mathhmatika thetikhs kai texnologikh-biblio mathiti
Post on 10-Oct-2015
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1.1 129 1.2 132 1.3 - 148 1.4 157 1.5 165 1.6 176 1.7 182 1.8 188
-
2:
2.1 209 2.2 - 222 2.3 229 2.4 241 2.5 245 2.6 250 2.7 258 2.8 - 272 2.9 - De L ' Hospital 279 2.10 287
3:
3.1 303 3.2 309 3.3 318 3.4 326
3.5 333
3.6 340 3. 7 342
- 365
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1 - 1.1
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: 97 DIN. 0-100 km/h 10,7 sec, 180 km/h, 100 km 9,5 lit, 10.
: 100 DIN, 0-100 km/h 12,9 sec, 191 km/h, 100 km 11 lit, 11.
: 45 DIN, 0-100 km/h 17,9 sec, 140 km/h, 100 km, 7,1 lit, 6.
: 174 DIN, 0-100 km/h 7,6 sec, 225 km/h, 100 km 12,5 lit, 20.
:
.
DIN
0-100 km/h
km/h
lit 100 km
DIN
0-100 km/h
km/h
lit 100 km
97 10,7 180 9,5 10 100 12,9 191 11 11 45 17,9 140 7,1 6 174 7,6 225 12,5 20
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(18 + 20) (16 + 18) (13 + 15)
(12 + 15) (10 + 13) ( 9 + 12)
( 9 + 13) (11 + 10) ( 8 + 10)
(14 + 17) (12 + 16) (10 + 8)
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2001 2002.
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2.1
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2.2
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2.5
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-
, f
:
) f -
.
) f ( , x 0 ) , ' -
, ( x 0 , ) .
) f ( x 0 , ) , ' -
, ( ,x 0 ) .
, x0 = 0 ,
.
-
:
f ( x ) = x (.
47) x0 x0,
g(x) = c (. 47) x0 c.
-
1. , -
f :
2. f , , :
3. :
-
4. f - . .
5. f
,
1.5
.
1
f ( x ) > 0 x0 (. 48)
f (x )< 0 x0 (. 48)
-
2
f , g x0
x0,
-
.
1 3 - . :
-
,
:
,
,
(x), Q(x) x
,
,
,
Q(x0) = 0 , 4 .
1 ii), .
-
1 . :
i)
ii) -
( 4). x-2
. x # 2 , :
,
iii) x = 1 . - :
:
-
,
2 . , , x0 =1
x
-
, ., x # 0
, , :
. :
*
x = 0 .
x = {MM1) < () < (A) = x .
(1) ,
, ,
, , x = 0.
- :
-
1.
(1)
:
,
2x = 1 - 2 x ,
, ,
2.
-
*
(A) < ( OAM) < ( ), :
,
)
-
. , ,
fog x0, :
1. u = g ( x ) . 2. ( )
3. ( )
, g(x) # u0 x0,
l , :
, -
: .
:
)
)
-
,
'
1. :
2. f
3.
-
4.
5. ( ) , f x0 :
6. :
7. :
8. :
9.
'
1. :
-
2.
3. = 1. :
= 1. :
4. :
1.6
54 - f x0. - , - x'x x0, f(x) - - . f x0
-
55 - f x0. - , x - x'x x0, f(x) - - - ( > 0) . -
f x0 -
*
f
> 0 > 0 ,
f(x) >
> 0 > 0 ,
f(x)
-
:
:
-
,
:
1 ( )
2 ( )
, , - ( ) . . , - :
:
-
:
:
,
:
.
1 . :
i) 1,
:
ii) (x-2)2 > 0 2,
-
2 .
x0 = 2 , f(x) 2.
x-2 > 0 x > 2 ,
x-2 < 0 x < 2,
. f 2.
'
1. ( ) f x0 :
2. ( ) f x0, :
-
1. ( )
2. :
i) f(x) = x
ii) f(x) = x 0.
3.
.
4. :
1. 7
f , g , h
x .
-
f(x) l. - f
g(x) . g
h(x) . h
f f , ,
f,g,h :
- :
,
-
x0
: .
. :
,
# 0 :
-
,
,
- ( 1 ) :
> 1 (. 60),
0 < < 1 (. 61),
(1) .
-
. -:
() ,
( ) . ,
. ,
, - O - :
, . - . , . - . ,
1. :
-
2. :
3. :
'
1. , - : , - :
2. -
3. -
4. :
-
1.8 !
f,g,h .
:
f :
g x0
h x0 .
f x0. , , x0 f. , .
f x0 x0 .
f
, 0,
, f x0 :
-
) x0 ) x0, ,
f ( x 0 ) , x0.
:
0,
f 0.
1,
f , , , .
:
,
, x0
f(x) = x g(x) = x ,
, :
f(x) = x g(x) = logx , 0 < # 1 .
-
x0 :
f g x0, x0 :
x0.
: f(x) = x f(x) = x - .
g(x) = 3x-2 .
,
g(x) = xx
f1(x') = x f2 (x) = x..
, - :
f x0 g f ( x 0 ) , gof x0.
, (x) = (x2 -1 )
f(x) = x2 - 1 g(x) = x .
;
-
f - .
f
. f , x0 = 0 ,
:
f(0) = 2 .
, 2 = 1 , ,
. , , - f - ' .
f (,), (,). (. 63)
f [,], (,)
(, ], [, ).
-
:
Bolzano
- f [ , ] . A(,f()) (,f()) - x'x, f - . .
f, [,]. :
f [, ] , ,
f() f() < 0,
, , ,
f (x 0 ) = 0.
, , , f(x) = 0
(,).
Bolzano :
f ' ,
. (. 65)
f f .
-
f x. , :
) f.
) , - f . - f .
,
f(x) = 0 [0,2].
f
f .
x0
0 2
f(x) - 1 1 - 1
-
+ -
, f(x) < 0 ,
-
Bolzano - .
f, [, ]. :
f [, ]
f() # f()
, f() f() ,
f(x0 )= n
f() < f ( ) . f() < < f() (. 67).
g(x) = f ( x ) - , :
g [, ]
g()g()< 0,
g() = f() - < 0 g ( ) = f ( ) - > 0 . , Bolzano, ,
g(x0) = f(x0) - = 0 , o f ( x 0 ) = .
f [ , ] , , , - .
:
f() - f .
-
[ ,] , .
( )
f [,], f [,] m. (. 69)
, , . m = f(x1) = f ( x 2 ) ,
f [, ] [ m , M ] , m .
, f(x) = x, [-1,1],
[0,2] m = -1 = 1.
-
, :
f (,), - (, ) (. 71),
, , f (, ), - (, ) (. 71 ).
,
-
(. 72),
, (. 73)
f [, ], [, ) (, ].
-
x + x = 4 , , - (,2).
f [,2] .
, Bolzano , ,
1. -. .
2. x0 -:
-
3. ,
4.
5. :
6. x - x + 1 = 0 -
(0,).
7. f, , (, + 1) - f(x) = 0
-
8.
,,> 0 < < , , (, ) (,).
9. f - x, :
10.
'
3. i) f x0 = 0 . -
f (0) ,
ii) , g(0) g
x0 = 0
4. f , g [0,1] f(0) < g(0) f(l) > g ( l ) ,
f() = g().
-
5. :
, , (1,2).
6. - f g
7. i) f [-1,1],
) f(x) = 0. ) f
(-1,1). ) f -
; ii) f
8. [0,1] f - .
i)
ii) Bolzano Cf
.
9. - C - f - [, ]
M0(x0,y0) - ,
-
i ) d(x) = (M0M) M0(x0,y0) M(x,f(x)) Cf
ii) d [,]
, , Cf -
0 ,
, Cf 0
.
I .
, , - , .
-
II. -
' :
A) l < m
) 1 = m ) m < l.
A) 8 ) 1 ) 0 ) - 8 .
:
) 1 ) - 1 ) 0.
-
A) x0 = 0 B) x0 = 2 ) x0 = - 1 ) x0 = l .
1.
:
) g 2
) f 1
) g
I I I .
2. ;
3. f = [0,3], f(0) = 2 , f(1) = 1 f(3) = - 1 .
' - ;
) f [0,3] 2 - 1 .
-
, , ' . - "" , . . - "-" :
17 . - ( - , , ..) ( ). Descartes, "La Geometrie" (1637), - ( - - -), - :
" y x , ".
"" ( fungor , , ) 1673 ' Leibniz " -" (Methodus tangent ium inversa, seu de functionibus) , y
-
. - , . J. Bernoulli 1718 :
" - ".
" " , - - . , - " ", L. Euler 1748, " ".
" - - ".
, .. , . ' , 18 , y = f(x,t) - t. - ' , - . L. Euler, 1755 , - " -" .
" , , - . - . x , x , - x".
- , "". J. Fourier, 1822, - : ", -
-
f(x) , - . x, f(x). - , . ' ' - ".
- " " , - . , , - "" , , - "", ' - . ' . L. Cauchy 1844, -: " Euler Lagrange, - , . ' , , . , - Euler Langrange , -. .., x , +x -x, x ,
x0 - '-
x0 - - ' .
-
-
, , , . , Euler II - " " ... ".
, Cauchy, -. " ", - , . Cauchy, 1821, : ( . Bolzano 1817).
" f(x) x x ' . x - , f(x+)- f(x),
x. ' , f(x) x, x ' , f(x+)-f(x) ' - ' . , f(x) x, ".
( .. - ) , , , . - -. - , , , - ' . d '
(1) Cauchy , , .
-
Alembert 1765 "" Diderot : " , - ' - ". ' , - , 2 - 1,9 1,99 1,999 1,9999 ..., 1,9 1,99 2 2 ... ( "" 2), - 1,9 2,01 1,9999 2 , 0 0 0 1 . . . ( 2). O ,
S.F. Lacroix 1810
" x -
.
,
, -
.
, x , , -. ,
: x".
-
, , . "" , Weierstrass 19 . , .
-
2
2.1
- S = S(t) t.
S t - . , , t0
0 h, t = t0 +h , . (. 1). t0 t S(t)-S(t0). , '
t t0, t0. , t t0, t0 ( t 0) . :
-
t1 = 1, t2 = 2
t3 = 3 :
, t0
, A. , , y = x 2
A(1,1) (. 4), y = x3
-
A(1,1) (. 4).
, , .
, , (. 5). , , AM . - , - , AM - " " - A. , , - - . f A ( x 0 , f ( x 0 ) ) -.
M ( x , f ( x ) ) , x # x0, f AM A , :
-
x x0 x > x0 AM (. 6). x x0 x < x0 (. 6). AM f .
AM -
Cf A ( x 0 , f ( x 0 ) )
.
f (x0,f(x0)) C f .
, -
Cf A,
.
, A ( x 0 , f ( x 0 ) )
y - f ( x 0 ) = (x -x0).
, f(x) = x2
(1,1).
Cf
A(1,1). -
-2 y - 1 = 2 ( x - l ) .
,
-
- , :
f ' x 0 ,
. f x0
f ' ( x 0 ) . :
, f(x) = x2 +1, x0 = 1
, f'(1) = 2 .
, , x = x0+h, -
h = x-x0 x, f(x0 + h)- f(x0) =
f(x0 + x ) - f(x0) f(x0) , :
Leibniz x0
O f'(x0) -
Lagrange. , x0 - f, :
f x0 ,
.
-
,
-
0 f'(0) = 0 ,
-
0,
:
, t0,
x = S(t) t0. ,
( t 0 ) = S'(t0).
Cf
f. A ( x 0 , f ( x 0 ) ) f x0. -
, = f'(x0)
:
f'(x0) A ( X 0 , F ( X 0 ) ) C f f x0.
-
, , f ' A(x0,f(x0)). f x0.
0, ' ,
, M(x,f(x)), x # 0 , Cf , ,
x 0, , y'y. f O(0,0) x = 0 .
0, ' ,
, M(x,f(x)), Cf ,
, x 0, y'y. Cf O(0,0) x = 0. :
-
f x0 :
)
)
)
Cf A ( x 0 , f ( x 0 ) ) -
x = x0
,
O(0,0) , x = 0 , 0
f - x0 , Cf A ( x 0 , f ( x 0 ) ) .
, -
O(0,0),
-
f
x0 = 0 , ' ,
, , f ' x0 ' . , , f - x0, x0, :
f ' x0, - .
x # x0
f x0. , f
x0.
-
f ' x0, ,
, x0.
:
i) x0 = 0 ; ii) x0 = 0 ;
i) f x0 = 0 ,
, ,
ii) :
# 1,-1, f -.
= 1,
x < 0 ,
x > 0
-
, = 1 f x0 = 0 .
= -1,
x < 0 ,
x > 0
, = - 1 f x0 = 0 .
'
1. f x0,
i) ii)
iii)
-
2. ( ) f x0,
i) ii)
iii) i)
3. f 0, - g(x) = xf(x) 0. f 0, - g(x) = xf(x) 0.
4. x0 -, . x0 -, .
5. Cf ( )
A ( x 0 , f ( x 0 ) ) 1 2.
Cf ( )
A ( x 0 , f ( x 0 ) ) 1 2.
1.
x0 = 0 .
2. f :
i) f(1) = 2 ii) f'(1) = 3
3.
A(0,1) -
4.
x0 = 0
-
5. :
i) f(0) = 1
ii)
iii) f'(0) = 1.
6. f x0 = 0 :
i ) f ( 0 ) = 0 i i ) f ' ( 0 ) = l .
7. f 0 -
i) f(0) = 0 ii) f'(0) = 4 .
8. , f x0, , f x0,
i)
ii)
9. - x'x 0sec 8sec. :
- x'x 0sec 8sec. :
-
i) ;
ii) ;
iii) t = 2 sec, t = 4 sec t = 5 sec;
iv) - 0sec 4sec;
) ;
i) ;
2.2 -
f A. :
f , , , -
f (,) -
,
f [ ,] -
, (, )
f [ ,] -
, (, )
f 1 .
f ' ( x ) ,
f f.
"
". y = f'(x) - y = (f(x))'. ". y = f'(x) - y = (f(x))'.
-
1 , - f', , f -
f".
f,
f ( ) .
, , . - , ( ).
f -
f'(x) = 0 ,
, x0 x # x0 :
,
(c)' = 0 .
f(x) = x . f f'(x) = 1,
, x0 x # x0 :
,
(x)' = 1.
-
f -
, :
f
, x0 :
3.1 0.
f(x) = x. f f'(x) = x,
-
,
, (x)' = x .
f(x) = x. f
f'(x) = - x ,
,
, (x)' = -x .
- f(x) = x, g(x) = x x0 =0
f, g ,
-
. f
,
f ( x ) = l n x . f
1. f ( x ) = lnx, .
-
Cf (x0,f(x0))
O(0,0) ,
, M(e, 1).
-
2 . 1 2 - f(x) = x O(0,0) (,0) . : i) 1 2
ii) - 1 , 2 x.
i) f'(x) = (x)' = x, f'(0) = 1 f'() = - 1 1 , 2
= x = -(x - )
.
ii)
1, 2 , -
'
1. f x0 :
i) ii)
iii) iv)
)
2. , , :
i) ii)
-
iii) iv)
3. y = x2 . - f(x) = x 3 ;
y = x2 . - f(x) = x 3 ;
4. - f -.
- f -.
5. - ,
f(0) = 0 , - .
'
1. ,
, x0 = .
2. (,f()), # 0 f. - (,f()) (-,0) Cf A.
3.
f(x) = x3 ( , 3 ) , # 0 . Cf .
f(x) = x3 ( , 3 ) , # 0 . Cf .
4.
,
-
x'x y'y ,
i) .
ii) ,
2.3
f , g x0, :
f , g ' , :
. -, f1,f2,....,fk, ,
,
-
f,g , x0, :
f,g ' ,
.
-. , :
-
,
f ' (c)' = 0 , (2) :
,
.
f , g ' g(x) # 0 , :
,
.
f
-
, :
.
, , > 1. ,
f(x) = x. f
, :
f(x) = x. f
1.
-
:
2 .
A(0,1) .
f'(0) = g'(0). :
A(0,1) :
y = x, - g(x) = 2x f(x) = x. 2x = 2xx,
y = 2x y = 2x, (x)' = x . :
-
, g f g(), fog
, u = g(x),
Leibniz, y = f(u) u = g (x ) ,
.
. -
, .
:
.
, u = l n x , -.
.
(1) , > 1 f x0 = 0
0, .
-
, u = xln, -
,
, u = f(x) , -:
1 .
i) ii) Hi)
-
i) y = f(x)
,
ii)
iii)
2 . M1(x1,y1)
y,
, C
-
[-,] ( - , ). , , y- f(x) 1 (x 1 , y 1 ) ,
(2)
, (2),
, x = x1,
, (1)
, y1 # 0 ,
, :
:
(3)
y 1 = 0 , 1 (x 1 , y 1 ) (,0)
A ' ( - , 0 ) , Cf
x = x = -
. (3) (x1 ,y1) = (,0) (x1, y1) = (-,0) .
- .
-
1.
i) ii)
iii) iv)
2. :
i) ii)
iii) iv)
)
3. :
i) ii)
iii) iv)
4. , , :
i) ii)
5. f, x, f, x,
i) ii) iii)
6. -
f',g'. f' = g' ;
-
7.
A(1,1), .
8.
, Cf A(0,1)
9.
f(x) = x3 -3x + 5 , :
i) y = 9x + 1
ii) y = -x.
f(x) = x3 -3x + 5 , :
i) y = 9x + 1
ii) y = -x.
10. f(x) = x2 A (0 , -1) . f(x) = x2 A (0 , -1) .
11. -
C f ,
A(1,2) y = x .
12. :
i) ii)
iii) iv)
)
13. f x0 :
i) ii)
iii) iv)
14. :
i) ii)
iii) iv)
-
15.
1.
,
.
2. y = 3 x - 2
f(x) = x3
.
y = 3 x - 2
f(x) = x3
.
3. f(x)=x2 + x+2
x0 =1.
4. f(x) = ex g(x) = -x2 -x.
Cf A(0,1) Cg .
f(x) = ex g(x) = -x2 -x.
Cf A(0,1) Cg .
5. , f(0) = 4 ,
f'(-1) = 2, f"(2) = 4 f(3)(1) = 6 .
, f(0) = 4 ,
f'(-1) = 2, f"(2) = 4 f(3)(1) = 6 .
6. f y = x + l y = 3x - 1 A(0,1) B(1,2) .
f y = x + l y = 3x - 1 A(0,1) B(1,2) .
7. x0 = .
i)
ii)
8.
x.
9.
i) ii)
-
Cf O(0,0)
.
10. f f'(1) = 1 g
Cf A(1,f(1)) Cg B(0,g(0)).
11. f, ( - 1 , 1),
i) f '(0)
ii) Cf A ( 0 , f ( 0 ) )
.
Cf A ( 0 , f ( 0 ) )
.
2.4
, t0
S t t0. ,
x,y y = f(x), f - x0,
y x x0 f'(x0).
, t t0 '(t0), t t0. '(t0) t0 ( t 0 ) .
, K, - x . , -
-
K(x0) -
x, x = x0 x0. ,
x0 x0.
1 . . t0 r 50 cm, r 20 cm/sec. - , t0.
E = . r2 r t,
,
2 . x - K(x) (x),
(x) = (x)- (x)
.
i) .
ii) .
i) O
,
-
ii) 0
'
1. . , -, cm r = 4 - t2, t sec. V
. , -, cm r = 4 - t2, t sec. V
, t = 1 sec.
2. O V 100cm3/sec. r - t0, 9cm;
O V 100cm3/sec. r - t0, 9cm;
3. , (x), , (x), x , (x), , (x), x
(x) = 420x .
, (x) = (x)-(x), - .
4. 1 2 . 1 15km/h 2 - 20km/h.
i) - 1 2
1 2 . 1 15km/h 2 - 20km/h.
i) - 1 2
-
ii) d = ( 1 2 ) - .
5. -
x y, x'(t) > 0
'
1. 10cm2/sec, r = 85 cm.
10cm2/sec, r = 85 cm.
2. O(0,0), (x,0) B(0,lnx), x > 1. x - 4cm/sec, , x = 5 cm.
O(0,0), (x,0) B(0,lnx), x > 1. x - 4cm/sec, , x = 5 cm.
3. 3m/s. , - y.
3m/s. , - y.
4. - 100m - 50m/min. - 100m.
- 100m - 50m/min. - 100m.
5. 1,60m - - 8m - 0,8m/s. - ;
1,60m - - 8m - 0,8m/s. - ;
-
6.
-
(-). -
'(t) = -(t) - - - - 3 .
7. 3m - ' . 0 , lm/sec . t0, 2,5m, :
3m - ' . 0 , lm/sec . t0, 2,5m, :
i) - (). - ().
ii) .
8. x2 +y2 = 1 . -
y
3 . x .
2.5
. Rolle, - , Rolle.
-
(Rolle)
f :
[,]
(,)
f() = f()
, , , :
f'() = 0
, , , ,
C f (,f()) -
x.
,
f [1,3], -
(1,3), f'(x) = 2x - 4 f(1) = 2 = f(3),
Rolle,
, f ' () = 0 .
, :
( ...)
f :
[,]
( ,)
, , , :
-
, , . ,
f (,f()) - .
,
f [0,4] -
(0 ,4) , -
, - ,
, :
1 . :
i) , Rolle [0,1], ii)
, , (0,1).
i) f Rolle [0,1]
[0,1]
(0,1) f'(x) = 3x2 + 2 x - ( + 1)
f(0) = f(1) = 0 .
-
ii) , ,
Rolle, , f'() = 0 ,
. , -
2 . f ( x ) = x2 +x + , # 0 [ x 1 , x 2 ] , , -
[ x 1 , x 2 ] ,
f(x) = x2 +x+ [x1 ,x2]
(x 1 ,x 2 ) , f'(x) = 2x + . , -
,
(1)
:
x2 - x1
, (1) :
3 . 200 2,5 . , , 80 .
. (t0) = S'(t0) = 80. S [0, 2,5] (0, 2,5). -
, , -
-
'
1. Rolle , Rolle , , ,
f'() = 0 .
i) ii)
iii) iv)
2. , - , ,
, - , ,
i) ii)
iii)
3. < , ... [,] : ... [,] :
g(x) = lnx 0 < < .
1.
i) f(x) = 0 , , (-1,0) , , (0,1).
ii) , -, (-1,1).
-
2. f(x) = (x -1 ) . :
i) f'(x) = 0 , , -
(0,1).
ii) x = 1 - x , ,
(0,1)
3. i) f f'(x) # 1 - f(x) = x .
ii) x = 0 .
4. i) ,
ii) f
:
5. f [0,4]
A f(0) = 1,
6. f [-1,1]
f(-1) = - 1 f(1) = 1, - f(0) = 0 , ... f [-1,0] [0,1],
7. Rolle Rolle
A(0,1), B(1,2).
2.6
, - . ... - .
-
f .
f
f'(x) = 0 x ,
f .
f(x1) = f ( x 2 ) .
x1 = x2, f(x1) = f(x2)
x1 < x2, [x1 ,x2] f -
. , ,
(1)
, f'() = 0 , , (1),
f(x1) = f(x2) . x2 < x1, f ( x 1 ) = f ( x 2 ) .
, , f(x1) = f (x 2 ) .
f , g .
f, g
f'(x) = g ' (x) x ,
c , :
f(x)=g(x)+c
f - g
, -, f - g . , C , f ( x ) - g ( x ) = c ,
f(x) = g(x)+c .
-
. ,
. f'(x) = 0 f
f
f'(x) = f(x) (1)
i)
ii) f, f(0) = 1.
i) :
,
ii) , , (x) = c
, .
f(0) = 1, 1 = c ,
-
f(x) = x2. f
, f'(x) = 2x < 0 ,
f , -
f'(x) = 2x > 0 . , , - - . - :
f'(x) = 2x > 0 . , , - - . - :
f'(x) = 2x > 0 . , , - - . - :
f'(x) = 2x > 0 . , , - - . - :
f, .
f'(x) > 0 x , f - .
f'(x) < 0 x , f - .
f'(x) > 0 .
x1 < x2. f(xl) < f(x2) . , - [x1,x2] f ... ,
,
f ' ()>0 x2 -x1 > 0 , f ( x 2 ) - f ( x 1 ) > 0 , f(x1) < f ( x 2 ) .
f'(x)
-
f ( x ) = x2 -2x
f'(x) = 2(x - 1) > 0
f'(x) = 2 (x-1) < 0
-
- . , f (- ) . ( ) .
- . , f (- ) . ( ) .
- . , f (- ) . ( ) .
- . , f (- ) . ( ) .
- . , f (- ) . ( ) . , , - f(x) = 3x2
f'(0) = 0 .
1 . , .
f f'
-
, f:
-
f ' (x)> 0
[0,1]
f ' (x)< 0 (0,1).
-
f'(x) > 0
f' f
[0,1] :
2. i) f ( x ) = x-x-2, - .
ii) x = x-2 [0,] .
i)
, f [0,] . f , 1.8, [ f (0) , f()] = [-3, -1].
ii) :
f [ - 3 , - 1 ] , 0,
f(x0) = 0 . f
[0,], x0 -
-
f(x) = 0 . ,
28, y = x-2 y = x.
1. f.g :
.
2. :
i) ii)
iii)
3. :
i) ii)
4. :
i) ii) iii)
5.
i) f,g . ii) .
iii) :
x = 1.
6. : i) .
ii) x = 0 .
-
1. f '
f .
2. i) [-1,1].
ii) f [-1, 1].
iii) - 2 < < 2 , - (-1,1).
3. t :
- :
i) ;
ii) ;
iii) ;
4. V ( ) , t , -
, , .
5. :
i) -
f .
ii) f ( x ) =
6.
-
7. :
i) f(x) = x - xx -
ii) x - xx > 0 ,
iii)
8. :
i) f(x) = 2x + x -3x , .
ii)
2.7
- f ' (,]. - x = x0 "" x0. f - x0 . x1 x2. :
f, ,
, > 0 ,
x0 , f(x0) - f. x0 , f(x0) - f.
-
f (x)< f(x0) ,
1.3, f ,
f(x0).
x = x0 "" x0. f x0 . -
x1 . , :
f ,
, > 0 ,
x0 , f(x0) -
f.
,
1.3, f .
f(x0)
f , , , f - . f .
,
:
i) x = 0 , f(0) = 0 ,
ii) x = 1 , f(1) = 1.
f , () .
-
i) (.32).
ii) f , - , , , . (. 32). - . - (. 32).
32 ' - x0 f , A ( x 0 , f ( x 0 ) ) f -, f '(x0) = 0. -, F e r m a t .
( F e r m a t )
f ' x0 . f x0 - , :
f(x0) = 0
f x0 . x0 f ' - , > 0 ,
(1)
-
, , f x0,
,
, (1),
(2)
, (1),
(3)
, (2) (3) f'(x0) = 0. .
, , f' , . -, 29 30, f ' :
1. f .
2. f .
3. ( ).
f - , f . ,
f 1, :
f'(x) = 0 0 2.
-
f' 0 2, 1, - f 0, 1 2. , , 1 2 , 0 . f. , - f . :
f ' ( , ) ,
x0, f .
i) f ' (x)> 0 (,x0) f ' (x)< 0 ( x 0 , ) , f(x0) - f. (. 35)
ii) f'(x) < 0 (,x0) f'(x) > 0 (x0, ) , f(x0) - f. (. 35)
iii) f'(x) f(x0)
f ( , ) . (. 35).
i) f'(x) > 0 f x0, f
( ,x 0 ] .
(1)
f'(x) < 0 f x0, f
[x 0 , ) . :
(2)
, (1) (2), :
f(x0) f (, ) - .
-
ii) .
iii)
f x0
( ,x 0 ] [X 0 , ) . , x1 < x0 < x2
f (x 1 )< f ( x 0 ) < f (x 2 ) . f(x0) f. -
, , f ( , ) . ,
x1 < x2.
f ( , x 0 ] ,
f(x1 ) < f (x2 ) .
f [ x 0 , ) ,
f(x1) < f(x2) , x1 < x0 < x2, f(x1) < f(x0) < f ( x 2 ) .
, f(x1) < f(x2) > f -
(, ).
, f'(x) < 0 , f(x) = X4 - 4x3
f f'(x) = 4x3 - 1 2 x 2 . f'(x) = 0
x = 0 () x = 3, f' -: x = 0 () x = 3, f' -:
-
, /
, x = 3 ,
f(3) = - 2 7 .
- f(x0) f ( , ) , - f(x0) f (, ).
f ' [ , ] , ( 1.8), f . :
1. f.
2. f - .
3. f.
, -
f'(x) = 0 x = 1, x = 4 . , f x = 1, x = 4 . f [0,5]
f(1) = 30, f(4) = 3 , f(0) = 19 f(5) = 14. , f [0,5] 30 x = 1, x 3 x = 4 .
f' x0. , , , x0 -.
f (,) x0 (, ) f .
f '(x0) = 0 f"(x0) < 0 , f(x0) .
f '(x0) = 0 f"(x0) > 0 , f(x0) .
-
, -
f(x) = x + 2x,
f'(x) = 1 - 2 x f"(x) = -2x,
f'
) f.
) f.
1 . , -
- .
E ( X ) = ( ) ( ) = 2 x ( 3 - x 2 ) = - 2 x 3 +6x.
'(x) = -6x2 +6 = -6(x + l ) ( x -1 ) . '(x)-0 x = -1, x = 1.
-
, 4 x = 1.
2 . f(x) = x - 1 - lnx.
i) .
ii) x > 0 .
i)
f'(x) = 0 , x = 1. f :
ii) f x = 1 , -:
x = 1.
3. (x), , , X , (x) = 40000 - 6x. 4000 . 1200 , , .
x
(x) = x ( x ) = x(40000-6x) = - 6 x 2 +40000x.
(x) = 4000x.
:
(x) = 4000x + 1200x = 5200x .
-
,
(x) = (x)-(x)
= -6x2 + 40000x - 5200x
= - 6 x 2 +34800x.
'(x) = -12x+34800, '(x) = 0 x = 2900.
-:
, 2900 50460 .
'
1. f
x f ;
2. ) -:
) -:
) :
-
3. -: -:
i) ii)
4. -: -:
i) ii)
5.
x1 = - 1 x2 =1 . .
6. , - 400m2 , . , - 400m2 , .
7. 80m . .
80m . .
8. x mgr , -
0 < x < 3 . , x, .
9. 2cm. - ,
i) - x.
ii) x , - (x)
2cm. - ,
i) - x.
ii) x , - (x)
10. x -
,
x
-
(x) = 420x - 2x2 . -, .
1.
i) f .
ii)
(0,).
2. i) -
.
ii) -
iii)
.
3. x > 0
i) ) ii) )
) )
iii) )
)
4. . f, ,
2 f 3 ( x ) + 6 f ( x ) = 2 x 3 + 6 x + 1,
f .
-
5. - f,g ' [,].
- f,g ' [,]. -
() Cf Cg
. Cf Cg
(,f()) (,g()) .
6.
f ( x ) = ( x - ) 2 ( x - ) 2 ( x - ) 2 , < <
.
7. 4m x m y m.
i) - x .
ii) x .
4m x m y m.
i) - x .
ii) x .
8.
i) Cf -
.
ii) Cf
AM.
9. , - . - 400m, , .
10. 100 . 100 , 1000 . 5 . , ;
100 . 100 , 1000 . 5 . , ;
-
11. - . - t = 0 r1 = 3 cm r2 = 5 cm t > 0 r1 - 0,05cm/s, r2 0,04 cm/s. :
- . - t = 0 r1 = 3 cm r2 = 5 cm t > 0 r1 - 0,05cm/s, r2 0,04 cm/s. :
i)
ii) .
12. .
)
= 4(1 + )
.
)
= 4(1 + )
.
)
= 4(1 + )
.
)
= 4(1 + )
ii) -;
13. - 100ft (1) - ,
- 100ft (1) - , 300ft . - 3ft/s 5ft/s.
i) M
ii) x ;
14. E1 2
( 1 ) l f t = 30 .48 cm
-
12km - 8 . - d - d, x 1 . ( - ).
2.8 -
-
()
, 38 . .
x = 0 , 0.
, . -, "" "" , .
-
:
f'(x) Cf , f'
g'(x) Cg , g'
f g
, :
f ' . :
f , f' .
f , f' .
, f ( ) , , C f ,
( -) . (. 40)
-
f ( ) , (-
, f ( ) ' , f "" ( "") (. 39), .
, - .
f ' - .
f " (x )> 0 x , x .
f"(x) < 0 x , f .
, f(x) = x3 (. 41),
f"(x) = 6x < 0 ,
f ,
f"(x) = 6x > 0 .
f
. -
, f(x) = x4 (. 42). -
f'(x) = 4x3 f(x) = x4 , f"(x)
f"(0) = 0.
f(x) = x3 (. 41) ,
() O(0,0) f
() x0 =0 , .
-
f "" O(0,0) . C f .
.
f ' (,),
x0.
f ( ,x 0 ) ( x 0 , ) , ,
Cf A ( X 0 , F ( X 0 ) ) ,
A ( x 0 , f ( x 0 ) ) - f.
A(x0,f(x0)) C f , f -
X0 x0 . -
C f "" . , ,
:
A ( x 0 , f ( x 0 ) ) f
f , f"(x 0) = 0 .
, f" . , f ' - : i)
f" , ii) -
f"
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