mechanics of materialschaosuan.me.engr.tu.ac.th/chaosuan2/handouts_me210_files/lecture-3.pdf · •...

กลศาสตรวัสดุMechanics of Materials

รองศาสตราจารย์ ดร. ชาวสวน กาญจโนมัยภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์

มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์

Monday, February 27, 2012

สัปดาหที่ เนื้อหา เอกสาร (หนา)

1 นิยามและหลักการเบื้องตนของความเคนและความเครียด 1 - 14

2 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับแรงตามแนวแกน 1 15 - 28

3 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับแรงตามแนวแกน 2 29 - 48

4 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับแรงบิด 1 49 - 78

7 สอบกลางภาค

แผนการบรรยาย

รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร

ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับแรงบิด

• แรงบิด

• การบิดในคานทรงกระบอก (torsion of circular bars)

• คานทรงกระบอกกลวง (hollow-circular bar)

• การบิดของคานที่มีสมบัติไมสม่ำเสมอ (nonuniform torsion)

• การเฉือนบริสุทธ์ิ (pure shear)

• การสงกำลังโดยเพลา (transmission of power by circular shafts)

• ปญหาที่แกไมไดดวยสมการสมดุลของโครงสรางที่รับแรงบิด (statically indeterminate torsional members)

หัวขอบรรยาย

• โครงสรางมีลักษณะตรง มีพื้นที่หนาตัดคงที่ตลอดความยาว (prismatic bar)

• สมบัติของวัสดุคงที่ในทุกๆ ตำแหนงและทิศทางของโครงสราง (homogeneous and isotropic)

• วัสดุกระจายของอยางตอเนื่อง ไมมีชองวางใดๆ

• แรงคูควบ (couple) ทำใหเกิดการบิดรอบแกนหลัก (longitudinal axis)

• T คือ แรงบิด (torque), แรงคูควบ (twisting couple) หรือ โมเมนตบิด (twisting moment).

3.1 การบิดในคานทรงกระบอก (torsion of circular bars)

• ทรงกระบอกที่ถูกแรงบิด (T) กระทำที่ปลายทั้งสองโดยไมมีแรงอื่นมากกระทำ หรือ "pure torsion"

• แรงบิดจะทำใหโครงสรางเกิดการบิดเปลี่ยนรูป โดยพื้นที่หนาตัดยังคงที่และรัศมียังเปนเสนตรงอยู

• คือมุมที่มีการบิด

(angle of twist)

• พิจารณารอยตัด dx พบวาความเครียดเฉือน (shear strain, ) เปน

• โดย d/dx คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงมุมบิด (angle of twist) เมื่อเทียบกับ

ระยะ x หรือมุมบิดตอหนึ่งหนวยความยาว (angle of twist per unit length, )

• แต bb' มีคาเทากับความยาวฐานในสามเหลี่ยม bb'o สง

ผลให bb' = r.sin(d) = r.d และ ab = dx ดังนั้น

• ในกรณีที่โครงสรางรับแรงบิดเทานั้น (pure torsion) มุมบิดตอหนึ่งหนวยความยาว () จะมีคาคงที่ตลอดความ

ยาวของโครงสราง, = d/dx = /L

• ในกรณีคานทรงกระบอกที่รับแรงบิดแสดงพฤติกรรมแบบอิลาสติกเชิงเสน (linear elastic) ชิ้นสวนความเคน (stress element) abcd แสดงพฤติกรรมตามกฎของฮุก (Hooke's Law) โดย G คือ โมดูลัสอิลาสติกเฉือน

• ในกรณีชิ้นสวนความเคนที่อยูหางจากเสนแนวแกนเปนระยะ พบวา:

• ความเคนและความเครียดในคานทรงกระบอกที่รับแรงบิดมีการเปลี่ยนแปลงแบบเชิงเสน มีคาเปนศูนยที่เสนแนวแกน และมีคามากที่สุดที่ผิวนอก

• เมื่อพิจารณารอยตัด dx ของคานทรงกระบอกในสามมิติพบวา สมดุลของแรงแสดงไดโดย:

ความเคนเฉือนบนระนาบตัดขวาง (cross section plan) = ความเคนเฉือนบนระนาบตามแนวแกน (longitudinal plane)

• จากสมการสมดุลพบวาแรงคูควบ (couple) ที่เกิดจากความเคนเฉือนบนรอยตัดขวาง (cross section) เทากับแรงบิดจากภายนอก (torque, T) ที่มากระทำ

• กำหนดให dF คือแรงเฉือนที่กระทำบนพื้นที่เล็กๆ dA โดย

• แรงบิดรวม (total torque) ที่กระทำบนระนาบตัดขวาง

• กำหนดให Ip คือ โมเมนตอินนีเชียเชิงขั่ว (polar moment of inertia)

• วงกลมรัศมี r โมเมนตอินนีเชียเชิงขั่ว (polar moment of inertia) เปน

• มีหนวยเปน m4 หรือ in4

torsional stiffness

torsional flexibility

• torsional stiffness คือแรงบิด (torque) ที่ใชในการหมุนคานทรงกระบอกยาว L ใหมีมุมเปลี่ยนไป 1 หนวย

• ความเคนเฉือนสูงสุดในทรงกระบอกรับแรงบิด

3.2 คานทรงกระบอกกลวง (hollow-circular bar)

• ความเคนเฉือนในคานทรงกระบอกจะมีคามากที่สุดที่ผิวดานนอกและลดลงจนมีคาเปนศูนยที่แกนกลาง

• การใชทรงกระบอกกลวงสามารถลดน้ำหนักหรือควบคุมปริมาณวัสดุ โดยยังรักษาความสามารถในการรับแรงบิด

โดย

• ในกรณีที่ความหนา (thickness, t) << รัศมี (radius, r) โดย r คือรัศมีเฉลี่ย และ d คือเสนผาศูนยกลางเฉลี่ย

• ในการวิเคราะหทรงกระบอกกลวง (hollow circular bar) จะตองคำนึงถึงการยุบตัว (buckling) และการยน (wrinkling) ของผนังดวย

3.3 การบิดของคานที่มีสมบัติไม่สม่ำเสมอ (nonuniform torsion)

• กรณีที่โครงสรางประกอบดวยทรงกระบอกหลายๆ ขนาด หรือทำจากวัสดุตางๆ กัน และมีแรงบิดมากระทำแตกตางกัน

• โดย i คือลำดับของสวนประกอบ และ n คือจำนวนสวนประกอบทั้งหมด

ตัวอยางที่ 3.1 เพลา ABCD มีเสนผาศูนยกลาง 75 มม หมุนอยางอิสระ โดยที่จุด B และ C มีแรงบิด T1 = 2.25 และ T2 = 1.4 kN.m มากระทำ จุด A ยึดติด

อยูกับที่ จงหา (1) max ในแตละสวนของเพลาและ (2) มุมทั้งหมดที่มีการบิดไป

() โดย L1 = 0.5 เมตร, L2 = 0.75 เมตร, L3 = 0.5 เมตร, และ G = 75 GPa

• พิจารณาแรงบิดจากแผนภูมิรูปรางของวัตถุ (free body diagram, FBD) พบวา

• พิจารณาความเคนเฉือนจาก FBD พบวา

• พิจารณาการเปลี่ยนแปลงรูปรางจาก FBD พบวา

• กรณีพื้นที่หนาตัดและแรงบิดมีการเปลี่ยนแปลงอยางตอเนื่อง โดย q(x) คือแรงบิดตอหนึ่งหนวยความยาว และ T(x) คือแรงบิดที่เกิดบนรอยตัดขวางที่ระยะ x จากจุดยึด

ตัวอยางที่ 3.2 เพลาเอียง AB ซึ่งมีเสนผาศูนยกลางลดลงอยางตอเนื่อง จาก da เปน db ถูกกระทำดวยแรงบิด (torque, T) ที่ปลายทั้งสองขาง จงหามุมที่มีการ

บิดไป () ของเพลา

• พิจารณาแรงบิดจากแผนภูมิรูปรางของวัตถุ (free body diagram, FBD) พบวา

• จากตารางอินทิกรัล (integral table)

• แทนคา และ

3.4 การเฉือนบริสุทธ์ิ (pure shear)

• ความเคนเฉือน (shear stress) เทานั้นที่เกิดบนชิ้นสวนความเคน เรียกกรณีนี้วา การเฉือนบริสุทธิ (pure shear)

• พิจารณาระนาบเอียง (inclined plane) บนชิ้นสวนความเคนพบวา ความเคนตั้ง

ฉาก (normal stress, ) และความเคนเฉือน (shear stress, ) มากระทำ

• Ao คือพื้นที่หนาตัดของชิ้นสวนความเคน (stress element)

แทน

• ชิ้นสวนความเคน (stress element) ไมเปลี่ยนแปลงขนาดและความหนา ภายใตการเฉือนบริสุทธ์ิ (pure shear) ดังนั้น ชิ้นสวนความเคนเกิดการเปลี่ยนแปลงรูปรางเพียงอยางเดียว โดยเรียกกรณีนี้วาการเปลี่ยนแปลงรูปรางจากการเฉือน (shear distortion)

• กรณีที่ชิ้นสวนความเคนมีการหมุนไป 45° พบวาเปนกรณีของความเคนตั้งฉากสูงสุด (maximum normal stress) ซึ่งไมมีความเคนเฉือนเกิดขึ้น ดังนั้นจึงไมเกิดการเปลี่ยนแปลงรูปรางจากการเฉือนแตจะเกิดการเปลี่ยนแปลงขนาดของชิ้นสวนความเคนแทน

ตัวอยางที่ 3.3 จงหาคาสูงสุดของความเคนดึง อัด และเฉือน ที่จุด A และ B

ที่จุด A

ที่จุด B

3.5 การส่งกำลังโดยเพลา (Transmission of power by circular shafts)

• เพลาสามารถสงกำลังผานการหมุนในรูปของแรงบิด (torque) และความเร็วรอบ ซึ่งเพลาจะตองมีขนาดที่เหมาะสมจึงสามารถที่จะสงกำลังไดโดยมีความเคนไมมากเกินความแข็งแรงของวัสดุ

• กำหนดให W คือ งาน (work, N.m, J หรือ ft.lb), T คือ แรงบิด (torque, N.m หรือ

ft.lb), คือ มุมบิด (angular rotation, radian), P คือ กำลัง (power, W, N.m/s,

J/s หรือ ft.lb/s), และ คือความเร็วเชิงมุม (angular speed, rad/s) ดังนั้น

• กรณีที่ใชความถี่ (frequency, cycle/s, Hz) แทนความเร็วเชิงมุม

• กรณีที่ใชจำนวนรอบตอนาที (revolution per minute, rpm, n) แทนความเร็วเชิงมุม

P = 2nT60

• ใชหนวยแรงมา (Horsepower, hp) แทนหนวยกำลัง

P = 2nT60

• โดย 1 hp ~ 746 N.m/s

3.6 ปัญหาที่แก้ไม่ได้ด้วยสมการสมดุลของโครงสร้างที่รับแรงบิด (statically indeterminate torsional members)

• กรณีที่แรงบิดตางๆ ที่เกิดบนโครงสรางไมสามารถคำนวณไดจากสมการสมดุล ดังนั้นจึงจำเปนตองอาศัยความสัมพันธของการบิดจาก compatibility equation มาใชในการคำนวณ โดยในกรณีของการบิดจะใช flexibility method

• ความเคนเฉือนสูงสุด

• มุมบิดของจุด C (c) ไดจาก

• ในกรณีที่

โครงสร้างผสม (composite bar)

• โครงสรางยาว L ประกอบจากชิ้นสวนที่ทำจากวัสดุที่แตกตางกันและมีแกนกลางรวมกัน มาประกอบเขาดวยกันโดยไมเกิดไถล (slip) ระหวางรอยตอ

• Ga และ Ga คือ โมดูลัสเฉือนของ A และ B

• da และ da คือ เสนผาศูนยกลางของ A และ B

• Ipa และ Ipb คือ โมเมนตอินนีเชียเชิงขั่วของ A และ B

• กำหนดใหโครงสรางผสมรับแรงบิด (torque, T) โดยใหเกิด Ta บนแกน และ Tb บนทอรอบนอก ดังนั้น

• เนื่องจากแกน A และทอรอบนอก B ติดกันอยางสนิท (no slip) ดังนั้นมุมบิดของทั้งสองสวนจึงเทากัน

• จากสมการสมดุลและมุมบิดที่เทากันของ A และ B (compatibility equation)

• ความเคนเฉือนสูงสุดของแกน A และทอรอบนอก B เปน

• ที่ผิวดานในของ B ไมจำเปนตองเทากับ ที่ผิวดานนอกของ A เนื่องจาก

เทากันแตทำจากวัสดุตางชนิดกัน

สรุปการบรรยาย

1) ประแจเหล็กยาว 450 มม. เสนผาศูนยกลาง 12 มม. ถาความเคนเฉือน

ที่เหล็กรับไดเปน 76 MPa จงหาแรงบิด (torque, T) สูงสุดที่ประแจนี้

สามารถรับได และมุมบิด () ที่เกิดขึ้นเมื่อมีแรงบิดสูงสุดมากระทำ

กำหนดให G = 81 GPa

การบาน 6

2) แทงโลหะทรงกระบอกสามชิ้นถูกเชื่อมติดบนระนาบเดียวกัน เสนผา

ศูนยกลางของแทงทรงกระบอกเปน d1 = 10 มม. และเสนผาศูนยกลางของ

แผนวงกลมที่ปลายแทงทรงกระบอกเปน d2 = 75 มม. ถาแรง P1 = 100 N

จงหาขนาดและตำแหนงของความเคนเฉือนสูงสุดที่เกิดขึ้น

3) ทรงกระบอกกลวง เมื่อมีแรงบิด T = 600 N.m มากระทำที่ปลายทั้งสอง

ขาง เกิดมุมบิด = 3.57o จงหาโมดูลัสอิลาสติกซิตี้เฉือนของวัสดุที่ใชทำ

ทางกระบอกกลวงนี้

4) แทงทรงกระบอกรัศมี r เมื่อถูกเจาะรูรัศมี r ทะลุตามแนวแกนหลัก จง

หา (a) รอยละการลดลงของพื้นที่หนาตัด, (b) รอยละการลดลงของแรงบิดที่

แทงทรงกระบอกสามารถรับได และ (c) กราฟแสดงความสัมพันธระหวาง

กับคาใน (a) และ (b)

5) เพลาเหล็ก ABC มีขนาดดังรูป ถาแรงบิด T = 400 N.m และเหล็กมีคา

โมดูลัสเฉือน G = 84 GPa จงหาขนาด d ที่เล็กที่สุดที่ทำใหมุมบิด

ระหวาง AC ไมเกิน 5o

6) ถาเพลาตัน (รูปดานบน) และเพลากลวง (รูปดานลาง) มีความยาวเทากัน

ทำจากวัสดุเดียวกัน และมี torsional stiffness (GIP/L) เทากัน จงคำนวณหา

เสนผาศูนยกลาง d

7) เพลาเอียง AB มีความหนาคงที่ t และยาว L ดังรูป โมเมนตอินนีเชียใน

กรณีผนังบาง จงหามุมบิด ในกรณีที่มีแรงบิด T

มากระทำที่ปลายของเพลา

8) จงคำนวณหาคาสูงสุดและทิศทางของความเคนดึง ความเคนอัด และ

ความเคนเฉือนที่เกิดในเพลา ดังรูป

9) ถาความเครียดตั้งฉากในทิศทาง 45o บนผิวของทอกลวงเปน

1,860x10-6 เมื่อมีแรงบิด T = 200 N.m มากระทำ ถาเสนผาศูนยกลาง

ภายนอกเปน 20 มม. จงคำนวณหาเสนผาศูนยกลางภายใน d เมื่อวัสดุ

ที่ใชทำทอกลวงมี G = 47 GPa และ = 0.33

10) ทรงกระบอกที่ติด strain gage ที่ผิวดังรูป เมื่อรับแรงบิด T = 1,200 N.m

strain gage อานคาได = 305x10-6 จงหาโมดูลัสเฉือนของวัสดุที่ใชทำเพลา

13) มอเตอร A สงกำลัง 300 kW ที่ 3.2 Hz โดยเฟอง B และ C มีกำลัง 120

และ 180 kW ตามลำดับ L1 = 1.5 ม. และ L2 = 0.9 ม. จงหาขนาดของเสนผา

ศูนยกลางของเพลา d เมื่อขีดจำกัดของความเคนเฉือนและมุมบิดของเพลา

ระหวางจุด A และ C เปน 50 MPa และ 0.02 เรเดียน โดย G = 75 GPa

14) เพลาตัน AD ถูกยึดที่จุด A และ D รับแรงบิด To จงหา Ta, Tb, มุมบิดที่จุด

B (b) และจุดกึ่งกลางของเพลา (m)

18) ทอเหล็กถูกเชื่อมติดอยางสนิทกับเพลาทองเหลือง โดยมีเสนผาศูนยกลาง

ภายในและภายนอกเปน 50 และ 60 มม. ตามลำดับ โดยโมดูลัสเฉือนของ

เหล็กและทองเหลืองเปน Gs = 80 GPa และ Gb = 40 GPa ตามลำดับ เมื่อ

เพลาไดรับแรงบิด T = 3200 N.m จงคำนวณหา (a) ความเคนเฉือนสูงสุดใน

เหล็กและทองเหลือง (s และ b) และ (b) มุมบิดที่เกิดขึ้น ()

จบการบรรยาย

3.5 ความสัมพันธ์ระหว่างโมดูลัสความยืดหยุ่น (E) กับโมดูลัสเฉือน (G)

• ถากำหนดใหโครงสรางมีพฤติกรรมแบบอิลาสติก และชิ้นสวนความเคนอยูในสภาพความเคนเฉือน (pure shear) ชิ้นสวนความเคนจะมีการเปลี่ยนแปลงรูปราง โดยดาน bd จะยาวขึ้นจากเดิมและดาน ac จะหดสั้นลง

• โดย max คือความเครียดตั้งฉากในทิศทาง 45o

mechanics of materialschaosuan.me.engr.tu.ac.th/chaosuan2/handouts_me210_files/lecture-3.pdf · •...

Documents

cee 271: applied mechanics ii, dynamics lecture 25: ch.17...

lecture 16: fluid mechanics -...

group theory in quantum mechanics lecture 15 spectral...

mechanics of materials...

university physics: mechanics ch6. friction lecture 9...

mechanics of materials...

mae 3130: fluid mechanics lecture 5: fluid kinematics spring...

quantum mechanics and atomic orbitals e = hν...

quantum mechanics: lecture notes

properties/mechanics of materials...

lecture-1 -...

quantum mechanics...quantum mechanics lecture 2. 2 recall...

classical mechanics lecture 14 · constant...

nastanak kvantne teorije - quantum mechanics 1 - lecture 1

pharos university me 259 fluid mechanics lecture # 5 dr. a....

rock mechanics & experiment...

classical mechanics - university of california, los …...

physics 218: mechanics instructor: dr. tatiana erukhimova...

lecture 11: potential energy functions...• potential...

2.29 numerical fluid mechanics lecture 23 slides