mec sol 01 - aula 12 - centro de gravidade de um corpo

Mecânica dos Sólidos 1Professor Maurício P. Ferreira

Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Faculdade de Engenharia Civil

1. Centro de Gravidade

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• Um corpo é formado por partículas;

• Se o corpo estiver em um campo gravitacional;

• Cada partícula terá um peso ∆W;

• Os pesos formarão um sistema de forças cuja

resultante é o peso total do corpoW;

• W passa por um único ponto: C.G.;

+R zF W F W= = = ∆∑ ∫

,R y yM M x W x W= ∴ ⋅ = ⋅ ∆∑ ∫

,R x xM M y W y W= ∴ ⋅ = ⋅ ∆∑ ∫

2. Centróide de Área e Linhas

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• No caso de uma placa homogênea de espessura constante:

W t Aγ∆ = ⋅ ⋅ ∆

onde: é o peso específico;

é a espessura; é a área do elemento.

tA

γ

∆

• No caso de uma linha homogênea de seção transversal constante:

W a Lγ∆ = ⋅ ⋅ ∆

onde: é o peso específico; é a seção transversal da linha;

é o comprimento do elemento.aL

γ

∆

2. Centróide de Área e Linhas

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2. Centróide de Área e Linhas

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3. Centro de Gravidade, Centro de Massa e Centróide

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4. Momento Estático

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5. Simetria

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5. Simetria

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6. Centróides de Figuras Planas

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6. Centróides de Figuras Planas

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7. Centróide de Figuras Compostas

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y i i

i i

i ix

i i

Q x Ax

A A

y AQy

A A

⋅= =

⋅= =

∑∑ ∑

∑∑ ∑

• Exemplo 01: Determine o centróide da superfície abaixo.

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• Exemplo 01: Determine o centróide da superfície abaixo. (método 1)

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( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2

1 2

0,1 0, 2 0,15 0, 2 0, 4 0, 3

0, 2 0,15 0, 4 0, 3

0,14 m 140 mm

x A x Ax

A A

x

x

⋅ + ⋅=

+

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅=

⋅ + ⋅

= =

1

2

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2

1 2

0, 225 0, 2 0,15 0,15 0, 4 0, 3

0, 2 0,15 0, 4 0, 3

0,165 m 165 mm

y A y Ay

A A

y

y

⋅ + ⋅=

+

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅=

⋅ + ⋅

= =

• Exemplo 01: Determine o centróide da superfície abaixo. (método 2)

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( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2

1 2

0,1 0, 6 0, 3 0,1 0, 2 0,15

0, 6 0, 3 0, 2 0,15

0,14 m 140 mm

x A x Ax

A A

x

x

⋅ + ⋅=

+

⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅=

⋅ − ⋅

= =

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2

1 2

0,15 0, 6 0, 3 0, 075 0, 2 0,15

0, 6 0, 3 0, 2 0,15

0,165 m 165 mm

y A y Ay

A A

y

y

⋅ + ⋅=

+

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅=

⋅ − ⋅

= =

2

1