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7/24/2019 Matrices Slides 5
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Cours dAlgbre IIChap. 2 : Calcul Matriciel
Pr. Youssef JABRI
ENSA dOujda, Maroc
Mars 2015 / Cours
Youssef JABRI Cours dAlgbre II
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Structure despace vectoriel
K R ou K C.
Loi de composition externe
Dfinition
On appellematricede type ou de taillem n pou pm, nq q pourmlignesetncolonnes coefficientsdans K, toute familleA paijqij p1 i m,
1 j nq reprsente par :
a11 a12 a1na21 a22 a2n
... ...
. . . ...
am1 am2 amn
fi
ffiffiffiflou A
`ai,j1in1jp
.
On noteMm,npKq lensemble des matrices de type pm, nq.
Youssef JABRI Cours dAlgbre II
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Exemple
A
1 2 50 3 7
est une matrice2 3avec, par exemple,a1,1 1eta2,3 7.
Remarque
Deux matrices sontgaleslorsquelles ont la mme taille et lescoefficients correspondants sont gaux.
Les lments deMm,npRq sont appelsmatrices relles.
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Matrices particulires
Sin p(mme nombre de lignes que de colonnes), la matrice estdite
matrice carre. On noteMnpKq au lieu deMn,npKq.
a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n
... ...
. . . ...
an,1 an,2 . . . an,n
Les lmentsa1,1, a2,2, . . . , an,nforment ladiagonale principalede lamatrice.
Une matrice qui na quune seule ligne (n 1) est appelematriceligneouvecteur ligne. On la note
A `
a1,1 a1,2 . . . a1,p
.
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De mme, une matrice qui na quune seule colonne (p 1) est
appelematrice colonneouvecteur colonne. On la note
A
a1,1a2,1
..
.an,1
.
La matrice (de taillen p) dont tous les coefficients sont des zros estappele lamatrice nulleet est note0n,pou plus simplement0. Dans le
calcul matriciel, la matrice nulle joue le rle du nombre 0pour les rels.
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Addition de matrices
Dfinition (Somme de deux matrices)
SoientAetBdeux matrices ayant la mme taillen p. LeursommeC A ` Best la matrice de taillen pdfinie par
cij aij ` bij.
En dautres termes, on somme coefficients par coefficients.
Exemple
Si A
3 21 7
et B
0 5
2 1
alors A ` B
3 3
3 6
.
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Dfinition (Produit dune matrice par un scalaire)
Le produit dune matriceA `
aij
deMn,ppKq par un scalaire P K estla matrice
`aij
forme en multipliant chaque coefficient de Apar. Elle
est note A(ou simplementA).
Exemple
Si A
1 2 3
0 1 0
et 2 alors A
2 4 6
0 2 0
.
La matrice p1qAest lopposedeAet est note A. LadiffrenceA Best dfinie parA ` pBq.
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Exemple
Si A
2 1 0
4 5 2
et B
1 4 2
7 5 3
alors A B
3 5 23 0 1
.
Laddition et la multiplication par un scalaire ont les proprits :
Proposition
SoientA,BetCtrois matrices dansMn,ppKq. et, P K deux scalaires.
1 A ` B B ` A: la somme est commutative,
2 A ` pB ` Cq pA ` Bq ` C: la somme est associative,3 A ` 0 A: la matrice nulle est llment neutre de laddition,
4 p` qA A ` A,
5 pA ` Bq A ` B.
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d i d M i
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produit de Matrices
Le produitABde deux matricesAetBest dfini si et seulement si le nombre
de colonnes deAest gal au nombre de lignes de B.Dfinition (Produit de deux matrices)
SoientA paijq une matricen petB pbijq une matricep q. Alorsle produitC ABest une matricen qdont les coefficientscijsont
dfinis par :
cijp
k1
aikbkj
On peut crire le coefficient de faon plus dveloppe, savoir :
cij ai1b1j ` ai2b2j ` ` aikbkj ` ` aipbpj.
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Il est commode de disposer les calculs de la faon suivante.
B
A
||
cij
AB
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Exemple
A
1 2 32 3 4
B 1 2
1 11 1
Ondispose dabord le produit correctement: la matrice obtenue est detaille2 2.
Puis on calcule chacun des coefficients :c11 1 1 ` 2 p1q ` 3 1 2,
1 2
1 11 1
1 2 3
2 3 4
c11 c12c21 c22
et on calcule
1 2
1 11 1
1 2 3
2 3 4
2 c12c21 c22
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Un exemple intressant est le produit dun vecteur ligne parun vecteurcolonne :
u
`a1 a2 an
v
b1b2...
bn
Alorsuvest une matrice de taille 1 1dont lunique coefficient esta1b1 ` a2b2 ` ` anbn. Ce nombre sappelle leproduit scalairedesvecteursuetv.
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Piges viter
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Piges viter
Le produit de matrices nest pas commutatif en gnral.
En effet, il se peut queABsoit dfini mais pasBA, ou queABetBAsoienttous deux dfinis mais pas de la mme taille.Mais mme dans le cas o ABetBAsont dfinis et de la mme taille, on aen gnralAB BA.
Exemple
5 1
3 2
2 0
4 3
14 3
2 6
mais2 0
4 3
5 1
3 2
10 2
29 2
.
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AB 0 i li A 0 B 0
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AB 0nimplique pasA 0ouB 0.Il se peut que le produit de deux matrices non nulles soit nul.En dautres termes, on peut avoirA 0etB 0maisAB 0.
Exemple
A
0 10 5
B
2 30 0
et AB
0 0
0 0
.
AB ACnimplique pasB C.On peut avoirAB ACetB C.
Exemple
A
0 10 3
B 4 1
5 4
C
2 55 4
et
AB AC
5 415 12
.
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Proprits du produit de matrices
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Proprits du produit de matrices
Le produit vrifie les proprits suivantes :
Proposition
1 ApBCq pABqC: associativit du produit,
2 ApB ` Cq AB ` AC et pB ` CqA BA ` CA: distributivitdu produit par rapport la somme,
3 A 0 0 et 0 A 0.
La matrice carre dont les lments diagonaux sont gaux 1et tous sesautres lments sont gaux 0se noteInet sappellela matrice identit:
In
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
... . . .
...0 0 . . . 1
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P iti
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Proposition
SiAest une matricen p, alors
In A A et A Ip A.
Dans lensembleMnpKq des matrices carres de taillen n coefficientsdans K, la multiplication des matrices est une opration interne :
A, B P MnpKq AB P MnpKq
En particulier, on peut multiplier une matrice carre par elle-mme : on noteA2 A A,A3 A A A.
Dfinition
Pour toutA P MnpKq, on dfinit les puissances successives deApar :A0 InetA
p`1 Ap Apour toutp P N. Autrement dit,
Ap A A Alooooooooomooooooooonp-fois
.
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Inverse dune matrice
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Inverse d une matrice
Dfinition (Matrice inverse)
SoitAune matrice carre de taillen n. Sil existe une matrice carreBde
taillen ntelle que
AB I et BA I,
on dit queAestinversible. On appelleBlinverse deAet on la noteA1.
On verra plus tard quil suffit en fait de vrifier une seule des conditionsAB Iou bienBA I.
Plus gnralement, quandAest inversible, pour toutp P N, on note :
A p pA1qp A1A1 A1loooooooomoooooooonp-fois
.
Lensemble des matrices inversibles deMnpKq est notGLnpKq.
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Exemple
SoitA `
1 20 3
. tudier siAest inversible, cest tudier lexistence dune
matriceB ` a bc d coefficients dans K, telle queAB IetBA I.AB I
1 2
0 3
a b
c d
1 0
0 1
a ` 2c b ` 2d3c 3d
1 00 1
"
a ` 2c 1, b ` 2d 0,3c 0, 3d 1
donca 1,b 2{3,c 0,d 1{3. DoncB 1 2{3
0 1{3
. Pourprouver quelle convient, il faut aussi montrer lgalit BA I.
La matriceAest donc inversible etA1
1 2{30 1{3
.
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Exemple
La matriceA `
3 05 0
nest pas inversible. En effet, soitB
a b
c d
une
matrice quelconque. Alors le produit
BA
a b
c d
3 0
5 0
3a ` 5b 03c ` 5d 0
ne peut jamais tre gal la matrice identit.
Exemple
SoitInla matrice carre identit de taille n n. Elle est inversible, et
son inverse est elle-mme.La matrice nulle0nde taillen nnest pas inversible. En effet,@B P MnpKq, on aB0n 0n, qui ne peut jamais tre la matriceidentit.
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Proprits
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Proprits
Proposition
SiAest inversible, alors son inverse est unique.
Dmonstration.
SoientB1telle queAB1 B1A InetB2telle queAB2 B2A In.CalculonsB2pAB1q. Dune part, commeAB1 In, on aB2pAB1q B2.Dautre part, comme le produit des matrices est associatif, on aB2pAB1q pB2AqB1 InB1 B1. DoncB1 B2. l
Proposition
SoitAune matrice inversible. AlorsA1 est aussi inversible et on a :
pA1q1 A
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Proposition
SoientAetBdeux matrices inversibles de mme taille. Alors ABest
inversible et
pABq1 B1A1
Dmonstration.
Il suffit de montrer pB1A1qpABq Iet pABqpB1A1q I. Celadcoule de
pB1A1qpABq B1pAA1qB B1IB B1B I,
et pABqpB
1
A
1
q ApBB
1
qA
1
AIA
1
AA
1
I.
l
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calcul de lInverse dune matrice2 2
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calcul de l Inverse d une matrice
Cette mthode est une reformulation de la mthode du pivot de Gauss pourles systmes linaires.
Considrons la matrice2 2:A
a b
c d
.
Proposition
Siad bc - 0, alorsAest inversible et
A1 1
ad bc
d bc a
Dmonstration.
On vrifie que siB 1adbc`
d bc a
alorsAB
`1 00 1
. Idem pour
BA. l
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Mthode de Gauss pour inverser les matrices
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Mthode de Gauss pour inverser les matrices
La mthode pour inverser une matrice Aconsiste faire des oprationslmentaires sur les lignes de la matriceAjusqu la transformer en la
matrice identitI. On fait simultanment les mmes oprations lmentairesen partant de la matriceI. On aboutit alors une matrice qui est A1.
En pratique, on fait les deux oprations en mme temps en adoptant ladisposition suivante : ct de la matriceAque lon veut inverser, on rajoute
la matrice identit pour former un tableau pA | Iq. Sur les lignes de cettematrice augmente, on effectue des oprations lmentaires jusqu obtenir letableau pI | Bq. Et alorsB A1.Ces oprations lmentaires sur les lignes sont :
1 Li Liavec 0: on peut multiplier une ligne par un rel non nul(ou un lment de Kzt0u).
2 Li Li ` Ljavec P K (etj i) : on peut ajouter la ligne Liunmultiple dune autre ligneLj.
3 Li Lj: on peut changer deux lignes.
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Un exemple
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p
Calculons linverse deA
1 2 1
4 0 1
1 2 2
.
Voici la matrice augmente, avec les lignes numrotes :
pA | Iq
1 2 1 1 0 0
4 0 1 0 1 0
1 2 2 0 0 1
L1
L2
L3
On applique la mthode de Gauss pour faire apparatre des0sur la premirecolonne, dabord sur la deuxime ligne par lopration lmentaireL2 L2 4L1qui conduit la matrice augmente :
1 2 1 1 0 00 8 5 4 1 0
1 2 2 0 0 1
L2L2 4L1
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Puis un0sur la premire colonne, la troisime ligne, avec L3 L3 ` L1:
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p g
1 2 1 1 0 0
0 8 5 4 1 00 4 3 1 0 1
L3L3`L1On multiplie la ligneL2afin quelle commence par1:
1 2 1 1 0 0
0 1 5812
18 0
0 4 3 1 0 1
L2
1
8L2
On continue afin de faire apparatre des0partout sous la diagonale, et onmultiplie la ligneL3. Ce qui termine la premire partie :
1 2 1 1 0 0
0 1 5
8
1
2
1
8
0
0 0 12 1 1
2 1
L3L3 4L2
puis
1 2 1 1 0 0
0 1 5812
18 0
0 0 1 2 1 2
L32L3Youssef JABRI Cours dAlgbre II
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Puis on remonte pour faire apparatre des zros au-dessus de la diagonale :
1 2 1 1 0 0
0 1 0 7
4
3
4
5
40 0 1 2 1 2
L2L2 58L3
puis
1 0 0 12
12
12
0 1 0 74 3
4 5
4
0 0 1 2 1 2
L1L12L2L3
Ainsi linverse deAest la matrice obtenue droite et aprs avoir factoristous les coefficients par 14 , on a obtenu :
A1 142 2 2
7 3 58 4 8
On noublie pas la fin de vrifier rapidement que A A1 I.
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Dterminants
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On note le dterminant dune matriceA paijq par
det A ou
a11 a12 a1na21 a22 a2n
..
.
...
...
an1 an2 ann
Si on noteCilai-me colonne deAalors
detA
C1 C2 Cn
detpC1, C2, . . . , Cnq
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le dterminant estlinairepar rapport chaque vecteur colonne, les
http://find/ -
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p pp qautres tant fixs
detpC1, . . . , Cj ` C1
j , . . . , Cnq
det
pC1, . . . , Cj, . . . , Cnq ` det
pC1, . . . , C
1
j , . . . , Cnqcest--dire
a11 a1j ` a11j a1n
... ...
...
ai1 aij ` a1ij ain...
... ...
an1 anj ` a1nj ann
a11 a1j a1n
... ... ...ai1 aij ain
... ...
...an1 anj ann
`
a11 a11j a1n
... ... ...ai1 a
1ij ain
... ...
...an1 a
1nj ann
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Premires proprits
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p p
det 0n 0(par la proprit (ii))
det In 1(par la proprit (iii))
Proposition
SoitA pC1, C2, . . . , Cnq P MnpKqSoitA 1 P MnpKq obtenue par opration lmentaire sur les colonnes :
1 Ci Ciavec 0. Alors det A1 det A
2 Ci Ci ` Cjavec P K (etj i). Alors det A1 det A
3 Ci Cj. Alorsdet A 1 det A
Plus gnralement pour (2),Ci Ci `n
j1ji
jCjconserve le dterminant
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Dterminant de matrices particulires
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Proposition
Le dterminant dune matrice triangulaire suprieure (ou infrieure) estgal
au produit des termes diagonaux
Pour une matrice triangulaireA paijq
det A
a11 a12 . . . . . . . . . a1n0 a22 . . . . . . . . . a2n
... . . . . . . ...
... . . .
. . . ...
... . . .
. . . ...
0 . . . . . . . . . 0 ann
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Dterminant de matrices particulires
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Proposition
Le dterminant dune matrice triangulaire suprieure (ou infrieure) estgal
au produit des termes diagonaux
Pour une matrice triangulaireA paijq
det A
a11 a12 . . . . . . . . . a1n0 a22 . . . . . . . . . a2n
... . . . . . . ...
... . . .
. . . ...
... . . .
. . . ...
0 . . . . . . . . . 0 ann
a11 a22 ann
Corollaire
Le dterminant dune matrice diagonale est gal au produit des termes
diagonaux
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Exemple
Calculer det A avecA
0 3 2
1 6 6
5 9 1
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Exemple
Calculer det A avecA
0 3 2
1 6 6
5 9 1
C1 C2
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l
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Exemple
Calculer det A avecA
0 3 2
1 6 6
5 9 1
det A
p1q det
3 0 2
6 1 69 5 1
C1 C2
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E l
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Exemple
Calculer det A avecA
0 3 2
1 6 6
5 9 1
det A
p1q det
3 0 2
6 1 69 5 1
C1 13 C1
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E l
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Exemple
Calculer det A avecA
0 3 2
1 6 6
5 9 1
det A
p1q det
3 0 2
6 1 69 5 1
p1q 3 det
1 0 2
2 1 63 5 1
C1 13 C1
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E l
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Exemple
Calculer det A avecA
0 3 2
1 6 6
5 9 1
det A
p1q det
3 0 2
6 1 69 5 1
p1q 3 det
1 0 2
2 1 63 5 1
C3
C3
2C1
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Exemple
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Exemple
Calculer det A avecA
0 3 2
1 6 6
5 9 1
det A
p1q det
3 0 2
6 1 69 5 1
p1q 3 det
1 0 2
2 1 63 5 1
p1q 3 det
1 0 02 1 10
3 5 5
C3
C3
2C1
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Exemple
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Exemple
Calculer det A avecA
0 3 2
1 6 6
5 9 1
det A
p1q det
3 0 2
6 1 69 5 1
p1q 3 det
1 0 2
2 1 63 5 1
p1q 3 det
1 0 02 1 10
3 5 5
C3 C3 10C2
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Exemple
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Exemple
Calculer det A avecA
0 3 2
1 6 6
5 9 1
det A
p1q det
3 0 2
6 1 69 5 1
p1q 3 det
1 0 2
2 1 63 5 1
p1q 3 det
1 0 02 1 10
3 5 5
p1q 3 det
1 0 02 1 0
3 5 55
C3 C3 10C2
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Exemple
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Exemple
Calculer det A avecA
0 3 2
1 6 6
5 9 1
det A
p1q det
3 0 2
6 1 69 5 1
p1q 3 det
1 0 2
2 1 63 5 1
p1q 3 det
1 0 02 1 10
3 5 5
p1q 3 det
1 0 02 1 0
3 5 55
p1q 3 p55q
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Exemple
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Exemple
Calculer det A avecA
0 3 2
1 6 6
5 9 1
det A
p1q det
3 0 2
6 1 69 5 1
p1q 3 det
1 0 2
2 1 63 5 1
p1q 3 det
1 0 02 1 10
3 5 5
p1q 3 det
1 0 02 1 0
3 5 55
p1q 3 p55q 165
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Dterminant dun produit
http://find/http://goback/ -
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Thorme
detpA Bq det A det B
Thorme
Une matrice carreAest inversiblesi et seulement sison dterminant est
non nul. De plus siAest inversible, alors :
det`
A1
1{det A
ExempleDeux matricesA,Bsemblables B P1AP ont mme dterminant.En effet, det B detpP1APq det P1 det A det P det Acardet P1 1{det P.
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Cofacteur
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Dfinition
SoitA `
aij
P MnpKq une matrice carre
Aijest la matrice extraite obtenue en effaant la ligneiet la colonnej
deALe nombre det Aijest unmineur dordren 1de la matriceA
Le nombreCij p1qi j det Aijest lecofacteurdeArelatif au
coefficientaij
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Dveloppement suivant une ligne ou une colonne
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ThormeFormule de dveloppement par rapport la ligne i
det A n
j1
p1qi jaijdet Aijn
j1
aijCij
Formule de dveloppement par rapport la colonnej
det A n
i1
p1qi jaijdet Aijn
i1
aijCij
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Exemple
http://find/ -
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A
4 0 3 1
4 2 1 0
0 3 1 11 0 2 3
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Exemple
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A
4 0 3 1
4 2 1 0
0 3 1 11 0 2 3
det A dvelop. par rapport C2
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Exemple
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A
4 0 3 1
4 2 1 0
0 3 1 11 0 2 3
det A 0C12 ` 2C22 ` 3C32 ` 0C42 dvelop. par rapport C2
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Exemple
http://goforward/http://find/http://goback/ -
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A
4 0 3 1
4 2 1 0
0 3 1 11 0 2 3
det A 0C12 ` 2C22 ` 3C32 ` 0C42 dvelop. par rapport C2
`2
4 3 1
0 1 11 2 3
3
4 3 1
4 1 0
1 2 3
Youssef JABRI Cours dAlgbre II
Exemple
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A
4 0 3 1
4 2 1 0
0 3 1 11 0 2 3
det A 0C12 ` 2C22 ` 3C32 ` 0C42 dvelop. par rapport C2
`2
4 3 1
0 1 11 2 3
3
4 3 1
4 1 0
1 2 3
on dveloppeles dterminants3 3
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Exemple
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A
4 0 3 1
4 2 1 0
0 3 1 11 0 2 3
det A 0C12 ` 2C22 ` 3C32 ` 0C42 dvelop. par rapport C2
`2
4 3 1
0 1 11 2 3
3
4 3 1
4 1 0
1 2 3
on dveloppeles dterminants3 3
par rapport C1
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Exemple
http://find/ -
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52/56
A
4 0 3 1
4 2 1 0
0 3 1 11 0 2 3
det A 0C12 ` 2C22 ` 3C32 ` 0C42 dvelop. par rapport C2
`2
4 3 1
0 1 11 2 3
3
4 3 1
4 1 0
1 2 3
on dveloppeles dterminants3 3
2
4
1 12 3
0
3 1
2 3
` 1
3 1
1 1
par rapport C1
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Exemple
http://goforward/http://find/http://goback/ -
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A
4 0 3 1
4 2 1 0
0 3 1 11 0 2 3
det A 0C12 ` 2C22 ` 3C32 ` 0C42 dvelop. par rapport C2
`2
4 3 1
0 1 11 2 3
3
4 3 1
4 1 01 2 3
on dveloppeles dterminants3 3
2
4
1 12 3
0
3 1
2 3
` 1
3 1
1 1
par rapport C1
par rapport L2
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Exemple
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A
4 0 3 1
4 2 1 0
0 3 1 11 0 2 3
det A 0C12 ` 2C22 ` 3C32 ` 0C42 dvelop. par rapport C2
`2
4 3 1
0 1 11 2 3
3
4 3 1
4 1 01 2 3
on dveloppeles dterminants3 3
2
4
1 12 3
0
3 1
2 3
` 1
3 1
1 1
par rapport C1
3
43 12 3
` 14 11 3
04 31 2
par rapport L2
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Exemple
http://find/ -
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A
4 0 3 1
4 2 1 0
0 3 1 11 0 2 3
det A 0C12 ` 2C22 ` 3C32 ` 0C42 dvelop. par rapport C2
`2
4 3 1
0 1 11 2 3
3
4 3 1
4 1 01 2 3
on dveloppeles dterminants3 3
2
4
1 12 3
0
3 1
2 3
` 1
3 1
1 1
par rapport C1
3
43 12 3
` 14 11 3
04 31 2
par rapport L2
2 4 5 ` 1 p 4q
3`
4 7 ` 1 11
Youssef JABRI Cours dAlgbre II
Exemple
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A
4 0 3 1
4 2 1 0
0 3 1 11 0 2 3
det A 0C12 ` 2C22 ` 3C32 ` 0C42 dvelop. par rapport C2
`2
4 3 1
0 1 11 2 3
3
4 3 1
4 1 01 2 3
on dveloppeles dterminants3 3
2
4
1 12 3
0
3 1
2 3
` 1
3 1
1 1
par rapport C1
3
43 12 3
` 14 11 3
04 31 2
par rapport L2
2 4 5 ` 1 p 4q
3`
4 7 ` 1 11
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