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Matrices et Operateurs de Toeplitz

Edgar Tchoundja

Universite de Yaounde I

Ecole de Recherche CIMPA:”Analyse et Probabilites”

Universite Felix Houphouet-Boigny, 17 - 28 Mars 2014

1 Matrices de Toeplitz

2 Operateurs de Toeplitz

3 Generalisations

Edgar Tchoundja (Univ Yde I) Matrices et Operateurs de Toeplitz Abidjan, 24 Mars 2014 2 / 16

Definition de Matrices de Toeplitz

DefinitionCe sont les matrices de la forme:

a0 a−1 a−2 a−3 · · · · · · a−(n−1) a−n · · ·

a1 a0 a−1 a−2. . . . . . a−(n−2) a−(n−1) · · ·

a2 a1 a0 a−1. . . . . . a−(n−3) a−(n−2) · · ·

a3 a2 a1 a0. . . . . . a−(n−4) a−(n−3) · · ·

.... . . . . . . . . . . . . . .

.... . . · · ·

.... . . . . . . . . . . . . . .

.... . . · · ·

an−1 an−2 an−3 an−4. . . . . . a0 a−1 · · ·

an an−1 an−2 an−3. . . . . . a1 a0 · · ·

.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Otto Toeplitz (1881 - 1940)

Toeplitz etudia ces matrices en 1911.

Interets des matrices de Toeplitz

Une matrice de Toeplitz est determinee par la donnee d’une suitea = (an)n∈Z. Une matrice de Toeplitz T est donc donnee par:

T =(Ti,j = ai−j

)i,j∈N∗ . (1)

La tronquee d’ordre n est:

Tn =(ai−j

)1≤i,j≤n . (2)

Ces matrices interviennent dans:Theorie de la prediction

Solutions numeriques de certaines equations differentiellesTraitement du signal et de l’imageEtude des processus gaussiens stationnaires.· · ·

T =(Ti,j = ai−j

)i,j∈N∗ . (1)

Tn =(ai−j

)1≤i,j≤n . (2)

Ces matrices interviennent dans:Theorie de la predictionSolutions numeriques de certaines equations differentielles

Traitement du signal et de l’imageEtude des processus gaussiens stationnaires.· · ·

T =(Ti,j = ai−j

)i,j∈N∗ . (1)

Tn =(ai−j

)1≤i,j≤n . (2)

Ces matrices interviennent dans:Theorie de la predictionSolutions numeriques de certaines equations differentiellesTraitement du signal et de l’image

Etude des processus gaussiens stationnaires.· · ·

T =(Ti,j = ai−j

)i,j∈N∗ . (1)

Tn =(ai−j

)1≤i,j≤n . (2)

Ces matrices interviennent dans:Theorie de la predictionSolutions numeriques de certaines equations differentiellesTraitement du signal et de l’imageEtude des processus gaussiens stationnaires.

· · ·

T =(Ti,j = ai−j

)i,j∈N∗ . (1)

Tn =(ai−j

)1≤i,j≤n . (2)

Ces matrices interviennent dans:Theorie de la predictionSolutions numeriques de certaines equations differentiellesTraitement du signal et de l’imageEtude des processus gaussiens stationnaires.· · ·

Structures algebriques matrices de Toeplitz

L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectoriel

Le produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas necessairementde ToeplitzSi T est inversible, l’inverse n’est pas necessairement de Toeplitz.

Questions sur la matrice tronquee Tn?

Resoudre TnX = Y ( Algorithmes efficaces, rapides et peucouteux?)Criteres d’inversibilite?Determiner les valeurs propres ?Comportement asympotique?

L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectorielLe produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas necessairementde Toeplitz

Si T est inversible, l’inverse n’est pas necessairement de Toeplitz.

L’ensemble des matrices de Toeplitz est un espace vectorielLe produit de deux matrices de Toeplitz n’est pas necessairementde ToeplitzSi T est inversible, l’inverse n’est pas necessairement de Toeplitz.

Questions sur la matrice tronquee Tn?Resoudre TnX = Y ( Algorithmes efficaces, rapides et peucouteux?)

Criteres d’inversibilite?Determiner les valeurs propres ?Comportement asympotique?

Questions sur la matrice tronquee Tn?Resoudre TnX = Y ( Algorithmes efficaces, rapides et peucouteux?)Criteres d’inversibilite?

Determiner les valeurs propres ?Comportement asympotique?

Questions sur la matrice tronquee Tn?Resoudre TnX = Y ( Algorithmes efficaces, rapides et peucouteux?)Criteres d’inversibilite?Determiner les valeurs propres ?

Comportement asympotique?

Questions sur la matrice tronquee Tn?Resoudre TnX = Y ( Algorithmes efficaces, rapides et peucouteux?)Criteres d’inversibilite?Determiner les valeurs propres ?Comportement asympotique?

Matrices circulantes

Ce sont les matrices de Toeplitz dans laquelle on passe d’une ligne ala suivante par permutation circulaire (decalage vers la droite) descoefficients.

C = Cn =

c0 cn−1 cn−2 · · · c1c1 c0 cn−1 c2c2 c1 c0 c3...

. . ....

cn−1 cn−2 cn−3 · · · c0

On note simplement par:

Cn = (c0, c1, c2, · · · , cn−1) . (3)

Diagonalisation de C

On pose:

U = Un =

0 0 0 · · · 11 0 0 00 1 0 0...

. . ....

0 0 0 · · · 0

= (e2 e3 · · · en−1 e1) ,

ou ek = k -ieme colonne de la matrice identite In.

LemmaSoit Cn = (c0, c1, c2, · · · , cn−1) une matrice circulante. On aCn = c0In + c1Un + · · ·+ cn−1Un−1

n =∑n−1

k=0 ckUkn .

Diagonalisation de C

TheoremSoit n ∈ N∗. Soit C = (c0, c1, c2, · · · , cn−1) une matrice circulante. Elleest diagonalisee par la matrice de transformation de Fourier discrete.Precisement, on a

C =t FnDFn,

ou la matrice diagonale D = Diag(√

nFn c) avec c la matrice colonnedonnee par la premiere colonne de C et

Fn =1√n

1 1 1 · · · 11 wn w2

n wn−1n

1 w2n w4

n w2(n−1)n

.... . .

...1 w (n−1)

n w2(n−1)n · · · w (n−1)(n−1)

avec wn = e−2π i

Comportement Asymptotique

Theorem (Szego)Soit T une matrice de Toeplitz Hermitienne. Soit (Tn) la suite destronquees d’ordre n de T . Soit f la fonction densite spectrale de T . Onsuppose que F est une fonction continue sur l’image de f . On pose(λn,k ) les valeurs propres associees a Tn. On a

limn→+∞

n−1∑k=0

F (λn,k ) =1

∫ 2π

0F (f (x))dx .

Matrices de Toeplitz comme Operateurs dans l2(N).

l2(N) =

{u = (un) ⊂ C :

∞∑k=0

|un|2 <∞

Soit T une matrice de Toeplitz donnee par la suite a = (an)n∈Z. Pourles estimations, T peut etre consideree comme un operateur sur l2(N)defini par:

T : l2(N) → l2(N)u 7→ v = Tu =

∑+∞k=0 an−kuk

)n∈N .

Questions sur T?

Etudes des proprietes spectrales (Continuite, compacite, trace,Hilbert Schmidt)Proprietes algebriques: rang fini, inversibilite, produitd’operateurs, spectre et spectre essentiel,...

l2(N) =

{u = (un) ⊂ C :

∞∑k=0

|un|2 <∞

T : l2(N) → l2(N)u 7→ v = Tu =

∑+∞k=0 an−kuk

)n∈N .

Questions sur T?Etudes des proprietes spectrales (Continuite, compacite, trace,Hilbert Schmidt)

Proprietes algebriques: rang fini, inversibilite, produitd’operateurs, spectre et spectre essentiel,...

l2(N) =

{u = (un) ⊂ C :

∞∑k=0

|un|2 <∞

T : l2(N) → l2(N)u 7→ v = Tu =

∑+∞k=0 an−kuk

)n∈N .

Questions sur T?Etudes des proprietes spectrales (Continuite, compacite, trace,Hilbert Schmidt)Proprietes algebriques: rang fini, inversibilite, produitd’operateurs, spectre et spectre essentiel,...

Espaces de Hardy

D = {z ∈ C : |z| < 1} : Disque unite de C; T = ∂D.

Soit p ∈ (0,∞), Hp(D) Espace de Hardy.

Hp(D) =

{f ∈ Hol(D); ||f ||pHp := sup

0≤r<1

∫ 2π

0|f (reiθ)|pdθ <∞

Soit f ∈ Hp(D), alors

f ∗(θ) = limr→<

1f (reiθ) existe p.p

.La fonction f ∗ ∈ Lp(T ,dθ) et on a 1

∫ 2π0 |f

∗(θ)|pdθ = ||f ||pHp .On a Hp(D) ↪→ Lp(T ).

p = 2 : Espace de Hilbert: 〈f ,g〉 = 12π

∫ 2π0 f (θ)g(θ)dθ.

P : L2(T )→ H2(D) Projecteur de Szego.Ce projecteur est donne par

P(f )(z) =1

∫ 2π

f (θ)1− z e−iθ dθ.

Espaces de Hardy

D = {z ∈ C : |z| < 1} : Disque unite de C; T = ∂D.Soit p ∈ (0,∞), Hp(D) Espace de Hardy.

Hp(D) =

0≤r<1

∫ 2π

∫ 2π0 |f

∫ 2π0 f (θ)g(θ)dθ.

P(f )(z) =1

∫ 2π

Espaces de Hardy

Hp(D) =

0≤r<1

∫ 2π

La fonction f ∗ ∈ Lp(T ,dθ) et on a 12π

∫ 2π0 |f

∫ 2π0 f (θ)g(θ)dθ.

P(f )(z) =1

∫ 2π

Espaces de Hardy

Hp(D) =

0≤r<1

∫ 2π

∫ 2π0 |f

∗(θ)|pdθ = ||f ||pHp .

On a Hp(D) ↪→ Lp(T ).

∫ 2π0 f (θ)g(θ)dθ.

P(f )(z) =1

∫ 2π

Espaces de Hardy

Hp(D) =

0≤r<1

∫ 2π

∫ 2π0 |f

∫ 2π0 f (θ)g(θ)dθ.

P(f )(z) =1

∫ 2π

Espaces de Hardy

Hp(D) =

0≤r<1

∫ 2π

∫ 2π0 |f

∫ 2π0 f (θ)g(θ)dθ.

P(f )(z) =1

∫ 2π

Espaces de Hardy

Hp(D) =

0≤r<1

∫ 2π

∫ 2π0 |f

∫ 2π0 f (θ)g(θ)dθ.

P : L2(T )→ H2(D) Projecteur de Szego.

Ce projecteur est donne par

P(f )(z) =1

∫ 2π

Espaces de Hardy

Hp(D) =

0≤r<1

∫ 2π

∫ 2π0 |f

∫ 2π0 f (θ)g(θ)dθ.

P(f )(z) =1

∫ 2π

Relation Matrice et Operateur de Toeplitz

PropositionSoit T une matrice de Toeplitz definie par la suite (an)n∈Z. On pose

ϕ(θ) =+∞∑n∈Z

an einθ Le diagramme suivant est commutatif.

l2(N)x=(xn)n≥0

T−→ l2(N)y=Tx=(yn)n≥0

i ↓ i ↓H2(D)

f (z)=∑+∞

n≥0 xn zn

Tϕ−→ H2(D)F (z)=

∑+∞n≥0 yn zn

ou: Tϕf (z) = P(ϕ f )(z) = 12π

∫ 2π0

ϕ(θ)f (θ)1−z e−iθ dθ.

Cette proposition permet de traduire les estimations avec la matrice deToeplitz en des estimations sur les operateurs de Toeplitz.L’operateur Tϕ est appele operateur de Toeplitz et la fonction ϕest appelee symbole de l’operateur de Toeplitz.

Operateurs de Toeplitz

Questions sur Tϕ?

Determiner les conditions necessaires et suffisantes sur le symbole ϕpour les questions suivantes:

Questions sur Tϕ?

Etudes des proprietes spectrales (Continuite, compacite, trace,Hilbert Schmidt)

Proprietes algebriques: rang fini, inversibilite, produitd’operateurs, spectre et spectre essentiel,...

Questions sur Tϕ?

Proprietes spectrales

Theorem (Brown-Halmos, 64’)

Soit ϕ ∈ L2(T ).

Tϕ est borne sur H2(D) si et seulement si ϕ est borne. De plus,

||Tϕ|| = ||ϕ||∞.

Tϕ est compact sur H2(D) si et seulement si ϕ ≡ 0.

PropositionSoit f ,g ∈ L∞(T ) et λ ∈ C. On a

Tf+λg = Tf + λTg

(Tf )∗ = Tf .

Si f ∈ H∞, alors

TgTf = Tfg

TgTf = Tf g .

Soit ϕ ∈ L2(T ).Tϕ est borne sur H2(D) si et seulement si ϕ est borne. De plus,

||Tϕ|| = ||ϕ||∞.

Tf+λg = Tf + λTg

(Tf )∗ = Tf .

TgTf = Tfg

TgTf = Tf g .

||Tϕ|| = ||ϕ||∞.

Tf+λg = Tf + λTg

(Tf )∗ = Tf .

TgTf = Tfg

TgTf = Tf g .

||Tϕ|| = ||ϕ||∞.

Tf+λg = Tf + λTg

(Tf )∗ = Tf .

TgTf = Tfg

TgTf = Tf g .

||Tϕ|| = ||ϕ||∞.

Tf+λg = Tf + λTg

(Tf )∗ = Tf .

TgTf = Tfg

TgTf = Tf g .

||Tϕ|| = ||ϕ||∞.

Tf+λg = Tf + λTg

(Tf )∗ = Tf .

TgTf = Tfg

TgTf = Tf g .

||Tϕ|| = ||ϕ||∞.

Tf+λg = Tf + λTg

(Tf )∗ = Tf .

Si f ∈ H∞, alorsTgTf = Tfg

TgTf = Tf g .

||Tϕ|| = ||ϕ||∞.

Tf+λg = Tf + λTg

(Tf )∗ = Tf .

Si f ∈ H∞, alorsTgTf = Tfg

TgTf = Tf g .Edgar Tchoundja (Univ Yde I) Matrices et Operateurs de Toeplitz Abidjan, 24 Mars 2014 15 / 16

Generalisations

L’etude des operateurs de Toeplitz s’est etendue dans plusieursdirections:

Les espaces de Bergman (a poids):

Apβ(D) =

{f ∈ H(D); ||f ||pp,β :=

∫D|f (z)|p(1− |z|2)βdν(z) <∞

T βϕ (f )(z) = cβ

(1−|w |2)β(1−〈z,w〉)2+β f (w)ϕ(w)dν(w).

Les espaces de Fock, les espaces de Dirichlet et de Besov etc.Dans d’autres domaines de C et en dimension superieure (laboule unite, les domaines symetriques etc.)Aux symboles qui sont des mesures.....

Generalisations

Apβ(D) =

{f ∈ H(D); ||f ||pp,β :=

∫D|f (z)|p(1− |z|2)βdν(z) <∞

(1−|w |2)β(1−〈z,w〉)2+β f (w)ϕ(w)dν(w).

Les espaces de Fock, les espaces de Dirichlet et de Besov etc.

Dans d’autres domaines de C et en dimension superieure (laboule unite, les domaines symetriques etc.)Aux symboles qui sont des mesures.....

Generalisations

Apβ(D) =

{f ∈ H(D); ||f ||pp,β :=

∫D|f (z)|p(1− |z|2)βdν(z) <∞

(1−|w |2)β(1−〈z,w〉)2+β f (w)ϕ(w)dν(w).

Les espaces de Fock, les espaces de Dirichlet et de Besov etc.Dans d’autres domaines de C et en dimension superieure (laboule unite, les domaines symetriques etc.)

Aux symboles qui sont des mesures.....

Generalisations

Apβ(D) =

{f ∈ H(D); ||f ||pp,β :=

∫D|f (z)|p(1− |z|2)βdν(z) <∞

(1−|w |2)β(1−〈z,w〉)2+β f (w)ϕ(w)dν(w).

Les espaces de Fock, les espaces de Dirichlet et de Besov etc.Dans d’autres domaines de C et en dimension superieure (laboule unite, les domaines symetriques etc.)Aux symboles qui sont des mesures.

Generalisations

Apβ(D) =

{f ∈ H(D); ||f ||pp,β :=

∫D|f (z)|p(1− |z|2)βdν(z) <∞

(1−|w |2)β(1−〈z,w〉)2+β f (w)ϕ(w)dν(w).

Les espaces de Fock, les espaces de Dirichlet et de Besov etc.Dans d’autres domaines de C et en dimension superieure (laboule unite, les domaines symetriques etc.)Aux symboles qui sont des mesures.....

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