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Chapitre 6 : bilans
Mécanique des fluides
Module 6.2 : Ecoulement de Poiseuille
Christophe Ancey, François Gallaire et Marco Ramaioli
2 Mécanique des fluides
• Bilan de masse • Bilan intégral
• Interprétation de l’opérateur divergence
• Bilan de quantité de mouvement en
régime visqueux • Ecoulement de Poiseuille
• Lubrification
• Bilan de quantité de mouvement en
régime inertiel
Chapitre 6 : Bilans
3 Mécanique des fluides
Quizz
On remplace un tube de section R par une collection de tubes de
rayon a<<R. Le gradient de pression à appliquer pour faire
s’écouler le fluides à travers ce réseau de capillaire est:
1. (R/a)4 plus grand?
2. a/R plus petit?
3. (R/a)2 plus grand?
4 Mécanique des fluides
Ecoulement dans un conduit circulaire
6
• On suppose l’écoulement indépendant de t de x et de θ
• On suppose l’écoulement unidirectionnel:
x x+dx
r
r+dr
r
R x
u(r)
5 Mécanique des fluides
Ecoulement dans un conduit circulaire
6
• On suppose l’écoulement indépendant de t de x et de θ
• On suppose l’écoulement unidirectionnel:
stationnaire
x x+dx
r
r+dr
r
R x
u(r)
6 Mécanique des fluides
Ecoulement dans un conduit circulaire
6
• On suppose l’écoulement indépendant de t de x et de θ
• On suppose l’écoulement unidirectionnel:
stationnaire parallèle
x x+dx
r
r+dr
r
R x
u(r)
7 Mécanique des fluides
Ecoulement dans un conduit circulaire
6
• On suppose l’écoulement indépendant de t de x et de θ
• On suppose l’écoulement unidirectionnel:
stationnaire axisymétrique parallèle
x x+dx
r
r+dr
r
R x
u(r)
9 Mécanique des fluides
Bilan de forces selon (Ox)
6
• Forces normales sur les parois latérales
p(x) p(x+dx)
x x+dx
r
r+dr
10 Mécanique des fluides
Bilan de forces selon (Ox)
6
• Forces normales sur les parois latérales
p(x) p(x+dx) σxr(r+dr)
-σxr(r)
x x+dx
r
r+dr
• Forces de cisaillement sur les parois périphériques
11 Mécanique des fluides
Bilan de forces selon (Ox)
6
• Forces normales sur les parois latérales
p(x) p(x+dx) σxr(r+dr)
-σxr(r)
x x+dx
r
r+dr
• Forces de cisaillement sur les parois périphériques
12 Mécanique des fluides
Rappel: cisaillement d’un fluide
6
• Pour un fluide Newtonien de profil de vitesse u1(x2)
x2
x1
σ12 u1
13 Mécanique des fluides
Rappel: cisaillement d’un fluide
6
• Pour un fluide Newtonien de profil de vitesse u1(x2)
x2
x1
σ12 u1
contrainte tangentielle
(cisaillement)
14 Mécanique des fluides
Rappel: cisaillement d’un fluide
6
• Pour un fluide Newtonien de profil de vitesse u1(x2)
x2
x1
σ12 u1
viscosité
dynamique
contrainte tangentielle
(cisaillement)
15 Mécanique des fluides
Généralisation à la géométrie axisymétrique
6
• Pour un fluide Newtonien de profil de vitesse ux(r)
• Attention: il faut ouvrir un formulaire pour trouver cette formule
r
x
σxr ux(r)
viscosité
dynamique
contrainte tangentielle
(cisaillement)
16 Mécanique des fluides
Bilan de forces selon (Ox)
6
• Forces normales sur les parois latérales
• Forces de cisaillement sur les parois périphériques
• Loi de contrainte visqueuse
17 Mécanique des fluides
Bilan de forces selon (Ox)
6
• Forces normales sur les parois latérales
• Forces de cisaillement sur les parois périphériques
• Loi de contrainte visqueuse
19 Mécanique des fluides
Ecoulement de Poiseuille
6
• Forces de pression sur les parois cylindriques
r
r+dr
θ
θ+dθ r
r+dr
θ θ+dθ
20 Mécanique des fluides
Ecoulement de Poiseuille
6
• Forces de pression sur les parois cylindriques
r
r+dr
θ
θ+dθ r
r+dr
θ θ+dθ
• Projection des forces de pression sur les parois latérales
21 Mécanique des fluides
Ecoulement de Poiseuille
6
• Forces de pression sur les parois cylindriques
r
r+dr
θ
θ+dθ r
r+dr
θ θ+dθ
• Projection des forces de pression sur les parois latérales
22 Mécanique des fluides
Détermination du profil de vitesse
• La pression ne dépend pas de r et la vitesse ne dépend pas de x
23 Mécanique des fluides
Détermination du profil de vitesse
• La pression ne dépend pas de r et la vitesse ne dépend pas de x
• Intégration
24 Mécanique des fluides
Détermination du profil de vitesse
• La pression ne dépend pas de r et la vitesse ne dépend pas de x
• Intégration
• Adhérence à la paroi
25 Mécanique des fluides
Détermination du profil de vitesse
• La pression ne dépend pas de r et la vitesse ne dépend pas de x
• Intégration
• Adhérence à la paroi
• Condition de symétrie sur l’axe
26 Mécanique des fluides
Détermination du profil de vitesse
• La pression ne dépend pas de r et la vitesse ne dépend pas de x
• Intégration
• Adhérence à la paroi
• Condition de symétrie sur l’axe
28 Mécanique des fluides
Profil parabolique de Poiseuille
• Vérification dimensionnelle
• Vérification des signes
29 Mécanique des fluides
Profil parabolique de Poiseuille
• Vérification dimensionnelle
• Vérification des signes
• Profil parabolique
30 Mécanique des fluides
Quizz
Un fluide coule dans une conduite de section
circulaire: l’allure du profil de vitesse est:
1.
2.
3.
37 Mécanique des fluides
Equilibre global des forces
• Force de frottement à la paroi
• Force de pression
38 Mécanique des fluides
Equilibre global des forces
• Force de frottement à la paroi
• Force de pression
39 Mécanique des fluides
Quizz
On remplace un tube de section R par une collection de tubes de
rayon a<<R. Le gradient de pression à appliquer pour faire
s’écouler le fluides à travers ce réseau de capillaire est:
40 Mécanique des fluides
Quizz
On remplace un tube de section R par une collection de tubes de
rayon a<<R. Le gradient de pression à appliquer pour faire
s’écouler le fluides à travers ce réseau de capillaire est:
41 Mécanique des fluides
Quizz
On remplace un tube de section R par une collection de tubes de
rayon a<<R. Le gradient de pression à appliquer pour faire
s’écouler le fluides à travers ce réseau de capillaire est:
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