mecânica a - p1 - 2010
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ESCOLA POLITCNICA DA UNIVERSIDADE DE SO PAULO
Departamento de Engenharia Mecnica
PME 2100 MECNICA A Prova P1 31 de agosto de 2010
Durao da Prova: 100 minutos (no permitido o uso de calculadoras)
QUESTO 1 (3 pontos). Considerando-se a estrutura OABC sujeita ao
sistema de foras indicado na figura ao lado, onde FFi =r
(para
i = 1,2,3), pede-se: (a) calcular a resultante do sistema de foras; (b) calcular o momento do sistema de foras em relao ao polo O; (c) verificar se o sistema de foras redutvel a uma nica fora; (d) determinar o momento mnimo do sistema de foras e o seu eixo
central. QUESTO 2 (3 pontos). A figura mostra um suporte AOB vinculado a uma parede vertical pela articulao A e pelo apoio simples bilateral O. A barra CD, de comprimento L, presa na extremidade C a uma articulao, enquanto a extremidade D est inserida em um rasgo horizontal TU sem atrito. extremidade D aplicada uma fora F horizontal. Supondo que todas as peas tenham peso desprezvel, pedem-se: (a) as reaes vinculares em A e O; (b) as reaes vinculares em C e D.
QUESTO 3 (3 pontos). Para a trelia da figura, calcular: (a) as reaes vinculares; (b) as foras nas barras, indicando se so de trao ou
compresso.
QUESTO 4 (1 ponto). Um suporte AOB em forma de L, com lados iguais a l , possui um rasgo horizontal TU de comprimento 2l conforme indicado na figura ao lado. Admitindo que o peso por unidade de comprimento dos segmentos AO e OB seja e que uma pea feita com o mesmo material e as mesmas dimenses do rasgo TU teria peso igual a
83 l , determinar a posio do baricentro do suporte.
L
L/2
L
A
B O
U T
C
D
Fr
3P
6P
3L
4L4L
AB
C DE
l
2l
A
O B
l
4l
U T
y
x
45a
23a
a2
z
y
x 1Fr
3Fr
2Fr
O
C
B
A
-
ESCOLA POLITCNICA DA UNIVERSIDADE DE SO PAULO
Departamento de Engenharia Mecnica
PME 2100 MECNICA A Prova P1 31 de agosto de 2010
RESOLUO
QUESTO 1 (3 pontos). Considerando-se a estrutura OABC sujeita ao
sistema de foras indicado na figura ao lado, onde FFi =r
(para i =
1,2,3), pede-se: (a) calcular a resultante do sistema de foras; (b) calcular o momento do sistema de foras em relao ao plo O; (c) verificar se o sistema de foras redutvel a uma nica fora; (d) determinar o momento mnimo do sistema de foras e o seu eixo
central.
(a) iFFrr
=1 , iFFrr
=2 e kFFrr
=3
++= 321 FFFRrrrr
kFRrr
= (0,5)
(b) ( ) ( ) ( ) ++= 321 FOBFOCFOAMOrrrr
( )
++
++= kFk
aiaiFj
ak
aiaiFiaMO
rrrrrrrrrr
2
32
4
5
2
322 k
Faj
FaMO
rrr
4
5
2+=
(1,0)
(c) Invariante escalar 4
5.
2aF
RMI O ==rr
(0,5)
Como 0rr
R e 0I , o sistema redutvel a uma fora e um binrio
(d) Valor do momento mnimo:
= RRR
RMM OE
rrr
rrr
.
.k
FaM E
rr
4
5= (0,5)
Eixo de momento mnimo
( ) += RRR
MROE O
rrr
rr
.
kFia
Err
+=2
(0,5)
45a
23a
a2
z
y
x 1Fr
3Fr
2Fr
O
C
B
A
-
ESCOLA POLITCNICA DA UNIVERSIDADE DE SO PAULO
Departamento de Engenharia Mecnica
QUESTO 2 (3 pontos). A figura mostra um suporte AOB vinculado a uma parede vertical pela articulao A e pelo apoio simples bilateral O. A barra CD, de comprimento L, presa na extremidade C a uma articulao, enquanto a extremidade D est inserida em um rasgo horizontal TU sem atrito. extremidade D aplicada uma fora F horizontal. Supondo que todas as peas tenham peso desprezvel, pedem-se: (a) as reaes vinculares em A e O; (b) as reaes vinculares em C e D. (a) Diagrama de corpo livre do sistema
Equaes de equilbrio
00 =+= FXXF OAx
(0,5) = 0yF 0=AY (0,5)
== 00 FLLXM OA FXO = 0=AX (0,5)
(b) Diagrama de corpo livre da barra CD Equaes de equilbrio
== 00 FXF Cx FXC =
(0,5) 00 =+= DCy YYF (0,5)
0cos0 == FLsenLYM DC , onde 21
cos = e
2
3=sen 3FYD = 3FYC = (0,5)
Alternativamente:
0cos0 == FLsenLYM DC , onde 21
cos = e
2
3=sen 3FYD =
cos
FRC
= FRC 2=
L
L/2
L
A
B O
U T
C
D
Fr
XA
YA
XO F
F
YD
XC
YC
F
YD
RC
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ESCOLA POLITCNICA DA UNIVERSIDADE DE SO PAULO
Departamento de Engenharia Mecnica
QUESTO 3 (3 pontos). Para a trelia da figura, calcular: (a) as reaes vinculares; (b) as foras nas barras, indicando se so de trao ou compresso.
(a) Como, para equilbrio, os esforos na barra CD so na direo CD, 0=CY
3P
6P
AB
C DE
XA
YA
XC
Equilbrio global da trelia:
00 =+= CAx XXR == 0360 PPYR Ay PYA 9=
== 0834630 LPLPLXM ACz PX A 16= PXC 16= (1,0)
(b) (1,0)
3P
6P
A B
XD E
A
B
B
BA
C
D
DD
D
E
EC
XA
YA
C
FAB FAB
FBEF
AD
FAD
FCD
FCD
FBD
FBD
FDE
FDE
FBE
Equilbrio do n C:
00 =+= CDCx FXR PFCD 16= (compresso)
Equilbrio do n A:
05
40 =++= ADABAx FFXR
05
30 =+= ADAy FYR
PFAD 15= (trao) PFAB 4= (trao)
Equilbrio do n D:
05
40 =+= ADDECDx FFFR
05
30 =+= ADBDy FFR
PFDE 4= (compresso) PFBD 9= (compresso)
Equilbrio do n B:
05
40 =+= BEABx FFR
05
360 == BEBDy FFPR
PFBE 5= (trao)
(1,0)
3P
6P
3L
4L4L
AB
C DE
-
ESCOLA POLITCNICA DA UNIVERSIDADE DE SO PAULO
Departamento de Engenharia Mecnica
QUESTO 4 (1 ponto). Um suporte AOB em forma de L, com lados iguais a l , possui um rasgo horizontal TU de comprimento 2l conforme indicado na figura ao lado. Admitindo que o peso por unidade de comprimento dos segmentos AO e OB seja e que uma pea feita com o mesmo material e as mesmas dimenses do rasgo TU teria peso igual a
83 l , determinar a posio do baricentro do suporte.
+=
++=
28
3
20
8
3 llll
gx
lll
gxmxmxmxm GGTUGOBGAOGtotal TUOBAO
26
5lxG = (0,5)
++
=
++= 00
28
3 ll
gy
lll
gymymymym GGTUGOBGAOGtotal TUOBAO
13
4lyG = (0,5)
l
2l
A
O B
l
4l
U T
y
x
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