meccanica quantistica. una particella è descritta mediante una funzione donda (posizione, tempo) 1...
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MECCANICA MECCANICA
QUANTISTICAQUANTISTICA
Una particella è descritta mediante una funzione d’onda (posizione, tempo)
1o POSTULATO
Esempi:
Per una singola particella che si muove in una dimensione:
Per una singola particella che si muove in tre dimensioni:
Per due particelle che si muovono in tre dimensioni:
,x t
tzyxt ,,,, r
tzyxzyxt ,,,,,,,, 22211121 rr
Se abbiamo la funzione d’onda di un sistema, possiamo ottenere tutto ciò che è possibile conoscere di quel sistema.
(x,y,z,t) è soluzione dell’equazione di SCHRÖDINGER
EH
non è un’onda fisica.
è un’entità matematica astratta che contiene le informazioni sullo stato del sistema.
Soluzione:
x=x(t) (x)p=p(t)
Newton Schrödinger
EVdx
d
mdx
dVF
EHdt
xdmmaF
2
22
2
2
2
ˆ
O
X
Particella libera in moto lungo l’asse xMeccanica Classica
Sia una particella di massa m che si muove in assenza di potenziale. La sua posizione è data da x. L’espressione dell’energia totale, cioè dell’energia cinetica in funzione del momento lineare:
HxVm
pEEE potcin )(
2
2
m
pEH cin 2
2
V = 0
Particella libera in moto lungo l’asse xMeccanica Quantistica
)()(2 2
22
xExVdx
d
m
)(2
)(22
2
xEm
xdx
d
V = 0
)()(2 2
22
xExdx
d
m
m
kEkE
m
2
2 222
2
)()( 22
2
xkxdx
d
)()( 22
2
xkxdx
d
ikxikx ekedx
d 22
2
Ψ(x) = eikx è una soluzione
ma anche Ψ(x) = e-ikx è soluzione.
La soluzione generale è Ψ(x) = A eikx + B e-ikx
ikxikx
ikxikxikxikx
BeAek
edx
dBe
dx
dABeAe
dx
d
2
2
2
2
2
2
2
Qualunque valore di k è accettabile
Qualunque valore di E è accettabile
Energia NON quantizzata
m
p
m
kE
22
222
Energia è solo Ecin
p = ± k ħ
m
kE
2
22
Ψ(x) = eikx = cos kx + i sin kx
cos kx : onda di lunghezza d’onda λ = 2π/k k=2π/ λ
p = k ħ = 2π/λ ħ = 2π/λ h/2π = h/λ
λ = h/p ipotesi di de Broglie
Per una particella libera l’equazione di
Schrödinger implica la relazione di de Broglie.
PLAUSIBILITA’ dell’equazione di Schrödinger
E’ comunque un POSTULATO
fu
nzi
one
d’o
nd
a Ψ
1. HA UNA INTERPRETAZIONE
2. HA DEI VINCOLI
3. CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA
INTERPRETAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA
• Secondo la teoria ondulatoria della luce, il quadrato dell’ampiezza di un’onda elettromagnetica è proporzionale all’intensità della luce– Poiché la luce si comporta come una particella (fotone), l’intensità
deve essere una misura della probabilità di trovare un fotone in un volume dello spazio
• Se applichiamo questa idea alle particelle, il valore di ||2 in un punto è proporzionale alla probabilità di trovare la particella in quel punto
• La quantità fisicamente significativa è ||2
INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA
1
INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA
Se la funzione d’onda ha valore
(x) nel punto x, la probabilità di
trovare una particella tra x e
x+dx è proporzionale a |(x)|2dx
Max Born
dxxxxP *)()()( 22
22
**
ba
b+iab+iab-a=
ib)-a(ib)+a(
ib)+ib)(a+a(cc
reale ba,
ib+a =c
Interpretazione della funzione d’onda in 1-DΨ(x) ampiezza di probabilità: positiva, negativa, complessa
Probabilità
*2 )()(|)(| xxx sempre positiva e reale
densità di probabilità
Probabilità
Ψ = Ψr + i Ψi
Ψ* = Ψr - i Ψi
|Ψ|2 = Ψr2 + Ψi
2
Ψ(x)
positiva
e negativa
|Ψ(x)|2 = Ψ(x)Ψ(x)*
sempre positiva e reale
Densità di probabilità
Funzione d’onda
Ψ
dy
dzdx
ProbabilitàElemento di volume
Densità di probabilità =probabilità per unità di volume
Interpretazione della funzione d’onda in 3-D
Se la funzione d’onda di una particella vale Ψ(x,y,z) nel punto (x,y,z), allora la probabilità di trovare particella tra x e x+dx, y e y+dy, z e z+dz, cioè nel volume infinitesimo d = dx dy dz è proporzionale a |(x,y,z)|2d
P(x,y,z)=Ψ(x,y,z)Ψ(x,y,z)*dx dy dz
Voi siete probabilmente qui
Meccanica classica : deterministica
Meccanica quantistica: probabilistica
PARTICELLA LIBERAikxe
Tutte le energiesono permesse
posizione x
Re(Ψ)
Proprietà matematica dell’equazione di Schrödinger Se Ψ è una soluzione
x)(x)()(x)(
2 2
22
ExV
dx
d
m
allora N Ψ è pure una soluzione
x)(x)()(x))((
2 2
22
ENNxV
dx
Nd
m
Prova:
NORMALIZZAZIONE
x)(x)()(x)(
2 2
22
NExNV
dx
dN
m
Interpretazione di Born e normalizzazione della
– Deve valere la condizione:
1)()(* dxxx
1*2 dN
La probabilità che la particella sia da qualche parte deve essere 1
– Se la soddisfa questa condizione viene detta normalizzata.
– Se la non soddisfa questa condizione, viene moltiplicata per un fattore costante N per normalizzarla
d
N*
1
1. HA UNA INTERPRETAZIONE
2. HA DEI VINCOLI
3. CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA
V X
L’interpretazione di Born introduce dei vincoli sulla
In corrispondenza al punto X ci sia una variazione di potenziale.
X
La deve essere continua in tutto lo spazio, inclusi i punti in cui si ha variazione del potenziale
Se la avesse una discontinuità in X, la probabilità di trovare la particella in X avrebbe due diversi valori se tendiamo ad X da differenti direzioni
Ψ non è continua
dΨ/dx e d2Ψ/dx2 non sono definite
L’eq. di Schrödinger non è definita
dΨ/dx non è continua
Quindi d2Ψ/dx2 non è definita
L’eq. di Schrödinger non è definita
P(x) = Ψ(x) Ψ*(x) non può assumere valori multipli
dxxxNb
a
*2 )()(
VINCOLI SULLA FORMA DELLA LEGATI ALL’INTERPRETAZIONE DI BOHR
1. deve essere continua
2. La derivata seconda della deve essere definita
3. deve essere a valore singolo
4. deve essere ovunque finita; altrimenti non potrebbe essere normalizzata
2
L’ INTERPRETAZIONE DI BORN E I VINCOLI SULLA
Una particella può avere solo certi valori dell’Energia, altrimenti la sarebbe fisicamente inaccettabile
ENERGIA QUANTIZZATA
I vincoli impediscono di trovare soluzioni accettabili dell’equazione di Schrödinger per valori arbitrari dell’Energia
1. HA UNA INTERPRETAZIONE
2. HA DEI VINCOLI
3. CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA
COME OTTENIAMO
ALTRE INFORMAZIONI
(OLTRE ALLA POSIZIONE)
DALLA Ψ
?
• Le proprietà misurabili di un sistema fisico sono dette “osservabili”
• Un’osservabile può essere una proprietà statica: massa, durezza, colore, …
• Un’osservabile può essere una variabile dinamica: posizione, momento lineare, … che caratterizza i cambiamenti di stato di un sistema
Ad ogni osservabile della meccanica classica corrisponde un operatore in meccanica quantistica
2o POSTULATO
)()(ˆ xgxfA Definizione generale di operatore
Un operatore è una regola che trasforma una funzione in un’altra funzione
x x
cosx x cos()
3f f 3
(x)f' f dx
d
f(x)A f Funzione A Operatore
La nuova funzione g(x) può essere diversa dalla funzione originale f(x).
)cos()sin( kxkkxdx
d
Se la nuova funzione è un multiplo della funzione originale:
 f(x) = λ f(x)
f(x) è detta essere un’autofunzione dell’operatore  con associato autovalore λ
kxkx keedx
d Operatore d/dx
sin(kx) non è un’autofunzione
ekx è un’autofunzione e l’autovalore associato è k
OSSERVABILE OPERATORE
POSIZIONE x
MOMENTO px
ECINETICA
EPOTENZIALE V(x)
ETOTALE E=T+V
m
pT x
2
2
x
xp
T
V
H
x
dx
di
2
22
2 dx
d
m
)(2 2
22
xVdx
d
m
V(x)
COME SI OTTENGONO LE INFORMAZIONI (OLTRE LA POSIZIONE) DALLA ?
3
3o POSTULATO
iii ˆ
In ogni osservazione dell’osservabile associata all’operatore Ω, i soli valori che si possono misurare sono gli autovalori ωi che soddisfano all’equazione agli autovalori
Autovalori ed autofunzioni
(operatore)(autofunzione) = (autovalore)(autofunzione)
(operatore)(funzione) = (costante)(stessa funzione)
Risolvere l’equazione di Schrödingervuol dire trovare gli autovalori e le autofunzioni dell’operatore Hamiltoniano per il sistema
Se l’operatore è l’operatore Hamiltoniano, l’equazione agli autovalori è l’equazione di Schrödinger
EH
OPERATORE HAMILTONIANO
x d
dipx ˆ
ikxikx
ikx kedx
deiep = ˆ
OPERATORE MOMENTO LINEARE
La componente px del momento lineare della particella
è data da:
V=0 particella libera.
1) Autofunzione Ψ+(x)=eikx
2) Autofunzione Ψ-(x)=e-ikx
ikxikx
ikx kedx
deiep
-= ˆ
Autovalore px = kħ
Particella si muove per x crescenti
Autovalore px = -kħ
Particella si muove per x decrescenti
sin(x) sin(2x)
ORTOGONALITA’ DELLE FUNZIONI DI STATI DIVERSI
2
0
0)2sin()sin( dxxx
0 dji
sin(x) e sin(2x) sono autofunzioni di d2/dx2 con autovalori -1 e -4
OPERATORE ENERGIA CINETICAE
CURVATURA DELLA
ALTA CURVATURAALTA ENERGIA CINETICA
BASSA CURVATURABASSA ENERGIA CINETICA
In matematica la derivata seconda di una funzione è una misura della sua curvatura
2
22
2ˆ
dx
d
mT
REGIONE CON ALTO CONTRIBUTO A T
REGIONE CON BASSO CONTRIBUTO A T
POSIZIONE x
EN
ER
GIA
ENERGIA CINETICA T
PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE
A
B
DESCRIZIONE
CLASSICA QUANTISTICA
PA A PA=|A|2
PB B PB=|B|2
1 FENDITURA
2 FENDITURE
B
A
A
B
DESCRIZIONE CLASSICA
PAB = PA + PB
DESCRIZIONE QUANTISTICA
AB = A + B
PAB = |A + B|2 =
|A|2 + |B|2 + A* B+B
* A
PA PB interferenza
Importante :
in nessun modo possiamo predire dove un elettrone colpirà lo schermo.
Possiamo solo predire probabilità.
PARTICELLA LIBERA
• MOTO PER x CRESCENTI + = exp(ikx)
• DECRESCENTI - = exp(-ikx)
Una misura del momento lineare della particella dà
+kħ se = + = exp(ikx) oppure
-kħ se = - = exp(-ikx).
Inizialmente non conosciamo se la particella si muove per x crescenti o decrescenti. Poiché entrambe le direzioni sono ugualmente probabili, non possiamo predire in che direzione la particella si muove.La funzione che la descrive non è quindi un’autofunzione.Una funzione d’onda arbitraria può essere espressa come combinazione lineare delle autofunzioni.
= c+ + + c- -
ikxikx
ikx kedx
deiep = ˆ
Una misura del momento lineare della particella dà o +kħ o –kħ, ma non sappiamo quale.
Possiamo soltanto predire che la probabilità che dia +kħ è |c+|2
Non conosciamo in che stato è il sistema finché non lo osserviamo
Immediatamente dopo la misura, la funzione d’onda è una delle autofunzioni dell’operatore. La misura cambia la funzione d’onda Ψ del sistema nell’autofunzione Ψ+ (o Ψ-) dell’operatore momento lineare con autovalore +kħ (o -kħ)
Ψ+
Ψ misura Ψ-
COLLASSO DELLA FUNZIONE D’ONDA
Un sistema quantistico è descritto da una sovrapposizione di statiSolo dopo la misura il sistema assume uno stato definito.
SHUT UP AND CALCULATE
R. Feynman
Gatto di Schrödinger
4o POSTULATO
dτΨΩΨΩ *
Il valore atteso è la media pesata di un gran numero di osservazioni della proprietà eseguite su un insieme di sistemi preparati in modo identico.
Se il sistema è descritto da un’autofunzione Ψ che non è un’autofunzione dell’operatore Ω, il valore medio o valore atteso dell’osservabile è dato da
Se uno fa un gran numero di misure di Ω su un insieme di sistemi preparati in modo identico, ottiene un insieme di valori ω1, ω2, …, ωN.
La media di Ω è data dalla regola:
Il 4o postulato della meccanica quantistica afferma che l’integrale e la sommatoria danno lo stesso valore, che è il valore atteso.
N
iiN 1
1
ii*ii
ii*ii
*i
ωdτΨΨω
dτΨωΨdτΨΩΨΩ
Se è un’autofunzione di Ω
iii
i
ΨωΨΩ
ΨΨ
ˆ
Ogni osservazione di Ω da come risultato ωi
<Ω> = ωi
Se non è un’autofunzione di Ω 2211 ΨcΨcΨ
dτΨΨωccdτΨΨωcc
dτΨΨωccdτΨΨωcc
dτΨωcΨωc*ΨcΨc
dτΨcΨc*ΨcΨc
dτΨcΨcΩ*ΨcΨc
2*122
*11
*211
*2
2*222
*21
*111
*1
2221112211
22112211
22112211
2
221
21 ωcωc 1 0
1. Quando Ω è misurato su un singolo membro di un insieme, il risultato è uno degli autovalori di Ω, ma non può essere predetto in anticipo.
2. L’autovalore ωi sarà ottenuto in una singola misura con probabilità ci
2.
3. Per singole misure ci sono specifici valori di Ω che sono possibili, ω1, ω2, …, ωN, ma su un insieme il valore atteso di < Ω > può essere un valore continuo.
iic
dτΨΩΨΩ * ˆ
iii ˆ
Postulato 1: una particella è descritta mediante una funzione d’onda (r,t)
Postulato 2: ad ogni osservabile della meccanica classica corrisponde un operatore in meccanica quantistica
Postulato 3:
Postulato 4:
POSTULATI
H(ri)(ri)= E(ri)
i=1,3N
"The underlying physical laws necessary for the mathematical theory of..the whole of chemistry are thus completely known, and the difficulty is only that the exact application of these laws leads to equations much to complicated to solve."
P.A.M. Dirac (1929)
Un elettrone in moto attorno al nucleoMoto circolare : l’elettrone acceleraCariche accelerate emettono radiazione
L’elettrone perde energiaCade sul nucleo in circa 10-9 secondiVariando il moto la frequenza emessa varia
con continuitàIl modello planetario non conduce ad atomi
stabili
+Ze
-e
F
ATOMO e FISICA CLASSICA
Alla particella è associata un’onda
(a) Solo onde di lunghezza d’onda opportuna possono generare onde stazionarie (chiudendosi su se stesse danno interferenza positiva)
(b) Altrimenti le onde danno interferenza negativa e si annullano
= h/mv solo certi valori di energia esistono
ATOMO e MECCANICA QUANTISTICA
Supponiamo di conoscere esattamente il momento della particella
Ψ(x) = Aeikx la particella si muove verso destra con momento px = +kħ.
Quale è la posizione della particella? Ψ* Ψ = A2 e-ikx eikx = A2
C’è una ugual probabilità di trovare la particella in qualunque punto dell’asse x
CONCLUSIONE:Conosciamo il momento della particella esattamente
Ma non sappiamo NULLA sulla sua posizione
Supponiamo di conoscere esattamente la posizione della particella
Posizione della particella
• Per ottenere una localizzata occorre fare una combinazione lineare di funzioni sin(kx) o cos(kx) (oppure eikx e e-ikx) con diversi k
• Ogni funzione eikx corrisponde ad un diverso momento lineare
• Più localizziamo la particella meno conosciamo il suo momento
CONCLUSIONE:Conosciamo la posizione della particella esattamente
Ma non sappiamo NULLA del suo momento
Fotone
Fotone
Microscopio
Microscopio
Elettrone
Elettrone
PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI HEISENBERG
Illuminiamo l’elettrone e riveliamo la luce riflessa con un microscopio
L’incertezza minima sulla posizione è determinata dalla lunghezza d’onda della luce
Per determinare la posizione accuratamente, è necessario usare luce di lunghezza d’onda corta
E = hν =hc/λ, un fotone con lunghezza d’onda corta ha energia grande
Quindi tramette un ‘impulso’ grande all’elettrone
Ma per determinare il suo momento accuratamente, l’elettrone deve ricevere un ‘impulso’ debole
Questo vuol dire usare luce di lunghezza d’onda lunga
Luce di lunghezza d’onda corta:
misura accurata della posizione, ma non del momento
Luce di lunghezza d’onda lunga:
misura accurata del momento, ma non della posizione
Misura della posizione di un elettrone
L’azione di misurare influenza l’elettrone, viene trasmesso un impulso e viene disturbata la posizione ed il momento della particella. Essenza del principio di indeterminazione.
Misure della posizione
L’esperimento assume che, mentre prima dell’osservazione abbiamo valori ben definiti, è l’atto di misurare che introduce l’incertezza disturbando la posizione e il momento della particella.
Oggigiorno l’opinione prevalente è che l’incertezza quantistica (la mancanza di determinismo) sia intrinseca alla teoria.
Ruolo dell’Osservatore in Meccanica Quantistica
• L’osservatore non è obiettivo e passivo
• L’atto di osservare cambia il sistema fisico irrevocabilmente
• Questo è noto come realtà soggettiva
PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI HEISENBERG
• E’ impossibile specificare SIMULTANEAMENTE sia la posizione che il momento di una particella
• L’ interpretazione quantitativa del principio di indeterminazione è:
2 xpx
Indeterminazione nel momento
Indeterminazione nella posizione
posizione momento
Se x oppure px tendono a zero, l’altra osservabile deve tendere ad infinito.
/ 2
/ 2
/ 2
x
y
z
x p
y p
z p
Non possiamo determinare esattamente e simultaneamente variabili ‘coniugate’ come posizione e momento.
0yx p Tuttavia
Una precisione arbitraria è possibile in linea di principio per la posizione in una direzione e il momento in un’altra
…
Implicazioni
E’ impossibile conoscere simultaneamente ed esattamente sia la posizione che il momento,
cioè Δx=0 e Δp=0
Queste incertezze sono inerenti nel mondo fisico e non hanno nulla a che fare con l’abilità dell’osservatore
Poiché h è così piccolo, queste incertezze non sono osservabili nelle normali situazioni di ogni giorno
Il tempo e l’energia
Se un sistema permane in uno stato per un tempo t, l’energia di questo sistema non può essere determinata più accuratamente di un errore E.
2
tE
Questa indeterminazione è di importanza fondamentale in spettroscopia
Un elettrone in n = 3 decade spontaneamente ad un livello inferiore dopo una vita media ½ ~ 10-8 s
Le transizioni fra i livelli energetici degli atomi non sono linee perfettamente sottili in frequenza.
n = 3
n = 2
n = 1
32E h
32
Inte
nsi
tà
Frequenza
32Esiste una corrispondente ‘dispersione’nelle frequenza emesse.
Larghezza naturale della linea
Se la costante di Planck fosse molto più grande...
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