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Mathematiques pour les RTModules M1, M2 et M3
Cyrille SICLET, cyrille.siclet@ujf-grenoble.frCleo BARAS, cleo.baras@ujf-grenoble.frLuc GERBAUX, luc.gerbaux@form1pact.fr
IUT Departement Reseaux & Telecommunications
Version 2012b
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
Module 1
Fondamentaux d’algebre et detrigonometrie
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. - Les Maths en RT
Objectif
Maitriser les outils mathematiques utiles pour les reseaux et les telecoms.
Les modules
M1 (S1) : Fondamentaux d’algebre et de trigonometrie
M2 (S1) : Fondamentaux d’analyse
M3 (S1) : Calcul integral et equations differentielles
M4 (S2) : Transformations de Laplace et de Fourier
M5 (S2) : Series et series de Fourier
M6 (S3) : Mathematiques pour le traitement du signal numerique
MC1 (S4) : Algebre lineaire (PE)
MC2 (S4) : Probabilites (PE)
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. - Module M1, Fondamentaux d’algebreet de trigonometrie
Volume horaire :
27 heures17 seances de cours-td (17 × 1h30),1 DS (1 × 1h30)
Evaluation
Controle continu : coeff 1+ 1 a 2 controles courts par semaine portant sur des exercices-types corriges lors
des seances precedentes+ 8 controles sur 2,5 points
Devoir surveille final : coeff 3
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
1 Les nombres complexesUn peu d’histoireAlgebre des nombres complexesApplication a la geometrie : interpretation geometriqueApplication a la geometrie : transformations du plan et lieugeometriqueApplication a la trigonometrieApplication a l’electricite
2 Polynomes
3 Fractions rationnelles
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.1. - Un peu d’histoire
ecole italienne (Cardan, Bombelli), autour de 1570 ;
introduits pour resoudre les equations du troisieme degre x3 + px + q = 0
x =3
√−q
2+
√q2
4+
p3
27+
3
√−q
2−√
q2
4+
p3
27
Exemple 1 (Equation x3 − x = 0 (avec p = −1 et q = 0))
Solution evidente : 0, pourtant la formule precedente ne marche pas :q2
4 + p3
27 = −1/27 < 0, mais si on admet l’existence de√−1, on retrouve
bien x = 0 :
x =3
√√− 1
27+
3
√−√−1
27
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.2.1. - Ensemble des complexes C
Definition 2 (Ensemble des complexes C)
C est l’ensemble des couples (x , y) ∈ R×R muni de deux lois decomposition internes (notees + et ·) definies par :
loi d’addition sur C : ∀(x , y) ∈ C et ∀(x ′, y ′) ∈ C,(x , y) + (x ′, y ′) = (x + x ′, y + y ′) ;
loi de multiplication sur C : ∀(x , y) ∈ C et ∀(x ′, y ′) ∈ C,(x , y) · (x ′, y ′) = (xx ′ − yy ′, xy ′ + yx ′)⇒ en particulier, (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) ;
x est appele partie reelle et y est appele partie imaginaire.On utilise en general l’ecriture commune : z = x + jy ou j est lecomplexe defini par j = (0, 1) ; on peut alors parler de z comme unnombre complexe. On note : x = Re{z} et y = Im{z}.
Remarques :
Les reels sont des cas particuliers des complexes
Les nombres complexes de la forme (0, y) avec y quelconque sont appelesdes imaginaires purs
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.2.1. - C, un corps commutatif
Propriete 3 (Addition dans C)
Soient (x , y), (x ′, y ′), (x ′′, y ′′) trois complexes. L’addition :
1 est commutative : (x , y) + (x ′, y ′) = (x ′, y ′) + (x , y) ;
2 est associative :((x , y) + (x ′, y ′)
)+ (x ′′, y ′′) = (x , y) +
((x ′, y ′) + (x ′′, y ′′)
);
3 possede un element neutre (0, 0) ;
4 definit l’oppose de (x , y) comme etant (−x ,−y).
Remarques : Soient (a, b) et (α, β) deux complexes.
On dit que (a, b) est un element neutre de l’addition si pour toutcomplexe (x , y), on a (a, b) + (x , y) = (x , y).
L’addition possede un unique element neutre (a, b) = (0, 0).
On dit que (α, β) est un oppose du complexe (x , y) lorsque(α, β) + (x , y) = (a, b) ou (a, b) est l’element neutre de la loi d’addition(c’est-a-dire (0, 0)).
Tout nombre complexe possede un oppose unique.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.2.1. - C, un corps commutatif
Propriete 4 (Multiplication dans C)
Soient (x , y), (x ′, y ′), (x ′′, y ′′) trois complexes. La multiplication :
1 est commutative : (x , y) · (x ′, y ′) = (x ′, y ′) · (x , y) ;
2 est associative :((x , y) · (x ′, y ′)
)· (x ′′, y ′′) = (x , y) ·
((x ′, y ′) · (x ′′, y ′′)
);
3 possede un element neutre (1, 0) ;
4 definit l’inverse de (x , y) comme etant (x
x2 + y 2,− y
x2 + y 2) ;
5 est distributive sur l’addition :(x , y) · ((x ′, y ′) + (x ′′, y ′′)) = ((x , y)·(x ′, y ′)) + ((x , y)·(x ′′, y ′′)).
Remarques :
Toutes ces proprietes font de C un corps commutatif.
On dit que (α, β) est l’inverse du complexe (x , y) lorsque(α, β).(x , y) = (1, 0) ou (1, 0) est l’element neutre de la loi demultiplication.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.2.1. - Module et conjugue
Definition 5 (Module)
Soit z = (x , y) un complexe. Le module de z , note |z |, est defini par :
|z | =√
x2 + y 2.
Remarque : lorsque z est un reel, le module est la valeur absolue.
Definition 6 (Conjugue)
Le conjugue de z est le nombre complexe note z ou z∗ defini parz = z∗ = x − jy = (x ,−y)
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.2.1. - Module et conjugue
Propriete 7 (Module et conjugue)
Soient z = (x , y), z1 = (x1, y1) et z2 = (x2, y2) trois nombres complexes.Alors :
1 |z1z2| = |z1||z2| et
∣∣∣∣z1
z2
∣∣∣∣ =|z1||z2|
2 Inegalite triangulaire :∣∣|z1| − |z2|
∣∣ ≤ |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|
3 x = Re{z} = Re{z∗} =z + z∗
2et y = Im{z} = − Im{z∗} =
z − z∗
2j
4 zz∗ = |z |2
51
z=
z∗
|z |26 (z1 + z2)∗ = z∗1 + z∗2
7 (z1z2)∗ = z∗1 z∗2
8
(z1
z2
)∗=
z∗1z∗2
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.2.2. - Exercices-types
Exercice 1.1. Exercice-type :
Soit z =(1 + 2j)(2− j)
1− j.
1 Calculer z , c’est-a-dire ecrire z sous la forme x + jy ou l’on identifieraclairement la partie reelle x et la partie imaginaire y de z .
2 Donner le module et le conjugue du complexe precedent.
Memes questions pour z =(1− j)(1 + j)
2− j.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.2.2. - Exercices-typesExercice 1.2. Manipulations de complexe : Ecrire les complexes suivants sousla forme x + jy :
1 z1 = (1 + 2j)2, z∗1 et |z1| ; (resultats : z1 = −3 + 4j , z∗1 = −3− 4j et|z1| = 5) ;
2 z2 = j7, z∗2 et |z2| ; (resultats : z2 = −j , z∗2 = j et |z2| = 1) ;
3 z3 = (2− 3j)(1− j), z∗3 et |z3| ; (resultats : z3 = −1− 5j , z∗3 = −1 + 5j et|z3| =
√26) ;
4 z4 =2− 3j
1− j, z∗4 et |z4| ; (resultats : z4 = 2, 5− 0, 5j , z∗4 = 2, 5 + 0, 5j et
|z4| =√
262
) ;
5 z5 = (4 + 3j)3, z∗5 et |z5| ;
6 z6 =1
5 + 3j, z∗6 et |z6| ;
7 z7 =3 + 2j
3− 2j, z∗7 et |z7|.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.2.2. - Exercices de TD
Exercice 1.3. Demonstration de proprietes de cours : Demontrer toutes lesassertions de la propriete 7. Par la suite, elles pourront etre utilisees sans lesredemontrer.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.2.2. - Exercices de TD
Exercice 1.4. Puissance de complexe : Soient n ∈ N et z = x + jy ∈ C.
Montrer que Re{zn} =
n/2∑p=0
C2pn (−1)pxn−2py 2p et
Im{zn} =
(n−1)/2∑p=0
C2p+1n (−1)pxn−2p−1y 2p+1.
On rappelle la formule du binome de Newton : pour tous complexes a et b,
(a + b)n =n∑
k=0
Cknak bn−k avec Ck
n =n!
k!(n − k)!et k! =
k∏l=1
l = 1× 2× . . .× k.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.3. - Interpretation geometrique
Soit z = x + jy un complexe de partie reelle x et de partie imaginaire y .
Interpretation affine : on peut definir le point M(z) du plan avec zl’affixe du point M comme le point de coordonnees cartesiennes (x , y) ;
Interpretation vectorielle : on peut definir le vecteur ~u(z) du plan avec zl’affixe du vecteur comme le vecteur reliant l’origine au point decoordonnees (x , y)
Le module de z s’interprete alors comme : r = |z | = ||−−→OM|| = ||~u||
L’argument de z est l’angle avec l’axe (O, x) :
θ = arg{z} =
(−→Ox ,−−→OM) =
(−→Ox ,−→u )
Le module et l’argument de z vont servir de coordonnees polaires aupoint M ou au vecteur ~u du plan : (r , θ)
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.3. - Argument d’un nombre complexe
Definition 8 (Argument d’un complexe non nul)
Soit z = x + jy un complexe non nul. Alors : ∃!θ ∈]− π, π] tel quez = |z | (cos θ + j sin θ). Ce nombre (reel), note arg{z}, est appele
argument de z . Il est tel que tan(θ) =y
xavec :
si x > 0, θ ∈]−π
2, π
2
[et θ = arctan
(yx
)si x < 0 et y ≥ 0, θ ∈
]π2, π]
et θ = arctan(
yx
)+ π
si x < 0 et y < 0, θ ∈]−π,−π
2
[et θ = arctan
(yx
)− π
si x = 0, θ = π2
si y > 0 et θ = −π2
si y < 0
Remarque : arctan(
yx
)+ π et arctan
(yx
)− π designent le meme angle, a
2π pres. Par commodite, on pourra alors simplement utiliserθ = arctan
(yx
)+ π lorsque x < 0 sans se preoccuper du signe de y .
Definition 9 (Notation exponentielle d’un complexe)
Soit z un complexe de module |z | et d’argument θ. Alors z se note sousla forme exponentielle z = |z |e jθ.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.3. - Proprietes de l’argument
Propriete 10 (Argument d’un nombre complexe)
Soient z1 et z2 deux nombres complexes. Alors, a 2π pres :
arg{z1z2} = arg{z1}+ arg{z2} ;
arg{z1/z2} = arg{z1} − arg{z2} ;
arg{1/z1} = − arg{z1} ;
arg{z∗1 } = − arg{z1}.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.3. - Rappel : Reperage d’un point duplan
Un point M du plan se repere par :
ses coordonnees cartesiennes(x , y)
ses coordonnees polaires (r , θ)x
y
M(z)
x
yrθ
Le changement de coordonnees s’effectue de la facon suivante :
Coordonnees polaires −→ cartesiennes : x = r cos(θ) et y = r sin(θ)
Coordonnees cartesiennes −→ polaires : r =√
x2 + y 2 et
θ =
arctan
(yx
)si x > 0;
arctan(
yx
)+ π si x < 0;
π2
si x = 0 et y > 0;
−π2
si x = 0 et y < 0.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.3.1. - Exercices-types
Exercice 1.5. Exercice type : Soit z = 2− j .
1 Representer z graphiquement ;
2 Donner la forme polaire de z .
Meme questions pour z = −5 + 3j .
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.3.1. - Exercices-types
Exercice 1.6. Exercice-type : Determiner le module et l’argument (en degres eten radians) des nombres complexes suivants, et representez-les graphiquement :
1 z1 = −1− j 2 z2 = 3− j 3 z3 = −2 + 4j 4 z4 =√
3 + j
5 z5 = −2 + j√
12 6 z6 = −4 + 4j 7 z7 = 3− 3j
Elements de reponse : |z1| =√
2, arg(z1) = −135 degres = − 3π4
radians ;
|z2| =√
10, arg(z2) = − 180π
arctan( 13) degres = − arctan( 1
3) rad ; |z3| = 2
√5,
arg(z3) = 180− 180π
arctan(2) degres = π − arctan(2) radians
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.3.1. - Exercices de TD
Exercice 1.7. Notation exponentielle : Determiner la notation exponentielle desnombres complexes suivants :
1 z8 = (−j)18 2 z9 = (1 + j)−23 3 z10 = (−√
3 + j)51
4 z11 =1 + j
√3√
3 + j5 z12 = 1 + cosϕ+ j sinϕ 6 z13 = (1 + j tanϕ)2
Exercice 1.8. Resolution d’equation : Resoudre dans C les equations :
1 z5 + 1− j = 0 2 z5 − (−1 + j)−1 = 0
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.3.1. - Exercices de TD
Exercice 1.9. Module et argument : Determiner le module et l’argument ducomplexe z tel que z = (1 + j)n + (1− j)n, avec n ∈ Z.
Exercice 1.10. Module et argument : Soit z = e jθ. Determiner le module etl’argument du complexe Z defini par : Z = z2 + z .
Exercice 1.11. Resolution d’equation : Resoudre dans C l’equation
z2 =√
3 + j , en deduire l’expression exacte de cos( π
12
)et sin
( π12
).
Exercice 1.12. Resolution d’equation : Resoudre dans C l’equationz2 − (8 + 6j)z + 15 + 30j = 0, la methode de resolution des equations dusecond degre a coefficients reels restant valable pour les coefficients complexes.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.4.1. - Transformations du plan
Theoreme 11 (Translation)
Soit z1 (respectivement z2) l’affixe du vecteur ~u1 (respectivement ~u2) etdu point M1 (respectivement M2) du plan. Alors :
Le vecteur ~u = ~u1 + ~u2 est d’affixe z = z1 + z2 ;
Le point M tel que−−→OM =
−−→OM1 +
−−→OM2 est d’affixe z = z1 + z2 ;
Plus generalement le point A(a), translate du point B(b) par latranslation de vecteur ~u(u), est d’affixe a = b + u ;
x
y
~u 1(z
1)
~u2 (z
2 )
~u(z)
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.4.1. - Transformations du plan
Theoreme 12 (Symetries)
Soit z un complexe, affixe du point M. Alors :
Le point M ′(z ′), symetrique de M par rapport a l’axe des abscisses(O, x), est d’affixe z ′ = z∗ ;
Le point M ′′(z ′′), symetrique de M par rapport a l’origine, est d’affixez ′′ = −z.
x
y
\
•M(z)
•M ′(z∗)
\
•M ′′(−z)
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.4.2. - Produit scalaire
Definition 13 (Produit scalaire)
Soient ~u1 et ~u2 deux vecteurs du plan, d’affixes respectives z1 = x1 + jy1
et z2 = x2 + jy2. Alors le produit scalaire de ~u1 et ~u2, noteindifferemment 〈~u1, ~u2〉 ou ~u1.~u2, est le nombre reel defini par :
Definition geometrique : 〈~u1, ~u2〉 = ||~u1|| ||~u2|| cos( (~u1, ~u2)
).
Definition analytique : 〈~u1, ~u2〉 = x1x2 + y1y2 ;
Definition avec les nombres complexes : 〈~u1, ~u2〉 = Re{z∗1 z2}.
Rappels :
Deux vecteurs ~u et ~v sont dits colineaires s’ils existent un reel λ non nultel que ~u = λ~v
Deux vecteurs ~u et ~v sont dits orthogonaux si 〈~u, ~v〉 = 0
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.4.3. - Lieu geometrique
Definition 14 (Lieu geometrique)
Le lieu geometrique est l’ensemble des points (ou de maniereequivalente leurs affixes complexes) satisfaisant une condition donnee.
Exemple 15 (Des lieux geometriques : les droites, les cercles, lesdisques, ...)
Soient a, b et u trois nombres complexes. Alors :
1 La droite passant par le point A(a) et de vecteur directeur ~u(u) estd’equation parametrique D = {z ∈ C/z = a + λu, λ ∈ R} ;
2 La droite passant par le point A(a) et de vecteur normal ~u(u) estd’equation D = {z ∈ C/Re{(z − a)∗u} = 0} ;
3 La droite passant par les points A(a) et B(b) est d’equationparametrique D = {z ∈ C/z = a + λ(b − a), λ ∈ R} ;
4 Le cercle de centre A(a) et de rayon R est : C = {z ∈ C/|z − a| = R} ;
5 Le disque ouvert de centre A(a) et de rayon R est :D = {z ∈ C/|z − a| < R}.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.4.4. - Exercices-types du CC3
Exercice 1.13. Equation de droite : Determiner l’equation de la droite D :
1 passant par le point M(1, 2) et de vecteur directeur ~u(1,−1).
2 passant par le point M(1, 2) et de vecteur normal ~u(1,−1).
3 passant par les points M(1, 2) et N(−1, 1).
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.4.4. - Exercices-types du CC3
Exercice 1.14. Equation de droite : Determiner les equations des droites :
1 passant par les points A(1, 2) et B(−1, 0) ; (solution : x − y + 1 = 0) ;
2 passant par M(1, 1) et de vecteur normal ~u(1, 2) ; (solution :x + 2y − 3 = 0)
3 passant par M(1, 1) et de vecteur directeur ~u(1, 2) ; (solution :2x − y − 1 = 0) ;
4 mediatrice du segment [AB] avec A(1, 2) et B(−1, 0) (rappel : lamediatrice de [AB] est la droite orthogonale a la droite (AB) passant parle milieu du segment [AB]) ;
5 passant par A(1, 2) et perpendiculaire a la droite (AB) avec B(−1, 0).
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.4.4. - Exercices de TD
Exercice 1.15. Equations de droite dans le plan : Soient M1(x1, y1) etM2(x2, y2) deux points du plan et soit ~u(α, β) un vecteur. Determinerl’equation de la droite :
1 passant par M1 et de vecteur directeur ~u ;
2 passant par M1 et de vecteur normal ~u ;
3 passant par M1 et M2 ;
4 mediatrice du segment [M1M2] ;
5 passant par M1 et perpendiculaire a la droite (M1M2).
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.4.4. - Exercices de TD
Exercice 1.16. Droites dans le plan : Soient D et D′ deux droites d’equationscartesiennes respectives ax + by + c = 0 et a′x + b′y + c ′ = 0 et soit P(xP , yP )un point du plan.
1 A quelle condition D et D′ sont-elles paralleles ?
2 A quelle condition D et D′ sont-elles orthogonales ?
3 Quelle est la distance de P a la droite D ?
Exercice 1.17. Lieu geometrique : Determiner l’ensemble des affixessatisfaisant les relations :
1 Im(z) > 1 2 Re(z) ≥ 12
3 0 ≤ arg(z) ≤ π4
4 |2z − 3| > 3
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.1. - Exponentielle d’un complexe
Notation : exp(jθ) pour exp(jθ) = cos θ + j sin θ
Origine : developpement en serie entiere (cf. M5 ) de exp(x) donne par
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ ...+
xp
p!+ ... =
+∞∑n=0
xn
n!
Ecriture sous forme polaire : z = r . exp(jθ) = r cos θ + jr sin θ
Theoreme 16 (Formules d’Euler)
Soit θ ∈ R. Alors : cos θ =e jθ + e−jθ
2et sin θ =
e jθ − e−jθ
2j
Cas general : exp(x + jy) = exp(x) (cos y + j sin y)
Les proprietes de l’exponentielle restent vraies dans C notammentexp(z1 + z2) = exp(z1) exp(z2) et exp(nz) = (exp(z))n
Theoreme 17 (Formule de Moivre)
Soient θ ∈ R et n ∈ Z. Alors (cos θ + j sin θ)n = cos nθ + j sin nθ
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.2. - Rotations
Theoreme 18 (Rotations)
Soit B le point du plan d’affixe b = xb + jyb = rb exp(jθb).
La rotation de centre 0 et d’angle θ transforme le point B en le point B ′
d’affixe b′ = xb′ + jyb′ = rb exp(j(θb + θ)) avec b′ = b exp(jθ),xb′ = xb cos(θ)− yb sin(θ) et yb′ = xb sin(θ) + yb cos(θ).
La rotation de centre A(a) et d’angle θ transforme le vecteur−→AB(b − a)
en le vecteur−−→AB ′(b′ − a) avec b′ − a = (b − a). exp(jθ)), autrement dit
b′ = a + (b − a) exp(jθ), xb′ = xa + (xb − xa) cos(θ)− (yb − ya) sin(θ) etyb′ = ya + (xb − xa) sin(θ) + (yb − ya) cos(θ)
x
y
rb •B(b)
θb
•A(a)
θ
r b
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.3. - Rappels de trigonometrie : cercletrigonometrique et proprietes de base
Propriete 19 (Trigonometriede base )
Soit x un reel.
Relation fondamentale :cos2 x + sin2 x = 1
(cos x , sin x)
cos x
sin x
x
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.3. - Rappels de trigonometrie : cercletrigonometrique et proprietes de base
Propriete 19 (Trigonometriede base )
Soit x un reel.
sin(−x) = − sin x ;cos(−x) = cos x ;tan(−x) = − tan x
(cos x , sin x)
(cos x ,− sin x)
x−x
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.3. - Rappels de trigonometrie : cercletrigonometrique et proprietes de base
Propriete 19 (Trigonometriede base )
Soit x un reel.
sin(π/2− x) = cos x ;cos(π/2− x) = sin x ;tan(π/2− x) = 1/ tan x
(cos x , sin x)
(sin x , cos x)
x
π2 − x
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.3. - Rappels de trigonometrie : cercletrigonometrique et proprietes de base
Propriete 19 (Trigonometriede base )
Soit x un reel.
sin(π
2+ x)
= cos x ;
cos(π
2+ x)
= − sin x ;
tan(π
2+ x)
= − 1
tan x
(cos x , sin x)
(− sin x , cos x)
x
π2 + x
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.3. - Rappels de trigonometrie : cercletrigonometrique et proprietes de base
Propriete 19 (Trigonometriede base )
Soit x un reel.
sin(π + x) = − sin x ;cos(π + x) = − cos x ;tan(π + x) = tan x
(cos x , sin x)
(− cos x ,− sin x)
xπ + x
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.3. - Rappels de trigonometrie : cercletrigonometrique et proprietes de base
Propriete 19 (Trigonometriede base )
Soit x un reel.
sin(π − x) = sin x ;cos(π − x) = − cos x ;tan(π − x) = − tan x
(cos x , sin x)(− cos x , sin x)
xπ − x
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.3. - Rappels de trigonometrie : cercletrigonometrique et proprietes de base
Propriete 19 (Trigonometriede base )
Soit x un reel.
Pour tout entier relatif n,cos(nπ + x) = (−1)n cos x ;sin(nπ + x) = (−1)n sin x ;tan(nπ + x) = tan x
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.4. - Rappels de trigonometrie : anglesremarquables
Angle θ 0π
6(30◦)
π
4(45◦)
π
3(60◦)
π
2(90◦)
sin(θ) 01
2
√2
2
√3
21
cos(θ) 1
√3
2
√2
2
1
20
tan(θ) 0
√3
31
√3 +∞
x
y
0◦
30◦
60◦90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦300◦
330◦
360◦
π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π
7π6
5π4
4π3
3π2
5π3
7π4
11π6
2π
(√3
2 ,12
)(√
22 ,√
22
)(
12 ,√
32
)
(−√
32 ,
12
)(−√
22 ,√
22
)(− 1
2 ,√
32
)
(−√
32 ,− 1
2
)(−√
22 ,−
√2
2
)(− 1
2 ,−√
32
)
(√3
2 ,− 12
)(√
22 ,−
√2
2
)(
12 ,−
√3
2
)
(−1, 0) (1, 0)
(0,−1)
(0, 1)
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.5. - Formules d’addition, desoustraction et de duplication
Theoreme 20 (Addition et soustraction en trigonometrie)
Soient a, b ∈ R. Alors :
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a− b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a− b) = sin a cos b − cos a sin b
tan(a + b) =tan a + tan b
1− tan a tan b
tan(a− b) =tan a− tan b
1 + tan a tan b
Theoreme 21 (Duplication en trigonometrie)
Soit a ∈ R. Alors :
cos 2a = cos2 a− sin2 a = 2 cos2 a− 1 = 1− 2 sin2 a
sin(2a) = 2 sin a cos a
tan 2a =2 tan a
1− tan2 a
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.6. - Formules de linearisation et defactorisation
Theoreme 22 (Linearisation en trigonometrique)
Soient a, b ∈ R. Alors :
cos2 a =1 + cos(2a)
2; cos a cos b =
1
2cos(a + b) +
1
2cos(a− b)
sin2 a =1− cos(2a)
2; sin a cos b =
1
2sin(a + b) +
1
2sin(a− b)
Theoreme 23 (Factorisation en trigonometrie)
Soient a, b ∈ R. Alors :
sin a + sin b = 2 sin
(a + b
2
)cos
(a− b
2
);
sin a− sin b = 2 sin
(a− b
2
)cos
(a + b
2
)cos a + cos b = 2 cos
(a + b
2
)cos
(a− b
2
);
cos a− cos b = −2 sin
(a + b
2
)sin
(a− b
2
)32 / 354
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.7. - Definitions des fonctionstrigonometriques reciproques
Definition 24 (Arc cosinus)
Soit x ∈ [−1, 1]. Il existe un unique angle θ ∈ [0, π] tel que cos(θ) = x .On l’appelle l’arc cosinus du nombre x : θ = arccos(x).
Definition 25 (Arc sinus)
Soit x ∈ [−1, 1]. Il existe un unique angle θ ∈ [−π/2, π/2] tel quesin(θ) = x . On l’appelle l’arc sinus du nombre x : θ = arcsin(x).
Definition 26 (Arc tangente)
Soit x ∈ R. Il existe un unique angle θ ∈]− π/2, π/2[ tel que tan(θ) = x .On l’appelle l’arc tangente du nombre x : θ = arctan(x).
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.7. - Proprietes des fonctionstrigonometriques reciproques
Theoreme 27 (Fonctions trigonometriques reciproques)
Soit x ∈ R. Alors :
sin(arcsin(x)) = x si x ∈ [−1, 1] ;
cos(arccos(x)) = x si x ∈ [−1, 1] ;
tan(arctan(x)) = x ;
sin(arccos x) = cos(arcsin x) =√
1− x2 si x ∈ [−1, 1] ;
arcsin x + arccos x = π2
si x ∈ [−1, 1] ;
arctan(x) + arctan(1
x) =
π
2si x 6= 0 ;
sin(arctan x) =x√
1 + x2;
cos(arctan x) =1√
1 + x2.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.8. - Exercices-types
Exercice 1.18. Exercice-type : Soit z = 2 exp(j(π2
+ π3
)).
1 Representer graphiquement z .
2 Donner la partie reelle et la partie imaginaire de z .
Memes questions pour z = − exp(j(π2− π
6)), puis pour z = 3 exp(j(π
4− π)).
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.8. - Exercices de TD
Exercice 1.19. : Exprimer cos(3θ) et sin(3θ) en fonction de cos θ et sin θ.
Exercice 1.20. : Exprimer cos4(θ) et sin4(θ) en fonction de cos(nθ) etsin(nθ), avec n ∈ N.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.8. - Exercices de TDExercice 1.21. Demonstration de proprietes : Demontrer en utilisant lesformules d’Euler que :
1 sin(−x) = − sin x 2 cos(π/2− x) = sin x 3 sin(π/2 + x) = cos x
4 sin(π + x) = − sin x 5 cos(π − x) = − cos x 6 cos(nπ + x) = (−1)n cos x
7 sin(nπ + x) = (−1)n sin x 8 tan(nπ + x) = tan x
Exercice 1.22. Demonstration de formules trigonometriques : Demontrer que :
1 cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b 2 sin(a− b) = sin a cos b − cos a sin b
Exercice 1.23. : Soit M le point du plan de coordonnees polaires (r , θ). Quelleest la longueur de l’arc de cercle AM avec A de coordonnees polaires (r , 0) ?
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.5.8. - Exercices de TDExercice 1.24. : Demontrer que (cos x + sin x)2 + (cos x − sin x)2 = 2.
Exercice 1.25. : Soit f (x) = 2 sin2 x − 3 sin x + 2. Montrer quef (x) = f (π − x).
Exercice 1.26. : Soit f (x) = 3 cos2 x −5 cos x + 7. Montrer que f (x) = f (−x).
Exercice 1.27. : Soit f (x) = a cos2 x + b cos x sin x + c sin2 x + d . Montrerque f (x) = f (π + x).
Exercice 1.28. : Soit f (x) = sin3 x + cos3 x − sin x − cos x . Montrer quef (x) = f (π
2− x).
Exercice 1.29. : Resoudre les equations suivantes :
1 sin x =1
22 sin 5x = sin 3x 3 sin x = sin
(π4− 2x
)38 / 354
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 1.6. - Application a l’electricite : circuitsRLC en regime harmoniqueDans un probleme d’electricite, on a generalement affaire avec :
une tension : u(t) = U0 cos(ωt + ϕu) = Re{U0e jϕu e jωt}une intensite : i(t) = I0 cos(ωt + ϕi ) = Re{I0e jϕi e jωt}
En utilisant les complexes, on peut definir :
Tension/intensite complexe U = U0e jϕu et I = I0e jϕi amplitudescomplexes de la tension et de l’intensite
impedance complexe : Z =U
I= R + jX avec R la resistance et X la
reactance
bobine, inductance L : u = Ldi
dt⇒ u(t) = −LωI0 sin(ωt + ϕi ) et U = ZI
avec Z = jLω
condensateur, capacite C : i = Cdu
dt⇒ i(t) = −CωU0 sin(ωt + ϕu) et
U = ZI avec Z =1
jCω
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
1 Les nombres complexes
2 PolynomesAlgebre polynomialeEquations algebriques
3 Fractions rationnelles
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.1.1. - Definitions
Definition 28 (Polynome)
Un polynome est une fonction de la variable complexe x a valeurs dansC de la forme :
P :
C → C
x 7→ p0 + p1x + . . .+ pnxn =n∑
k=0
pk xk
On le note P = p0 + p1X + . . .+ pnX n =n∑
k=0
pk X k
Notation : C[X ] est l’ensemble des polynomes complexes a une variable.Remarque : Tous les termes de la forme pk X k dont appele monome depuissance k .
Definition 29 (Degre d’un polynome)
Le degre d’un polynome P est le nombre note deg(P) defini par :
si P = 0, deg(P) = −∞ ;
si P 6= 0, deg(P) = max ({n ∈ N/pn 6= 0}).40 / 354
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.1.2. - Addition de polynomes
Definition 30 (Addition de polynomes)
L’addition est la transformation definie par :C[X ]× C[X ] → C[X ]
(P,Q) 7→ P + Q =+∞∑k=0
(pk + qk )X k
Propriete 31 (Addition de polynomes)
Soient P,Q ∈ C[X ]. deg(P + Q) ≤ max(deg(P), deg(Q))
(C[X ],+) est un groupe a commutatif
a. Un groupe est un ensemble muni d’une loi de composition interne associativeadmettant un element neutre et, pour chaque element de l’ensemble, un elementsymetrique.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.1.2. - Multiplication de polynomes
Definition 32 (Multiplication de polynomes)
La multiplication est la transformation definie par :C[X ]× C[X ] → C[X ]
(P,Q) 7→ P.Q =+∞∑k=0
(k∑
l=0
pl qk−l
)X k
Propriete 33 (Multiplication de polynomes)
Soient P,Q ∈ C[X ]. Alors deg P.Q = deg P + deg Q
(C[X ],+, ·) est un anneau a commutatif
a. Un anneau est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication qui se com-portent comme suit : A muni de l’addition est un groupe commutatif, la multiplicationest associative, distributive par rapport a l’addition, et elle possede un neutre.
Exemple 34 (Un produit de polynomes)
Soient P = X 2 + 2X + 3 et Q = X − 1. P.Q = X 3 + X 2 + X − 3.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.1.3. - Division polynomiale
Theoreme 35 (Division euclidienne (polynomiale))
Soient A ∈ C[X ] et B ∈ C[X ] \ {0}. Alors : ∃!(Q,R) ∈ C[X ]× C[X ] telque A = BQ + R avec deg R < deg B. A est appele dividente, Bdiviseur, Q quotient et R reste.
Exemple 36 (Une division euclidienne)
X 2 + 2X + 3︸ ︷︷ ︸A
= (X − 1︸ ︷︷ ︸B
)(X + 3︸ ︷︷ ︸Q
) + 6︸︷︷︸R
car
X 2 + 2X + 3 = X (X − 1) + 3X + 3 et 3X + 3 = 3(X − 1) + 6 soit :X 2 + 2X + 3 X − 1−(X 2 − X ) X + 3
3X + 3−(3X − 3)
6
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.1.3. - Division suivant les puissancescroissantes
Theoreme 37 (Division suivant les puissances croissantes a l’ordrep)
Soient A ∈ C[X ] \ {0}, B ∈ C[X ] \ {0} avec B(0) 6= 0, et p ∈ N∗. Alors∃!(Q,R) ∈ C[X ]× C[X ] tel que A = BQ + X p+1R avec deg Q ≤ p.
Exemple 38 (Pour des polynomes de degre p = 2)
1 + 2X + 3X 2︸ ︷︷ ︸A
= (1− X︸ ︷︷ ︸B
)(1 + 3X + 6X 2︸ ︷︷ ︸Q
) + 6︸︷︷︸R
X 3 car
1 + 2X + 3X 23 1− X−(1− X ) 1 + 3X + 6X 2
3X + 3X 2
−(3X − 3X 2)6X 2
−(6X 2 − 6X 3)6X 3
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.1.4. - Exercices-types
Exercice 1.30. Exercice-type : Donner le quotient Q et le reste R de la divisioneuclidienne de 2X 3 − X 2 + X − 3 par X + 4.
Exercice 1.31. Exercice-type : Donner le quotient Q et le reste R de la divisionsuivant les puissances croissantes a l’ordre 2 de X 4 + X 2 + 1 par X + 1.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.1.4. - Exercices-types
Exercice 1.32. Exercice-type : Effectuer la division euclidienne de A par B, puissuivant les puissances croissantes a l’ordre 2 et a l’ordre 3, avec :
1 A = X 3 + X − 1 et B = X + 1 2 A = X 3 + X − 1 et B = 2X + 1
3 A = X 4 − 1 et B = X − 1 4 A = X 2 + X + 1 et B = X − 1
5 A = X 2 + 2X + 1 et B = X + 1 6 A = X 3 + 3X 2 + 3X + 1 et B = X 2 + 2X + 1
7 A = X 4 + X + 1 et B = X + 1
Reponses : 1 Q = X 2 − X + 2, R = −3, Q2 = −1 + 2X − 2X 2, R2 = 3,
Q3 = −1 + 2X − 2X 2 + 3X 3, R3 = −3 ; 2 Q = X 2/2− X/4 + 5/8,R = −13/8, Q2 = −1 + 3X − 6X 2, R2 = 13, Q3 = −1 + 3X − 6X 2 + 13X 3,
R3 = −26 ; 3 Q = X 3 + X 2 + X + 1, R = 0, Q2 = 1 + X + X 2, R2 = −1 + X ,Q3 = 1 + X + X 2 + X 3, R3 = 0
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.1.4. - Exercices de TD
Exercice 1.33. : Effectuer la division euclidienne de A par B, puis suivant lespuissances croissantes a l’ordre 2 et a l’ordre 3, avec :
1 A = X 5 − X 4 + X 3 + 1 et B = X 2 + 1 ;
2 A = X 7 − 5X 6 + 3X 4 + 2X 2 + X − 1 et B = X 3 + X + 1 ;
3 A = X 8 + 3X 6 − 2X 5 + 2X 3 − X + 2 et B = 2X 2 − X + 1.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.1.4. - Exercices de TD
Exercice 1.34. : On cherche a approcher la fonction f (x) =1
1− xpar un
polynome au voisinage de x = 0. L’objet de cet exercice est de montrercomment le faire en utilisant la division suivant les puissance croissante.
1 Determiner le quotient et le reste de la division suivant les puissancecroissante a l’ordre 2 de 1 divise par 1− X .
2 En deduire que f (x) peut se mettre sous la formef (x) = 1 + x + x2 + x2ε(x) avec ε(x) une fonction que l’on explicitera.
3 En deduire que f (x) peut etre approximee au voisinage de x = 0 par unpolynome p(x) que l’on explicitera.
4 Deduire de 2 les valeurs des limites suivantes : limx→0
f (x)− 1
2x;
limx→0
f (x)− 1− x
x3; lim
x→0
f (x)− 1− x
3x2.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.1.4. - Exercices de TD
Exercice 1.35. :
Soit n ∈ N. Montrer que
X n+1 − 1 = (X − 1)
(n∑
k=0
X k
)= (X − 1)(X n + . . .+ 1).
Soit p ∈ N. En deduire que X 2p+1 + 1 = (X + 1)
(2p∑
k=0
(−1)k X k
).
Exercice 1.36. : Soit n ∈ N. Calculer la division euclidienne de X n+1 + 1 parX − 1.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.2.1. - Equations algebriques
Definition 39 (Equations algebriques, racine, ordre de multiplicite)
Une equation algebrique est une equation du type P(x) = 0. Onappelle zero ou racine d’une equation algebrique tout element x0 ∈ C telque P(x0) = 0. Chaque zero (ou racine) possede un ordre demultiplicite : cet ordre est le nombre l ∈ N∗ tel que :
∃Q ∈ C[X ] tel que P = (X − x0)l Q ;
∀A ∈ C[X ], P 6= (X − x0)k A pour k > l , k entier.
Definition 40 (Derivee)
Soit P = p0 + p1X + p2X 2 + ...+ pnX n. La derivee du polynome P est lepolynome P ′ donne par : P ′ = p1 + 2p2X + ...+ npnX n−1.
Propriete 41 (Racine d’un polynome)
x0 ∈ C est racine (ou zero) d’ordre l du polynome P ∈ C[X ] ssi x0 estracine (ou zero) de P, P ′,..., P(l−1), mais pas de P(l).
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.2.2. - Factorisation d’un polynome
Theoreme 42 (Theoreme de d’Alembert)
Tout polynome de C[X ] de degre superieur ou egal a 1 admet au moinsune racine (ou zero) complexe (eventuellement reelle).
Lemme 43 (Consequences)
Tout polynome P de C[X ] de degre n ≥ 1 admet exactement n racines xp
(ou zero) complexes (en comptant autant de fois les racines que leur ordrede multiplicite).
Factorisation d’un polynome : soient xp les racines du polynome P ayantchacune un ordre de multiplicite αp. Alors :P = pn(X − x1)α1 ...(X − xp)αp .
Factorisation d’un polynome a coefficients reels :P = pn(X−x1)α1 ...(X−xk )αk (X 2−2r1 cos θ1+r 2
1 )β1 ...(X 2−2rl cos θl +r 2l )βl .
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.2.3. - Racine enieme de l’uniteProbleme
Chercher les racines enieme de l’unite, c’est chercher les complexes z telsque zn = 1
Theoreme 44 (Racine enieme de l’unite)
En posant z = r .exp(jθ), on a : z est solution du probleme ssi r = 1 et
θ =2kπ
navec k ∈ Z. Il y a donc n solutions.
Demonstration.
Il suffit d’egalant les modules de z et de 1 et les arguments de z et de1.
Applications
1 Racine enieme d’un nombre complexe a = % exp(jϕ) : les solutions sont
z = n√% exp
(jϕ+ 2kπ
n
)2 Racines de az2 + bz + c = 0, avec a, b, c complexes : z est racine ssi(
z − b
2a
)2
=b2
4a2− c
a=
b2 − 4ac
(2a)2. On est donc amene a chercher les
racines carrees de b2 − 4ac
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.2.4. - Exercices-types
Exercice 1.37. : Donner les racines cinquiemes de l’unite.
Exercice 1.38. : Donner les racines cubiques de −1.
Exercice 1.39. : Calculer les racines :
1 5iemes de 1 2 4iemes de -1 3 cubiques de j
4 carrees de −j 5 5iemes de 1 + j 6 5iemes de√
3 + j
Reponses : 1 ωk = exp(j 2kπ5
), avec 0 ≤ k ≤ 4 ; 2 ωk = exp(j (2k+1)π4
), avec
0 ≤ k ≤ 3 ; 3 ωk = exp(j (2k+1/2)π3
), avec 0 ≤ k ≤ 2
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.2.4. - Exercices de TD
Exercice 1.40. : Resoudre dans C :
1 (1 + z)n = (1− z)n 2 z5 + 1− j = 0
3 z5 − (−1 + j)−1 = 0 4 1 + z + z2 + · · ·+ zn = 0
Exercice 1.41. : Determiner les racines, eventuellement complexes, despolynomes :
1 X 4 − X 2 − 1 = 0 ;
2 X 4 + X 3 − X − 1 = 0 ;
3 X 4 − 3X 3 + 4X 2 − 3X + 1 = 0 ;
4 X 5 + 4X 4 + 5X 3 + X 2 − 2X − 1 = 0 ;
5 X 5 − 2X 4 − X 3 + 3X 2 − 1 = 0.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 2.2.4. - Exercices de TD
Exercice 1.42. : Un dromadaire herita d’un terrain carre a brouter dont lasurface etait inferieure d’une seule longueur de baton a celle de son cote. Ilcreva de faim... Pourquoi ?
Exercice 1.43. : Le nombre d’or est la proportion, definie initialement engeometrie, comme l’unique rapport entre deux longueurs telles que le rapportde la somme des deux longueurs (a + b) sur la plus grande (a) soit egal a celuide la plus grande (a) sur la plus petite (b) c’est-a-dire lorsque (a + b)/a = a/b.Le decoupage d’un segment en deux longueurs verifiant cette propriete estappele par Euclide decoupage en extreme et moyenne raison. Le nombre d’orest maintenant souvent designe par la lettre φ en l’honneur du sculpteurPhidias qui l’aurait utilise pour concevoir le Parthenon. (source : wikipedia).Calculer le nombre d’or.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
1 Les nombres complexes
2 Polynomes
3 Fractions rationnellesAlgebre des fractions rationnellesDecomposition en Elements Simples (DES) de premiere espece apoles simplesDecomposition en elements simples de premiere espece a polesmultiplesDecomposition en elements simples de seconde espece
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.1.1. - Definitions
Definition 45 (Fractions rationnelles)
Une fraction rationnelle est une fonction de la variable complexe x avaleurs dans C de la forme :
F :
C → C
x 7→ P(x)
Q(x)=
p0 + p1x + . . .+ pnxn
q0 + q1x + . . .+ qk xk
On la note F =p0 + p1X + . . .+ pnX n
q0 + q1X + . . .+ qk X k.
Notation : l’ensemble des fractions rationnelles est note C(X )
Propriete 46 (Egalite de deux fractions rationnelles)
Soient F1 = P1/Q1 et F2 = P2/Q2 deux fractions rationnelles. Alors :F1 = F2 lorsque P1Q2 = P2Q1.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.1.2. - Addition de fractions rationnelles
Definition 47 (Addition de fractions rationnelles)
L’addition de deux fractions rationnelles est une loi de compositioninterne sur C(X ) definie par : C(X )× C(X ) → C(X )(
P1
Q1,
P2
Q2
)7→ P1
Q1+
P2
Q2=
P1Q2 + Q1P2
Q1Q2
Propriete 48 (Addition de fractions rationnelles)
(C(X ),+) est un groupe commutatif.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.1.2. - Multiplication de fractionsrationnelles
Definition 49 (Multiplication de fractions rationnelles)
La multiplication de deux fractions rationnelles est une loi de compositioninterne sur C(X ) definie par : C(X )× C(X ) → C(X )(
P1
Q1,
P2
Q2
)7→ P1P2
Q1Q2
Propriete 50 (Multiplication de fractions rationnelles)
(C(X ),+, ·) est un corps commutatif.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.1.3. - Poles et zeros
Definition 51 (Fraction irreductible)
Soit F = PQ ∈ C(X ). On dit que F est irreductible si les polynomes P et
Q n’ont pas de racines communes.
Definition 52 (Pole)
Soit F = PQ ∈ C(X ) une fraction irreductible. Les zeros (ou racines) de Q
sont appelees les poles de F . On dit qu’un pole est d’ordre α si c’est uneracine d’ordre α de Q.
Definition 53 (Zero)
Soit F = PQ ∈ C(X ) une fraction irreductible. Les zeros (ou racines) de P
sont appelees les zeros de F . On dit qu’un zero est d’ordre α si c’est uneracine d’ordre α de P.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.2.1. - Preambule : pourquoi decomposeren elements simples ?
Exemple de probleme
Question : Trouver une primitive d’une fonction f (x).Methode : decomposer f (x) en une somme de fractions plus simples.
Exemple 54 (Trouver une primitive de f(x) =1
x2 + x)
Comme f (x) = 1x − 1
x+1 , on en deduit une primitiveF (x) = ln |x | − ln |x + 1|
Exemple 55 (Trouver une primitive de g(x) =x5 + 2x4 + x3 + 1
x3 + 2x2 + x)
Comme g(x) = x2 +1
x− 1
(x + 1)2− 1
x + 1, alors une primitive est
G (x) = x3
3 + ln |x |+ 1x+1 − ln |x + 1|.
Ces fractions plus simples sont appelees elements simples de premiereespece.
Question
Comment decomposer une fraction en elements simples en general ?
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M1. 3.2.2. - Partie entiere d’une fractionrationnelle
Theoreme 56 (Partie entiere d’une fraction rationnelle)
Soit F = PQ ∈ C(X ). ∃!(E ,R) ∈ C(X )× C(X ) tel que F = E +
R
Qavec
deg(R) < deg Q. E est appele partie entiere de F
Exemple 57 (Des parties entieres)
1 La partie entiere de G =X 5 + 2X 4 + X 3 + 1
X 3 + 2X 2 + Xvaut X 2 et
G = X 2 +1
X 3 + 2X 2 + X;
2 Celle de F =1
X 2 + Xvaut 0 et F = 0 +
1
X 2 + X.
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M1. 3.2.2. - Partie entiere d’une fractionrationnelle
Demonstration.
Determinons la partie entiere E de F : F = E +R
Q⇐⇒
{P = EQ + RF = P
Q
Theoreme 58 (Partie entiere d’une fraction rationnelle)
La partie entiere E de F = PQ est le quotient de la division euclidienne de
P (autrement dit le numerateur de F ) par Q (le denominateur de F ). Deplus, R est reste de la division euclidienne de P par Q.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.2.3. - Decomposition en elementssimples de premiere espece a poles simples
Definition 59 (Elements simples de premiere espece simple)
On appelle elements simples de premiere espece simple toute fraction du
type1
(X − x0)avec x0 ∈ C.
Propriete 60 ()
Soit F = PQ ∈ C(X ) une fraction irreductible de partie entiere E et de
poles simples x1, ..., xp. Alors, F peut s’ecrire de maniere unique sous laforme :
F = E +a1
X − x1+
a2
X − x2+ · · ·+ ap
X − xp
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M1. 3.2.3. - Methodes de decomposition
Methodologie 61 (Methodes de Decomposition en ElementsSimples (DES) de premiere espece simple)
Soit F = PQ ∈ C(X ) la fraction a decomposer.
1 Calculer la partie entiere (division euclidienne de P par Q) pour obtenirF = E + P1
Q
2 Factoriser Q (calcul des zeros et de leur ordre de multiplicite)
3 Decomposer P1Q
en elements simples de premiere espece en utilisant l’unedes methodes 62, 64 ou 66
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.2.3. - Methode par identification
Methodologie 62 (Methode par identification)
On identifie la fraction rationnelle de depart et sa DES en remettant lestermes de la decomposition sur le meme denominateur.
Exemple 63 (DES de F =1
X2 + X)
F possede 2 poles simples x1 = 0 et x2 = −1 donc F =1
X (X + 1). Le
degre du numerateur est plus petit que celui du denominateur, donc lapartie entiere est nulle (E = 0) et F peut s’ecrire sous la forme :
F =a
X+
b
X + 1. On a donc F =
a(X + 1) + bX
X (X + 1)=
(a + b)X + a
X (X + 1). On
en deduit que a + b = 0 et a = 1. D’ou b = −1 et F =1
X− 1
X + 1.
Remarque : Avec cette methode, on peut aboutir a la resolution d’unsysteme d’equations lineaires qui peut etre long a etudier.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.2.3. - Methode par prise de valeurs
Methodologie 64 (Methode par prise de valeurs)
On evalue la fraction rationnelle et sa decomposition pour des valeurssimples (X = 0,X = 1, . . .) en nombre suffisant pour aboutir a unsysteme d’equations lineaire a resoudre.
Exemple 65 (DES de F =1
X2 + X)
On a F =a
X+
b
X + 1. Comme F (1) =
1
2= a +
b
2et
F (2) =1
6=
a
2+
b
3, d’ou le resultat en resolvant un systeme de deux
equations a deux inconnues.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.2.3. - Methode pour des racines simples
Methodologie 66 (Methode pour des racines simples)
Si les racines de Q sont simples (c’est-a-dire d’ordre 1), alors :
F = E +a1
X − x1+ · · ·+ ap
X − xp. Pour obtenir le coefficient al avec
l ∈ J1, pK, il suffit de calculer F (x).(x − xl ) pour x = xl .
Demonstration.
F .(X − xl ) = al + (X − xl )
E +∑k 6=l
ak
X − xk
︸ ︷︷ ︸
=0 pour X =xl
= al pour X = xl
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.2.3. - Exemple
Exemple 67 (DES de F =1
X2 + X)
On a F =a
X+
b
X + 1. Par cette methode, on obtient immediatement
que a = [F × X ]|X =0 = 1 et b = [F × (X + 1)]|X =−1 = −1.
Remarque : si les racines de Q sont multiples : section suivante ! !
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.2.4. - Exemple 1
Exemple 68 (DES de F =X3 − 2X + 1
X4 − 3X3 + X2 + 3X− 2)
x0 = 1 est un pole et un zero de F , on peut donc simplifier F par X − 1
(par la division euclidienne) et obtenir : F =X 2 + X − 1
X 3 − 2X 2 − X + 2. Les
valeurs 1, −1 et 2 sont des poles de F , mais pas des zeros. On en deduitque F ainsi simplifiee est maintenant irreductible et que :
F =X 2 + X − 1
(X − 1)(X + 1)(X − 2). Le numerateur de F est de degre
strictement inferieur a celui de son denominateur, donc la partie entierede F est nulle et F peut se decomposer en elements simples de premiere
espece sous la forme : F =a
X − 1+
b
X + 1+
c
X − 2avec (methode 64)
a = [F × (X − 1)]|X =1 = −1/2, b = [F × (X + 1)]|X =−1 = −1/6 etc = [F × (X − 2)]|X =2 = 5/3. Finalement :
F =−1/2
X − 1+−1/6
X + 1+
5/3
X − 2.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.2.4. - Exemple 2
Exemple 69 (DES de F =X2 + X + 1
X2 − 3X + 2)
Les poles de F sont x0 = 1 et x1 = 2, mais ce ne sont pas des zeros de F .Donc F est irreductible. De plus le degre du numerateur est egal a celuidu denominateur, donc la partie entiere de F est un polynome de degre 0(une constante non nulle). Pour la trouver, on peut effectuer la divisioneuclidienne du numerateur par le denominateur et constater que lequotient obtenu vaut 1 et que le reste vaut 4X − 1, d’ou :
F = 1 +4X − 1
(X − 1)(X − 2). On en deduit que le DES de F est de la
forme : F = 1 +a
X − 1+
b
X − 2avec (methode 64)
a = [F × (X − 1)]|X =1 =[X − 1 + 4X−1
X−2
]|X =1
= −3 et
b = [F × (X − 2)]|X =2 =[X − 2 + 4X−1
X−1
]|X =2
= 7.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.2.4. - Exemple 3
Exemple 70 (DES de F =X3 + 1
X− 1)
Ici, F ne comporte qu’un seul pole simple x0 = 1 qui n’est pas un zero deF . Donc la fraction est irreductible et la decomposition s’obtient enfaisant simplement la division euclidienne de X 3 + 1 par X − 1. Lequotient obtenu vaut X 2 + X + 1 et le reste vaut 2, d’ou :
F = X 2 + X + 1 +2
X − 1.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.2.5. - Exercices-types
Exercice 1.44. Exercice-type : Decomposer en elements simples la fraction
rationnelle F (X ) =1
(X + 2)(X − 1).
Exercice 1.45. Exercice-type : Decomposer en elements simples la fraction
rationnelle F (X ) =X
(X + 2)(X − 1).
Exercice 1.46. Exercice-type : Decomposer en elements simples les fractionsrationnelles suivantes :
11
(X + 1)(X − 1)2
1
(X + 1)(X − 2)3
X
(X + 1)(X − 2)4
X 2 + 1
X − 3
5X 3 + 1
X − 16
X 2 + X + 1
X 2 − 3X + 27
X + 1
X 2 − 1
Reponse : F1 =−1/2
X + 1+
1/2
X − 1; F2 =
−1/3
X + 1+
1/3
X − 2; F3 =
1/3
X + 1+
2/3
X − 2
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.2.5. - Exercices de TD
Exercice 1.47. : Decomposer en elements simples de premiere espece lesfractions rationnelles suivantes :
11
X 3 + 12
1
(X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 4)
3X + 1
(X − 1)(X + 2)(X + 3)4
1
(X − x1)(X − x2) . . . (X − xn)
Exercice 1.48. : Trouver une primitive des fonctions suivantes :
1 f (x) =x
(x + 1)(x + 2);
2 f (x) =x2 + x + 1
(x + 1)(x − 1);
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.2.5. - Exercices de TD
Exercice 1.49. : Soit f la fonction definie par f (x) =2x2
x2 − 1− 3
x2 + x − 21 Determiner l’ensemble de definition de f ;
2 Factoriser les polynomes x2 − 1 et x2 + x − 2 ;
3 Determiner un denominateur commun aux fractions rationnelles2x2
x2 − 1et
3
x2 + x − 2puis ecrire f (x) sous la forme d’une fraction rationnelle notee
g(x)
h(x);
4 Determiner une racine simple du polynome g(x).
5 Simplifier l’ecriture de f (x) et resoudre l’equation f (x) = 0.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.2.5. - Exercices de TD
Exercice 1.50. : Quatre cubes ont respectivement pour aretes, mesurees encentimetres, x , x + 1, x + 2 et x + 3, ou x est un nombre entier naturel.Determiner x pour que le contenu des trois cubes d’aretes x , x + 1 et x + 2remplisse exactement le cube d’arete x + 3 .
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.3. - Decomposition en elements simplesde premiere espece generale
Definition 71 (Elements simples de premiere espece generale)
Ce sont les fractions du type1
(X − x0)n
Propriete 72 ()
Soit F = PQ ∈ C(X ) une fraction irreductible de partie entiere E et de
poles x1, ..., xp d’ordres respectifs α1, ..., αp. Alors, F peut s’ecrire demaniere unique sous la forme :
F = E +a1,1
X − x1+
a1,2
(X − x1)2+ · · ·+ a1,α1
(X − x1)α1
+a2,1
X − x2+
a2,2
(X − x2)2+ · · ·+ a2,α2
(X − x2)α2
+ · · · +ap,1
X − xp+
ap,2
(X − xp)2+ · · ·+ ap,αp
(X − xp)αp
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.3. - Methodes de decompositionefficaces generales...
Methodologie 73 (Methodes de decomposition efficaces generales)
1 calculer la partie entiere (division euclidienne de P par Q) ⇒ F = E + P1Q
2 factoriser Q (calcul des zeros et de leur ordre de multiplicite)
3 decomposer P1Q
en elements simples de premiere espece en utilisant :
si les racines de Q sont simples, la methode 74si les racines de Q sont multiples, la methode 76sinon, la methode 78
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.3. - ... lorsque les racines de Q sontsimples
Methodologie 74 (Methodes de decomposition efficaces generaleslorsque les racines de Q sont simples)
Si les racines de Q sont simples (d’ordre 1), alors
F = E +a1
X − x1+ · · ·+ ap
X − xp. Il suffit de calculer F .(X − xl ) pour
X = xl pour obtenir al .
Exemple 75 (DES de F =1
X2 + X)
On a vu que F =a
X+
b
X + 1. On obtient immediatement que
a = [F × X ]|X =0 = 1 et b = [F × (X + 1)]|X =−1 = −1.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.3. - ... lorsque les racines de Q sontmultiples
Methodologie 76 (Methodes de decomposition efficaces generaleslorsque les racines de Q sont multiples)
Si les racines de Q sont multiples, on effectue une division suivant lespuissances decroissantes.
Exemple 77 (DES de F =1
X2(X + 1))
On a F =a1
X+
a2
X 2+
b
X + 1et 1 = (a1X + a2)(X + 1) + X 2b
(multiplication par X 2(X + 1)). Donc :
Q = a1X + a2 est le quotient de la division suivant les puissancescroissantes a l’ordre 1 de 1 par X + 1, R = b = reste
il suffit donc de poser cette division pour obtenir les coefficients de ladecomposition, soit a1 = −1, a2 = 1 et b = 1 : 1 = (1− X )(1 + X ) + X 2.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.3. - ... dans le cas general
Methodologie 78 (Methodes de decomposition efficaces generalesdans le cas general)
On suppose que z0 est un pole d’ordre n de la fraction rationnelle F = PQ .
Alors F =P
(X − z0)nQ1= E +
a1
X − z0+ · · ·+ an
(X − z0)n+
P1
Q1avec Q1
un polynome dont z0 n’est pas un zero. Par multiplication de l’egaliteprecedente par (X − z0)nQ1, on obtient :P =
(a1(X − z0)n−1 + · · ·+ an
)Q1 + (X − z0)n (EQ1 + P1). Posons
maintenant Y = X − z0, on obtient alors :P(Y ) =
(a1Y n−1 + · · ·+ an
)Q1(Y ) + Y n (E (Y )Q1(Y ) + P1(Y )). D’ou
a1Y n−1 + · · ·+ an est le quotient de la division suivant les puissancescroissantes a l’ordre n − 1 de P(Y ) par Q1(Y ). Il suffit de poser cettedivision pour calculer les coefficients al pour 1 ≤ l ≤ n.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.3. - Exemple
Exemple 79 (DES de F =(X2 + 1)2
(X− 1)6)
Le degre du numerateur est 4 et du denominateur 6, donc la partieentiere de F est nulle. F possede un seul pole x0 = 1 d’ordre 6 et estirreductible et F peut s’ecrire sous la forme :
F =a1
X − 1+
a2
(X − 1)2+
a3
(X − 1)3+
a4
(X − 1)4+
a5
(X − 1)5+
a6
(X − 1)6
On pose Y = X − 1. Alors, le polynomea1Y 5 + a2Y 4 + a3Y 3 + a4Y 2 + a5Y + a6 est egal au quotient de ladivision suivant les puissances croissantes a l’ordre 5 deF (Y )× Y 6 = ((Y + 1)2 + 1)2 = Y 4 + 4Y 3 + 8Y 2 + 8Y + 4 par 1,c’est-a-dire Y 4 + 4Y 3 + 8Y 2 + 8Y + 4. On en deduit alors immediatementque a1 = 0, a2 = 1, a3 = 4, a4 = 8, a5 = 8 et a6 = 4, d’ou :
F =1
(X − 1)2+
4
(X − 1)3+
8
(X − 1)4+
8
(X − 1)5+
4
(X − 1)6
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.4. - Elements simples de seconde espece
Probleme
Decomposition des fractions rationnelles dans R : dans R un polynomese factorise sous la forme :
P = a(X − x1)α1 . . . (X − xk )αk (X 2 + p1X + q1)β1 . . . (X 2 + pl X + ql )βl
avec x1, . . . , xk les racines reelles d’ordre α1, . . . , αk , respectivement, deP, et p2
m − 4q2m < 0 pour 1 ≤ m ≤ l et
n = α1 + · · ·+ αk + 2(β1 + · · ·+ βl ). Donc la DES de premiere especepas toujours possibles dans R
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.4.1. - Elements simples de secondeespece
Definition 80 (Elements simples de seconde espece)
Ce sont les fractions de la forme :aX + b
(X 2 + pX + q)n
Definition 81 (DES de 1ere et 2de espece)
La decomposition en elements simples de premiere et de secondeespece d’une fraction F est de la forme :
F = E +a1,1
X − x1+ · · ·+ a1,α1
(X − x1)α1+
+ak,1
X − xk+· · ·+ ak,αk
(X − zk )αk+
c1,1X + d1,1
X 2 + p1X + q1+· · ·+ c1,β1 X + d1,β1
(X 2 + p1X + q1)β1+· · ·+
cl,1X + dl,1
X 2 + pl X + ql+ · · ·+ cl,βl X + dl,βl
(X 2 + pl X + ql )βl
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.4.2. - Methode de DES
Methodologie 82 (DES de 2de espece)
Les coefficients de la DES de seconde espece sont calcules :
comme pour la decomposition en elements simples de premiere espece, enprocedant par identification ou par prise de valeurs
d’une maniere generale : il faut effectuer la decomposition dans C, puisregrouper les termes conjugues pour n’obtenir que des termes reels. Onaboutit alors a la decomposition en elements simples de deuxieme espece.
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.4.3. - Exemple
Exemple 83 (DES de F =1
X3 + 1)
La partie entiere de F est nulle et F possede un pole reel x0 = −1. Ladivision euclidienne de X 3 + 1 par X + 1 donne : X 3 + 1 = (X + 1)(X 2 −X + 1). F possede donc deux autres poles complexes z1 et z∗1 egaux a12 ± j
√3
2 mais aucun zero. F peut donc se decomposer en elements simplesde 1ere espece sur C, mais seulement de 2de espece sur R :
F =a
X + 1+
b
X − z1+
b∗
X − z∗1=
a
X + 1+
cX + d
X 2 − X + 1
avec a = F .(X + 1)|X =−1 = 13 et b = F .(X − z1)|X =z1
= 1(z1+1)(z1−z∗1 ) =
2−3+3j
√3
= − 1+j√
36 .
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.4.3. - Exemple
Exemple 83 (DES de F =1
X3 + 1)
D’ou :
F =1/3
X + 1+
−(1 + j√
3)/6
X − (1/2 + j√
3/2))+−(1− j
√3)/6
X − (1/2− j√
3/2=
1/3
X + 1+
cX + d
X 2 − X + 1
Par identification, on obtient alors que c = b + b∗ = 2 Re(b) etd = −(bz∗1 + b∗z1 = −2 Re(bz∗1 )), soit finalement c = −1/3 et
d = −2 Re(− 1+j
√3
61−j√
32
)= 1
6 Re((1 + j√
3)(1 − j√
3)) = 23 . Et fi-
nalement :
F =1/3
X + 1+
(−1/3)X + 2/3
X 2 − X + 1
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.4.4. - Exercices-types
Exercice 1.51. Exercices-types : Decomposer en elements simples
F (X ) =1
(X + 2)3(X − 1).
Exercice 1.52. Exercices-types : Decomposer en elements simples
F (X ) =X
(X + 2)3(X − 1).
Exercice 1.53. Exercices-types : Decomposer en elements simples de premiereespece les fractions rationnelles suivantes :
11
X (X − 1)22
1
(X − 1)2(X + 1)3
X
(X − 1)3
4X
(X − 2)25
X + 1
(X − 1)36
1
(X − 1)4
Reponses : F1 = 1X
+ 1(X−1)2 − 1
X−1; F2 = 1/4
X +1+ 1/2
(X−1)2 − 1/4X−1
;
F3 = 1(X−1)3 + 1
(X−1)2 ) ;
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Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles
M1. 3.4.4. - Exercices de TD
Exercice 1.54. DES : Decomposer en elements simples de premiere et secondeespece les fractions rationnelles suivantes :
1(X 2 + 1)2
(X − 1)62
1
(X − 1)23
X 3 − 2X + 1
X 4 − 3X 3 + X 2 + 3X − 24
X + 1
X 2(X − 1)2
51
(X − 1)(X 2 + 1)26
X 4 + 1
X 4 + X 2 + 17
X 3
(X 2 + 1)38
X
(X 2 − 1)2(X 2 + X + 1)
Exercice 1.55. : Trouver une primitive des fonctions suivantes :
1 f (x) =x2 + x + 1
x2(x + 1);
2 f (x) =x7
(x + 1)2(x − 1).
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
Module 2
Fondamentaux d’analyse
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
4 Generalites sur les fonctionsDefinitionsCatalogue de fonctionsOperations sur les fonctionsExercices
5 Continuite
6 Derivation
7 Comportements asymptotiques
8 Comportements locaux
9 Synthese : Etude de fonctions
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.1.1. - Fonctions
Definition 84 (Fonction reelle de la variable reelle)
Une fonction f reelle de la variable reelle est une relation qui relie unreel x au plus un reel y . L’element y se note f (x). On la note :
f :
{R −→ R
x 7−→ y = f (x)
Definition 85 (Image et antecedent)
• y = f (x) est l’image de x par f
• x est un antecedent de y = f (x) par f
Exemple 86 (La fonction carre)
f :
{R −→ R
x 7−→ x2 avec y = f (x) = x2.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.1.2. - Ensembles
Definition 87 (Ensemble de definition Df)
Df est le sous-ensemble de R constitue par les x qui ont une et uneseule image par f : Df = {x ∈ R/f (x) existe }
Definition 88 (Ensemble image If)
L’ensemble forme par les images de tous les elements x de Df par f estappele ensemble image If : If = {f (x) ∈ R/x ∈ Df }
Definition 89 (Ensemble d’etude Ef)
Ef est l’ensemble des points en lesquels il convient d’etudier la fonction.C’est un sous-ensemble de Df .
Exemple 90 (Fonction carre)
f :
{R −→ R
x 7−→ x2 . Df = R, If = R+ car un carre est toujours ≥ 0
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.1.3. - Graphe geometrique
Definition 91 (Graphegeometrique Gf de f)
Gf est l’ensemble des pointsM(x , y) du plan P, d’abscisse x etd’ordonnee y = f (x) avec x variantdans Df . On le noteGf = {M (x , f (x)) ∈ P/x ∈ Df }.
Exemple 92 (La fonction cube)
f :
{R −→ R
x 7−→ x3
1 2x
1
2
y = f (x) Gcube
a
M(a, a3) a3
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.1.4. - Regle de definition et variablemuette
Definition 93 (Regle de definition)
La regle de definition de f est l’expression de l’image y de x par f enfonction de x , autrement dit l’expression de f (x) en fonction de x .
Remarque : Dans la regle de definition, x est une variable muette
Pour calculer l’image de n’importe quel reel toto, il suffit d’utiliser laregle de definition en remplacant x par toto
Exemple 94 (Une regle de definition)
Si f (x) =x + 2
3x2 − 5, alors f (toto) =
toto + 2
3toto2 − 5.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.1.4. - Fonction definie par morceaux
Definition 95 (Fonction definie par morceaux)
Une fonction f de la variable x peut etre definie par plusieurs regles dedefinition, dependantes des valeurs prises par x
Exemple 96 (Valeur absolue(abs))
|x | =
{x , si x ≥ 0 (Regle 1)−x , si x < 0 (Regle 2)
avec :
• |3| = 3 car 3 ≥ 0
• | − 4| = −(−4) car −4 < 0 (cequi donne bien 4)
0 1x
1
y
y= −
x y=
x
Gabs
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.1.4. - Fonction parametree
Definition 97 (Fonction parametree)
Une fonction f peut etre definie en fonction d’un parametre P ; sa reglede definition est souvent notee fP (x).Par rapport a la variable x , P est constant !
Exemple 98 (Fonction porteΠT(x) de parametre T)
ΠT (x) =0 , si x < −T
21
T, si − T
2≤ x <
T
2
0 , siT
2≤ x
.
0 1x
1
y
G pour T = 12
G pour T = 2
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.1.5. - Parite
Definition 99 (Fonctionpaire)
f est paire ssi pour toutx ∈ Df , −x ∈ Df etf (−x) = f (x)
Corollaire 100 (Fonctionpaire)
Le graphe d’une fonctionf paire est symetrique, desymetrie axiale par rapporta la droite (Oy)
Ef = {x ∈ Df /x ≥ 0}
Exemple 101 (Fonction carre)
f (x) = x2 est une fonction paire
x
M(x , f (x))
−x
M ′(−x , f (x))f (x)
0 1x
1
y
x2
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.1.5. - Impaire
Definition 102 (Fonctionimpaire)
f est impaire ssi pour toutx ∈ Df , −x ∈ Df etf (−x) = −f (x).
Corollaire 103 (Fonctionimpaire)
Le graphe d’une fonctionimpaire est symetrique, desymetrie centrale parrapport au point O(0, 0)
L’ensemble d’etudedevientEf = {x ∈ Df /x ≥ 0}
Exemple 104 (Fonction cube)
f (x) = x3 est une fonction impaire
0 1x
1
y = f (x) Gcube
−x
M(−x ,−f (x)) −f (x)
x
M(−x ,−f (x))f (x)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.1.5. - t-periodicite et periode T
Definition 105 (Fonctiont-periodique)
Soit t ∈ R. f estt-periodique si et seulementsi pour tout x ∈ Df ,x + t ∈ Df etf (x + t) = f (x)
Definition 106 (Perioded’une fonction)
La periode T de f est leplus petit reel positif nonnul tel que, pour toutx ∈ Df , f (x + T ) = f (x)
Exemple 108 (cos(x))
Elle est periodique de periode 2π et2π-periodique, 4π-periodique, ...,26π-periodique, ...
0 π 2π 3π−π−2π−3π
1
x
y
Gcos
x
M(x , f (x))f (x)
x
M ′(x + T , f (x))
T = 2π
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.1.5. - t-periodicite et periode T
Corollaire 107 (Fonctionperiodique)
Le graphe d’une fonctionperiodique de periode Tpresente un motif serepetant regulierement lelong de l’axe des abscissesa intervalle T
L’ensemble d’etude Ef
peut etre tout intervallede longueur egale a laperiode T
Exemple 108 (cos(x))
Elle est periodique de periode 2π et2π-periodique, 4π-periodique, ...,26π-periodique, ...
0 π 2π 3π−π−2π−3π
1
x
y
Gcos
x
M(x , f (x))f (x)
x
M ′(x + T , f (x))
T = 2π
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.1.6. - Exercices
Exercice 2.1. Parite, Imparite : Determiner si les fonctions suivantes sontpaires, impaires, ou ni paires ni impaires ; preciser alors le domaine d’etude :
1 f (x) =√
x2 + 1 2 f (x) =1
x − 13 f (x) =
3x5 − 7x3 + x
4x2 + 1
Exercice 2.2. Calcul de periode :Determiner la periode et le domaine d’etude des fonctions suivantes :
1 f (x) = sin(2x) 2 f (x) = sin2(2x)
3 f (x) = cos
(3πx
4
)4 f (x) = tan
(3x
4
)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.1.6. - Exercices
Exercice 2.3. Decomposition de fonctions en paire et impaire (pour lespoursuites d’etudes longues) : Montrer que toute fonction f definie sur R peutse decomposer en la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Onpourra etudier les deux fonctions g et h definies en fonction de f par :
g(x) =f (x) + f (−x)
2et h(x) =
f (x)− f (−x)
2.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.2.1. - Catalogue des fonctions ”simples”
f Regle de definition f (x) Df If Symetrie
Po
lyn
om
e
Constante c R R paire Lycee
Identite Id(x) = x R R impaire Lycee
Affine ax + b R R Lycee
Monome xn R Rpaire si n pair
impaire si n impair
M1
Polynome (iale) a0 + a1x + ...+ anxn R R M1
Racine carree√
x R+ R+ Lycee
Fra
ctio
n Inverse1
xR∗ R∗ impaire Lycee
Fraction
rationnelle
b0 + b1x + ...+ bM xM
a0 + a1x + ..+ aN xN
{x ∈ R/
N∑n=0
anxn 6= 0
}depend
des poles
M1
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.2.1. - Catalogue des fonctions ”simples”
f Regle de definition f (x) Df If Symetrie
Tri
go
no
met
rie
Sinus sin(x) R [−1; 1] 2π-periodique M1
Cosinus cos(x) R [−1; 1] 2π-periodique M1
Tangente tan(x) =sin(x)
cos(x)R \
{π2
+ kπ, k ∈ Z}
R π-periodique M1
ArcSinus arcsin(x) = asin(x) [−1; 1][−π
2;π
2
]impaire M1
ArcCosinus arccos(x) = acos(x) [−1; 1] [0;π] M1
ArcTangente arctan(x) = atan(x) R]−π
2;π
2
[impaire M1
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.2.2. - Racines n-iemes
Definition 109 (Racines n-ieme)
Ce sont les fonctions definies par
f (x) = n√
x = x1n avec n ∈ N∗,
autrement dit, f (x) est le reel dontla puissance n est x ; dans R, cenombre est unique !Leurs domaines sont :
si n est : pair impair
Df R+ R
If R+ R
0 1x
1
y√
x (n = 2)
5√
x (n = 5)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.2.2. - Proprietes
Theoreme 110 (Manipulation des exposants et les operandes)
Soient x ∈ R+ et y ∈ R+∗ .
n·m√x = n
√(m√
x)⇔ x
1n·m =
(x
1m
) 1n
nm√
x = n√
(xm)⇔ xmn = (xm)
1n
n√
(x · y) = n√
x · n√
y ⇔ (x · y)1n = x
1n · y
1n
n
√x
y=
n√
xn√
y⇔(
x
y
) 1n
=x
1n
y1n
Attention
Soient x , y ∈ R+.
n+m√
x 6= n√
x + m√
x ⇔ x1
n+m 6= x1n + x
1m
n√
(x + y) 6= n√
x + n√
y ⇔ (x + y)1n 6= x
1n + y
1n
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.2.2. - Logarithme neperien (dit a base e)
Definition 111 (Logarithme neperien)
f (x) = ln(x) = loge(x), dont les domaines sont : Df = R∗+, If = R.
0 1x
1
y
ln(x)
e ≈ 2.71
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.2.2. - Proprietes
Theoreme 112 (Proprietes de calcul mathematiques)
Soient x , y ∈ R+∗ .
ln(x .y) = ln(x) + ln(y)
ln
(x
y
)= ln(x)− ln(y)
ln (xy ) = y ln(x)
Attention
Soient x , y ∈ R+∗ .
ln (x + y) 6= ln(x) + ln(y)
1
ln(x)6= − ln(x)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.2.2. - Logarithme a base 10
Definition 113 (Logarithme a base 10)
Le logarithme a base 10 est le logarithme neperien amplifie du facteur
constant1
ln(10): f (x) = log10(x) =
ln(x)
ln(10)
Proprietes
Memes domaines que ln : Df = R∗+, If = R
Valeurs particulieres : log10(1) = 0, log10(10) = 1, log10(10n) = n
Memes proprietes de calcul que ln
Meme allure graphique que ln avec une courbe ”‘ecrasee”’ d’un facteur1
ln(10)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.2.2. - Applications
Application 1 : l’echelle logarithmique
Elle amplifie les variations proches de 0 et attenue les grandes variations ;en reduisant la dynamique des mesures, elle est tres souvent utilisee enelectronique et en telecoms.
Exemple 114 (L’echelle logarithmique).
0 1 2 3 401 10 100 1000
−∞ +∞
−∞ +∞LogarithmiqueLinéaire106 / 354
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.2.2. - Applications
Exemple 115 (Diagramme de Bode en electronique : Filtrepasse-bas RC)
Ce filtre a pour gain G 2 = f (w) =1√
1 + (w/RC )2
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.2.2. - Applications
Application 2 : Puissance en decibel
PdB = 10 log10(Plineaire)
Exemple 116 ()
La puissance sonore
PdB P
Murmure 40 dB 104
Poids lourd 90 dB 109
Ratio ≈ 2 ≈ 105
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.2.2. - Exponentielle (dite a base e)
Definition 117 (Exponentielle (dite a base e))
C’est la fonction inverse de ln definie par f (x) = exp(x) = ex . Sesdomaines sont : Df = R, If = R∗+.
0 1x
1
y
exp(x)
e ≈ 2.71
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.2.2. - Proprietes
Theoreme 118 (Propriete de calculs mathematiques)
Soient x , y ∈ R.
exp (x + y) = exp(x).exp(y)
exp(x · y) = (exp(x))y = (exp(y))x
exp(−x) =1
exp(x)
Attention
Soient x , y ∈ R. exp(x) + exp(y) 6= exp(x + y)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.2.2. - Exponentielle de base a
Definition 119 (Exponentielle de base a)
C’est une exponentielle dont l’abscisse x est dilatee d’un facteur ln(a) etdefinie par : f (x) = ax = ex ln(a) avec a ∈ R∗+.
Proprietes
Memes domaines que l’exponentielle
Proprietes de calculs mathematiquesdeduites de celles de exp et de ln
Cas particulier
Lorsque a = 1, on retrouve la fonctionconstante x 7→ 1 0 1
x
1
y
(0.4)x
(1.2)x
(2.3)x
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.2.2. - Monomes de puissances reelles
Definition 120 (Monomes de puissances reelles)
f (x) = xα = exp(α ln(x)
)= eα ln(x) avec α ∈ R, sur les domaines :
Df = R∗+, If = R∗+.
Proprietes
Proprietes de calculs mathematiquesdeduites de celles de exp et de ln
Cas particuliers
Lorsque α = 0, f est la fonction constantex 7→ 1
Lorsque α = 1, f est la fonction identitex 7→ x 0 1
x
1
y
x0.4
x1.2x2.3
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.2.3. - Exercices
Exercice 2.4. Logarithme a base a : On considere la fonction logarithme abase a ou a est un parametre choisi dans R∗+, notee fa et est definie pour tout
x ∈ R∗+ par fa(x) =ln(x)
ln(a). Calculer les images suivantes :
1 fa(1) 2 fa(a.x) 3 fa(ex ) 4 fa(ax ) 5 f3(x) 6 fa2 (x) 7 fa3 (a4)
Exercice 2.5. Une fonction definie par morceaux : Soit la fonction
f :
R → R
x 7→
{e2x − ex , si x ≤ 0
x23 − x
15 , si x > 0
. Calculer les images suivantes :
1 f (0) 2 f
(1
3
)3 f (3) 4 f (ln(3))
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.3. - Assemblage usuel de fonctions
Assemblage de fonctions
En assemblant deux fonctions u et v , on peut construire une troisiemefonction f , definie par
1 sa regle de definition f (x) qui dependra de u(x) et v(x)
2 son domaine de definition Df qui dependra des domaines de definition Du
et Dv voire parfois des domaines image Iu et Iv
3 son domaine image If
Le graphe Gf de f se deduit de transformation sur les graphes Gu et Gv .
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.3.1. - Somme
Definition 121 (Somme)
La somme de u et v , notee f = u + v , est la fonction definie par∀x ∈ Df , f (x) = u(x) + v(x) et dont le domaine de definition estDf = Du ∩ Dv .
+u
vx f (x)
Du Iu
Dv Iv
u(x)
v(x)
f
Df If
Exemple 122 (f(x) = cos(x) + x)
Somme de u(x) = cos(x) etv(x) = x
1 2x
1
2
y
Gcos
GidGcos+id
cos(x)
x
cos(x) + x
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.3.1. - Somme
Cas particulier
Lorsque l’une des fonctions est une fonction constante, la somme devientune translation verticale.
Exemple 123 (f(x) = cos(x) + 2)
Somme de u(x) = cos(x) et la fonction constante v(x) = 2
π 2πx
1
2
y
Gcos
Gcos+2
cos(x)
cos(x) + 2
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.3.2. - Produit
Definition 124 (Produit)
Le produit de u et v , note f = u.v , est la fonction definie par∀x ∈ Df , f (x) = u(x).v(x) et dont le domaine de definition estDf = Du ∩ Dv .
∗u
vx f (x)
u(x)
v(x)
Du Iu
Dv Ivf
Df If
Exemple 125 (f(x) = x cos(x))
Produit de u(x) = cos(x) etv(x) = x
1 2x
1
2
y
Gcos
Gid
Gcos∗id
cos(x)
x
x cos(x)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.3.2. - Produit
Cas particulier
Lorsque l’une des fonctions est une fonction constante, le produit devientune amplification.
Exemple 126 (f(x) = 2 cos(x))
Produit de u(x) = cos(x) et la fonction constante v(x) = 2
π 2πx
1
2
y
Gcos
G3cos
cos(x)
2 cos(x)
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M2. 4.3.3. - Composee
Definition 127 (Composee Terminale )
La composee de u par v , notee f = v ◦ u (lu ”‘v rond u”’ ou ”‘u suivie dev”’), est la fonction definie par ∀x ∈ Df , f (x) =
(v ◦ u
)(x) = v
(u(x)).
Son domaine de definition est : Df = {x ∈ Du/u(x) ∈ Dv}.
u vx f (x)u(x) = y v(y)
Du Iu Dv Iv
f
Df If
Exemple 128 (Fonction puissance f(x) = xα = eα ln(x))
C’est la composee de u(x) = α ln(x) avec v(y) = ey
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M2. 4.3.3. - Composees usuelles : Dilatation
Cas particulier : Dilatation
f : x 7→ v(λx) (avec λ ∈ R+) est la composee de u(x) = λx par v . C’estla dilatation de la fonction v par le facteur λ. Graphiquement,
on etire Gv le long de l’axe des abscisses si 0 < λ < 1.
on contracte Gv le long de l’axe des abscisses si 1 < λ.
Exemple 129 (f(x) = cos(3x) et g(x) = cos(
x3
))
π 2πx
1
y
cos(x)
cos(3x)
cos(x/3)
contraction dilatation
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M2. 4.3.3. - Composees usuelles : Retard etavance
Cas particulier : Retard
La fonction f : x 7→ v(x − r) (avec r un parametre reel positif) est lacomposee de u(x) = x − r par v . C’est la version retardee de lafonction v par r . Graphiquement, on translate horizontalement le grapheGv de r vers la droite.
Exemple 130 (f(x) = ΛT(x− 3) et g(x) = ΛT(x + 2))
0 T/2−T/2
x
1
y
ΛT (x − 3)ΛT (x + 2) ΛT (x)
retardavance
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M2. 4.3.3. - Composees usuelles : Retard etavance
Cas particulier : Avance
La fonction f : x 7→ v(x + r) (avec r un parametre reel positif) est lacomposee de u(x) = x + r par v . C’est la version avancee de la fonctionv par r . Graphiquement, on translate horizontalement le graphe Gv de rvers la gauche.
Exemple 130 (f(x) = ΛT(x− 3) et g(x) = ΛT(x + 2))
0 T/2−T/2
x
1
y
ΛT (x − 3)ΛT (x + 2) ΛT (x)
retardavance
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M2. 4.3.3. - Composees usuelles : Inverse,quotient
Cas particulier : Inverse f =1
u
C’est la composee de u par la
fonction x 7→ 1
x. f est appelee
l’inverse de u et definie par
f (x) =1
u(x)sur
Df = {x ∈ Du/u(x) 6= 0}.
Cas particulier : Quotient f =u
v
C’est le produit de la composee de1
vet de u. f est appelee quotient
de u par v et est definie par
∀f (x) =u(x)
v(x)sur
Df = {x ∈ Du ∩ Dv/v(x) 6= 0}.
Exemple 131 (Fraction rationnelle M1 )
Les fractions rationnelles telles que f (x) =1 + x + 2x2
1− 3xsont des
quotients.
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M2. 4.3.3. - Composees usuelles : Reciproque
Cas particulier : Composees de exp et ln
On a exp(ln(x)) = ln(exp(x)) = x . Attention : exp(ln(x)) est definie surR+∗ , tandis que ln(exp(x)) est definie sur R.
Cas particulier : Composees de racine carre et carre
On a√
(x2) = |x | et(√
x)2
= x . Attention :√
(x2) est definie sur R,
tandis que(√
x)2
est definie sur R+.
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M2. 4.3.4. - Resume
Fonction f Definition f (x) Df
Somme f = u + v f (x) = u(x) + v(x)
Df = Du∩Dv
Difference f = u − v u(x)− v(x)
Produit f = u.v u(x).v(x)
Amplification
par λ (∈ R)f = λu f (x) = λu(x)
Inverse f =1
uf (x) =
1
u(x)Df = {x ∈ Du/u(x) 6= 0}
Quotient f =u
vf (x) =
u(x)
v(x)Df = {x ∈ Du ∩ Dv/v(x) 6= 0}
Composee f = v ◦ u f (x) = v(u(x)
)Df = {x ∈ Du/u(x) ∈ Dv}
Dilatation
par λ (∈ R)f (x) = u(λx) Df = Du
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.4.1. - Exercices type
Methodologie 132 (Calcul du domaine de definition)
1 Identifier les fonctions usuelles presentes et indiquer leur domaine dedefinition
2 Identifier le (ou les) assemblage(s) de fonctions et leur ordonnancementpour la construction de la fonction
3 Appliquer les regles d’assemblage pour les assemblages identifies
Exercice 2.6. Exercice type : Soient u(x) = 1− x + x2 et v(x) =1
1 + x.
Donner l’expression de u ◦ v et v ◦ u en fonction de x et determiner le domainede definition de chacune.
Exercice 2.7. Exercice type : Determiner l’ensemble de definition de
f (x) =x − 2
3x2 − 2x + 1et g(x) =
√x2 − 3x + 2 +
1
x.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.4.2. - Exercices de TDExercice 2.8. Ensemble de definition d’un produit : Determiner l’ensemble de
definition de la fonction de la variable reelle x definie par f (x) =1 + x2
x.
Reponse : Df = R∗.
Exercice 2.9. Ensemble de definition d’une composee : Determiner l’ensemblede definition de la fonction de la variable reelle x definie par f (x) = 3
√x − 5.
Reponse : Df = [5; +∞[.
Exercice 2.10. Composition : On considere les trois fonctions f , g et h de lavariable reelle x definies par : a f (x) = 2x + 1, b g(x) = 1− x2,
c h(x) =x
x + 1. Donner la regle de definition des fonctions composees
suivantes (en fonction de x) :
1 f ◦ g 2 g ◦ 1
f3 h ◦ g ◦ f 4 g ◦ h ◦ f
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M2. 4.4.2. - Exercices de TD
Exercice 2.11. Domaine de definition : Determiner le domaine de definition desfonctions suivantes :
1 f (x) =1 + 2x + x4
x2 + 2x − 32 f (x) = ln(x − 2) +
1
x − 13 f (x) = tan(x) + cos(x)
4 f (x) = cotan(x) =1
tan(x)5 f (x) =
x2 + 3
1− |x | 6 f (x) =√
x2 + 2x + 3
7 f (x) =√
(x − 2)(x + 1) 8 f (x) =
√x − 2
x + 19 f (x) =
1√x2 − x − 2
10 f (x) =1√
x4 − x211 f (x) =
cos(x)
1 + sin(2x)12 f (x) =
√2 cos(x)− 1
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.4.2. - Exercices de TDExercice 2.12. Du graphique a la regle de definition : Donner la regle dedefinition des fonctions suivantes, partant de leur graphe. Dans chaque cas, lafonction sera definie par morceaux et on se limitera aux morceaux indiques surle graphe.
1 Dent de scie
0 T 2T−Tx
1
y
2 Signal triangulaire
0 T−Tx
1
y
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 4.4.2. - Exercices de TD
Exercice 2.13. De la regle de definition aux graphiques : Tracer le graphe desfonctions suivantes en utilisant les regles d’assemblage de fonction :1 f (x) = U(x)− U(x − T ) ou T est un parametre reel strictement positif
2 f (x) = xU(x)− 2(x − 1)U(x) + (x − 2)U(x − 2)Dans les deux cas, U designe l’echelon unite.
Exercice 2.14. Resolution d’equations avec des logarithmes :Resoudre les equations suivantes :
1 ln(3x2 − x) = ln(x) + ln(2) 2 ln(|x − 1|)− 2 ln(|x + 1|) = 0
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
4 Generalites sur les fonctions
5 ContinuiteDefinitionDomaine de continuite (pour les poursuites d’etudes longues)Exercices (pour les poursuites d’etudes longues)
6 Derivation
7 Comportements asymptotiques
8 Comportements locaux
9 Synthese : Etude de fonctions
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 5.1.1. - Notion de continuite
Notion de continuite
La continuite est le fait de pouvoir ”tracer le graphe geometrique d’unefonction sans lever le stylo” ; la courbe representative ”ne saute pas”d’un point a un autre.La continuite indique l’absence de discontinuite ou de rupture dans legraphe.
Applications
Pas d’applications directes
Utile pour plusieurs theoremes importants (existence d’une reciproque)
Remarque
Elle s’illustre principalement par son contraire : les discontinuites.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 5.1.3. - Exemples : Echelon unite
Definition 136 (Echelon unite (ou Fonction de Heaviside) enelectronique)
L’echelon unite est defini par : U(x) =
1 si x > 01/2 si x = 00 sinon
. C’est est
une fonction non continue en 0 mais continue en tout point x 6= 0.
1 2
1
x
y
•
GU
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M2. 5.1.3. - Exemples : le sinus cardinal
Definition 137 (Sinus cardinal)
Le sinus cardinal note sinc est defini par :
sinc (x) =
{sin(x)
xsi x 6= 0
1 si x = 0. C’est une fonction prolongee par
continuite en 0.
0 π 2π 3π 4π−π−2π−3π−4π
1
x
y
Gsinc
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 5.3. - Exercices pour les poursuitesd’etudes longues
Exercice 2.15. Etude de continuite : On considere la fonction h definie par
f (x) =|x − a|x − a
pour un parametre a reel quelconque.
1 Donner le domaine de continuite de h.
2 Peut-on prolonger la fonction f par continuite en a ?
Exercice 2.16. Continuite en un point : cas de la valeur absolue :
On considere la fonction f definie sur R par f (x) =|x |√
x2 + 4. Est-elle continue
en 0 ?
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 5.3. - Exercices pour les poursuitesd’etudes longues
Exercice 2.17. Ensemble de continuite d’une fonction produit :Soient f et g les fonctions definies par :{
f (x) = x + 2 si x ≥ 0f (x) = 1− x si x < 0
et
{g(x) = 1− x si x ≥ 0g(x) = x + 2 si x < 0
1 Etudier la continuite des fonctions f et g et representer graphiquementchacune d’elles.
2 Determiner la fonction h = fg . Representer graphiquement h en tracantplusieurs points caracteristiques.
3 h est-elle continue en tout point de R ? Quelle conclusion peut-on endeduire ?
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 5.3. - Exercices pour les poursuitesd’etudes longues
Exercice 2.18. Ensemble de continuite :Donner l’ensemble de continuite des fonctions suivantes :
1 f (x) =2x − 3
x + 52 f (x) =
2x + |2x + 5|5x − 1
3 f (x) =√
x2 + 1−√
x2 − 1
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
4 Generalites sur les fonctions
5 Continuite
6 DerivationDerivationDifferentielles (pour les poursuites d’etudes longues)Application : Sens de variationApplication : Probleme d’optimisationApplication : ReciproqueDerivees a l’ordre n
7 Comportements asymptotiques
8 Comportements locaux
9 Synthese : Etude de fonctions
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.1.1. - Derivabilite en un point a
Definition 139 (Nombre derive def en a)
Le nombre derive d’une fonction fen a est le nombre reel note f ′(a)
oudf
dx(a) egal a la pente de la
tangente a Gf au point M(a, f (a)
).
Theoreme 140 (Equation de latangente en a)
y = f ′(a) (x − a) + f (a)
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M2. 6.1.1. - Exemples de non derivabilite
Exemple 144 (Partie superieure)
C’est la fonction x 7→ dxe, ou dxe est l’entier directement superieur ouegal a x ; en informatique, elle s’appelle ceil . Elle n’est pas continue entout point a entier (c’est a dire a = k avec k ∈ Z), donc n’est pas nonplus derivable.
1 2
1
2
x
y
•
•
•
•
•
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M2. 6.1.1. - Exemples de non derivabilite
Exemple 145 (Non derivabilite suite a une inflexion dans le graphe)
La fonction f (x) = 1/3 ∗ |x |+ x2 est definie et continue en 0 mais n’estpas derivable en 0, car elle presente une inflexion en 0 a cause de la valeurabsolue : il y a donc une tangente a droite et une tangente a gauche.
0 1x
1
y
Gf
Tgte gauchey = − 1
3 x
Tgte droite
y =13x
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M2. 6.1.1. - Exercices pour les poursuitesd’etudes longues
Exercice 2.19. Derivabilite en 0 : Montrer que la fonction definie sur R parf (x) = x
√|x | est derivable en 0 et calculer son nombre derive en 0.
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M2. 6.1.2. - Ensemble de derivabilite
Definition 146 (Ensemble de derivabilite Bf)
L’ensemble de derivabilite Bf d’une fonction f est l’ensemble despoints x de Df en lesquels f est derivable.
Theoreme 147 (De la derivabilite a la continuite)
Une fonction derivable sur l’ensemble Bf est forcement continue sur Bf ,autrement dit Bf ⊂ Cf .
Remarques
La continuite n’implique pas necessairement la derivabilite (cf.exemple 145)
Avant de calculer une derivee, il faut systematiquement determinerl’ensemble de derivabilite
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M2. 6.1.2. - Derivee
Definition 148 (Fonction derivee ou Derivee)
La derivee de f , notee f ′ oudf
dx, est la fonction qui a tout x ∈ Bf
associe le nombre derive en x . Elle est definie par :
f ′ :
{Bf → R
x 7→ f ′(x)ou
df
dx:
{Bf → R
x 7→ df
dx(x)
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M2. 6.1.2. - Fonctions derivables usuelles
f f (x) Bf Derivee f ′(x)
Po
lyn
om
e
Constante c R 0 ♥
Identite Id(x) = x R 1
Affine ax + b R a
Monome xn (n ∈ N∗) R nxn−1 ♥
Polynome a0 + a1x + ...+ anxn R a1 + 2a2x1 + ...+ nanxn−1
Racine carree√
x R+∗
1
2√
x
Inverse1
xR∗ − 1
x2
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M2. 6.1.2. - Fonctions derivables usuelles
f f (x) Bf Derivee f ′(x)
Tri
go
no
met
rie
Sinus sin(x) R cos(x) ♥
Cosinus cos(x) R − sin(x) ♥
Tangente tan(x) =sin(x)
cos(x)R \
{π2
+ kπ, k ∈ Z} 1
cos2(x)= 1 + tan2(x)
ArcSinus arcsin(x) = arcsin(x) ]− 1; 1[1√
1− x2♥
ArcCosinus arccos(x) = arccos(x) ]− 1; 1[ − 1√1− x2
♥
ArcTangente arctan(x) = arctan(x) R1
1 + x2♥
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M2. 6.1.2. - Fonctions derivables usuelles
f f (x) Bf Derivee f ′(x)
Racine n-ieme n√
x = x1n (n ∈ N∗) R+
∗1
nx
1n−1
Logarithme neperien ln(x) R+∗
1
x♥
Logarithme a base 10 log10(x) R+∗
1
x ln(10)
Exponentielle exp(x) = ex R exp(x) ♥
Exponentielle a base a ax R ln(a)ax
Puissances reelles xα R∗+ αxα−1
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M2. 6.1.2. - Domaine de derivabilite et deriveed’un assemblage de fonctions
Fonction f Bf f ′(x)
Somme u + v Bu ∩ Bv u′(x) + v ′(x)
Opposee −u Bu −u′(x)
Difference u − v Bu ∩ Bv u′(x)− v ′(x)
Amplification λu (λ ∈ R) Bu λu′(x)
Produit u.v Bu ∩ Bv u′(x).v(x) + u(x).v ′(x)
Inverse1
u{x ∈ Bu/u(x) 6= 0} −
u′(x)(u(x)
)2
Quotientu
v{x ∈ Bu ∩ Bv/v(x) 6= 0}
u′(x).v(x)− u(x).v ′(x)(v(x)
)2
Puissance un Bu nu′(x)un−1(x)
Composee u ◦ v {x ∈ Bu ∩ Bv/u(x) ∈ Bv} v ′(x)u′(
v(x))
Remarque
Les regles pour determiner l’ensemble de derivabilite sont les memes quecelles pour determiner l’ensemble de definition.
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M2. 6.1.2. - Exercices type
Methodologie 149 (Calculer l’ensemble de derivabilite et la deriveede f)
1 Ecrire l’assemblage de fonctions usuelles qui constitue f ;
2 Ecrire l’ensemble de derivabilite et la derivee de chaque fonction usuelleidentifiee ;
3 Utiliser les regles de calcul pour les ensembles de derivabilites et la deriveedes assemblages identifies.
Exercice 2.20. Exercice type : Ensemble de derivabilite et calcul de derivee :Calculer l’ensemble de derivabilite et la derivee des fonctions suivantes :
1 f (x) =1
2
x2 + 3
1− x
2 g(x) =1
4
1
1 + x+ (x − 2)(x + 3)
3 h(x) = ln(1− e−x)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.1.2. - Exercices de TD
Exercice 2.21. Ensemble de derivabilite et calcul de derivee : Determinerl’ensemble de derivabilite puis calculer la derivee des fonctions suivantes :
1 f (x) = 4x3 − 3x − 1 2 f (x) =x
4− 1
33 φ(s) =
3
s
4 h(z) = (1− z)3(1 + 2z) 5 p(x) = 2x − 3− 1
x6 s(t) =
(t + 1)2
t2 + 1
7 f (x) =x3
x2 − 18 f (x) =
3
√x2 + 1 9 f (x) =
√x + 1
x − 1
10 f (x) =sin(x)− cos(x)
sin(x) + cos(x)11 f (x) = tan
(sin(x)
)12 f (x) =
1
cos(√
x)
13* f (x) = 2(2− x) +1
4
x
x + 214 f (x) =
√1 + x
1− x2 15 f (x) = tan2 (x3)16 y(x) = xx 17 fa(x) = xxa
18 g(x) = ln (log10(x))
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.1.2. - Exercices de TD
Exercice 2.22. Ensemble de derivabilite et calcul de derivee : Calculer
l’ensemble de derivabilite et derivee de la fonction f : x 7−→ tan
(1
x
).
Exercice 2.23. Calcul de derivees : Donner l’ensemble de derivabilite et calculerles derivees (ou les differentielles) des fonctions suivantes :
1 y(x) = arcsin (ln |2x |) 2 y(x) = arcsin
(1− x
1 + x
)3 y(x) = arcsin
(x + a
1− ax
)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.1.2. - Exercices de TD
Exercice 2.24. Tangente en 0 : Donner l’equation de la tangente en 0 a la
courbe d’equation y =
√x3
x − 1.
Exercice 2.25. Systemes dynamiques : L’etude des systemes dynamiques du1er ordre amene souvent a travailler avec la fonction de la variable reelle t :V (t) = V0e
−tτ , ou τ est la constante de temps fixee. Montrer que la tangente
a la courbe de V (t) en un point M0 d’abcisse t0 quelconque coupe l’axe destemps au point t0 + τ .
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.3.1. - Sens de variation
Definition 150 (Sens de variation)
Soient deux reels a et b d’un intervalle I de Df avec a < b. f est :
croissante sur I ssi f (a) ≤ f (b)
strictement croissante sur I ssi f (a) < f (b)
Exemple 151 (Dent de scie)
0 1x
1
y
croi
ssan
ce
a
b
f (a)
f (b)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.3.1. - Sens de variation
Definition 150 (Sens de variation)
Soient deux reels a et b d’un intervalle I de Df avec a < b. f est :
decroissante sur I ssi f (a) ≥ f (b)
strictement decroissante sur I ssi f (a) > f (b)
Exemple 151 (Dent de scie)
0 1x
1
y
decroissance
a b
f (a)
f (b)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.3.2. - Formule des accroissements finis
Theoreme 152 (Formule des accroissements finis)
Soit f une fonction continue sur [a; b] et derivable sur ]a; b[. Il existe au
moins un reel c ∈]a; b[ tel quef (b)− f (a)
b − a= f ′(c).
Corollaire 153 (Sens de variation et derivee)
Le sens de variation d’une fonction f est donne par signe de la derivee :
Si pour tout x ∈ I f ′(x) ≥ 0 alors f est croissante sur I
Si pour tout x ∈ I f ′(x) ≤ 0, f est decroissante sur I
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M2. 6.3.2. - Rappel : Etude de signe
Tableau de signe
L’etude du signe de la derivee f ′ se fait (principalement) par un tableaude signe. Ce tableau suppose que f ′ soit ecrite sous forme d’uneexpression factorisee ! ! !
Exemple 154 (Un tableau de signe)
g(x) = (x − 3)(x − 1) v.s. g(x) = (x − 3) + (x − 1)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.3.2. - Tableau de variation
Tableau de variation
Le sens de variation et l’etude de signe se resument dans un tableau devariation.
Exemple 155 (Fonction f(x) = x2 − 6x + 1)
de tableau de variation :
x
f ′(x)
f (x)
−∞ 3 +∞
− 0 +
+∞+∞
−8−8
+∞+∞
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.3.3. - Exercices type
Methodologie 156 (Analyse du sens de variation)
1 Determiner l’ensemble de derivabilite de f ;
2 Calculer sa derivee f ′ et etudier son signe en fonction de x sur sonensemble de derivabilite ;
3 Tracer le tableau de variation, en deduisant le sens de variation du signede la derivee.
Exercice 2.27. Exercice type : Sens de variation : Etudier le sens de variationdes fonctions suivantes :
1 f (x) = 2x − 1− ln(x) 2 g(x) = 12(x − 6) exp
(−1
4x
)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.3.3. - ExercicesExercice 2.28. Sens de variation : Etudier le sens de variation de la fonctionf (x) = (x − 2)3.
Exercice 2.29. Etude de fonctions : Etudier le sens de variation des fonctionsde la variable reelle x definies par :
1 f (x) =√|x2 + 4x + 5| 2 g(x) =
3x
x + 33 y(x) = xx 4 y(x) = x (x/a)
Exercice 2.30. Bac S 1996, et oui ! :
1 On considere la fonction φ definie sur R+ par : φ(x) =x
1 + x− ln(1 + x).
Montrer que φ est decroissante sur R+. En deduire le signe de φ(x) pourtout x ≥ 0.
2 Soit la fonction f definie par f (t) = e−t ln(1 + et). Etudier a l’aide de lafonction φ les variations de f .
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.4.1. - Probleme d’optimisation
Definition 157 (Probleme d’optimisation)
C’est un probleme physique cherchant a determiner lesconditions/configurations d’un systeme qui sont optimales au sens d’unefonction f (x) (fonction de cout ou d’un critere de performance).L’optimisation recherche :
la valeur maximum M ou minimum m de la fonction ;
la valeur optimale xopt de x permettant de atteindre le maximum ou leminimum.
Exemple 158 (Chiffre d’affaire C d’une appli Iphone en fonction dutemps t de mise en vente)
Ce chiffre d’affaire est donne par C (t) = 5t − 0.1t3 ; c’est la fonction decout. L’optimisation serait la recherche du chiffre maximum Cmax et letemps topt qui permet d’atteindre ce maximum
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M2. 6.4.1. - Probleme d’optimisation
Definition 157 (Probleme d’optimisation)
C’est un probleme physique cherchant a determiner lesconditions/configurations d’un systeme qui sont optimales au sens d’unefonction f (x) (fonction de cout ou d’un critere de performance).L’optimisation recherche :
la valeur maximum M ou minimum m de la fonction ;
la valeur optimale xopt de x permettant de atteindre le maximum ou leminimum.
Exemple 159 (Accidents de la route A en fonction du nombre deradar r)
Le nombre d’accident est donne par A(r) = 20000− 10r 2 ; c’est lafonction de cout. L’optimisation serait la recherche du nombre d’accidentminimum Amin et le nombre de radar ropt qui permet d’atteindre ceminimum
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M2. 6.4.2. - Extrema
Definition 160 (Extremum)
Pour un intervalle I donne, la fonction f admet :
un minimum m sur I ssi pour tout x de I , f (x) ≥ m ;
un maximum M sur I ssi pour tout x de I , f (x) ≤ M.
Definition 161 (Extremumabsolu/local)
Si I = Df , l’extremum est absolu ;
Sinon, il est local.
Exemple 162
(f(x) = e−x(1
2+ x3))
0 1x
1
y
Gf
Mglobal
Mlocal
mlocal
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M2. 6.4.2. - Recherche d’extrema
Theoreme 163 (Extrema)
Une fonction f , derivable au voisinage d’un point a, admet un extremumvalable sur un voisinage de a si sa derivee f ′ s’annule en a (c’est a diref ′(a) = 0) et change de signe au voisinage de a ; la nature de l’extremumdepend des sens de variation.
Remarques
Si f est decroissante pour x < a et f est croissante pour x > a,l’extremum est un minimum.
Si f est croissante pour x < a et f est decroissante pour x > a,l’extremum est un maximum.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.4.3. - Exercice type
Exercice 2.31. Exercice type : Optimisation : Determiner l’optimum de la noteN du DS de Maths en fonction du temps de revision t, donne parN(t) = 3t − 0.1t3.
”Toute ressemblance avec des situations reellesou ayant existees serait fortuite”
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.4.3. - Exercices de TD
Exercice 2.32. Deux nombres : On considere deux nombres a et b dont lasomme vaut 12. Trouver ces deux nombres pour que : 1 la somme de leur
carre soit minimale, 2 le produit de l’un et du carre de l’autre soit maximal,
3 le produit de l’un et du cube de l’autre soit maximal.
Exercice 2.33. Proximite de deux voitures : Deux rues se coupent a angle droiten un point P. L’une a la direction !nord-sud, l’autre est-ouest. Une voiturevenant de l’ouest passe en P a 10h a la vitesse constante de 20 km/h. Aumeme instant, une autre voiture, situe a 2 km au nord du croisement, se dirigevers le sud a 50 km/h. A quel moment ces deux voitures sont-elles les plusproches l’une de l’autre (a vol d’oiseau) et quelle est cette distance minimale ?
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.4.3. - Exercices de TD
Exercice 2.34. Cuisine : On considere une boıte de conserve cylindrique dehauteur h et de rayon R.
1 On dispose d’une surface de metal S limitee pour construire la boıte deconserve de taille S = 400π cm2. Comment choisir le rayon R et lahauteur h de la boıte pour que son volume V soit maximal ?
2 On souhaite maintenant construire une boıte de volume V0 donne et fixe.Comment choisir le rayon R et la hauteur h pour que la surface de metal a
utiliser soit minimale ? On exprimera la solution en fonction du rapporth
R.
Memes questions avec une casserole.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.5.1. - Notion d’injection, de surjection,de bijection
Injection : f est injective ssi les images de 2 elements differents de Df
sont differentes
Surjection : g est surjective ssi tout element de l’ensemble image Ig
possede au moins un antecedent par g (dans Dg )
Bijection : h est bijective ssi tout element de l’ensemble image Ih possedeun unique antecedent par h ⇒ h admet une fonction reciproque h−1
•Valla
•Delnondedieu
•Chollet
•Vedel
•Benkoula
Df
• Communication
• Unix
• Python
• Reseaux
If
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M2. 6.5.1. - Notion d’injection, de surjection,de bijection
Injection : f est injective ssi les images de 2 elements differents de Df
sont differentes
Surjection : g est surjective ssi tout element de l’ensemble image Ig
possede au moins un antecedent par g (dans Dg )
Bijection : h est bijective ssi tout element de l’ensemble image Ih possedeun unique antecedent par h ⇒ h admet une fonction reciproque h−1
•Valla
•Delnondedieu
•Chollet
•Vedel
•Benkoula
Df
• Communication
• Unix
• Reseaux
If
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.5.1. - Notion d’injection, de surjection,de bijection
Injection : f est injective ssi les images de 2 elements differents de Df
sont differentes
Surjection : g est surjective ssi tout element de l’ensemble image Ig
possede au moins un antecedent par g (dans Dg )
Bijection : h est bijective ssi tout element de l’ensemble image Ih possedeun unique antecedent par h ⇒ h admet une fonction reciproque h−1
•Valla
•Delnondedieu
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•Vedel
Df
• Communication
• Unix
• Python
• Reseaux
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.5.1. - Bijection
Definition 164 (Bijection)
Une fonction f est une bijection (ou est bijective) de l’intervalle I(sous-ensemble de Df ) vers l’intervalle J (sous-ensemble de If ) ssi pourtout y ∈ J, l’eq. y = f (x) admet une unique solution x .Cela signifie que : pour tout x ∈ I , il existe un unique element y ∈ J (∃!y ∈ J) tel que y = f (x)
Theoreme 165 (Condition necessaire et suffisante)
Pour etre une bijection sur l’intervalle I , f doit etre derivable a etstrictement monotone sur I .
a. en fait, continue
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.5.1. - Intervalle
Theoreme 166 (Image d’un intervalle par une fonction bijective)
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I , alors f estune bijection de I vers l’intervalle J = {f (x)/x ∈ I} = f (I ). Enparticulier,
si f est strictement croissante, et I = [a, b] alorsJ = f ([a, b]) = [f (a), f (b)] ;
si f est strictement decroissante, et I = [a, b] alorsJ = f ([a, b]) = [f (b), f (a)].
Exemple 167 (La fonction carre)
La fonction carre f : x 7→ x2, continue sur R, est strct. ↘ surR− =]−∞; 0] et strct. ↗ sur R+. Donc f est une bijection de R− vers
f (R−), avec f (R−) =
[f (0), lim
x−→−∞f (x)
[= [0; +∞[ et f est une autre
bijection de R+ vers f (R+) avec
f (R+) =
[f (0); lim
x→+∞f (x)
[= [0; +∞[. Il existe donc deux uniques
solutions a l’equation f (x) = a (avec a un reel positif et non nulquelconque). Comme a ∈ [0; +∞[= f (R−) = f (R+), la premieresolution appartient a R− et la seconde appartient a R+ .
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.5.2. - Fonction reciproque
Definition 168 (Fonction reciproque)
Soit f une fonction bijective d’un intervalle I dans un intervalle J. g estla fonction reciproque (ou inverse) de f ssi :
1 g est definie en tout point de J ;
2 pour tout x ∈ Df , y = f (x)⇔ x = g(y).
La reciproque g de f sur I est unique. Elle est notee g = f −1.
Remarques
Une fonction f dont le sens de variation change sur R admet unereciproque sur chaque intervalle de variation !
Ne pas confondre f −1 et1
f.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.5.2. - Proprietes de la reciproque
Theoreme 169 (Sens de variation)
f −1 est strictement monotone sur f (I ) et de meme sens de variation quela fonction f .
Theoreme 170 (Proprietes calculatoires)
La composee de f −1 et de f est l’identite :(f −1 ◦ f )(x) = (f ◦ f −1)(x) = x.
La reciproque de la reciproque de f est f :(f −1)−1
(x) = f (x).
Exemple 171 (Des reciproques usuelles)
exp et ln sur R∗+.
x → xn et x → n√
x sur R+.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.5.2. - Proprietes de la reciproque
Theoreme 172 (Graphe)
Dans un repere orthonorme, les graphes Gf (de f ) et Gf−1 (de f −1) sont
symetriques par rapport a la 1ere bissectrice du plan, c’est a dire la droited’equation y = x.
Exemple 173 (Graphes def et f−1)
f (x) = x4 et sa reciproquesur R+ f −1(x) = x1/4
0 1x
1
y
x4
x4
x14
x
M(x , y)
M ′(y , x)
.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.5.2. - Cosinus et Arccosinus
0 π 2π−π−2π
1
π
x
y
Gcos
Gacos
.
Definition 174 (Fonction arccos)
arccos (ou acos) est la fonction definie dans [−1; 1] et a valeurs dans[0;π] qui a tout x associe l’angle θ dont le cos vaut x (cos(θ) = x). C’estla reciproque de la fonction cos lorsque son domaine de definition estrestreint a [0;π].
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.5.2. - Sinus et Arcsinus
0 π 2π−π−2π
1
π/2
x
y
Gsin
Gasin
.
Definition 175 (Fonction arcsin)
arcsin (ou asin) est la fonction definie dans [−1; 1] et a valeurs dans[−π/2;π/2] qui a tout x associe l’angle θ dont le sin vaut x (sin(θ) = x).C’est la reciproque de la fonction sin lorsque son domaine de definitionest restreint a [−π/2;π/2].
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.5.2. - Tangente et Arctangente
0 π 2π−π−2π
1
2
3
4
5
x
y Gtan
Gatan
.
Definition 176 (Fonction arctan)
arctan (ou atan) est la fonction definie dans [−1; 1] et a valeurs dans]− π/2;π/2[ qui a tout x associe l’angle θ dont le tan vaut x(sin(θ) = x). C’est la reciproque de la fonction tan lorsque son domainede definition est restreint a ]− π/2;π/2[.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.5.3. - Exercices type
Methodologie 177 (Montrer qu’une fonction est la reciproqued’une autre)
Montrer que g(f (x)) = f (g(x)) = x
Exercice 2.35. Exercice type : Reciproque : Montrer que g(x) = 1 + x est lareciproque de f (x) = x − 1 sur R.
Methodologie 178 (Determiner une reciproque)
1 Etudier la continuite et le (ou les) sens de variation de f .
2 Poser y = f (x) et inverser l’equation pour avoir x = g(y). Alors g = f −1.
Exercice 2.36. Exercice type : Reciproque : Montrer que f (x) = (x + 1)1/3 + 2admet une reciproque (sur un intervalle que l’on precisera) et donnel’expression de sa reciproque.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.5.3. - Exercices type
Exercice 2.37. Composition de fonctions trigonometriques : Simplifier etrepresenter graphiquement les fonctions suivantes :
1 x 7→ arccos (cos(x)) 2 x 7→ cos (arccos x) 3 x 7→ arctan(tan(x)) 4 x 7→ tan (arctan(x))
Exercice 2.38. Reciproque : Determiner la (ou les) reciproques de
f (x) =x − 1
x + 2.
Exercice 2.39. Reciproque : On considere la fonction f de la variable x , definie
sur l’intervalle [1; +∞[ par : f (x) = x +√
x2 − 1. 1 Montrer que f admet
une reciproque f −1 sur [1; +∞[. 2 Montrer que cette reciproque est la
fonction g(x) =x2 + 1
2x.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.5.3. - Exercices type
Exercice 2.40. Reciproque : On considere les deux fonctions f et g de la
variable reelle x definies par : f (x) =x2
1 + x2et g(x) = x − 2
√x + 1. Pour
chacune de ces fonctions, 1 montrer qu’elle possede deux intervalles de
monotonie, puis 2 expliciter la fonction inverse relative a chacun de cesintervalles.
Exercice 2.41. Resolution d’equations avec des fonctions puissances :Determiner les racines de l’equation : x (xx ) = (xx )x .
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.6.1. - Derivees a l’ordre n
Definition 179 (Derivee seconde)
Si f est derivable sur Bf et si sa derivee f ′ est elle-meme derivable sur Bf
de derivee (f ′)′, on dit que f est derivable a l’ordre 2 sur Bf et (f ′)′ est
appelee la derivee seconde. On la note f ′′ ou f (2) oud2f
dx2.
En generalisant a l’ordre n :
Definition 180 (Derivabilite a l’ordre n (n ∈ N∗))
Une fonction f est derivable a l’ordre n sur B si toutes ses deriveesd’ordre inferieur a n existent et sont derivables sur B. La derivee a
l’ordre n de f , notee f (n) oudnf
dxn, est alors :
f (n)(x) =
n fois︷ ︸︸ ︷(...(
(f ′)′...)′)′
(x)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.6.3. - Exercices type
Exercice 2.42. Exercice type : Derivee 3ieme : Calculer la derivee 3-ieme de :
1 f (x) = ln(x) 2 g(x) = ex (1 + x2)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.6.3. - Exercices de TD
Exercice 2.43. Derivee d’une solution classique d’equations differentielles : Soity la fonction de la variable x definie par y(x) = a cos(ωx) + b sin(ωx) avec a, bet ω trois constantes.
1 Calculer (si elles existent) les deriveesdy
dxet
d2y
dx2.
2 Former une relation entre y etd2y
dx2independantes de a et de b.
Exercice 2.44. Derivees et differentielles n-ieme : Soit la fonction y de lavariable reelle x definie par y(x) = tan(x). Exprimer les 5 premieres derivees dey en fonction de y(x) et montrer que :
dy 5
dx5= 16 + 136y 2(x) + 240y 4(x) + 120y 6(x)
Pour faciliter la lecture des equations, on pourra ecrire y(x) sous la forme y .
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.6.3. - Exercices de TD
Exercice 2.45. Derivee a l’ordre n de la fonction inverse (pour les poursuitesd’etudes longues) :Montrer par recurrence que :
1 la fonction inverse f : x 7→ 1
xest derivable une infinite de fois sur R∗
2 sa derivee n-ieme vaut f (n)(x) = (−1)n n!
xn+1, ou n! est la factorielle de n
definie pour tout entier naturel n ∈ N par :
n! =
{1 , si n = 01× 2× ...× (n − 1)× n , si n > 0 (produit de tous les entiers de 1 a n)
.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.6.3. - Exercices de TD
Exercice 2.46. Differentielles et equations differentielles :Pour une fonction y(x) definie pour tout x tel que |x | ≤ 1, on fait lechangement de variable x = cos(t) avec 0 ≤ t ≤ π.
1 Exprimerdy
dxen fonction de t et de
dy
dt.
2 En utilisant la methode precedente, exprimerd2y
dx2en fonction de t,
dy
dtet
d2y
dt2.
3 Que devient, par ce changement de variable, l’equation differentiellesuivante :
(1− x2)d2y
dx2− x
dy
dx+ y = 0.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 6.6.3. - Exercices de TD
Exercice 2.47. Vers les equations differentielles : Resoudre l’equationdifferentielle x2y ′′ + xy ′ + y = 0 portant sur la fonction y de la variable x , enfaisant le changement de variable x = et .
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
4 Generalites sur les fonctions
5 Continuite
6 Derivation
7 Comportements asymptotiquesLimites en l’infiniCalcul de limitesApplication : Branches asymptotiques
8 Comportements locaux
9 Synthese : Etude de fonctions
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.1.1. - Notion de comportementsasymptotiques
Exemple 184 (La fonction inverse)
Table de valeurs
x f (x) =1
x1 1
10 0.1100 0.01
1000 0.001... ...
106 10−6 limx→+∞
f (x) = 0+
ε
A
1x
1
y
Ginv
Plus x augmente (autrement dit x tend vers +∞), plus f (x) serapproche de 0 par valeurs superieures ; on dit que lim
x→+∞f (x) = 0+
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.1.1. - Limites
Definitions 185 (Comportements asymptotiques)
Le comportement asymptotique d’une fonction f de la variable x est la”direction” de f lorsque x tend vers +∞ ou vers −∞Elle prend la forme d’une limite L qui peut etre un nombre ∈ R (et onparle de limite finie) ou un infini +∞ ou −∞ (et on parle de limite infinie)
La limite L peut etre atteinte ou approchee par la fonction, en arrivant parvaleurs inferieures (L−) ou superieures (L+).
On la note :
limx→+∞
f (x) = lim+∞
f = L ou limx→−∞
f (x) = lim−∞
f = L
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.1.1. - Limite finie en +∞
Cas d’une limite L reellefinie en +∞
limx→+∞
f (x) = lim+∞
f = L
Exemple 186 (Fonctioninverse)
limx→+∞
1
x= 0
limx→+∞
f (x) = 0+
ε
A
1x
1
y
Ginv
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.1.1. - Limite finie en −∞
Cas d’une limite L reellefinie en −∞
limx→−∞
f (x) = lim−∞
f = L
Exemple 187(Exponentielle)
limx→−∞
exp(x) = 0 limx→−∞
f (x) = 0
ε
A
0 1x
1
y
exp(x)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.1.1. - Limite finie en ∞ par valeurssuperieures ou inferieures
Cas d’une limite L par valeurssuperieures en ∞lim
x→∞f (x) = L+ signifie que pour x
proche de ∞, f (x) tend vers L avecf (x) ≥ L
Cas d’une limite L par valeursinferieures en ∞lim
x→∞f (x) = L− signifie que pour x
proche de ∞, f (x) tend vers L avecf (x) ≤ L
Exemple 188(Fonction inverse)
limx→−∞
1
x= 0− et
limx→+∞
1
x= 0+
{lim
x→+∞f (x) = 0+
f (x) > 0
ε
A
{lim
x→−∞f (x) = 0−
f (x) < 0
ε
A
1x
1
y
Ginv
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.1.1. - Limite infinie en +∞
Cas d’une limite +∞ en +∞lim
x→+∞f (x) = lim
+∞f = +∞, ce qui implique que f (x) > 0 pour x
suffisamment grand
Exemple 189 (Valeurabsolue)
limx→+∞
|x | = +∞
Remarque
Idem pour une limite en −∞et pour une limite −∞
limx→+∞
f (x) = +∞
A
B
0 1x
1
yGabs
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.1. - Limites des fonctions usuelles Œ
Fonction f (x) Limite en −∞ Limite en +∞
Constante c c c
xn (n ∈ N∗)+∞ si n pair
−∞ si n impair+∞
n√x = x1n
n.d. 1 si n pair
−∞ si n impair+∞
Inverse1
x0− 0+
ln(x) n.d. +∞
exp(x) 0+ +∞
sin(x), cos(x), tan(x) p.d.l. 2 p.d.l.
arctan(x) −π
2
+ π
2
−
1. non defini2. pas de limite
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.2. - Operations algebriques sur leslimitesPour λ ∈ R∗ et s un signe (egal a +1 ou −1),
lim+∞
u lim+∞
v lim+∞
λu lim+∞
u + v lim+∞
u.v lim+∞
u
v
Fin
ie-F
inie
Lu Lv λLu Lu + Lv LuLvLu
Lv
Lu 0+ λLu Lu 0 sign (Lu)∞Lu 0− λLu Lu 0 −sign (Lu)∞0 0 0 0 0 FI
Fin
ie-I
nfi
nie s∞ Lv sign(sλ)∞ s∞
sign(sLv )∞ si Lv 6= 0
FI si Lv = 0sign
(s
Lv
)∞
Lu s∞ λLu s∞sign(sLu)∞ si Lu 6= 0
FI si Lu = 00
Infi
nie
-In
fin
ie +∞ +∞ sign(λ)∞ +∞ +∞ FI
−∞ −∞ −sign(λ)∞ −∞ +∞ FI
+∞ −∞ sign(λ)∞ FI −∞ FI
−∞ +∞ −sign(λ)∞ FI −∞ FI
Remarque
Resultats identiques lorsque la limite est asymptotique en −∞183 / 354
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.2. - Limites et composees
Theoreme 193 (Limite d’une composee)
Si limx→+∞
u(x) = L (avec L un reel ou +∞ ou −∞) alors
limx→+∞
(v ◦ u)(x) = limx→+∞
v (u(x)) = limy→L
v(y)
Remarque : Le resultat est identique lorsque x → −∞
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.2. - Bilan sur les formes indeterminees
Theoreme 194 (Les classiques Terminale )�� ��(+∞) + (−∞)
��
��∞
∞�� ��0.∞
��
��0
0
Theoreme 195 (Les nouvelles)�� ��1∞�� ��∞0
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.2. - Exercices type
Methodologie 196 (Calcul de limites asymptotiques)
1 Identifier les fonctions usuelles et donner leurs limites ;
2 Identifier le (ou les) assemblages de fonctions usuelles puis calculer lalimite de proche en proche en utilisant les regles sur les limites ;
3 En cas de forme indeterminee :
Quelques astuces (cf TD) ;Utiliser des outils plus puissants, comme l’equivalence ou lesdeveloppements limites.
Exercice 2.48. Exercice type : Limites : Determiner les limites suivantes :
1 limx→+∞
x3 ln(x) 2 limx→+∞
e−x
x
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.2. - Exercices de TD
Exercice 2.49. Limites : Calculer limx→+∞
f (x) et limx→−∞
f (x) pour les fonctions f
suivantes :
1 f (x) = 2x2 + x + 1 2 f (x) =arctan(x)
|x − 3| 3 f (x) = x2 − x3
Exercice 2.50. Limites avec forme indeterminee de type ∞ - ∞ : Calculerlim
x→+∞f (x) et (si elle existe) lim
x→−∞f (x) pour les fonctions f suivantes :
1 f (x) =√
x2 + 1−√
x2 − 1 2 f (x) =√
x2 + 2x − x
3 f (x) =
√|x |+ 2−
√|x |
|x | 4 f (x) = ln(x)− ln(x + 1)
5 f (x) = ln(x2 + 1)− 2 ln(x)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.4. - Equivalence en ∞ et limites
Definition 200 (Equivalence en ∞)
Deux fonctions f et g sont equivalentes au voisinage de a (aveca = +∞ ou a = −∞) ssi u(x) = g(x) (1 + ε(x)) avec lim
x→aε(x) = 0. On
le note : f ∼a
g ou f (x) ∼x→a
g(x)
Remarque : Deux fonctions equivalentes ont une meme limite !
Theoreme 201 (Equivalence et limite)
Si f ∼a
g alors limx→a
f (x) = limx→a
g(x)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.4. - Equivalences usuelles en ±∞
Theoreme 202 (Equivalent d’un polynome)
Un polynome P(x) = anxn + ...+ a1x + a0 un polynome de degre n (avecan 6= 0) est tel que P(x) ∼
x→±∞anxn
Exemple 203 (Equivalent deP(x) = 3x4 − 2x = 3x4 + 0x3 + 0x2 − 2x1 + 0)
P(x) ∼x→+∞
3x4 et P(x) ∼x→−∞
3x4
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.4. - Equivalences usuelles en ±∞
Theoreme 204 (Equivalent d’une fraction rationnelle)
Une fraction rationnelle F (x) =P(x)
Q(x)avec P(x) = anxn + ...+ a1x + a0
de degre n et Q(x) = bmxm + ...+ b1x + b0 de degre m admet pourequivalent le quotient des equivalents de P(x) et Q(x).
Exemple 205 (Equivalent de
F(x) =P(x)
Q(x)=
3x4 − 2x
6x3 + 4x2 + 1=
3x4 + 0x3 + 0x2 − 2x1 + 0
6x3 + 4x2 + 0x + 1)
F (x) ∼x→±∞
3x4
6x3
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.4. - Operations sur les equivalences
Operations sur les equivalents
On peut multiplier, inverser, diviser des equivalents
On ne peut pas ajouter, soustraire ou composer des equivalents, sauf castres particulier
Theoreme 206 (Operations sur les equivalences)
Soient f1, f2, g1 et g2 quatre fonctions telles que f1 ∼+∞
g1 et f2 ∼+∞
g2 et
λ ∈ R∗. Alors :
λf1(x) ∼x→+∞
λf2(x)
1
f1(x)∼
x→+∞
1
f2(x)
f1(x)
g1(x)∼
x→+∞
f2(x)
g2(x)
f1(λx) ∼x→+∞
g1(λx)
Remarque
Idem en −∞190 / 354
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.4. - Exercices types
Exercice 2.52. Exercice type : Equivalents : Calculer limx→+∞
1 +x2 − 1
2x2 + 1.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.4. - Exercices de TD
Exercice 2.53. Limites de fractions rationnelles : Calculer les limites en +∞ eten −∞ des fonctions f suivantes :
1 f (x) =7x + 3
4x2 − 3x + 132 f (x) =
2x − 3
x + 53 f (x) =
2x + |2x + 5|5x − 1
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.5. - Croissance comparee
Theoreme 207 (Regles de croissance comparee)
On a limx→+∞
ln(x)
xα= 0 et lim
x→+∞
ex
xα= +∞ (avec α ∈ R∗+). On dit que :
ln << xα << ex en +∞
On dit que ln croit moins vite queles puissances, qui croissent moinsvite que l’expo vers +∞
Exercice 2.54. Exercice type : Limitesasymptotiques : Determiner
limx→+∞
ln(x)ex
x12
.
0 1 2 3 4 5x
10
20
30
40
50
y
x 7→ ln(x)
x 7→ x2
x 7→ ex
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.5. - Exercices de TD
Exercice 2.55. Limites avec croissance comparee : Determiner les limites quandx tend vers +∞ et lorsqu’elle existe, lorsque x tend vers −∞, des fonctions fsuivantes :
1 f (x) =ex
x2 + 12 f (x) = x3 − 2x 3 f (x) = (x + 1)e−x
4 f (x) =e2x − x2
e2x+15 f (x) =
3x
x46 f (x) =
√x + 1e−3x
7 f (x) =e1+x2
x2 ln(x)8* f (x) =
10x
√x2 + 1
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.5. - Exercices de TD
Exercice 2.56. Accroissements finis (pour les poursuites d’etudes longues) :Cet exercice utilise la formule des accroissements finis donnee par : pour toutefonction f continue sur [a, b], pour h = b − a, il existe un reel θ (avec0 < θ < 1) tel que f (a + h) = f (a) + hf ′(a + θh).Determiner la valeur prise par θ lorsque la fonction f est definie par :
1 f (x) = αx2 + βx + γ 2 f (x) = ex
Calculer, dans chacun des cas, la limite de θ quand l’ecart h tend vers 0.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.2.5. - Exercices de TD
Exercice 2.57. Serie harmonique (pour les poursuites d’etudes longues) :Cet exercice utilise la formule des accroissements finis donnee par : pour toutefonction f continue sur [a, b], pour h = b − a, il existe un reel θ (avec0 < θ < 1) tel que f (a + h) = f (a) + hf ′(a + θh).
1 Donner un encadrement de ln(a + h) et l’appliquer lorsque a = 1 et h =1
nou n ∈ N∗.
2 En deduire un encadrement de ln(n + 1)− ln(n), ln(n)− ln(n− 1), et ainside suite jusqu’a ln(2)− ln(1).
3 Deduire aussi un encadrement de un = 1 +1
2+
1
3+ ...+
1
n.
4 Quelle est la limite de un quand n tend vers l’infini.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.3.1. - Application : Asymptotes etbranches paraboliques
Objectifs
Evaluer ”comment” une fonction f (x) tend vers +∞ lorsque x → +∞,autrement dit quelle est sa direction dominante parmi :
1 les droites (0x), (0y)
2 les droites de la forme y = ax + b
3 les branches de la forme y = ax2 guidees par une droite
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.3.1. - Application : Asymptotes etbranches paraboliques
Asymptotes
0 1 2 3 4x
5
10
15
20
y
f (x) = 3 + x + 1x
Asymptote y = x + 3
Branches paraboliques
0 2 4 6 8x
−5
5
10
y
f (x) = x2 + ln(x)
Branche y = x2
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.3.2. - Methodologie
limx→∞
f (x) =?
Asymptotehorizontale
y = L
L ∈ R
limx→∞
f (x)
x=?
±∞
Brancheparaboliquede direction
(0x)
0
Brancheparaboliquede direction
(0y)
±∞
limx→∞
f (x)− ax =?
a ∈ R∗
Asymptoteoblique
y = ax + b
b ∈ R
Brancheparaboliquede direction
y = ax
±∞
Remarque
Resultats identiques lorsque x → −∞
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.3.3. - Exercices type
Exercice 2.58. Exercice type : Asymptotes : Determiner la branche
asymptotique en +∞ et en −∞ : g(x) =x2 + 2x − 2
x − 2.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 7.3.3. - Exercices de TD
Exercice 2.59. Asymptotes : Determiner le comportement asymptotique de
f (x) =5x2 + 3x − 2
x + 2en +∞.
Exercice 2.60. Branches asymptotiques : Determiner les branchesasymptotiques des fonctions suivantes :
1* f (x) =1
2
x2 + 3x − 1
x + 32* f (x) = 2(2− x) +
1
4
x
x + 2
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M2. 7.3.3. - Exercices de TDExercice 2.61. Etude d’un schema electronique :On considere le montage suivant :
R1 ≡ xi1
R2 ≡ 3
R1 ≡ xi2
ou R1 sont deux resistances de x Ohms et R2 une de 3 Ohms.
1 Exprimer la resistance equivalente du circuit, notee R, en fonction de x .
2 Etudier les variations de R en fonction de x , ainsi que les branches infinies(on envisagera la possibilite d’une asymptote en l’infinie). Tracer la courbeC de R pour x variant entre 0 et 6 Ohms.
3 A partir de quelle valeur de x la difference
∣∣∣∣R − (1
2x +
3
4
)∣∣∣∣ est-elle
inferieure a 1/100 ? En deduire une valeur approchee de R lorsquex = 120 Ohms.
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4 Generalites sur les fonctions
5 Continuite
6 Derivation
7 Comportements asymptotiques
8 Comportements locauxLimites en un point aCalcul de limitesDeveloppements limites
9 Synthese : Etude de fonctions
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.1.1. - Notion de limites en un point a(avec a ∈ RExemple 208 (Fonction inverse)
Table de valeurs
x f (x) =1
x1 1
0.1 100.01 100... ...
1.10−6 106
limx→0+
f (x) = +∞
η
B
1x
1
y
Ginv
Lorsque x → 0 (par valeurs superieures), f (x) croit indefiniment ; on ditque lim
x→0+f (x) = +∞
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.1.1. - Definitions
Definitions 209 (Comportement local)
Le comportement local d’une fonction f de la variable x est la”‘direction”’ de f lorsque x tend vers a, soit des deux cotes, soit parvaleurs inferieures (a−), soit par valeurs superieures a+.
Elle prend la forme d’une limite L qui peut etre un nombre ∈ R ou uninfini ±∞.
La limite L peut etre atteinte ou approchee par la fonction, en arrivant parvaleurs inferieures (L−) ou superieures (L+).
On la note : limx→a
f (x) = lima
f = L
Remarque
Tres souvent a = 0
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.1.1. - Limite finie en un point a
Cas d’une limite finie L ∈ R en a ∈ Rlimx→a
f (x) = lima
f = L
Exemple 210 (Sinus cardinal)
limx→0
sinc (x) = limx→0
sin(x)
x= 1
limx→0
f (x) = 1
η
ε
0 π 2π 3π−π−2π−3π
1
x
y
Gsinc
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.1.1. - Limite infinie en un point a
Cas d’une limite +∞ enun point a ∈ Rlimx→a
f (x) = lima
f = +∞
Exemple 211 (f(x) =1
|x|)
de limite +∞ lorsque x → 0
limx→0
f (x) = +∞
η
B
1x
1
y
G1/|x|
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.1.1. - Limites par valeurs superieures ouinferieures
1 Si x → a+, alors x → a et x ≥ a
2 Si x → a−, alors x → a et x ≤ a
De meme, pour L ∈ R1 lim
x→af (x) = L+, alors f (x)→ L et f (x) ≥ L
2 limx→a
f (x) = L−, alors f (x)→ L et f (x) ≤ L
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.2.1. - Limites en 0 des fonctions usuelles
Fonction f (x) Limite en 0 Fonction f (x) Limite en 0
Constante c c sin(x) 0
Puissance xn (n ∈ N∗) 0 cos(x) 1
Racine carree√
x 0+ tan(x) 0
Inverse1
x
+∞ si x → 0+
−∞ si x → 0−arcsin(x) 0
Log neperien ln(x) −∞ pour x → 0+ arccos(x)π
2Exponentielle ex 1 arctan(x) 0
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.2.2. - Operations algebriques sur leslimites
Remarques
Memes theoremes que pour les comportements asymptotiques
Memes formes indeterminees
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.2.2. - Exercices type
Exercice 2.62. Exercice type : Limite locale : Calculer limx→0
tan(x)
2 + 1x
.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.2.2. - Exercices de TD
Exercice 2.63. Limites en 0 : Calculer les limites en 0 des fonctions f suivantes :
1 f (x) =arctan x
|x − 3| 2 f (x) =√
x2 + 1−√
x2 − 1
3 f (x) =2x − 3
x + 54 f (x) =
2x + |2x + 5|5x − 1
5 f (x) =|x(x − 1)| ln(x)
x3
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.2.3. - Rappel sur la notion d’equivalence
Equivalence en 0
Deux fonctions f et g sontequivalentes au voisinage de 0 sielles sont egales au voisinage de 0 aun epsilon pres. Leurs graphes setangentent et elles ont la memelimite en 0. On le note :f (x) ∼
x→0g(x)
Exemple 213 (Equivalent de tan)
tan(x) ∼x→0
x
0 π/2x
2
y tan(x)
x
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.2.3. - Equivalences usuelles en 0Pour tout x au voisinage de 0 et α ∈ R+∗
(1 + x)α ∼x→0
1 + αx (1− x)α ∼x→0
1− αx
1
(1− x)α∼
x→01 + αx
1
(1 + x)α∼
x→01− αx
ln(1 + x) ∼x→0
x ln(1− x) ∼x→0−x
sin(x) ∼x→0
x cos(x) ∼x→0
1
tan(x) ∼x→0
x ax ∼x→0
1 + x ln(a)
arcsin(x) ∼x→0
x arctan(x) ∼x→0
x
P(x) = anxn + an−1xn−1 + ...+ a0 ∼x→0
le monome ai xi de plus petit
degre tel que ai soit non nul
F (x) =P(x)
Q(x)∼
x→0le quotient des equivalents de P(x) et Q(x)
Remarque
Meme application au calcul de limites que pour les comportementsasymptotiques, meme operations licites
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.2.3. - Exercices types
Exercice 2.64. Exercice type : Limites via equivalences : Calculer :
1 limx→0
tan(x)
x2 lim
x→0
(1 + x)13 − (1− x)
13
x
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.2.4. - Limites en a 6= 0 d’une fonction f
Theoreme 214 (Changement de variable (CV))
Etant donnee une variable x tendant vers a et une variable t choisie desorte que x = u(t) et t = v(x) avec u et v deux fonctions, alors :limx→a
f (x) = limt→b
f (u(t)) avec b = limx→a
v(x)
Methodologie 215 (CV pour un calcul de limx→a
f(x))
1 Poser le cv x = u(t) et inverser le cv pour obtenir t = v(x) ;
2 Reecrire l’expression de f (x) en fonction de t en remplacant, dans la reglede definition de f , tous les x par v(t), pour obtenir f (v(t)) ;
3 Calculer b = limx→a
v(x) ;
4 Conclure que limx→a
f (x) = limt→b
f (u(t)).
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.2.4. - Exercices type
Exercice 2.65. Exercice type : Changement de variable : Calculer les limitessuivantes en utilisant les changements de variables proposes :
1 limx→+∞
(1 +
1
x
)x�
�y =
1
x2 lim
x→−22(2− x) +
1
4
x
x + 2
�� ��y = x + 2
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.2.4. - Changements de variable usuels
Theoreme 216 (Changements de variable usuels)
Les CV usuels sont :
limx→a
f (x) = limy→0
f (y + a)�� ��y = x − a
�� ��x = y + a
limx→a
f (x) = limy→0
f (a− y)�� ��y = a− x
�� ��x = a− y
limx→0+
f (x) = limy→+∞
f
(1
y
) �
�y =
1
x
�
�x =
1
y
limx→0−
f (x) = limy→−∞
f
(1
y
) �
�y =
1
x
�
�x =
1
y
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.2.4. - Exercices de TD
Exercice 2.66. Changements de variable : Determiner les limites suivantes enfaisant les changements de variables proposes :
1 limx→1
x2 + 3x − 4
2x2 − x − 1
�� ��u = x − 1 2 limx→2+
1
x − 2ln
(1 +
1
x − 2
) �� ��u = x − 2
3 limx→2−
1
x − 2ln (x − 1)
�� ��u = 2− x 4 limx→+∞
x tan
(1
x
) �
�u =
1
x
5 limx→+∞
x3 ln
(x + 1
x
) �
�u =
1
x6* lim
x→+∞
(1 +
1
x
)x�
�u =
1
x
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.1. - Principe des DeveloppementsLimites (DLs)
Principe
Les DLs permettent d’approcher de plus en plus precisement etlocalement (pour x autour de a) l’image f (x) par un polynome P(x).Un DL aura un ordre qui indique le degre d’approximation de la fonctionf .
Remarque
En general, a = 0 ; sinon, on effectue un changement de variable pour seramener en 0.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.1. - Principe des DeveloppementsLimites (DLs)
Exemple 217 (DLs de tan en 0)
tan(x) ∼0
x : l’equivalent en 0 est aussi le DL a l’ordre 1
tan(x) = x +x3
3+ x3ε(x) : DL a l’ordre 3 avec un polynome de degre 3
tan(x) = x +x3
3+
2x5
15+ x5ε(x) : DL a l’ordre 5 avec un polynome de
degre 5
Remarque
Les DLs sont incrementales avec l’ordre
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.1. - Developpement limite (DL) al’ordre n
Definition 218 (DL a l’ordre n)
Le developpement limite a l’ordre n au voisinage de 0 d’une fonctionf prend la forme d’un polynome a coefficients reelsPn(x) = a0 + a1x + ...+ anxn de degre au plus egal a n, de sorte quepour tout x proche de 0, il existe une fonction ε telle quef (x) = Pn(x) + +xnε(x) avec limx→0 ε(x) = 0.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.1. - Formule de Taylor-Young
Theoreme 219 (Formule de Taylor-Young pour les DLs en 0)
Une fonction f derivable n fois au voisinage de 0 admet un DL unique,donne par :
f (x) = f (0) + f ′(0)x +f ′′(0)
2!x2 + ...+
f (n)(0)
n!xn + xnε(x)
ou la factorielle de n est definie par :
n! =
{1× 2× ...× (n − 1)× n , si n 6= 01 , si n = 0
et ε est une fonction telle
que limx→0
ε(x) = 0.
Exercice 2.67. Exercice type : DL avec Taylor-Young : Donner le DL de ex al’ordre 5.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.1. - Decrementer l’ordre
Theoreme 220 (Decrementer l’ordre d’un DL)
Pour passer d’un DL a l’ordre n a un DL a un ordre m inferieur, il suffitde tronquer le polynome a l’ordre m, c’est a dire d’effacer toutes lespuissances de x de degre superieur a m.
Exemple 221 (DL a l’ordre 3 de ex)
Sachant ex = 1 + x +x2
2+
x3
6+
x4
24+
x5
120+ x5ε(x) (DL a l’ordre 5),
alors ex = 1 + x +x2
2+
x3
6+ +x3ε(x) a l’ordre 3
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.1. - Interpretation numerique
Exemple 231 (DL de ex)
x 0.1 0.01
Valeur exacte ex 1.10517091 1.010050167
DL a l’ordre 1 1 + x 1.1 1.01
DL a l’ordre 2 1 + x +x2
2!1.105 1.01005
DL a l’ordre 3 1 + x +x2
2!+
x3
3!1.105166 1.01005016
DL a l’ordre 4 1 + x +x2
2!+
x3
3!+
x4
4!1.105170 1.0100501670
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.1. - Interpretation numerique etgraphique
Exemple 232 (f(x) =1
1 + x)
f (x) admet pour DL a l’ordre n :f (x) = Pn(x) = 1− x + x2 − x3 + ...+ (−1)nxn + xnε(x)
0 1x
1
y
f (x) =1
1 + x
0−0.5 0.5
x
1
y
f (x) =1
1 + xP1(x)
P2(x)
P3(x)
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.2. - Developpements limites usuels
f (x) ∼0
Pn(x) du DL a l’ordre n
(1 + x)α 1 + αx 1 + αx + ...+α(α− 1) . . . (α− n + 1)
n!xn + xnε(x)
1
1 + x1− x 1− x + x2 − x3 + . . .+ (−1)nxn + xnε(x)
ln(1 + x) x x − x2
2+
x3
3+ . . .+
(−1)n+1
nxn + xnε(x)
ex 1 + x 1 + x +x2
2+
x3
6+ . . .+
xn
n!+ xnε(x)
sin(x) x x − x3
6+
x5
120− . . .+
(−1)p
(2p + 1)!x2p+1 + x2p+1ε(x)
cos(x) 1 1− x2
2+
x4
24− . . .+
(−1)p
(2p)!x2p + x2pε(x)
tan(x) x x +x3
3+
2x5
15+ x5ε(x)
arcsin(x) x x +x3
6+
3x5
8+ x5ε(x)
arctan(x) x x − x3
3+
x5
120+ x5ε(x)
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.2. - DL d’une somme
Theoreme 233 (DL d’une somme)
Soient u(x) = Pn(x) + xnε(x) et v(x) = Qn(x) + xnε(x). Alorsu(x) + v(x) = Sn(x) avec Sn(x) = Pn(x) + Qn(x) + xnε(x) tronque al’ordre n.
Exercice 2.68. Exercice type : DL d’une somme : Determiner le DL a l’ordre 3de f (x) = cos(x) + sin(x).
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.2. - DLs d’un produit
Theoreme 234 (DL d’un produit)
Soient u(x) = Pn(x) + xnε(x) et v(x) = Qn(x) + xnε(x). Alorsu(x).v(x) = Sn(x) + xnε(x) avec Sn(x) = Pn(x).Qn(x) tronque a l’ordren.
Exercice 2.69. Exercice type : DL d’un produit : Determiner le DL a a l’ordre 2de f (x) = ex . cos(x).
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.2. - DLs d’un quotient
Theoreme 235 (DL d’un quotient)
Soient u(x) = Pn(x) + xnε(x) et v(x) = Qn(x) + xnε(x). Alorsu(x)
v(x)= Sn(x) + xnε(x) avec Sn(x) obtenu par division polynomiale
suivant les puissances croissantes de Pn(x) par Qn(x) tronque a l’ordre n.
Exercice 2.70. Exercice type : DL d’un quotient : Determiner le DL a l’ordre 2
de f (x) =ln(1 + x)
cos(x).
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.2. - DLs d’une composee
Theoreme 236 (DL d’une composee)
Soient u(x) = Pn(x) + xnε(x) et v(x) = Qn(x) + xnε(x). Alorsu(v(x)
)= Sn(x) + xnε(x) avec Sn(x) = Pn(Qn(x)) tronque a l’ordre n.
Exercice 2.71. Exercice type : DL d’une composee : Determiner le DL a l’ordre2 de :
1 f (x) = ln(1 + sin(x)) 2 g(x) = ln(1 + 3x) 3 h(x) = sin(−2x)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.2. - Exercices de TD
Exercice 2.72. DL d’une somme : Determiner le DL a a l’ordre 3 deu(x) + v(x) lorsque u(x) = ex et v(x) = sin(x).
Exercice 2.73. DL d’un produit : Determiner le DL a l’ordre 2 de u(x).v(x)avec u(x) = ex et v(x) = sin(x).
Exercice 2.74. Calcul de DLs : Donner le developpement limite en 0 a l’ordre 2des fonctions de la variable x suivantes :
1sin(x)
1 + x22
1
1 + sin(x)3 tan2(x) 4
ln(1 + x)
1 + x5 sin
(π4
+ x)
6 sinc (x) =sin(πx)
πx7 xex 8
x
1− ex
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.3. - DL et limites
Theoreme 237 (DL et limite)
Si une fonction f admet un DL en 0 a l’ordre n de la forme Pn(x) ouPn(x) est un polynome de degre n, alors : lim
x→0f (x) = lim
x→0Pn(x)
Exercice 2.75. Exercice type : Limite : Calculer la limite en 0 de
f (x) =ln(1− x)
x.
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.3. - Exercices de TD
Exercice 2.76. Calcul de limites : Calculer les limites quand x tend vers 0 desfonctions suivantes, en utilisant les DLs usuels :
1 f (x) =x − arcsin(x)
x − sin(x)2 f (x) =
x2 sin(x)
x − sin(x)3 f (x) =
√2x + 1−
√x + 1
x
4 f (x) =1− e−x2
1− cos(x)5 f (x) =
ax − bx
x6 f (x) =
ln (cos(ax))
ln (cos(bx))
ou a et b sont deux parametres reels strictement positifs.
Exercice 2.77. Calcul de limites (DS 2008) : Calculez les limites suivantes :
1 limx→+∞
3√
1 + x3 − (1 + x) 2 limx→±∞
x23(1+ 1x ) 3 lim
x→0
1
xln
(ex − 1
x
)
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 8.3.3. - Exercices de TD
Exercice 2.78. Limites (pour les poursuites d’etudes longues) :Calculer les limites suivantes :
1 limx→+∞
x ln
(x + 1
x − 1
)2 lim
x→1
ln(x)√x − 1
3 limx→1
x − (n + 1)xn+1 + nxn+2
(1− x)2
4 limx→1
cos(πx/2)
x − 15 lim
x→±∞x(
21/x − 1)
6 limx→0±
x(
21/x − 1)
7 limn→+∞
(n + 1
n
)n
8 limx→+∞
cos(π2
x)
x − 19 lim
x→1
xn − 1
x − 1
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
4 Generalites sur les fonctions
5 Continuite
6 Derivation
7 Comportements asymptotiques
8 Comportements locaux
9 Synthese : Etude de fonctionsTechniques d’etude de fonctionsExercices
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 9. - Objectif
Objectif de l’etude de fonction
Tracer le graphe de la fonction sans calculatrice
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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 9.1. - Methodologie
Methodologie 238 (Etude d’une fonction)
1 Determiner l’ensemble d’etude ;
2 Determiner le tableau de variation sur l’ensemble d’etude ;
3 Etudier les branches asymptotiques de l’ensemble d’etude ;
4 Etudier quelques comportements locaux (dependant du tableau devariation) ;
5 Tracer le graphe.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 9.2. - Probleme de syntheseExercice 2.79. Exercice type : Extrait du DS 2008-2009 :
Etudier la fonction f (x) = x
(x2 − 1
6x2 − 4
).
1 Ensemble de definition et de derivabilite (1 pts).
2 Etude de la parite (0.5 pts) et ensemble d’etude (0.5 pts).
3 Derivee de f (2 pts).
4 Sens de variation (on pourra au besoin poser u = x2) (2 pts).
5 Limite de f en +∞ (1 pts)
6 limx→
(√2√3
)− f (x) et limx→
(√2√3
)+f (x) (2 pts) avec
�
�u = x −
√2√3
.
7 DL a l’ordre 1 de f (x) au voisinage du point x = 0 (1 pts).
8 Equation de l’asymptote au graphe de la fonction f en +∞ (1 pts).
9 Graphe de f (sachant
√2
3= 0.81)
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions
M2. 9.2. - Exercices de TD
Exercice 2.80. Etude de fonction (DS 2005) :
Soit la fonction f (x) = Arctan
(x + 1
x
). Donner le domaine de definition de f .
Calculer sa derivee et donner les limites quand x tend vers ±∞, 0− et 0+.Tracer grossierement son graphe.
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Calcul integral Equations differentielles
Module 3
Calcul integral et equationsdifferentielles
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Calcul integral Equations differentielles
10 Calcul integralPrimitiveIntegrales propres dites integrales de RiemannIntegrales (impropres) generalisees
11 Equations differentielles
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.1. - Notion de primitive
Definition 239 (Primitive)
Soit f une fonction reelle de la variable reelle, definie et continue surl’intervalle [a; b]. Une primitive de la fonction f est une fonction F dela variable x definie de [a; b] sur R tel que : pour tout x ∈ [a; b],F ′(x) = f (x).
Exemple 240 (Primitives de la fonction inverse)
F (x) = − 1
x2est une primitive de f (x) =
1
x
Corollaire 241 ()
Une primitive F de f sur [a; b] est necessairement derivable sur [a; b] etde derivee F ′(x) = f (x) sur [a; b]
237 / 354
Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.1. - Primitive et derivee, deuxoperations inverses
Exercice 3.1. Exercice type : Primitives : Soit f une fonction. Donner uneprimitive F de f ′.
Theoreme 242 (Primitive et derivee)
Une primitive de la derivee de f est f .
La derivee d’une primitive de f est f .
238 / 354
Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.1. - Condition d’existence d’uneprimitive
Theoreme 243 (Th. de Darboux : CNS a d’existence d’uneprimitive)
a. Condition necessaire et suffisante
Pour qu’une fonction f admette une primitive F sur l’intervalle [a; b], ilfaut qu’elle soit continue sur [a; b].
Rappel M2
Une fonction f derivable sur [a; b] est necessairement continue ; elleadmettra donc une primitive sur [a; b].
239 / 354
Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.1. - DES primitives ...
Theoreme 244 (Ensemble des primitives de f)
f possede une infinite de primitives, toutes definies a une constante cpres, appelee constante d’integration. Les primitives de f forment doncun ensemble des fonctions note
{x 7→ F (x) + c/c ∈ R
}.
Demonstration.
Soit F1 une primitive de f sur [a; b]. Alors la fonction F2 definie parF2(x) = F1(x) + c (avec c constante reelle quelconque) est aussi uneprimitive de f sur [a; b].
Exemple 245 (Primitives de l’exponentielle)
Toutes les primitives de la fonction f (x) = ex sont les fonctions ex + cavec c une constante reelle quelconque.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.1. - ... qui peuvent devenir LAprimitive QUI
Theoreme 246 (Une seule primitive pour une condition de valeurdonnee)
Il n’existe qu’une seule et unique primitive de f dont la valeur en unpoint x0 est y0 : c’est la fonction F qui satisfait au systeme d’equations :{
F ′ = fF (x0) = y0
.
Trouver LA primitive QUI
Connaissant une primitive F1 de f , trouver l’unique primitive F2 de fdont la valeur en x0 est y0 consiste a trouver l’unique valeur de laconstante d’integration c telle que y0 = F1(x0) + c . Cette unique valeurest copt = y0 − F1(x0). F2 est donc definie pour tout x ∈ [a, b] parF2(x) = F1(x) + copt = F1(x) +
(y0 − F1(x0)
).
Exercice 3.2. Exercice type : La primitive : Trouver la primitive de ex quis’annule en 2.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.1. - Une question de vocabulaire
Une question de vocabulaire
Attention donc au vocabulaire employe : Pour une fonction f , admettantune primitive F :
Toutes les primitives de f sont toutes les fonctions de la forme F + cavec c la constante d’integration
La primitive de f qui vaut y0 en x0 est la seule fonction F +(y0−F (x0)
)Une primitive de f est par exemple F + 2
Ces primitives ne sont valables que sur un intervalle I ou la fonction fest continue (ou au moins derivable).
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.2. - Primitives des fonctions usuelles
Fonction f (x) Primitives F (x) Validite
Constante k (avec k ∈ R) kx + c R Terminale
Inverse1
xln |x |+ c R∗ Terminale
Pu
issa
nce
Monome xn (avec n ∈ N) F (x) =xn+1
n + 1+ c R Terminale
Racine n-ieme n√
x = x1n (avec n ∈ N∗) x
1n +1
1n + 1
+ c R+
Puissance d’inverse1
xn= x−n (avec n ∈ N \ {0, 1}) 1
(1− n)xn−1R∗ Terminale
Puissance xα (avec α ∈ R \ {−1}) xα+1
α + 1+ c R∗+
Exp
o Exponentielle ex ex + c R Terminale
Expo. a base a ax = ex ln(a) (avec a ∈ R+∗ )
ax
ln(a)+ c R
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.2. - Primitives des fonctions usuelles
Fonction f (x) Primitives F (x) Validite
Tri
go
no
met
rie
Cosinus cos(x) sin(x) + c R Terminale
Sinus sin(x) − cos(x) + c R Terminale
1 + tan2(x) tan(x) + c R M2
− 1√1− x2
arccos(x) + c ]− 1; 1[ M2
1√1− x2
arcsin(x) + c ]− 1; 1[ M2
1
1 + x2F (x) = arctan(x) + c R M2
243 / 354
Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.2. - Operations sur les fonctions
Soient u une fonction de primitive U, v une fonction de primitive V etλ ∈ R∗.
Fonction f (x) Primitives
Somme f (x) = u(x) + v(x) F (x) = U(x) + V (x) + c
Difference f (x) = u(x)− v(x) F (x) = U(x)− V (x) + c
Amplification f (x) = λu(x) F (x) = λU(x) + c
Homothetie f (x) = u(λx) F (x) =1
λU(λx) + c
Exercice 3.3. Exercice type : Primitives : Trouver toutes les primitives de :
1 f (x) =2
x+ 3x 2 g(x) = e3x +
1
5cos(2x)
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.2. - Operations sur les fonctions
Si f peut s’ecrire comme la derivee d’un produit, d’un quotient ou d’unecomposee faisant intervenir les fonctions u et v , on peut aisement donnerune primitive de f .
Derivee Fonction f (x) Primitives
d’un produit f = (u.v)′ f (x) = u′(x)v(x) + u(x)v ′(x) F (x) = u(x).v(x) + c
d’un quotient f =(u
v
)′f (x) =
u(x)′v(x)− u(x)v(x)′
v(x)2F (x) =
u(x)
v(x)+ c
d’une composee f = (u ◦ v)′ f (x) = v ′(x)u′(v(x)
)F (x) = u
(v(x)
)+ c
Exercice 3.4. Exercice type : Primitive de fractions rationnelles : Donner toutes
les primitives de f (x) =2x + 2
x2 + 2x + 2.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.3. - Techniques d’integration - Casgeneral
Methodologie 247 (Recherche de primitives de f dans le casgeneral)
1 Reconnaıtre les fonctions usuelles dans f et donner une de leur primitive
2 Reconnaıtre l’assemblage de fonctions utilisees (somme, derivee,amplification, composee, ...)
3 Integrer en utilisant les tables en n’oubliant pas la constante d’integration
Exercice 3.5. Exercice type : Primitives : Donner toutes les primitives de :
1 f (x) = 2x(1 + x2)2 2 P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4
3 f (x) = 2 cos(3x) + 5 sin(1
5x)
246 / 354
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.3. - Techniques d’integration - Casparticulier 1
Methodologie 248 (Recherche des primitives de f lorsque fcontient des fonctions trigonometriques)
Lineariser la fonction en somme de cos et de sin (a la puissance 1) puisappliquer la methodologie 247 (cas general)
Exercice 3.6. Exercice type : Primitives : Donner toutes les primitives de :
1 f (x) = sin2(x) 2 g(x) = cos2(x) 3 h(x) = cos(3x) sin(2x)
247 / 354
Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.3. - Techniques d’integration - Casparticulier 2
Methodologie 249 (Recherche des primitives de f lorsque f est unefraction rationnelle )
1 Si f =u′
u, alors F (x) = ln |u(x)|+ c
2 Si f =u′
un(avec n ∈ N∗), alors F (x) =
1
1− n
1
un−1(x)+ c
3 Si f =u′v − uv ′
v 2, alors F (x) =
u(x)
v(x)
4 Sinon, decomposer f en elements simples M1 , pour obtenir
f (x) = P(x) +A
x − a+ B
2x + b
x2 + bx + cet integrer :
le polynome P(x)
les elementsA
x − aayant pour primitive A ln
∣∣x − a∣∣
les elements B2x + b
x2 + bx + cayant pour primitive B ln
∣∣x2 + bx + c∣∣
puis ajouter toutes les primitives obtenues.248 / 354
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.3. - Exercices type
Exercice 3.7. Exercice type : Primitives : Donner toutes les primitives de :
1 f (x) = 5x − 1
x2 + x − 62 g(x) =
x3 + x + 1
x2 + 1
249 / 354
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.3. - Exercices de TD
Exercice 3.8. Calcul de primitive : Pour chacune des fonctions f suivantes,donner toutes les primitives F (x) de f et l’ensemble de definition desprimitives, en utilisant les regles d’operations sur les fonctions :
1 f (x) = 2x3 + 5x2 − 4x + 1 2 f (x) =x + 1√
x
3 f (x) = 2x(
x2 + 1)2
4 f (x) =(
x2 + 1)3
5 f (x) =1
(x + 1)56 f (x) =
sin(x)
cos2(x)
7 f (x) = ex (x + 1) 8 f (x) = (x2 + 1) sin(x3 + 3x − 3)
9 f (x) =x + 3√
x2 + 6x + 710 f (x) =
x2 + 2x + 2√x3 + 3x2 + 6x + 1
11 f (x) =cos(x)√
9− sin2(x)12 f (x) = x
√1 + x2
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.1.3. - Exercices de TD
Exercice 3.9. Primitives de fractions rationnelles : Trouver une primitive desfractions rationnelles suivantes :
1 f (x) =x + 1
x2 + 12 f (x) =
x2 + x + 1
x2 − 3x + 2
3 f (x) =x3 + 1
x − 14 f (x) =
1
x2(x2 − 3x + 2)
5 f (x) =1
(x − 1)(x2 + 1)6 f (x) =
x + 3
x + 2
7 f (x) =5x − 12
x(x − 4)
251 / 354
Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.1. - L’integrale comme airealgebrique
Definition 250 (Integrale de f de a a b)
Soit f une fonction continue sur unintervalle [a; b]. L’integrale de f de a a best l’aire algebrique (signee) de la surfacedite ”sous” le graphe geometrique Gf de fentre les droites d’equation x = a et x = b.
On la note
∫ b
a
f ou
∫ b
a
f (x)dx . f est alors
appele integrande.
Gf
A1(a, 0)
A2(a, f (a))
B2(b, f (b))
B1(b, 0)
∫ b
a
f (x)dx
x
y
Remarques
dx designe la differentielle de x , autrement dit une petite variation de x .
x est la variable d’integration. C’est une variable muette252 / 354
Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.1. - Approximation de l’integrale parune somme de rectanglen mesures de la fonction : f (x0), f (x1), f (x2), ..., f (xn−1) aux points x0,x1, x2, ..., xn−1 espaces d’une distance δx = x1 − x0 ≈ b−a
n
Gf
x0
f (x0)f
(x0)δ
x
δx
x1
f (x1)
f(x
1)δ
x
δx
x2
f (x2)
f(x
2)δ
x
δx
x3
f (x3)
f(x
3)δ
x
δx
xn−1
f (xn−1)
f(x
n−
1)δ
x
δx
...
a b
x
y
f (x0)δx + f (x1)δx + f (x2)δx + ...+ f (xn−1)δx ≈∫ b
a
f (x)dx
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.1. - Approximation de l’integrale parune somme de rectangle
n−1∑i=0
f (xi )δx ≈∫ b
a
f (x)dx
Lorsqu’on fait tendre n vers +∞ (et f integrable), alors :
limn→+∞
n−1∑i=0
f (xi )δx =
∫ b
a
f (x)dx
Conclusions
Une integrale est la somme de toutes les valeurs f (x) que prend lafonction f entre x = a et x = b ponderees par la quantite infinimentpetite dx .
Dans le calcul d’une integrale, il faudra systematiquement prendre encompte la regle de definition qui s’applique pour f dans l’intervalled’integration [a; b].
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.1. - Exercices type
Exercice 3.10. Exercice type : Integrale d’une porte : Calculer l’integrale∫ 5
−5
Π2(x)dx ou ΠT designe la fonction porte de la largeur T
255 / 354
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.1. - Integrale (propre)
Definition 252 (Integrale (propre))
Soit f une fonction continue sur [a; b] ayant pour primitive la fonction Fsur [a; b]. Alors f est integrable sur [a; b] et son integrale entre a et best le nombre reel :∫ b
a
f (x)dx =[
F (x)]b
a= F (b)− F (a)
Remarques :∫ b
a
f (x)dx ne depend pas de la constante d’integration c choisie pour F[F (x)
]b
aest une expression/notation mathematique
cette integrale (par definition) est aussi la ”somme” de toutes les valeursf (x) prises par f lorsque x varie entre a et b. La regle de definition utiliseepour f (x) dans le calcul de l’integrale est donc celle valable pourx ∈ [a; b].
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.1. - Exercices type
Exercice 3.11. Exercice type : Integrales : Calculer :
1
∫ 2
1
sign(x)dx 2
∫ −1
−2
|x |dx
Exercice 3.12. Exercice type : Integrales : Montrer que pour toute fonction f
continue au voisinage d’un reel a,
∫ a
a
f (t)dt = 0
257 / 354
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.1. - Application de l’integration a laphysique
Definition 253 (Grandeurs physiques en electronique)
Soit une tension U(t) fonction du temps t.
La valeur moyenne de U(t) entre l’instant t = a et l’instant t = b est :
Umoy =1
b − a
∫ b
a
U(t)dt
La valeur efficace a de U(t) entre l’instant t = a et l’instant t = b est :
Ueff =
√1
b − a
∫ b
a
U2(t)dt
a. valeur de la tension continue qui provoquerait une meme dissipation de puissanceque U(t) si elle etait appliquee aux bornes d’une resistance
Exercice 3.13. Exercice type : Tension en electronique : Soit la tension
U(t) = U0 sin(2πωt) variable au cours du temps t avec T =1
ωet ω deux
constantes reelles. Donner la valeur moyenne puis la valeur efficace de U(t) sur[0; T ].
258 / 354
Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.2. - Proprietes des integrales propres
Theoreme 257 (Relation de Chasles)∫ b
a
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx
Theoreme 258 (Inversion des bornes)∫ b
a
f (x)dx = −∫ a
b
f (x)dx
Exercice 3.14. Exercice type : Chasles : Calculer
∫ 2
0
(Π2(x) + x)dx .
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.2. - Proprietes de l’integrale propre
Theoreme 259 (Integrale et symetrie graphique)
Si la fonction f est paire, alors
∫ a
−a
f (x)dx = 2
∫ a
0
f (x)dx.
Si la fonction f est impaire, alors
∫ a
−a
f (x)dx = 0.
Si la fonction f est periodique de periode T , alors∫ a+T
a
f (x)dx =
∫ T
0
f (x)dx =
∫ T2
− T2
f (x)dx.
Exercice 3.15. Exercice type : Periode : Calculer
∫ 5π
3π
cos(x)dx .
260 / 354
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Techniques d’integration
Methodologies
1 Rechercher une primitive F de f puis calculer F (b)− F (a).
2 Utiliser une integration par partie pour se ramener a la methodologieprecedente.
3 Effectuer un changement de variable pour se ramener a la methodologieprecedente.
261 / 354
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Methodologie : Recherche deprimitives
Methodologie 260 (Recherche de primitives)∫ b
a
f (x)dx se calcule en trouvant une primitive F de f puis en evaluant[F (x)
]ba
= F (b)− F (a). F est recherchee avec les methodologies 247,248 et 249, deja vues pour le calcul de primitive et qui se resument de lasorte :
f = assemblage de fonctions usuelles ⇒ tables des primitives usuelles etoperations sur les fonctions
f = fonctions trigonometriques ⇒ Linearisation
f = fraction rationnelle simple
→ mettre f en relation avec duu′
u, du
u′
unou du
u′v − uv ′
v2puis integrer
→ sinon, faire une DES a de f puis integrer lesA
x − aet
2x + b
x2 + bx + c
a. Decomposition en elements simples
262 / 354
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Exercices type
Exercice 3.16. Exercice type : Integrales : Calculer :
1
∫ 2
1
dt
1 + t22
∫ 2
1
1
x2(x + 1)dx
263 / 354
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Exercices de TD
Exercice 3.17. BTS Groupement B 2003 : Soit f la fonction definie parf (x) = (2x + 3)e−x .
1 Montrer que f admet une primitive sur R.
2 Montrer qu’une primitive de f sur R est la fonction F definie par :F (x) = −(2x + 5)e−x .
3 Montrer que
∫ 12
0
f (x)dx = 5− 6e−12 .
264 / 354
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Exercices de TD
Exercice 3.18. Calcul d’integrales : Calculer les integrales suivantes :
1
∫ 1
0
(6x2 − 5)(2x3 − 5x + 1)dx 2
∫ 2
−2
|x2 + 2x − 3|dx
3
∫ π/4
0
tan(x)dx = 4
∫ π/4
0
tan2(x)dx
5
∫ 2π
−2π
| sin(t)|dt 6
∫ e2
e
1
t ln(t)dt
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Exercices de TD
Exercice 3.19. BTS Groupement E 2002 : Soit f et h deux fonctions definies
sur l’intervalle [0; 5] par : f (x) =1
4(x3 − 9x2 + 24x) et h(x) = −x2 + 6x .
1 Etudier et representer graphiquement les fonctions f et h sur l’intervalle[0; 5].
2 En notant Gf et Gh les graphes geometriques de f et h, intuitez la positionrelative de Gf et Gh dans le plan. Justifier ensuite votre reponse par lecalcul.
3 Calculer l’aire S de la partie du plan comprise entre les deux graphes. Ondonnera une valeur exacte.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - L’Integration Par Partie (IPP)pour le produit de fonctions
Theoreme 261 (Integration par partie)
Si la fonction f a integrer s’ecrit f (x) = u′(x)v(x) avec u, v deuxfonctions definies et derivables sur [a; b] et de derivees respectives u′ etv ′ elles-meme continues sur [a; b] alors la formule de l’integration parpartie consiste a ecrire :
∫ b
a
f (x)dx =
∫ b
a
u′(x)
u(x)
v(x)
v ′(x)
dx =[u(x) · v(x)
]ba−∫ b
a
u(x)v ′(x)dx
267 / 354
Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Methodologie : L’IPP
Methodologie 262 (IPP)
1 Chercher u′ et v tels qu’on puisse ecrire f (x) = u′(x)v(x) ;
2 Determiner une primitive u de u′ ;
3 Calculer la derivee v ′ de v ;
4 Appliquer la formule de l’IPP∫ b
a
f (x)dx =[u(x) · v(x)
]b
a−∫ b
a
u(x)v ′(x)dx et calculer[u(x) · v(x)
]b
a
puis integrer
∫ b
a
u(x)v ′(x)dx avec les differentes methodologies.
268 / 354
Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Choix des fonctions de l’IPP
Choix des fonctions u′ et v de l’IPP
Ce choix est arbitraire et requiert de la pratique et de l’intuition.
Cependant, l’idee principale est que
∫ b
a
u(x)v ′(x)dx soit plus facile a
calculer que
∫ b
a
u′(x)v(x)dx : on aura donc souvent tendance a choisir :
comme terme u′(x), les fonctions trigonometriques, les exponentielles ;
comme terme v(x), les polynomes, les logarithmes.
269 / 354
Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Exercices type
Exercice 3.20. Exercice type : IPP : Calculer avec une IPP :
1
∫ 2
1
(2x + 1)ex dx 2
∫ 3
1
x cos(x)dx
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Exercices de TDExercice 3.21. IPP : Calculer les integrales suivantes en faisant une integrationpar partie :
1
∫ π
0
x sin(x)dx 2
∫ b
a
xα ln(x)dx avec 0 < a < b et α > 1
3
∫ 1
0
ln(
x +√
x2 + 1)
dx 4
∫ 0
a
xe−x dx avec a ∈ R
Exercice 3.22. IPP : Soit t ∈ R+∗ fixe. Calculer les integrales suivantes en
utilisant une IPP :
1
∫ t
0
e2x (3x2 + 1)dx 2
∫ t
0
e−x (x3 + 5x2)dx 3
∫ t
0
ln(x2 + 1)dx
4
∫ t
1
x2 ln(x)dx 5
∫ t
0
arctan(x)dx
271 / 354
Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Methodologie : le Changementde Variable (CV)
Theoreme 263 (Le changement de variable)
Soit f (x) une fonction integrable sur [a; b] et I =
∫ b
a
f (x)dx. On pose�� ��x=u(t) ou u est une fonction de la variable t qui est :
definie et derivable sur [α;β] de derivee telle que dx = u′(t)dt ;
monotone sur [α;β] donc ayant une reciproque u−1 telle que t = u−1(x) ;
telle que u(α) = a et u(β) = b et donc telle que α = u−1(a) etβ = u−1(b).
Alors :
I =
∫ b
a
f ( x ) dx =
∫ β
α
f(
u(t))
u′(t)dt
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Methodologie du CV parl’exemple
Methodologie 264 (CV)
1 Poser le CV�� ��x=u(t) et l’inverser pour avoir
�� ��t = u−1(x) ;
2 Regle de definition : reecrire la regle de definition de f (x) en remplacantl’ancienne variable x par la nouvelle t ;
3 Calcul des bornes�� ��α et
�� ��β : calculer ce que vaut t lorsque x = a, puis
lorsque x = b ;
4 Calcul de la differentielle�� ��dx = u′(t)dt : en interpretant x comme une
fonction de t, calculer u′(t) =dx
dtautrement dit la derivee x ′ de x par
rapport a t ; en deduire dx en fonction de dt ;
5 Appliquer la formule du CV, puis continuer le calcul de l’integrale avec lesmethodologies du cours.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Exercices type
Exercice 3.23. Exercice type : CV : Calculer
∫ 1
0
exp(√
x)dx en faisant le CV�� ��t =√
x .
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Choix du CV
Choix du CV
En general, le CV est suggere par l’enonce ; sinon
f (x) de la forme Changement de variable (CV)√1− x2 x = cos(t) ou x = sin(t)
1
x2 + 1x = tan(t)
ex + α
ex + βx = ln(t)
√a2x + bx + c Ecrire a2x + bx + c sous la forme
a2(x +α)2 +β2 puis t =a
β(x +α)
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Exercices type
Exercice 3.24. Exercice type : CV : Calculer a l’aide d’un CV les integralessuivantes :
1
∫ 1
0
√1− x2dx avec
�� ��x = cos(t)
2
∫ 1
12
1
x3e
1x dx avec
�
�t =
1
x
3
∫ 1
0
1
x2 + x + 1/2dx avec
�
�t = x +
1
2puis
�� ��u = 2t
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.2.3. - Exercices de TD
Exercice 3.25. CV : Calculer les integrales suivantes en faisant le changementde variable suggere :
1
∫ 1/2
0
arcsin(x)√1− x2
dx avec�� ��x = sin(u) 2
∫ 1
0
1
3x2 + 2dx avec
�
�u =
√32x
3
∫ 1
0
3x − 1
x2 − 2x + 5dx avec
�� ��u = 12(x − 1) 4
∫ 1
0
ex
√e2x − 1
dx avec�� ��u = ex
5
∫ 1
0
ex + 1
e2x + 1dx avec
�� ��u = ex 6
∫ 1
1/4
√x
x2 + xdx avec
�� ��u =√
x
7
∫ 1
1/4
x + 1√x
dx avec�� ��u =
√x 8
∫ 3
2
1
x ln(x)dx avec
�� ��u = ln x
9
∫ a
0
1
3 + e−xdx avec
�� ��u = ex et a ∈ R+∗ 10
∫ a
0
1√1 + ex
dx avec�� ��u =
√1 + ex et a ∈ R+
∗
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.3.1. - Introduction aux integralesimpropres
On cherche a calculer
∫ b
a
f (x)dx lorsque :
1 f n’est pas definie ou continue sur tous les points de [a; b]
2 f n’est definie que sur ]a; b] avec f non definie en a
3 f n’est definie que sur [a; b[ avec f non definie en b
4 l’intervalle d’integration est [a; +∞[ ou est ]−∞; b]
Exemple 265 (Des integrales impropres)∫ 1
−1
sinc (x)dx alors que sinc n’est pas definie en 0∫ 0
−1
1
xdx alors que
1
xtend vers l’infini lorsque t → 0 et donc que l’aire
sous la courbe est intuitivement infinie
En Telecommunications, TEB =1√
2πσ2b
∫ +∞
0
exp
(− x2
2σ2b
)dx
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.3.1. - Un exemple
Exemple 266 (Banques)
Vous empruntez 1 euro a un banquier avec le plan de remboursementsuivant :
1er mois : 110
euro
2eme mois : 1100
euro
3eme mois : 11000
euro
...
x-eme mois : 110x euro
Le banquier calcule combien de mois il vous faudrait pour rembourser ce1 euro ; et vous donne sa reponse : accepte-t-il votre proposition ?
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.3.1. - Integrale impropre
Definition 267 (Integrale impropre ou generalisee)
Soient a un reel, b un reel ou un infini (+∞ ou −∞) et f une fonctiondefinie et continue sur [a; b[.
Si limT→b
∫ T
a
f (x)dx existe et vaut une valeur reelle finie I (c’est a dire une
valeur 6=∞), on dit que la fonction f est integrable de a a b. Alors
l’integrale impropre (ou generalisee) notee
∫ b
a
f (x)dx existe et vaut I .
Si limT→b
∫ T
a
f (x)dx n’a pas de valeur reelle finie (par exemple vaut +∞),
alors on dit que f n’est pas integrable. Alors l’integrale impropre (ou
generalisee) notee
∫ b
a
f (x)dx n’existe pas et n’a pas de valeur.
b est appele la borne a risque
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.3.1. - Bornes a risques
Methodologie 268 (Comment identifier la (ou les) borne(s) arisque ?)
Dans l’integrale
∫ b
a
f (x)dx,
1 Etudier la derivabilite (continuite) de f sur l’intervalle d’integration([a; b]) : si f n’est pas derivable (continue) en differents points del’intervalle d’integration, ces points sont des bornes a risque.
2 Si l’intervalle d’integration inclut un infini (−∞, +∞), cet infini est uneborne a risque.
3 Dans tous les autres cas, l’integrale ne presente pas de borne a risque. Cen’est pas une integrale generalisee mais une integrale propre.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.3.1. - Exercices type
Exercice 3.26. Exercice type : Bornes a risque d’integrales impropres :Identifier la ou les bornes a risques dans les integrales suivantes :
1
∫ +∞
0
1√x
dx 2
∫ +∞
0
x
x2 + x + 1dx
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.3.1. - Exercices de TD
Exercice 3.27. Bornes a risques : Pour chacune des integrales suivantes,preciser (si elles existent) les bornes a risques :
1
∫ +1
0
1√x
dx 2
∫ +∞
1
1√x
dx
3
∫ π2
π4
tan(π
2− x)
dx 4
∫ +1
−1
exp(arctan(x))
xdx
5
∫ +∞
1
1
tsin
(1
t
)dt 7
∫ +∞
0
et
t2dt
8
∫ +∞
0
x
(x2 + x + 1)ndx avec n ∈ N∗
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.3.3. - Calcul de l’integrale impropre
Methodologie 277 (Calcul d’une integrale impropre
∫f(x)dx)
1 Determiner la (ou les) borne(s) a risques dans l’intervalle d’integration
2 Decouper l’integrale en somme d’integrales
∫ b
a
f (x)dx avec b une des
bornes a risques
3 Calculer
∫ b
a
f (x)dx en :
Posant T un reel quelconque dans [a; b[, puis calculer F (T ) =
∫ T
af (x)dx
Calculant la limite quand T → b de F (T )
La limite trouvee est
∫ b
af (x)dx : elle doit etre reelle si l’integrale existe,
sinon elle sera ∞
4 Ajouter tous les resultats d’integrales pour obtenir
∫f (x)dx
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.3.3. - Exercices-type
Exercice 3.31. Exercice type : Integrales impropres : Calculer :
1 I =
∫ +∞
1
1
10xdx 2
∫ +∞
1
1
x(x + 1)dx
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 10.3.3. - Exercices de TD
Exercice 3.32. Calcul d’integrales generalisees : Calculer en suivant lesindications proposees :
1
∫ +∞
1
1
x(x + 1)dx 2
∫ +∞
−∞
1
1 + x2dx
3
∫ +∞
1
x ln(x)
(1 + x2)2dx
�� ��IPP 4
∫ +∞
1
arctan(x)
x2dx
�� ��IPP
5
∫ +∞
−∞
1
(|x |+ 1)3dx 6
∫ +∞
0
x5
x12 + 1dx
�� ��u = x6
7
∫ +∞
1
1
x2 + 2x + 2dx
�� ��u = x + 1 8
∫ +∞
0
1
(ex + 1)(e−x + 1)dx
�� ��u = ex
9
∫ +∞
0
1
(x + 1)2(x + 2)2dx 10
∫ +∞
1
ln(x)
(1 + x)3dx
�� ��IPP
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Calcul integral Equations differentielles
10 Calcul integral
11 Equations differentiellesGeneralitesEquations differentielles du 1er ordreEquation differentielle du 2eme ordreSynthese
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.1.1. - Equations differentielles
Definition 278 (Equation differentielle (equa diff, ED))
Une equation differentielle (ED) est :
1 une equation mathematique (E) ;
2 dont l’inconnue est une fonction y de la variable reelle t a valeurs reelles ;
3 liant l’inconnue y a ses derivees y ′, y ′′, ... y (n) (generalement notees avec
la notation differentielledy
dt,
d2y
dt2, ...,
dny
dtn) et des fonctions connues de la
variable t.
Exemple 279 (Des equations differentielles)
dy
dt= 2y ou y ′ = 2y
d5y
dt5+
1
1 + t2y = sin(t) ou y (5) +
1
1 + t2y = sin(t)
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.1.1. - Ordre d’une equationdifferentielle
Definition 280 (Ordre d’une ED)
L’ordre d’une ED de la fonction y est le rang de la derivee de y de rangle plus eleve apparaissant dans l’ED.
Exemple 281 (Des ED et leurs ordres)
tdy
dt= 3 est une ED d’ordre 1
md2y
dt2+ ky = mg est une ED d’ordre 2
ky = mg est une ED d’ordre 0
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.1.1. - Origine des ED
Exemple 282 (Un probleme de mecanique Terminale )
y designe la position d’un mobile de masse m en fonction du temps t
Loi de Newton :∑ ~Fext = m~aG soit
�� ��mg + ky = my ′′
Objectif du probleme : Trouver y(t)
k
m
~F = −ky
~P = mg
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.1.1. - Origine des ED
Exemple 283 (Un probleme d’electronique E1 )
UC designe la tension du condensateur C en fonction du temps t
L’intensite traversant C est i =dq
dtou q est la charge et vaut q = CUC
Loi d’additivite des tensions : E = UR + UC donc
�
�E = RC
dUC
dt+ UC
Objectif du probleme : Trouver UC (t)
E
R
CUC (t)
i
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.1.2. - Etre solution d’une ED
Definition 284 (Une solution d’une ED)
Pour etre solution d’une ED (E), y doit etre une fonction verifiantl’equation differentielle.
Exemple 285 ()
Pour etre solution de
�
�dy
dt= 2y , y doit etre une fonction de t verifiant
l’ED c’est a dire que pour un reel t quelconque, l’evaluation de lapartie gauche de l’egalite et de la partie droite de l’egalite donne le memeresultat (souvent fonction de t).
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.1.2. - Etre ou ne pas etre solution,c’est la question !
Exercice 3.36. Exercice type : Etre une solution : Soit l’ED
(E)
Nom
mg + ky = md2y
dt2
Equation
avec m, g et k trois constantes reelles. Montrer
que 1 la fonction definie par y(t) = t2 n’est pas solution, mais que 2 la
fonction definie par y(t) = cos
(√k
mt
)+ sin
(√k
mt
)+
mg
kest solution.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.1.3. - Pas une mais des solutions a uneED
Theoreme 286 (L’espace vectoriel des solutions d’une ED)
Soit une ED (E) de la fonction y et soient y1 et y2 deux fonctionssolutions de (E). Alors, quel que soit le reel α, la fonction y1 + αy2 estaussi une solution de (E). On dit que les solutions d’une ED forment un
espace vectoriel de fonctions (cf. MC1 ).
Exercice 3.37. Exercice type : Des solutions : Soit l’ED
(E)
Nom
E = RCdy
dt+ y
Equation
admettant pour solution les deux fonctions y1 et y2.
Soit α ∈ R. Montrer que y3 = y1 + αy2 est aussi solution de (E).
Conclusion
Une ED admet generalement une infinite de fonctions solutions.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.1.4. - Resoudre/Integrer une ED
Definition 287 (Resolution/Integration d’une ED)
Resoudre une ED , c’est trouver TOUTES les fonctions y solutionsde l’ED.
Theoreme 288 (Famille de fonctions solutions)
Les solutions d’une ED forment une famille de fonctions : c’est unensemble de fonctions fλ(t) parametrees par un (ou plusieurs)parametres appeles degres de liberte et notes ici λ pouvant prendren’importe quelle valeur dans R. Cette famille est noteeF = {y(t) = fλ(t)/λ ∈ R}.
Definition 289 (Solution generale)
les fonctions y(t) = fλ(t) solutions ont toutes la meme regle dedefinition formant la solution generale de l’ED.
Remarque : En general, les solutions d’une ED auront autant de degresde liberte que l’ordre de l’ED.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.1.4. - Exemple de famille de fonctions
Exemple 290 (Famille defonctions exponentielles)
Cette famille est :F =
{y(t) = eλt
Regle de def
/λ ∈ R}
.
Elle est parametree par un degre deliberte λ.La regle de definition (parametree)des fonctions de cette famille est :y(t) = eλt .En tracant plusieurs de cesfonctions, on obtient un faisceau decourbes .
0 1x
1
y
exp(t)
exp(t/3)
exp(2t)
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.1.5. - Conditions limitesLes EDs peuvent etre associees avec un certain nombre de conditions,appelees Conditions Limites (CL), imposant que le graphe de lafonction passe par certains points particuliers.
Exemple 291 (Des CL avec t0, t1, α, β ∈ R)
y(t0) = α et y ′(t1) = β
y(t0) = α et y(t1) = β
Definition 292 (Resoudre/integrer l’ED avec des CL)
Resoudre une ED (E) avec des CL consiste a resoudre un systemed’equations formees par l’ED (E) et les CL. Il s’agit alors de trouver lesfonctions y solutions de l’ED ET des CL.
Exemple 293 (Une ED avec CL){(E) y ′ = 2y(CL) y(2) = 0
.
Methodologie 294 (Resoudre une ED (E) avec les CL)
1 Trouver toutes les fonctions y(t) solutions de l’ED (E) ;
2 Trouver, parmi les fonctions solutions identifiees, celle(s) qui verifient lesCL.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.1.5. - Conditions limites : LA solution
Theoreme 295 (Th. de Cauchy : LA solution d’une ED et des CL)
Lorsque les conditions limites (CL) sont fournies en nombre suffisant,on peut trouver parmi les fonctions solutions d’une ED, s’ecrivant sous laforme parametree y(t) = fλ(t) avec λ ∈ R, LA ET LA SEULEfonction solution de l’ED et des CI.Ce probleme revient a trouver la (les) valeurs du parametre λ qui verifieles CLs.
Remarque : En general, il y aura autant de CL que l’ordre de l’ED,garantissant que le probleme n’a qu’une et une seule fonction solution.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.1.6. - Exercice type
Exercice 3.38. Exercice type : CL :
1 Soit une ED (E) dont les solutions forment la famille
F ={
y(t) = eλt/λ ∈ R}
. Trouver la fonction y solution de l’ED (E) et
de la CL donnee par : y(0) = 1.
2 Soit maintenant une ED (E ′) dont les solutions forment la famille
F ={
y(t) = αeλt/α, λ ∈ R}
. Trouver la fonction y solution de l’ED
(E ′) et des CLs donnees par : y(0) = 1 et y ′(1) = e.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.2.1. - ED du 1er ordre
Definition 296 (ED du 1er ordre)
Une equation differentielle du 1er ordre est une equation fonctionnelle
comportant une fonction y inconnue de la variable t, sa deriveedy
dt(ou
y ′), et des fonctions connues de t.
Exemple 297 (Une ED du 1er ordre)
2dy
dt+ 3y = ln(t)
Remarques :
Une solution y d’une ED du 1er ordre sur un intervalle I estnecessairement derivable sur I .
Parmi les ED du 1er ordre, on denombre : 1/ Les ED a variables separees,2/ Les ED lineaires, 3/ Les ED affines
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.2.2. - Exercices de TD
Exercice 3.39. ED du 1er ordre a variables separees : Trouver toutes lessolutions de l’ED impliquant la fonction y de la variable t donnee par :(E) y ′ + y 2 sin(t) = 0. Donner ensuite la solution de l’ED (E) verifiant la
condition limite�� ��y(0) = 1 .
Exercice 3.40. ED a variables separables : Resoudre y ′ = exp(x + y) enseparant les variables.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.2.3. - ED lineaire du 1er ordre acoefficients non constants
Definition 302 (ED lineaire du 1er ordre a coefficients nonconstants)
Les ED lineaires du 1er ordre a coefficients non constants de la fonctiony de la variable t sont les equations (E2) de la forme�
�a(t)
dy
dt+ b(t)y = 0 avec a(t) et b(t) deux fonctions de la variable t.
Elles peuvent aussi s’ecrire sous la forme
�
�dy
dt= p(t)y avec
p(t) = −b(t)
a(t)une fonction de la variable t.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.2.3. - Exemples
Exemple 303 (Des ED)
√t2 + 1
a(t)
dy
dt+ t
b(t)
y = 0
0
est une ED lineaire du 1er ordre et peut se
reecrire sous la formedy
dt= − t√
t2 + 1
p(t)
y
ydy
dt
non lineaire
= 0 est une ED du 1er ordre mais pas lineaire
dy
dt+ ty = 2
6= 0
est une ED du 1er ordre mais pas lineaire
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.2.3. - Solutions
Theoreme 304 (Solution generale d’une ED lineaire du 1er ordre acoefficients non constants)
Les solutions d’une ED lineaire du 1er ordre a coefficients non constants(E2) forment la famille de fonctions
�� ��F ={
y(t) = λ exp(P(t)
)/λ ∈ R
}ou P(t) est une primitive de p(t).
Remarque : λ pourra etre determine des lors qu’1 CL sera donnee.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.2.3. - Methodologies de resolution
Methodologie 305 (Resoudre une ED lineaire du 1er ordre acoefficients non constants sans CL)
1 Verifier le type de l’ED et l’ecrire sous la forme
�
�dy
dt= p(t)y ;
2 Identifier la fonction p(t) et determiner une de ses primitives P(t) ;
3 Deduire du th. que les solutions sont�� ��y(t) = λ exp
(P(t)
)avec λ un
degre de liberte reel quelconque.
Methodologie 306 ( Idem avec CL)
1 Trouver, avec la methodologie 305, la solution generale de l’EDdependante du degre de liberte λ indetermine ;
2 Remplacer les donnees fournies par la CL dans la solution generale pourobtenir une equation dependante de λ ;
3 Resoudre cette equation pour determiner λ.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.2.3. - Exercices type
Exercice 3.41. Exercice type : ED lineaire du 1er ordre a coefficients nonconstants : 1 Resoudre l’ED (E) de la fonction y(t) donnee par√
tdy
dt+ y = 0. Donner ensuite 2 la solution de cette meme ED verifiant la
CL�� ��y(0) = 1 , puis 3 la solution verifiant
�� ��y(0) = 0 .
305 / 354
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.2.3. - Exercices de TD
Exercice 3.42. ED lineaire : Donner l’ensemble des solutions des equationsdifferentielles suivantes portant sur la fonction y de la variable t puis la solution
verifiant la condition limite�� ��y(0) = 1 . On pensera a chaque fois a specifier le
type de l’ED et a detailler les etapes de la methodologie utilisee pour lesresoudre.
1 (1 + t2)y ′ − ty = 0 2 (t + 1)dy
dt+ (t − 1)y = 0 3 ty ′ + 2y = 0
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.2.4. - ED lineaire du 1er ordre acoefficients constants
Definition 307 (ED lineaire du 1ere ordre a coefficients constants)
Les ED lineaires du 1er ordre a coefficients constants de la fonction y de
la variable t sont les equations (E3) de la forme
�
�a
dy
dt+ by = 0 avec a
une constante reelle non nulle et b une constante reelle.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.2.4. - Exemples
Exemple 308 (Des ED)
5a
dy
dt−b
y = 0
0
est une ED lineaire du 1er ordre a coefficients constants.
t
6= C te
dy
dt− y = 0 est une ED lineaire du 1er ordre mais pas a
coefficients constants.dy
dt− y = 2
6= 0
est une ED du 1er ordre a coefficients constants mais pas
lineaire.
Remarques :
Les ED lineaires du 1er ordre a coefficients constants sont des casparticuliers des ED lineaires du 1er ordre a coefficients non constants
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.2.4. - Equation Caracteristique (EC)
Definition 309 (Equation caracteristique)
L’equation caracteristique (EC) associee a une ED lineaire acoefficients constants est une equation polynomiale de la variable xobtenu en remplacant :
1 les derivees de y (par exempledny
dtn) par le monome de degre egal a
l’ordre de la derivee (ici xn)
2 et y par 1
Exemple 310 (Des EC)
L’ED ad3y
dt3+ b
d1y
dt1+ cy = 0 a pour EC
�� ��ax3 + bx1 + c 1 = 0
L’ED ad1y
dt1+ by = 0 a pour EC
�� ��ax1 + b 1 = 0
Remarques :
Les racines de l’EC vont intervenir dans les solutions de l’ED.
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M3. 11.2.4. - Solutions
Theoreme 311 (Solutions generales d’une ED lineaire du 1er ordrea coefficients constants)
Une ED lineaire du 1er ordre a coefficients constants (E3) de la forme�
�a
dy
dt+ by = 0 admet une EC de la forme
�� ��ax + b = 0 .
Les solutions de cette ED forment la famille�� ��F ={
y(t) = λ exp(x0t)/λ ∈ R
}ou x0 = −b
aest la racine (reelle) de
l’EC associee a l’ED (E3).
Remarques : en physique, x0 est appele coefficient d’amortissement.
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M3. 11.2.4. - Methodologies de resolution
Methodologie 312 (Resoudre une ED lineaire du 1er ordre a coeff.constants sans CL)
1 Verifier le type de l’ED et l’ecrire sous la forme
�
�a
dy
dt+ by = 0 ;
2 Ecrire l’EC associee et trouver sa racine x0 ;
3 Deduire les solutions sous forme�� ��y(t) = λ exp
(x0t)
avec λ reel
quelconque.
Methodologie 313 ( Idem avec CL)
1 Trouver, avec la methodologie 312, la solution generale de l’EDdependante du degre de liberte λ indetermine ;
2 Remplacer les donnees fournies par la CL dans la solution generale pourobtenir une equation dependante de λ ;
3 Resoudre cette equation pour determiner λ.
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M3. 11.2.4. - Exercices type
Exercice 3.43. Exercice type : ED lineaire du 1er ordre a coefficients constants :Resoudre l’ED (E) de la fonction y(t) donnee par y ′ − y = 0. Donner ensuite
la solution de cette meme ED verifiant la CL�� ��y(0) = 1 , puis la solution
verifiant�� ��y ′(0) = 1 .
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M3. 11.2.5. - ED affine du 1er ordre
Definition 314 (ED affine du 1er ordre)
Les ED affines du 1er ordre de la fonction y de la variable t sont les
equations (E4) de la forme
�
�a(t)
dy
dt+ b(t)y = d(t) avec :
a(t) et b(t) deux fonctions de la variable t ;
d(t) une fonction de la variable t differente de la fonction nulle.
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M3. 11.2.5. - Exemples
Exemple 315 (Des ED du 1er ordre)
1
a(t)
dy
dt+ t
b(t)
y = 2− 4t2
d(t)
est une ED affine du 1er ordre
dy
dt+ ty = 0
non 6= 0
n’est pas une ED affine mais une ED lineaire
ydy
dt
non lineaire
= 2− 4t2 n’est pas une ED affine (ni lineaire)
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M3. 11.2.5. - Solutions
Theoreme 316 (Solutions d’une ED affine du 1er ordre)
Les solutions d’une ED affine du 1er ordre (E4) forment la famille�� ��F = {y(t) = yg ,λ(t) + yp(t)/λ ∈ R} ou :
1 yg,λ(t) est la solution generale de l’ED homogene associee a l’EDaffine, egalement appelee ED sans second membre et notee (E4), definie
par :
�
�a(t)
dy
dt+ b(t)y = 0 . Elle se resout donc avec les methodologies
305 et 312 suivant sa nature (lineaire a coeff. non constants, lineaire acoeff. constants ). yg,λ(t) depend du degre de liberte λ .
2 yp(t) est une solution particuliere de l’ED affine
�
�a(t)
dy
dt+ b(t)y = d(t)
Remarques :
Les solutions ne dependent que d’un seul degre de liberte λ,eventuellement fixe par les CL.
N’importe quelle fonction solution de l’ED affine fonctionne pour yp(t).
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M3. 11.2.5. - Comment trouver une solutionparticuliere de l’ED ?
Pour trouver la solution generale y(t) d’une ED affine, on a deja vucomment trouver la solution generale yg ,λ(t) de l’ED homogene associeea l’ED affine ; reste a trouver une solution particuliere yp(t) pour finir de
resoudre l’ED affine
�
�a(t)
dy
dt+ b(t)y = d(t) . Il y a 3 techniques :
1 Verification d’une solution suggeree ou d’une solution evidente ;
2 Observation des fonctions coefficients ;
3 Methode de Lagrange (dite methode de variation de la constante).
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M3. 11.2.5. - Technique 1 : Verification d’unesolution suggeree
Methodologie 317 (Recherche d’une solution particuliere a une EDaffine par verification d’une solution suggeree)
Evaluer la partie gauche et droite de l’ED en remplacant la fonctionrecherchee y par la solution suggeree et verifier que l’egalitegauche/droite est obtenue.
Exercice 3.44. Exercice type : Resoudre l’equation (t + 1)dy
dt+ y = − 1
t2. On
pourra montrer qu’une solution particuliere de cette equation est yp(t) =1
t.
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M3. 11.2.5. - Technique 2 : Observation descoefficients
Methodologie 318 (Recherche d’une solution particuliere a une EDaffine par observations des fonctions coefficients)
1 Lorsque a(t), b(t) et d(t) sont des constantes, la solution particuliere
est une fonction constante�� ��yp(t) = C te , la valeur de la constante etant
choisie pour que cette fonction soit solution de l’ED.
2 Lorsque d(t) est un polynome, la solution particuliere yp(t) est unpolynome.
Le degre du polynome est choisi pour etre le maximum entre l’ordre del’ED et le degre du plus haut monome present dans l’ED ; les coefficientsdu polynome sont a determiner pour que le polynome recherche soitsolution de l’ED.
3 Lorsque d(t) est defini par des fonctions trigonometriques, autrementdit, de la forme d(t) = α cos(ωt) + β sin(ωt), la solution particuliere est�� ��yp(t) = θ cos(ωt) + µ sin(ωt) . La pulsation ω se lit directement sur la
fonction-coefficient d(t), tandis que les coefficients θ et µ sont adeterminer pour que yp(t) soit solution de l’ED.
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M3. 11.2.5. - Exercice type
Exercice 3.45. Exercice type : Resoudre les ED suivantes :
1dy
dt+ 2y = 3 2
dy
dt+ 2y = 2− 4t2 3
dy
dt+ 2y = − sin(t)
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M3. 11.2.5. - Technique 3 : Methode devariation de la constante ou de Lagrange
Theoreme 319 (Methode de variation de la constante ou deLagrange)
Soit yg ,λ(t) = λ exp(P(t)
)l’expression de la solution generale de l’ED
homogene associee a l’ED affine (E4)
�
�a(t)
dy
dt+ b(t)y = d(t) avec λ
une constante reelle et P(t) une fonction (qu’on rappelle etre une
primitive de p(t) = −b(t)
a(t)).
Alors l’ED (E4) admet une solution particuliere de la forme�� ��yp(t) = λ(t) exp(P(t)
)avec λ(t) est une fonction de la variable t
derivable.
La fonction λ(t) est d’ailleurs une primitive de −d(t)
a(t)exp
(− P(t)
).
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M3. 11.2.5. - Methodologie
Methodologie 320 (Recherche d’une solution particuliere a une EDaffine par la methode de variation de la constante)
Connaissant yg ,λ(t) = λ exp(P(t)
)la solution generale de l’ED
homogene associee a l’ED affine,
1 poser yp(t) = λ(t) exp(P(t)
)en remplacant λ par une fonction inconnue
λ(t) ;
2 remplacer y(t) par yp(t) dans l’ED affine pour rechercher une seconde(autre) ED portant sur la fonction λ(t) ;
3 resoudre l’ED portant sur λ(t) ;
4 conclure sur la solution particuliere.
Exercice 3.46. Exercice type : Methode de Lagrange : Resoudre l’EDdy
dt+ 2y = 2e−t .
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M3. 11.2.5. - Conclusion : Resoudre une EDaffine du 1er ordre
Methodologie 321 (Resoudre une ED affine du 1er ordre sans CL)
1 Introduire l’ED homogene
�
�a(t)
dy
dt+ b(t)y = 0 associee a l’ED affine ;
identifier son type (parmi ED lineaire a coefficients constants, ED lineairea coefficients non constants ) puis la resoudre en utilisant la methodologieadequate (312, 305 ) pour trouver la solution generaleyg,λ(t) = λ exp
(P(t)
);
2 Determiner une solution particuliere yp(t) de l’ED affine en utilisant :
la methodologie 317 de verification d’une solution ;la methodologie 318 d’observations des coefficients ;la methodologie 320 de variation de la constante ;
3 Conclure sur toutes les solutions de l’ED en ajoutant les solutionsobtenues en (1) et (2).
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M3. 11.2.5. - Conclusion : Resoudre une EDaffine du 1er ordre
Methodologie 322 (Resoudre une ED affine du 1er ordre avec CL)
1 Trouver la solution generale de l’ED affine du 1er ordre en utilisant lamethodologie 321 et dependante d’un degre de liberte λ variant dans R ;
2 Remplacer les donnees fournies par la CL dans la solution generale pourobtenir une equation dependante de λ ;
3 Resoudre cette equation pour determiner λ.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.2.5. - Exercices type
Exercice 3.47. Exercice type : On considere l’ED (1 + t2)dy
dt− ty = 1. Trouver
toutes les solutions de cette ED, puis la solution lorsqu’on impose la CL�� ��y(1) = 0 .
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M3. 11.2.6. - Exercices de TD
Exercice 3.48. ED affine : On considere l’equation differentielle (E) donnee party ′ − y = ln(t), ou y designe une fonction de la variable reelle, definie etderivable sur un intervalle ]0; +∞[ :
1 Quel est le type de l’equation differentielle (E) ?
2 Donner et resoudre, sur l’intervalle ]0; +∞[, l’equation differentiellehomogene.
3 Verifier que la fonction h, definie pour tout reel t appartenant al’intervalle ]0; +∞[ parh(t) = − ln(t)− 1 est une solution particuliere de l’equation (E).
4 Deduire des questions precedentes l’ensemble des solutions de (E).
5 Donner finalement la solution y(t) de (E) telle que y(1) = 0.
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M3. 11.2.6. - Exercices de TD
Exercice 3.49. BTS 2005 : On considere l’equation differentielle (E) donnee
par (1 + t)y ′ + y =1
1 + t, ou y est une fonction de la variable reelle t, definie
et derivable sur ]− 1; +∞[ et y ′ sa fonction derivee.
1 Demontrer que les solutions de l’equation differentielle (E0) definies par
(1 + t)y ′ + y = 0 sont les fonctions definie par h(t) =k
1 + tou k est une
constante reelle quelconque.
2 Soit g la fonction definie sur ]− 1; +∞[ par : g(t) =ln(1 + t)
1 + t.
Demontrer que la fonction g est une solution particuliere de l’equationdifferentielle (E).
3 En deduire l’ensemble des solutions de l’equation differentielle (E).
4 Determiner la solution f de l’equation differentielle (E) qui verifie lacondition initiale f (0) = 2.
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M3. 11.2.6. - Exercices de TD
Exercice 3.50. ED affine : On considere l’equation differentielle (E) donnee par
(1 + t)y ′ − y = ln
(1
1 + t
)ou y est une fonction de la variable t, definie et
derivable sur R+.
1 Quel est le type de l’equation differentielle (E) ?
2 Determiner les solutions de l’equation homogene associee a (E).
3 Soit h la fonction definie sur R+ par h(t) = ln(1 + t) + c ou c est uneconstante reelle. Determiner c pour que h soit une solution particuliere de(E).
4 En deduire l’ensemble des solutions de l’equation differentielle (E). Tracerrapidement le graphe de quelques solutions.
5 Determiner la solution de (E) dont la courbe representative passe parl’origine du repere.
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M3. 11.2.6. - Exercices de TDExercice 3.51. ED affine avec recherche de solutions particulieres parobservation des coefficients : Resoudre les equations differentielles portant surla fonction y de la variable t suivantes :
1 y ′ − 2y = t + 1 2 y ′ − 2y = cos(3t)
3 y ′ + y = t2 + 3t − 1 4 y ′ + y = 3 sin( t
2
)
Exercice 3.52. Autour de la variation de la constante : Dans cet exercice, ydesigne une fonction de la variable reelle t.
1 Resoudredy
dt+ y = e2t
2 Resoudredy
dt+ y = e−t
3 Resoudredy
dt+ y = e2t + e−t + 1 + t en utilisant le principe de linearite
des solutions
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M3. 11.2.6. - Exercices de TDExercice 3.53. Un peu de mecanique : Un embrayage vient appliquer, al’instant t = 0, un couple resistant constant sur un moteur dont la vitesse avide est de 150 rad/s. On note ω(t) la vitesse de rotation du moteur a l’instantt. La fonction ω(t) est solution de l’equation differentielle
(E)1
200y ′(t) + y(t) = 146, ou y designe une fonction derivable de la variable
reelle positive t.
1 Determiner la solution generale de l’ED (E). On cherchera une solutionparticuliere constante.
2 Sachant que ω(0) = 150, montrer que ω(t) = 146 + 4e−200t pour toutt ∈ [0,+∞[.
3 On note ω∞ = limt→+∞
ω(t). Determiner la perte de vitesse ω(0)− ω∞ due
au couple resistant.
4 On considere que la vitesse du moteur est stabilisee lorsque l’ecart relatif∣∣∣∣ω(t)− ω∞ω∞
∣∣∣∣ est inferieur a 1%. Calculer le temps mis par le moteur pour
stabiliser sa vitesse.
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M3. 11.2.6. - Exercices de TDExercice 3.54. BTS Groupement A 2000 : Un systeme physique est regi par
l’equation differentielle (E1) donnee pardv
dt+
1
RCv =
df
dt, ou v est une
fonction de la variable t a determiner, R et C sont des constantes positives etf est la fonction de la variable t connue.Partie 1 : On suppose dans cette partie que la fonction f est definie pour tout
reel t par f (t) =
{0 si t < 0V0 si t ≥ 0
ou V0 est une constante reelle strictement
positive (V0 > 0).
1 Calculerdf
dtpour t appartenant a ]−∞; 0[ puis resoudre l’ED (E1) sur
]−∞; 0[ avec la condition limite v(0−) = limt→0−
v(t) = 0.
2 Calculerdf
dtpour t appartenant a ]0; +∞[ puis resoudre l’ED (E1) sur
]0; +∞[ avec la condition limite v(0+) = limt→0+
v(t) = V0.
3 Etudier sur ]−∞; 0[∪]0; +∞[ les variations de la fonction v . Tracer larepresentation graphique de v en fonction de t pour t reel non nul. Onpourra prendre pour realiser ce graphique RC = 1 et V0 = 2.
Partie 2 : La fonction echelon unite U est definie par
U(t) =
{0 si t < 01 si t ≥ 0
. On suppose maintenant que la fonction f est definie
pour tout reel t par f (t) = V0
[U(t)− U(t − τ)
]ou τ est un reel strictement
positif. Le systeme est alors regi par l’equation (E2) donne par�
�v(t) +
1
RC
∫ t
0
v(u)du = f (t) .
1 Montrer que la fonction v(t) =
0 si t < 0
V0e−t
RC si 0 ≤ t < τ
V0e−τ
RC
(1− e−
t−τRC
)si t ≥ τ
est solution de l’equation (E2).
2 Calculer v(τ−) = limt→τ−
v(t) et montrer que v(τ−) < V0.
3 Montrer que le saut σ de la fonction v en t = τ , defini parσ = v(τ−)− v(τ), est egal a V0.
4 Etudier les variations de la fonction v pour t ≥ τ .
5 Donner l’allure de la representation graphique de v dans un repereorthonormal pour RC = 1, V0 = 2 et τ = 1.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.2.6. - Exercices de TD
Exercice 3.55. Changement de variable dans une ED : Resoudre les equationsdifferentielles de la fonction y suivantes en faisant le changement de variablepropose (z(t) designant une fonction de la variable t) :
1 ty ′ + t = 2t + 3�� ��z(t) = ty(t) 2 ty ′ − y = t
�� ��y(t) = tz(t)
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M3. 11.3.1. - ED du 2eme ordre
Definition 323 (ED du 2eme ordre)
Une equation differentielle du 2eme ordre est une equationfonctionnelle comportant une fonction y inconnue de la variable t, sa
derivee y ′ =dy
dt, sa derivee seconde y ′′ =
d2y
dt2et des fonctions connues
de t.
Exemple 324 (Une ED de 2d ordre)
td2y
dt2+ 3
dy
dt+ (1− t)y = cos(t)
Remarques :
Une solution y d’une ED du 2d ordre est necessairement derivable al’ordre 2.
Les solutions de l’ED auront 2 degres de liberte λ et µ, qui pourront etrefixes par 2 CLs.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.1. - Classification des ED du 2emeordre
Definition 325 (Categories d’ED du 2eme ordre)
On denombre differentes categories d’ED du 2eme ordre, parmilesquelles :
1 les ED lineaires (du 2eme ordre), qui sont les equations de la forme
a(t)d2y
dt2+ b(t)
dy
dt+ c(t)y = 0 ;
2 les ED affines (du 2eme ordre), qui sont de la forme
a(t)d2y
dt2+ b(t)
dy
dt+ c(t)y = d(t) ;
avec a(t), b(t), c(t), d(t) 4 fonctions telles que a(t) et d(t) ne soient pasnulles.
Remarque : Ici, on ne s’interesse qu’aux ED lineaires et affines du 2emeordre a coefficients constants. Ce sont les EDs pour lesquellesa(t) = a = C te (non le b(t) = b = C te, c(t) = c = C te mais d(t) unefonction (non nulle mais non necessairement constante) de t.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.2. - ED lineaire du 2eme ordre acoeffs constants
Definition 326 (ED lineaire du 2eme ordre a coeffs constants)
Les ED lineaires du 2eme ordre a coefficients constants sont les equations
(E5) de la forme ad2y
dt2+ b
dy
dt+ c = 0 avec :
a une constante reelle non nulle ;
b et c deux constantes reelles.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.2. - Exemples
Exemple 327 (Des ED)
1a
d2y
dt2+ 2
b
dy
dt−3
c
y = 0
0
est une ED lineaire a coefficients constants.
y
non lineaire
d2y
dt2+ 2
dy
dt= 0 n’est pas lineaire.
d2y
dt2+ 2
dy
dt+ t2
6= C te
y = 0 n’est a coefficients constants.
d2y
dt2+ 2
dy
dt+ 3y = 2
6= 0
n’est pas lineaire.
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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3
Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.2. - Equation caracteristique
Definition 328 (Equation caracteristique (EC) associee a une EDlineaire du 2eme ordre a coefficients constants)
L’equation caracteristique associee a une ED lineaire du 2eme ordre acoefficients constants (E5) est l’equation polynomiale de la variable x
definie par�� ��ax2 + bx + c = 0 .
Remarque : Les solutions de l’ED (E5) sont dependantes des solutionsde l’EC (E6) (qui sont les racines d’un polynome de degre 2) et donc du
discriminant�� ��∆ = b2 − 4ac .
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M3. 11.3.2. - Solutions
Theoreme 329 (Solutions d’une ED lineaire du 2eme ordre acoefficients constants lorsque ∆ > 0)
Lorsque l’EC est de discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0 et admet deux
racines reelles x1 =−b −
√∆
2aet x2 =
−b +√
∆
2a, les solutions de l’ED
lineaire du 2eme ordre (E5) forment la famille de fonctions�� ��F ={
y(t) = λ exp (x1t) + µ exp (x2t) /λ, µ ∈ R}
.
Remarque : Les solutions sont dependantes de deux degres de liberte λet µ qui pourront etre fixes a l’aide de 2 CLs.Exercice 3.58. Exercice type : ED lineaire du 2eme ordre : 1 Trouver toutes
les solutions de l’EDd2y
dt2+ 2
dy
dt− 3y = 0. 2 Quelle est la solution de l’ED
lorsqu’on impose les 2 CL�� ��y(0) = 0 et
�� ��y ′(0) = 1 ?
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M3. 11.3.2. - Solutions
Theoreme 330 (Solutions d’une ED lineaire du 2eme ordre a coeff.constants lorsque ∆ = 0)
Lorsque l’EC est de discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0 et admet une unique
racine reelle double x0 =−b
2a, les solutions de l’ED lineaire du 2eme
ordre (E5) forment la famille de fonctions�� ��F ={
y(t) = (λ+ µt) exp (x0t) /λ, µ ∈ R}
.
Exercice 3.59. Exercice type : ED lineaire du 2eme ordre : 1 Trouver toutes
les solutions de l’EDd2y
dt2+
dy
dt+
1
4y = 0. 2 Quelle est la solution de l’ED
lorsqu’on impose les 2 CL�� ��y(0) = 0 et
�� ��y ′(0) = 1 ?
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.2. - Solutions
Theoreme 331 (Solutions d’une ED lineaire du 2eme ordre acoefficients constants lorsque ∆ < 0)
Lorsque l’EC est de discriminant ∆ = b2 − 4ac < 0 et admet deux
racines complexes x1 =−b − i
√|∆|
2aet ρ2 =
−b + i√|∆|
2a, les
solutions de l’ED lineaire du 2eme ordre (E5) forment la famille de
fonctions�� ��F =
{y(t) = exp (τ t) (λ cos(ωt) + µ sin(ωt)) /λ, µ ∈ R
}avec τ = − b
2aet ω =
√|∆|
2a. Cette famille peut egalement s’ecrire�� ��F = {y(t) = λ exp(τ t) cos (ωt + φ) /λ, φ ∈ R} .
Exercice 3.60. Exercice type : ED lineaire du 2eme ordre : 1 Trouver toutes
les solutions de l’EDd2y
dt2+
dy
dt+ y = 0. 2 Quelle est la solution de l’ED
lorsqu’on impose les 2 CL�� ��y(0) = 0 et
�� ��y ′(0) = 1 ?
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.2. - Methodologies de resolution
Methodologie 332 (Resoudre une ED lineaire du 2eme ordre acoeffs constants sans CL)
1 Verifier le type de l’ED et l’ecrire de la forme
�
�a
d2y
dt2+ b
dy
dt+ c = 0 ;
2 Determiner l’EC associe puis calculer son discriminant ∆ et ses racines ;
3 Suivant le signe de ∆, deduire que les solutions generales de l’ED sont :
Si ∆ > 0, y(t) = λ exp (x1t) + µ exp (x2t) avec x1, x2 racines de l’EC ;Si ∆ = 0, y(t) = (λ+ µt) exp (x0t) avec x0 racine de l’EC ;Si ∆ < 0, y(t) = exp (τ t) (λ cos(ωt) + µ sin(ωt)) avec τ ± iω racines del’EC ;
ou les deux degres de liberte λ et µ sont des reels quelconques.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.2. - Methodologies de resolution
Methodologie 333 (Resoudre une ED lineaire du 2eme ordre acoeffs constants avec CL)
1 Trouver toutes les solutions de l’ED en utilisant la methodologie 332dependantes des deux degres de liberte λ et µ ;
2 Remplacer les donnees fournies par les 2 CLs dans la solution generalepour obtenir un systeme d’equations dont les inconnues sont λ et µ ;
3 Resoudre ce systeme pour trouver λ et µ et conclure sur la solution.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.2. - Exercices de TD
Exercice 3.61. ED lineaires : Resoudre les ED suivantes, ou y est une fonctionde la variable reelle t :
1 3y ′′ + y ′ − 4y = 0 2 y ′′ + 2y ′ + y = 0 3 y ′′ + y ′ + y = 0
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.2. - Exercices de TD
Exercice 3.62. ED lineaires : Resoudre les problemes suivants, ou y est unefonction de la variable reelle t :
1
−y ′′ − y ′ + 2y = 0y(0) = 0y ′(0) = 1
2
y ′′ + 2y ′ + y = 0y(1) = −1y ′(1) = 0
3
4y ′′ + 4y ′ + y = 0y(0) = 0y ′(0) = 1
4
y ′′ + ω2y = 0y(0) = 1
y ′(
1
ω
)= 0
avec ω ∈ R
5
y ′′ − y ′ + 2y = 0y(0) = 1y ′(0) = 0
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.3. - ED affine du 2eme ordre a coeff.constants
Definition 334 (ED affine du 2eme ordre a coefficients constants)
Les equations differentielles affines du 2eme ordre a coefficentsconstants sont les equations (E6) de la forme�
�a
d2y
dt2+ b
dy
dt+ cy = d(t) avec :
a une constante reelle non nulle ;
b et c deux constantes reelles ;
d(t) une fonction de la variable t differente de la fonction nulle.
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M3. 11.3.3. - Exemples
Exemple 335 (Des ED)
2a
d2y
dt2−b
dy
dt+ 6
cy = t2 − 1
d(t)
est une ED affine du 2d ordre a coeffs
constants.
y
non lineaire
d2y
dt2−t
6= C te
dy
dt+ 6y = 0
6= 0
n’est pas une ED affine du
2eme ordre a coeffs constants.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.3. - Solutions
Theoreme 336 (Solutions d’une ED affine du 2eme ordre acoefficients constants)
Les solutions d’une ED affine du 2eme ordre a coefficients constants (E6)
forment la famille�� ��F = {y(t) = yg ,λ,µ(t) + yp(t)/λ, µ ∈ R} ou :
1 yg,λ,µ(t) est la solution generale de l’ED homogene associee a l’ED
affine notee (E6) et definie par
�
�a
d2y
dt2+ b
dy
dt+ cy = 0 . Elle se resout
a l’aide de la methodologie 332. yg,λ,µ(t) est dependante de 2 degres deliberte λ et µ (reels quelconques).
2 yp(t) est une solution particuliere de l’ED affine�
�a
d2y
dt2+ b
dy
dt+ cy = d(t) recherchee avec :
Methodologie 317 de verification d’une solution suggeree ou d’une solutionevidente.Methodologie 318 d’observation des fonctions coefficients.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.3. - Methodologies de resolution
Methodologie 337 (Resoudre une ED affine du 2eme ordre acoefficients constants sans CL)
1 Verifier le type de l’ED et l’ecrire sous la forme�
�a
d2y
dt2+ b
dy
dt+ cy = d(t) ;
2 Introduire l’ED homogene
�
�a
d2y
dt2+ b
dy
dt+ cy = 0 (associee a l’ED
affine) puis la resoudre en utilisant la methodologie 332 pour trouver lasolution generale yg,λ,µ(t) ;
3 Determiner une solution particuliere yp(t) de l’ED affine en utilisant :
la methodologie 317 de verification d’une solution ;la methodologie 318 d’observations des coefficients ;
4 Conclure sur toutes les solutions de l’ED en ajoutant les solutionsobtenues en (1) et (2).
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.3. - Methodologies de resolution
Methodologie 338 (Resoudre une ED affine a coefficientsconstants du 2eme ordre avec CL)
1 Trouver la solution generale de l’ED affine du 2eme ordre en utilisant lamethodologie 321 et dependante de deux degres de liberte λ et µ variantdans R ;
2 Remplacer les donnees fournies par la CL dans la solution generale pourobtenir un systeme d’equations dont les inconnues sont λ et µ ;
3 Resoudre ce systeme pour determiner λ et µ et trouver la solution.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.3. - Exercice type
Exercice 3.63. Exercice type : ED affine du 2eme ordre : 1 Trouver toutes les
solutions de l’EDd2y
dt2+ 2
dy
dt− 3y = tet . On pourra rechercher une solution
particuliere sous la forme P(t)et avec P(t) un polynome. 2 Quelle est la
solution de l’ED lorsqu’on impose les 2 CL�� ��y(0) = 0 et
�� ��y ′(0) = 1 ?
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.3. - Exercices de TD
Exercice 3.64. BTS 2006 : On considere l’equation differentielle (E) donneepar y ′′ − 3y ′ − 4y = −5e−t , ou y est une fonction de sa variable t, definie etdeux fois derivable sur R, y ′ la fonction derivee de y et y ′′ la fonction deriveeseconde de y .
1 Donner l’equation homogene associee a (E) et determiner ses solutions.
2 Soit h la fonction definie sur par h(t) = te−t . Demontrer que la fonctionh est une solution particuliere de l’equation differentielle (E).
3 En deduire l’ensemble des solutions de l’equation differentielle (E).
4 Determiner la solution f de l’equation differentielle (E) qui verifie lesconditions initiales f (0) = 2 et f ′(0) = −1.
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M3. 11.3.3. - Exercices de TD
Exercice 3.65. ED du 2d ordre : Soit l’ED (E) y ′′ + 2y ′ + 2y = sin(ωt) ou ydesigne une fonction de la variable reelle t et ω un reel non nul.
1 Ecrire et resoudre l’equation homogene associee a (E).
2 Montrer que (E) admet une solution particuliere de la formey1(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt), en trouvant les valeurs de a et b enfonction de ω.
3 Donner la solution generale de (E).
4 Trouver une solution qui verifie les conditions initiales suivantes : y(0) = 0et y ′(0) = 0. Tracer la representation graphique de la fonction solutiondans le cas particulier ω = 2.
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.3. - Exercices de TD
Exercice 3.66. ED affines : Resoudre les problemes suivants, ou y est unefonction de la variable reelle t :
1
−y ′′ − y ′ + 2y = 1y(0) = 0y ′(0) = 1
2
y ′′ + y ′ − 6y = −6t2 + 2t − 4y(0) = 0y ′(0) = 1
3
4y ′′ + 4y ′ + y = 2(t − 4)e−t
y(0) = 1y ′(0) = 0
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Calcul integral Equations differentielles
M3. 11.3.3. - Exercices de TD
Exercice 3.67. Une ED affine avec second membre exponentiel : Resoudre l’EDy ′′ − 2y ′ + y = et . On pourra rechercher une solution particuliere sous la formeAt2et avec A une constante reelle a determiner.
Exercice 3.68. Changement de variable : Resoudre l’EDty ′′ + (t + 2)y ′ + (t + 1)y = 0 en faisant le changement de variablez(t) = ty(t) ou z(t) est une fonction de la variable t.
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M3. 11.4. - Synthese
Les ED du M3
ED du 1er ordre
avec y etdy
dt
ED du 2d ordre
avec y ,dy
dtet
d2y
dt2
ED a variables separees (poursuitesd’etudes)
ED lineaire (a coeffs non constants)
(E2) a(t)dy
dt+ b(t)y = 0
Solution gale avec method. 305 : y(t) =λ exp
(P(t)
)avec P(t) primitive de p(t) =
−b(t)
a(t)
Solution avec CL avec method. 306 : solu-tion de la method. 305 avec λ determinepour verifier la CL
ED affine
(E4) a(t)dy
dt+ b(t)y = d(t)
Solution gale avec method. 321 : y(t) =yg ,λ(t) + yp(t) avec :• yg ,λ(t) solution gale de l’ED homogene
associee a(t)dy
dt+ b(t)y = 0 (via
method. 305 ou 312)• yp(t) solution particuliere de l’ED affinerecherchee avec :Method. 317 : Verification d’une solutionproposee,Method. 318 : Observation des fonctions-coefficients,Method. 320 : Variation de la constante
Solution avec CL avec method. 322 : solu-tion de la method. 321 avec λ determinepour verifier la CL
ED lineaire a coeffs constants
(E3) ady
dt+ by = 0
Solution gale avec method. 312 : y(t) =λ exp
(x0t)
avec x0 solution de l’EC ax +b = 0
Solution avec CL avec method. 313 : solu-tion de la method. 312 avec λ determinepour verifier la CL
ED lineaire a coeffs constants
(E5) ad2y
dt2+ b
dy
dt+ c = 0
Solution gale avec method. 332 : etantdonnee l’EC associee ax2 + bx + c = 0de discriminant ∆,• Cas ∆ > 0 : y(t) = λ exp (x1t) +µ exp (x2t) avec x1, x2 solutions reelles del’EC• Cas ∆ = 0 : y(t) = (λ + µt) exp (x0t)avec x0 solution de l’EC• Cas ∆ < 0 : y(t) =exp (τ t) (λ cos(ωt) + µ sin(ωt)) avec τ ± jωsolutions complexes de l’EC
Solution avec CL avec method. 333 : so-lution de la method. 332 avec λ et µdetermines par un systeme d’equations pourverifier les 2 CL
ED affine
(E6) ad2y
dt2+ b
dy
dt+ cy = d(t)
Solution gale avec method. 337 : y(t) =yg ,λ,µ(t) + yp(t) avec• yg ,λ,µ(t) solution gale de l’ED homogene
associee ad2y
dt2+ b
dy
dt+ cy = 0
• yp(t) solution particuliere de l’ED affinerecherchee avec :Method. 317 : Verification d’une solutionproposee,Method. 318 : Observation des fonctions-coefficients
Solution avec CL avec method. 338 : so-lution de la method. 337 avec λ et µdetermines par un systeme d’equations pourverifier les 2 CL
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