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Medida de ángulos Ejercicio nº 1.- a� Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210q y 70q
rad53, yrad6
7 :ángulos los grados a Pasab) S
Ejercicio nº 2.- Completa la siguiente tabla:
Ejercicio nº 3.-
3 y6
5:radianes en dados ángulos siguientes los grados en Expresa a) S
b� Expresa en radianes los ángulos: 225q y 100q Ejercicio nº 4.- Completa la tabla:
Ejercicio nº 5.- a� Pasa a radianes los siguientes ángulos: 60q y 125q
rad 52, yrad 5
2 ángulos los grados a Pasa b) S :
Razones trigonométricas
Ejercicio nº 6.- Calcula las razones trigonométricas de 140q y de 220q, sabiendo que:
0,844077;0,4064;0,40 $$$ tgcossen
Ejercicio nº 7.- Sabiendo que sen 50q 0,77, cos 50q 0,64 y tg 50q 1,19, calcula �sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora�:
$$$$ 310 d)230 c)310 b)130 a) sencostgcos
Ejercicio nº 8.- Sabiendo que sen 25q 0,42, cos 25q 0,91 y tag 25q 0,47, halla �sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora� las razones trigonométricas de 155q y de 205q. Ejercicio nº 9.- Si sen D 0,35 y 0q < D < 90q halla �sin calcular D�:
� � � �αcosαsen �� $$ 180 b)180 a) Ejercicio nº 10.-
:)hallar (sin calcula cuadrante, primer el en está que ángulo un esy31Si αααtg
� � � � � � � �αtgαtgαtgαtg ���� $$$$ 360 d)360 c)180 b)180 a)
Expresiones trigonométricas Ejercicio nº 11.- Demuestra que:
xsenxsenxcos
xsenxcos
xcosxsen
22441
1 ��
�
��
Ejercicio nº 12.- Demuestra la igualdad:
xcosxcosxsen
x2tgxsen 2
�2
Ejercicio nº 13.- Demuestra que:
12
2 2 �xsenxcos
Ejercicio nº 14.- Demuestra la siguiente igualdad:
� � xsenxsenxcos
xcosxcosxsen 212�
���
Ejercicio nº 15.- Demuestra la siguiente igualdad:
2xtgxsenxcos
xcosxsen21
22 �
Ecuaciones trigonométricas Ejercicio nº 16.- Resuelve la siguiente ecuación:
0xsenxsenxsen � 222
Ejercicio nº 17.- Resuelve la ecuación:
0212 2 �� xsenxcos
Ejercicio nº 18.- Resuelve:
xsenxcosxcosxcos 333 � Ejercicio nº 19.- Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:
xsenxcosxcosxsen 22122 � �� Ejercicio nº 20.- Resuelve la ecuación:
xcosxcos 3124 �
Soluciones Medida de ángulos Ejercicio nº 1.- a� Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210q y 70q
rad53, yrad6
7 :ángulos los grados a Pasab) S
Solución:
rad67rad
180210210 a) S
S
� $
rad
187rad
1807070 S
S
� $
$$
2101806
7rad6
7 b) S
�S
S
"7'3220018053rad53 $
$
S
� ,,
Ejercicio nº 2.- Completa la siguiente tabla:
Solución:
rad367rad
1803535 S
S�
$
rad32120120180
32rad
32 S
o S
�S
S $$
$
"30'351141802rad2 $$
S
�
Por tanto:
Ejercicio nº 3.-
3 y6
5:radianes en dados ángulos siguientes los grados en Expresa a) S
b� Expresa en radianes los ángulos: 225q y 100q
Solución:
$$
15018065rad
65 a)
S�
S
S
"14'531711803rad3 $
$
S
�
rad4
5rad180
225225 b) S
S� $
rad
95rad
180100100 S
S
� $
Ejercicio nº 4.- Completa la tabla:
Solución:
rad1813rad
180130130 S
S
� $
$
$
24018034rad
34
S
�S
S
rad
611rad
180330330 S
S
� $
"37'568518051rad51 $$
S
� ,,
Por tanto:
Ejercicio nº 5.- a� Pasa a radianes los siguientes ángulos: 60q y 125q
rad 52, yrad 5
2 ángulos los grados a Pasa b) S :
Solución:
rad3
rad1806060a) S
S�
$
rad
3625rad
180125125 S
S
$
$$
7218052rad
52 b)
S�
S
S
"22'1414318052rad52 $
$
S
� ,,
Razones trigonométricas
Ejercicio nº 6.- Calcula las razones trigonométricas de 140q y de 220q, sabiendo que:
0,844077;0,4064;0,40 $$$ tgcossen Solución:
:entonces ,40180220 y 40180140 Como $$$$$$ � �
84040140
77040140
64040140
,tgtg,coscos
,sensen
� �
� �
$$
$$
$$
84040220
77040220
64040220
,tgtg,coscos,sensen
� �
� �
$$
$$
$$
Ejercicio nº 7.- Sabiendo que sen 50q 0,77, cos 50q 0,64 y tg 50q 1,19, calcula �sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora�:
$$$$ 310 d)230 c)310 b)130 a) sencostgcos Solución:
� �� � 1915050360310 b)
64050150180130 a)
,tgtgtg
,coscoscos
� � �
� � �
$$$$
$$$$
� �� � 7705050360310 d)
6405050180230 c)
,sensensen
,coscoscos
� � �
� � �
$$$$
$$$$
Ejercicio nº 8.- Sabiendo que sen 25q 0,42, cos 25q 0,91 y tag 25q 0,47, halla �sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora� las razones trigonométricas de 155q y de 205q. Solución:
:entonces ,25180205 y 25180155 Como $$$$$$ � �
47025155
91025155
42025155
,tgtg,coscos
,sensen
� �
� �
$$
$$
$$
47025205
91025205
42025205
,tgtg,coscos,sensen
� �
� �
$$
$$
$$
Ejercicio nº 9.- Si sen D 0,35 y 0q < D < 90q halla �sin calcular D�:
� � � �αcosαsen �� $$ 180 b)180 a) Solución:
� � 350180 a) ,sensen � DD$
� � D� D� coscos $180 b)
Necesitamos saber cuánto vale cos D:
13501 2222 �o � DDD cos,cossen 87750112250 22 ,coscos, o � DD
)900 pues positivo, (es 94,0 $$ �� DDcos
� � 940180 :tanto Por ,coscos � D� D�$
Ejercicio nº 10.-
:)hallar (sin calcula cuadrante, primer el en está que ángulo un esy31Si αααtg
� � � � � � � �αtgαtgαtgαtg ���� $$$$ 360 d)360 c)180 b)180 a) Solución:
� �31180 a) � � � DD tgtg $
� �
31180tg b) � DD tg$
� �
31360 c) � � � DD tgtg $
� �
31360 d) � DD tgtg $
Expresiones trigonométricas Ejercicio nº 11.- Demuestra que:
xsenxsenxcos
xsenxcos
xcosxsen
22441
1 ��
�
��
Solución:
� �� � �
��
��
� xsenxcosxcosxsen
xsenxcos
xcosxsen
111
1
22
�
��
����
22
21121 22
xcosxsenxsen
xcosxcosxsenxsen
xcoscosxsen
xsenxsenxcos
xsenxsenxcos
xsenxsen
xcos22
44
222
22
22
22�
�
��
�
�
Ejercicio nº 12.- Demuestra la igualdad:
xcosxcosxsen
x2tgxsen 2
�2
Solución:
� �xcosxsen
xcosxsenxsen
xcosxsen
xtgxsen 22
22
22
2
� � �
� �
xcosxsen
xcosxsenxsenxcosxsen
xcosxsen
xsenxcosxsen 2222
22
222
xcosxcosxcos
xcosxsenxsenxcos
xcosxsen
xcosxsenxcos
��
��
2222222
Ejercicio nº 13.- Demuestra que:
12
2 2 �xsenxcos
Solución:
¸¸¹
·¨¨©
§ �r� �
22
212
22 xcosxcosxsenxcos
112
12 �� ¸¹·
¨©§ �
� xcosxcosxcosxcos
Ejercicio nº 14.- Demuestra la siguiente igualdad:
� � xsenxsenxcos
xcosxcosxsen 212�
���
Solución: � � � � � �
� �� � ��
����
���
xsenxcosxsenxcosxcosxcosxsenxcosxsen
xsenxcosxcosxcosxsen 22
� � � �
���
�
��
xcosxcosxcosxsenxcosxsen
xsenxcosxcosxcosxsen
2222 22
22
2
xsenxcosxsenxcosxsenxcosxsen 2121222 � � �� Ejercicio nº 15.- Demuestra la siguiente igualdad:
2xtgxsenxcos
xcosxsen21
22 �
Solución:
�
� �
�
� xsenxcosxcosxsen
xsenxcos
xcosxsen
xsenxcosxcosxsen
2222222
212
21
xtgxcosxsen 2
21
22
21
�
Ecuaciones trigonométricas Ejercicio nº 16.- Resuelve la siguiente ecuación:
0xsenxsenxsen � 222 Solución:
022 2 �� xsenxsenxsen 022 2 �� xsenxcosxsenxsen
022 22 � xsenxcosxsen � � 012 2 �xcosxsen
°°¯
°°®
� o� o �
°̄°®
�
� o o
kxxcosxcos
kxkx
xsenxsen
$$
$$
$$
360180101
360180
3600002 2
Por tanto, las soluciones son:
Z�¯®
� k
kxkx siendo
360180360
$$
$
Ejercicio nº 17.-
Resuelve la ecuación:
0212 2 �� xsenxcos
Solución:
021
0212
222
2
���
��
xsenxsenxcos
xsenxcos
0
212 �xcos
212 xcos
22
21
r r xcos
°°°
¯
°°°
®
°̄
°®
�
� o�
�°̄
°®
�
� o
kx
kxxcos
kkx
kxxcos
$$
$$
$$
$$
360225
360135
22
siendo360315
36045
22
Z
Ejercicio nº 18.- Resuelve:
xsenxcosxcosxcos 333 � Solución:
xsenxcosxcosxcos 333 � 0333 �� xsenxcosxcosxcos
� � 0332 �� xsenxcosxcos � � 0331 2 ��� xsenxsenxcos � � 0232 ��� xsenxsenxcos � � 0232 ��� xsenxsenxcos
°¯
°®
��¯®
� � o
023360270
360900
2 xsenxsenkx
kxxcos$$
$$
°̄
°®
�
�o
r�
r�
�r�
vale) (no 2
1
213
213
2893
xsen
kxxsen $$ 3602701 � o�
Por tanto las soluciones son:
°̄
°®
��
� Z siendo
360270
36090k
kx
kx$$
$$
Ejercicio nº 19.- Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:
xsenxcosxcosxsen 22122 � �� Solución:
xsenxcosxcosxsen 22122 � �� xsenxcosxsenxcosxcosxsen 222 212 � ���
0212 222 ����� xsenxcosxsenxcosxcosxsen 012 22 ���� xcosxsenxcosxcosxsen
0112 ��� xcosxcosxsen 02 � xcosxcosxsen
� � 012 �xsenxcos
°°°
¯
°°°
®
¯®
� � o o �
�¯®
� � o
kxkxxx
kkx
kxx
$$
$$
$$
$$
36015036030
21sen01sen2
siendo 360270
360900cos
Z
Ejercicio nº 20.- Resuelve la ecuación:
xcosxcos 3124 � Solución:
� � xcosxsenxcosxcosxcos
314
312422 � �
�
� � xcosxcosxcosxcosxsenxcos
31144
314422
22
� ��
� �
0538
314442
22
��
� ��
xcosxcosxcosxcosxcos
°̄
°®
�
r�
r�
�r�
185
16133
161693
1616093
xcos
°°°
¯
°°°
®
� o� �
¯®
� � o
kxxcosk
kxkxxcos
$$
$$
$$
3601801 siendo
360"56'40308360"4'1951
85
Z
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