der Mantelfläche eines
der Länge des auf einer Seite der Drehachse liegenden (erzeugenden) Kurve
stücks und der Länge des Weges, den der
Kurvenstücks bei einer Volldrehung um die Drehachse zurücklegt.
Weg des Linien
Erzeugende Linie: L (Strecke)
Mantelfläche des Rotationskörpers:
= π ⋅ ⋅LM 2 r L
Lerneinheit 2 | Geometrisches Denken | 2013/14
: Volumen eines Torus (Autoreifen) das Volumen des skizzierten Torus mit R = 10 cm und r = 3 cm.
eines Halbkreises
Berechne die Lage des Schwerpunkts einer Halbkreisfläche mit dem Radius r.
Mantelfläche eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus
der Länge des auf einer Seite der Drehachse liegenden (erzeugenden) Kurve
stücks und der Länge des Weges, den der Schwerpunkt des erzeugenden
Kurvenstücks bei einer Volldrehung um die Drehachse zurücklegt.
Weg des Linienschwerpunkts: π ⋅ L2 r
Erzeugende Linie: L (Strecke)
Mantelfläche des Rotationskörpers:
DialogMathe
2 | Geometrisches Denken | 2013/14 | ©BF
ten Torus mit R = 10 cm und r = 3 cm.
s einer Halbkreisfläche mit dem Radius r.
ist gleich dem Produkt aus
der Länge des auf einer Seite der Drehachse liegenden (erzeugenden) Kurven-
des erzeugenden
Kurvenstücks bei einer Volldrehung um die Drehachse zurücklegt.
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