memo formulaire mathematique
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7/25/2019 Memo Formulaire Mathematique
1/65
5
M TH M TIQU S
SOMM IR
Symboles et alphabets
. . . . . .
6
Nombres imaginaires
ou complexes. . . . . . . . . . . . . .
41
0
:
nsembles. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Drives. . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Lu
Diffrentielles
........... . .
45
Numration.............. .
9
Intgrales .................
46
1
Arithmtique. . . . . . . . . .. . . .
12
Primitives. . . . .. . .. . .. . . . . . 47
Algbre de Boole. . . . . . . . . . .
14
Intgrales dfinies. . . . . . . . . .
50
Progressions et logarithmes
16
quations . . . . . . . .. . .. . . . . .
52
Calculs financiers . . . . . . . . . . 17
quations diffrentielles
. . . .
55
Calculs de fonctions. . . . . . . . 19
Calcu vectoriel . . . . . . . . . . . . 58
Gomtrie analytique
......
60
Trigonomtrie
. . . . . . . . . . . . .
20
Systmes de coordonnes
. . .
63
Gomtrie. . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Coniques. . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Analyse combinatoire. . . . . . .
31
quations de courbes
Dveloppements. . . . . . . . . . .
32
diverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Statistiques -probabilits
66
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1 SYMBOLES ET ALPHABETS
6
SYMBOLES
SIGNE
EXEMPLE
ALPHABETGREC(danssonordre)
D OPRATIONS
Addition
a b
Minuscule Nom Majuscule
Soustraction
-
a-b
Multiplication
xou.
axboua.b
a
alpha
A
Division
a
bta B
ou-
a:b
ou
b
Puissance
a
r
gamma
r
Racine carre
.f .fa
E
epsilon
Racinenilmt
:r
:.ra
zta Z
1]
ta H
SYMBOLES
SIGNE
EXEMPLE
9 thta
e
DE COMPARAISONS
1 iota 1
gal
=
a
=
b
K
kappa
K
Diffrent
a b
lambda A
Approximativement gal
::::i a ::::i b
Il
mu M
a
infrieur
b
xi
Infrieurougal
.;;; a.;;;b
-
Suprieur ou gal
;;.
a;;.b
0 . omicron
0
Trs infrieur
a b
1t
pi
n
Trs suprieur
a b
p rh
P
SYMBOLES
cr
sigma
L
SPCIAUX
SIGNE EXEMPLE
t tau T
Valeurabsoluedea (rel)
Il
lai
u
upsilon
Y
Modulede z (imaginaire)
Il Izi
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ENSEM LES
1
1
7
NOM RES
ENSEMBLES
Entiers naturels
N
=
{D, 1,2, 3...}
Entiers relatifs
Z
= {...-2,-1,0,1,2,3...}
Dcimaux
D =Lp;a E Zetp EN}
Rationnels
Q={;aEZ;bEZ*}
Complexes
C = {x+jy; x, y) E R et/=-I}
uimaginaires
Imtionnels
R Q
Exemples:fi, 1t,e
Premiers
P c: N Divisible par 1 et par lui-mme. Exemples: 2, 3, 5 ...
STRUCfURES
PROPRITS
Loi
d opration {
1 -associativit
a*b)*c=a* b*c)
interne entre ensembles. 2 - lmentneutre
e
a*e=e*a=a
Symboles* ou .L
3
-a
symtriquee
a
a *a =a*a =e
4
-
commutativit
a+b=b+a
Addition
5 -associativit
a+b)+e=a+ b+e)
6
-
lmentneutre
O+a=a+Oaa
7 -lment symtrique
a + -a)=O
8 - associativit
ab)c
=
a bc)
Multiplication
9
-
distributivit
a+b)c=ac+bc
c a + b) = ca +eb
10 - commutativit
ab
=
ba
Il
-
lment neutre
a.I=I a=a
12 - lment symtrique a.a- =a-l.a=1 eta;oO
Groupe
Ensemble E satisfaisant aux proprits l, 2, 3
Va,b,ceE
(Exemple Z
Anneau
Ensemble A satisfaisant aux proprits 4, 5, 6, 7, 8, 9
Va,b,c eA
(Exemple
Z
Corps
Ensemble Q satisfaisant aux proprits 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Il, 12
Va,b,c
eQ
(ExempleQ)
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LOGIQUE
8
NONCS
SYMBOLESETSIGNIFICATIONS
OPRATIONS
Exemple: ,Quelsque soient1
ab
, appartenantl
Axiome
ri ab E
1il existe 1 un 1entier naturel c1 tel que c;; a + b
3
c EN
c;; a + b
Disjonction
p
v
p p
ou
q
(ou les deux)
Conjonction
p /\ q
p q
Ngation
- p
non
p
(ngation de
p)
Implication p=q p implique q
quivalence p=q p=q, q=p)
Quantificateur
l ri
rixe A)p x)
Pour tout lment x de A, p x) est vrai
universel
Quantificateur
1
3
1
3xe A)p x)
Pour au moins un lment x de A, p x) est vrai
existentiel
Ensemble
{Xl, X2,
...x....}
ensemble des lments XI,
X2, ...x.
Appartenance
x E A
x
appartient l'ensemble A
Non appartenance
xA
x n'est pas un lment de A
Inclusion BeA
B est inclus (ou contenu) dans A
Non inclusion
Bit A B n'est pas inclus dans A
Runion
Runion de A et de B
AuB
A u B = {x, X E A v X E B}
Intersection
Intersection de A et de B
Ar \B
A r \B = {x, X E A /\ X E B}
Complmentaire
CEA= {x E E;x A}
Complmentaire de A dans E
A
r \ CE A = i5 (ensemble vide)
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NUMRATION1
1
9
Numration
Systme deux chiffres 0 et 1
binaire (2)
N(2) =a,2 +a,_12 -1 +a _22 -2+...a222+ali +a02
avec Qo,
a a2
...
a,
gaux 0 ou 1.
onversion
Par dcomposition en puissances binaires de poids dcroissant.
d un nombre dcimal (10)
Division du nombre dcimal ainsi que des restes successifs
par la plus haute puissance de 2 contenue dans le nombre.
en nombre binaire (2)
Exemple:
1128
1024
+64+32
+ 8
r-
I 1 1
210 29 28 27 26 25
i
23 22 2 20
1128(10)=
1 0 0 0 1 1 0 1 0 0
o (2)
Numration
Systme 8 chiffres = 0, l, 2, 3,4, 5,6,7.
octale(8)
Numration
Systme 16 chifJrese t lettres = 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.
hexadcimale (16)
criture
Exemple:
1 128 en systme dcimal
des
112810)=
210 +
i+25 23
nombres
+
1 1 1
1
Poids
II
10 9 8
7 6 5 4 3 2 1 0
Binaire 0
1 0 0
0 1 1 0 1 0 0 0
(2)
(4bits)
Hexadcimal 4 6 8
(16)
Octal
0
1
0 o 0
1 1 0 1 000
(3bits)
2 1 5 0
(8)
Binaire 1 1 2
8
(10)
cod dcimal
000 1
000 1 0 0 1 0 1 000
(BCD)
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11
Puissances
NOMBRES
PUISSANCES
PUISSANCES PUISSANCES
entires
DE2 DE8
DE 16
1
20
2 l
4 22
8
23
81
16 24
161
32 s
64 26 82
128
27
256
28
162
512
t 83
24
210
2048
2
4096
1 2
84
163
8192
zi3
16384 1 4
32768
21s 8s
65536
zi6
164
131072
2
262 144 zi8 86
524288
219
1048576
220
6S
Oprations
ADDITION
11001
25
en
1+ 1 10
Exemple
+
1001
+
9
numration
-
binaire
100010 34
SOUSTRACfION
Exemple
11011
27
(ajoutere
-
1100 - 12
complment
Complment
00 Il
-
supprimer1
+
15
gaucheet
\
1110
ajouter1
+ 1
aursultat)
1111
MULTIPLICATION
Exemple
1101 13
1 x 1=1
x 0 Il 0 x 6
IxOO
0000 78
1101
1101
0000
100 III 0
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1 ARITHMTIQUE
12
Proportions
Lf_a+c_
a+b_c+d
b-rb+rb-d
b
-
d
Lf
LLa+b_a-b
a-b_c-d
b-d c -rc+d-c-d b
-
d
Moyennerithmtique
M
_a+b
Ma entre a et b
a - 2
Moyenne gomtrique
Mg =.Jl1
g entre a et b
avec ab;;;.
Moyenneharmonique
1-=1(1+1)
Mh
=
2ab
h
entre
a
et
b
avec ab,;, 0
Mh
2
a b
a+b
Relation entre
MaxMh=M;
les 3 moyennes
Puissances
Puissance entire d un nombre rel:
Avec un entier n ;;;. 1
puissance n imede a
ou
an
=
a. a
.
a
...
a
n fois
aO= 1
et
a-n
= .1
an
Exposants
am an=aM n
am: aP=am-p
(a . b
t
= am . bm
(r
= :
(am)
=
amn
m, n
entiers positifs ngatifs ou nuls
a, b rels,;, 0
Radicaux
(;rar =
a
a;;;.O
=Ja.:Jb
(;ray
JP
b;;;.O
_;ra
ffa =
mJQ
0- Jb
Exposants fractionnaires
m:[a '
aa
a
_
-a 1
ai
=
am
:;]I=a
a
=-
a
aa
a;;;.O
(r a
a 1
aa=-L
;;;.O
= b
a-=-
fa
a-a
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RITHMTIQU
1
Il
13
IDENTITS
FORMULES
Carr d unesomme
(a
+
b)2
=
a2
+
2ab
+
b2
Carrd unediffrence
(a
-
b)2
=
a2
-
2ab
+
b2
Diffrencedescarrs
a2 - b2= (a + b). (a - b)
Cubed unesomme
(a + b
i
= a) + 3a2b+ 3ab2+ b)
Cubed unediffrence
(a - W= a) -
3a2b
+
3ab2
-
b)
Diffrencedescubes
a) - b) = (a - b)(a2+ ab + b2)
Sommede2 termes
la puissancen
an+ bn= (a + b)(an- _ an-2b + .... _ abn-2+ bn- )
n.=2p+l
Diffrencede2 termes
an _bn = (a _b)(an- 1+ an- 2b+ .... + abn- 2+ bn-1)
la puissancen
Sommede3 termes
(a
+
b
+
e)2
=
a2
+
b2
+
e2
+
2ab
+
2be
+
2ae
au carr
Puissancei
(a
+ b) =
an
+
T
an
-
1
b
t
n(
.
1)
an
-
2b2
....unesomme
(voir binmedeNewton)
n(n -I)....(n-kt 1) n-kbk bn
ei-dessous
1.2....
kat
.... t
identitde
(a2 t b2)(X2 t y2) - (ax t by)2=(bx - ad
Lagrange
(a2 t b2 t e2)(x2 t y2 t Z2)
-
(ax t by t ezi=
(ey
- bZ)2 t (az - ex)2 t (bx - ayi
Binmede
(a
+b) =ant nan-1bt n(n2- 1)an-2b2 ....
ewton
(voir analysecombinatoire
n n-PhP hn
page31) .... t T-=-)
a
t ....+
. n p.
n p Factorielles
SOMMATIONS
SOMME CARR
CUBE
des premiers
n(n
+ 1)
n(n
+
1)(2n
+ 1)
[n(n2+
I)Tombres entiers
r 6
des nombres pairs
n(n + 1)
2n(n
+
1)(2n
+ 1)
2n2(n t 1)2
compris entre 0 et
3
des nombres impairs
n2
n(2n -
1)(2n
+ 1)
n2(2n2
1
compris entre 0 et 2n - 1
3
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10/65
1
A~GBREE OOLE
OPERAT ONS
1
OPRATlONSSURDES VAR ABLESBINAIRES
T LES TRADUCTION
Sommeogique
0
1 si
1
x = 1vy y=O
x (ou)y
0 0 1
x v y 1
1 1 1
Produitlogique
0
1
si 1 x = 1
Il Y
y = 1
x (et)y
0 0 0
xlly=1
1 0 1
Ngation
xv
x=
1
oucomplmentation
XIIXO
X xbarre)
o 1
valeurcomplmentaire
dex
1 0
Sommeogique
Commutativit
S
= YI
+Y2= Y2+ YI
Associativit
S= YI + (Y2+ y)) = (VI + Y2)+ y)
Identitsemarquables
Y+O=Y Y + 1= 1
Y+Y=Y Y +V= 1
Produitlogique
Commutativit
P=YI 0 Y20
y) = Y2. YI y) = Y3. YI Y2
Associativit P= (YI Y2)0y) =YI(Y2 y))
Identitsemarquables
Y.O= 0
Yol =Y
Y.Y=Y
Y.Y=O
Distributivit
YI (Y2+ y)) = YI Y2+ YI 0y)
Produitlogique
Sommeogique
YI + (Y2.y)) = (YI+ Y2)0(YI+ y))
t l inverse
ThormeseMorgan
YI + Y2= VI V2
Inversed unesommeogique
- - -
YI Y2= YI +Y2
Inversed unproduitlogique
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LG RE DE OOLE
OPR TlONSSURLES V RI BLESBIN IRESV
1
I
FONCTIONSLOGIQUESVoir Technologiepage
266 1
15
OPRATIONS
NI=Y,+YI
VI Vz
NI
NI
ou NI=Y YI
0
0
1
Symbolede
0 1
0
l'opration
gnralisation
NI = YI
YI
y.
1 0 0
1 1 0
Propritde
Commutativit
YI YI=YI'YI
l'oprationNI
VI YI =YI Y,
Pas d'associativit
Pasde distributivit
OPRATION NAND=YI' YI =YI + YI VI
Vz
NAND
NAND
0 0 1
Symbolede
r
gnralisationNAND=Y,
t
YI
t
t y.
0
1
1
l'opration 1 0 1
1
1
0
Propritsde
Commutativit
YI t YI = Y2 t YI
l'opration NAND
Pasd'associativit
Pasde distributivit
FONCTIONS
SYMBOLES TABLES DE VRIT DIAGRAMMES
FonctionNON
-2
[ffiJ
E:t
ri r-l
1
t
Inversionogique
o 1
s:t
=E
1 0
ri
. t
FonctionET
El
E,
E,
s
EI+
, 1
. t
Produitlogique
0
0 0
El4'-
Il
1 11
0
.t
S
= El A El
1
0 0
Ez
1 1
1
st 1 1
.
t
Fonction
OU
El
E.
E,
S
El
t
1
1
_ 1
Sommlogique
0
0 0
E+
n
n.,
1
1
S
=
E,VEl
1
0 1
sU
I
1
1 1
FonctionNI
El
E,
E,
S
,El
t
1
1
1
Inversedelasommeogique
0 0 1
El +
1 1
Il,1
1 0
S
= El V E2
1
0 0
E
1 1 0
s
1
1
.. 1
FonctionNAND E,
E, E, s Ed' 1 1 . 1
Inversedu produit logique
;=E -J
0
0
1
El.,.
1 1 1 1
1 1
. 1
S = El A E2
1 0
1
sO
z 1
1
0
.
t
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1 PROGRESSIONS ET LOGARITHMES'
16
*
Les tablesde logarithmessont remplacespar lesoprationssur calculatricepage
19).
TERMES RAISON SOMMES
Progression
conscuts
b-a
- desn premierstermes
arithmtique
un=un_,tr r=-
S _
u,
+
un)n
e raisonr et de
n
premier terme 1
derangn
- 2
Un
=
UI
t
n
- I)r
1 a premiererme
termen t 1
-
des n premiers nombres
n n
+ 1)
----y-
-
des
n
premiers impairs
n2
conscuts
- des n premiers termes
Un= Un-I q
q
=
b
s
= UI qn
-
1)
Progression
gomtrique
derang
n
q - 1
n-1
1
a
premiererme
- de 2 termes quidistants des
eraison
q
etde
Un= U, ' q
b
terme
n
t 1
premier terme .
extrmes: UI.
Un
- de touslestermesavec
O
-
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PROGRESSIONS ET LOGARITHMES
1
I
L ULS FIN N IERS
Rgles
Ig(a b) -Iga + 19b
Ig -Iga -1gb
decalculs
surleslogarithmes Iga =n.lga
1
(lnouIg) Iga+lgij-Iogl=O
;raI
g
a-i,lga
a
et
b
nombres> 0
Srie
Nombresprfrentielsaractrisantescomposantsndustriels
Renard
Exemple:SrieRIO1 Logarithmeselaprogression
omtriqueomprisentre1et 10
Raison
q
- =1,258911 erme1,2589} arrondist
terme1,9953 multiplispar100
1 SrieRIO
100,125,160, 2oo,315, 400,500,630, 8oo, 1000
SrieR20 100,112,125,140160,180,200,224,250,280,315,355,
400,450,500,560,630,710,800,900,1000
OPRATIONS
FORMULES - CALCUlS
Placementintrts
composs
C capitalplac
CapitalCnauboutde
r tauxd intrt
lanilm,anne
Cn=C(I + r)D ourapportannuel
pourC= 1franc
n
nombred annes
CapitalnitialCpour
C=btenirCnauboutden
Formulesvalables
annes
(1+
r)
si
n
et
r
concernent
d auifesdures-
Nombred annesour
IgCn-lgC
(semestre,rimestre,
obtenirCnpartirdeC
n=
mois)
avecun intrtr
Ig(1+ r)
ExempleC= 10000F
r =0,08
Tauxd intrtncessaire
n
-
10
pourobtenirCn
partir de C
r-
C-I Cn-21580F
aubout den annes
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1 CALCULS FINANCIERS
18
OPR TIONS
FORMULES
C LCULS
Capital Cn Exemple:
au bout dela nimenne
Cn=
al..p[(I+r)
-1]
a=IOOOF
rsultantdenplacements
r =0,08
devaleuraaudbutde
n = 10
chaqueanne
Cn= 15633F
Croissance*
Cn= c( 1+ )
L'intrts'ajouterait
d'uncapital intrts
chaquenstantaucapital
totalementomposs
(1+ )n -+ e
Exemples:
6mois Cn= 1,73C
1an Cn=2
C
pourn -+ 00
2ans
Cna 2,25C
Amortissement
Sr{1+ r)
S capitalemprunt
d'uncapitalaumoyen
a
-
(1+ r) - 1
r
intrt
d'annuits
n annuits
a valeurdel'annuit
Cumul
Dductionsety
Exemple:
desdductions
D=(x+y-1Zo)
x =20
oumajorations y =10
D =28
et
Cd = 0,72
coefficients
CoefficientCd
M = 32
appliquer
Cd_ (IOO- x) (100- y)
Cm
a
1,32
lavente
- 100 100
d'unproduit
Majoration
M=(x+y+ O)
CoefficientCm
C (100+ x) (100+y)
m =
WO WO
Calculs
Taxessur
prix
brut
X= 20 surnet
destaxes
T - 100x 0A
Taxe25 surbrut
x surprixnet
-IOO-x
Cb
a
1,25
Coefficient
appliquersurprix brut
100
Cb
=
100 x
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L ULS DE FON TIONS
Oprationssur calculatrice
1
IJ
19
EXEMPLE n =
12
TOUCHES dansl ordreopratoire)
RSULTATS
Puissances
n2
1 2
x2
144
n3
1 2
y
3
=
7 8
n4
1 2
yX
4
=
20736
.........
Inverses
0
1
1 2
1
0,083333
n
1
x
1
?
1 2
x2 0,0069444
1
x
1
Ex.p=8
;jP
1 2
yX
8
=
2,32568-9
x
Racines
Jn3
1
2
ilv
3,464lOI
Jn:;n
1
2
y
3
=
2,289428
Ex.p=6
1 2 INV
y
6
=
1,513085
Logarithmes
npriens ln
n
1
2 ln x 2,484906
dcimaux Ig
n
1
2 2nd
Igx
1,079181
Exponentielles
eX
1
2 INV Inx
162754,914
e x x = 12 1
2 INV lnx
1
6,144212-6
x
IgeX
1 2 INV Inx 2nd
Igx
5,211533
Trigonomtrie
Conversion des angles en
degrs d)
sin 12
1
2 2nd sin
0,207 911 69
gradesg)
cos12 1 2 2nd
cos
0,978 14760
radians rad) 00
tan 12 1
2 2nd tan 0,21255656
Fonctions hyperboliques ***
sh
x
=
eX
1.
e X
l
Ex.
x
= 4
4 INV Inx
-
4 INV Inx
=
: 2
27,2899172 .
x
ChX=ex;e x
4 INV Inx
t 4 INV
Inx
1
=
:2
27,308 232 8
x
th
x
=shx
0,9993293
ch
x
o Tenir compte des variantes spcifiques de chaque machine. INV) 2nd)
00
Conversionirectesurlacalculatrice.[3O = 4 = r:
{d degrs
g grades
rad radians
000
Voir page 40, leurs dfinitions
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1 TRIGONOM{;TRIE
2
Angles
et
remarquables
sin - a) = - sina
, a COSIDUS
-a) cos-a) =cosa -7a x
tan -a)=-tana
1
1I+a)
sin 11+ a) = - sin a
sin 11
-
a) - sin a
11- a)
cos 1I+a)=-cosa
cos 1I-a)--cosa
tan 1I+a)=tana
tan 11
- a)
-
- tan a
1 +a
sin + a) = cosa sin
-
a) = cos a
-a
cos + a) = - sina cos -a)-sina
2
tan + a) =_---1-
tan - a) = t a
ana
Relations
cos2 a + sin2 a = 1
sin2x =
1- cos2x tan2
usuelles
2
=1+tan2x
sina =tana
cos2x =
1+cos2x
1
cosa 2 - 1 + tan2x
Addition
sin a + b)
-
sina .cosb +sin b. cosa
sin a - b) - sina .cosb - sinb .cosa
cosa + b) - cosa .cosb - sina . sinb
cosa - b) -
cos a . cos b + sin a . sin b
tan a + tan b
tan a + b) = 1 _ tan a
.
tan b
tan a -tanb
tan a - b) = 1 + tan a .tan b
Multiplication
sin a cosb - HSin a + b) + sin a - b)]
sin a sinb - H cosa- b) - cos a + b)]
cos a cosb -
H
cos a + b) + cos a
-
b)]
. 2 2 2 tana
m a
- smacosa-
+tan a
2
.
2
1
-
tan2a 2
cos2a=cos a-sm a==2cos a-I
1+tan a
tan2a = 2tana
cos 2 a = 1 - 2 sin2 a
1 - tan2a
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TRIGONOMTRIE 1
Il
21
Transformations Avec P q
p-q
Variables
a
=--Z
b=T
sinp + sin
q
= 2sina. cos
b
= 2sin' cosy
sinp - sinq = 2sinb. cos
a
= 2sinY' cos
cosp
+ cosq =
2cosa.
cosb = 2cos'cos
cosp - cosq = -2sina. sinb = -2sin' sin
Avec
a
avectan
0
Variable
tan-Z=(
sina =-1L
cosa = 1 - (2
2 (
1+(2
1+(2
tan
a
= 1 _ (2
Autres
1
cosa
=2cos2
relations
. 2 . x x
1 2 . 2a
smx = sm-Z'cos-Z
-cosa = sm-Z
2X . 2X
1 - cos a = tan2 .
cos
x
=cos2-sm-Z
1+cosa 2
2tan
I+tan
( )
tanx=-
I_tan: =tan +
1- tan2:
2
2
Enposant tana =
a
b
A
= cos a = sina
acosx
+
b
sinx = Acos
x
- a)
sin 3x = 3 sin x - 4 sin) x
Rsolution trigonomtriquede
l'qua.
cos 3x = 4 cos) X - 3 cos x
tiondu 3 degr page53.
tan
3x=
3tan
x,
- tan)
x
- 3tan2
x
4 )
a
3
a
casa = cos '3- cos'3
Angles sin cos
tao
remarquables
Il 1
il il
6 2 2 3
Il
,fi
,fi
1
4
T T
Il
il
1
13
3 2 2
Il
1 0
'2
00
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1 GOMTRIEIRES
FIGURES
SURFACES
REPRSENTATION
a
a
a
Carr
-
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GOMTRIE
1IRES
FIGURES
1
SURFACES
1
REPRSENTATION
:ne
0)1
1
111\
ID
-
airelatrale
1Ira
- aire totale
1Ir r a
Troncdecne
@ 1
1 0)
airelatrale
MIr +r )
@
- airetotale
11
[r2
+
r,2
+
a r
+
r ))
,
Couronne
@I
1I(R2_ r2)
1
Sphre @I
411r2
1
JI)
Fuseau @I
2r2a rad
1
h
CalotteI
211h
1
-
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1
OMTRI
VOLUMES
FIGURES
Cube
-
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TRIANGLES
Relationsmtriques
Triangle
rectangle
Thormee
Pythagore
Triangle
quelconque
Hauteurs
d'untriangle
deprimtre2p
Mdianes
d'untriangle
Somme des carrs
de 2 ctsd'un triangle
Diffrencedescarrs
de 2 ctsd'un triangle
Triangle
inscrit
dansuncercle
1
diamtre
d
rayon R
FORMULES
AH2
BH CH
AB.AC- BC.AH
AB2BCBH
AC2- BC.CH
BC2_ AB2+ AC2
B
aigu
AC2= AB2+BC2- 2BC.BH
'
B obtus
AC2_ AB2+ BC2+ 2BC.BH
ha= ~ .Jp p a) p b) P- c)
hb =
.Jp p
a) p
b) P - c)
h,-
~ .Jp p- a) p b) P- c)
Jb2 +c2 a2
a
-
Y 4
1c2+a2 b2
mb= . -,:- - 4'
a2+ b2 c2
m,
=
~-Y--4
AG BG CG 2
AA'-BB'-CC=)
AB1+~_2AW+BC2
2
BMMC
AB1-~-2BC'MH
AB AC AH d
R=
a-b-c
4.Jp p
-
a) p
b) P
-
c)
2p=a+b+c
A B -H c
~c
H B
A
B c'
c
25
Gi:OMi:TRIE1
OMTRIELANE
FIGURES
:11
B
H
a
C
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1
OMTRI
GOMTRIEPLANE
26
Les tracs des diffrentes figures sont indiqus pages 27 et suivantes
POLYGONES
FORMULES
FIGURES
Cts
A
Triangle
quilatral
AB,AC,BC- R J3
inscrit
RJ3
HauteurAH- 2
ApothmeOH -
Quadrilatre
dl,d2-ac+bd
inscrit
2p-a+b+c+d
S j p - a p
-
b P
-
c P-
d
2
C
Hexagone
c=R
rgulier inscrit
Pdl
a-
2
Pentagonergulier
Ctc -
-J
10 - 2.JS
6)
pothme
a
-
.JS + 1)
Dcagone rgulier
Ctc- .JS
- 1)
8
pothme
a
- -J 10 + 2.JS
2 1td2
Cercle
S
SurfaceS- xr = T
Circonfrence L
LongueurL - 2xr = 1td
L- 2xradians
@
L = 360degrs- 400grades
1
x = 3,14159..,
it= 0,31830
voir dveloppements page 33)
Angle au centre Il en degrs
1 2xTa
=160
Pour 1 - r 1= 1 radian
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Mdiatrice
d un segment IABJ
Perpendiculaire
mene d un point
P une droite IJ.
Parallle mene
d un point P
une droite IJ.
Partage d une
droite AB en
parties
proportionnelles
des segments donns
LMN
Thorme de Thals
Construction
d une tangente
uncercle
partird un
pointA
Construction
des tangentes
extrieures
communes
deuxcercles
A
1
OMTRI
ONSTRU TIONSGOMTRIQU S
AB
Avecunrayon
R >
T
tracer 2 arcs de cercle de centres A
et B. Leurs intersections M et N
sont sur la mdiatrice
De P comme centre avec un rayon
R > d tracer l arc de cercle qui
coupe IJ. en A et B puis construire
la mdiatrice de AB
De P comme centre avec un arc de
rayon R > d tracer l arc de cercle
qui coupe IJ.en A. Toujours avec le
rayon R l arc de centre A qui coupe
IJ.en B puis l arc de centre B qui
intersecte en C.
PC est parallle IJ..
Porter L M N sur une demi-
droite quelconque x
Joindre CB. Les parallles
CBdonnent
AD DE EB
proportionnels L M N
Tangentes au cercle de centre
. 0 issueseA.
Construire le cercle de diam-
tre OA. Les intersections de ce
cercle avec le cercle de centre
o donnent les points de
tangence T et T
Cercles 0 rayon
R
0 rayon
r
Construire un cercle de centre
o et de rayon R
-
r
Construire un cercle de diam-
tre 00 . Les intersections AB
sont sur les rayons OT et OT
0 11 est parallle OT
0 1 1 est parallle OT
[~
B
R
N
p
~/
A \ B
A
B
L_
M
N-
x
A
li.
D E B
A
T
T
27
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1
OMTRI
CONSTRUCTIONSGOMTRIQUES
Constructione
la moyenne
proportionnelle
entre
segments
a etb
Constructionde2
segments,x et y
connaissant
leur sommea et
leur moyenne
proportionnelleb
Tracd une
ellipsepar
points
Tracd un
. ovale
connaissant
son grand axe
Dveloppante
decercle
Construire le 1/2cercledediamtre
AB+BC-a+b
La perpendiculaire AC en B
coupele cercleen D
BD = x et x
- . fQ.b
Construirele 1/2cerclede
diamtreAB-apuisladroite
DEparalllecediamtre
ladistance
x y-a
xy_b2
Le cerclede diamtreAB
estdivis enn arcsgaux
(icin
-
12) AF
=
3D.
Construirelestrianglesrectangles
telsqueGFH
(FH parallle OA).
Tous lespoints H obtenussont
sur l ellipse
Construire2 cerclestangentsde
diamtre~B , lecerclede
diamtre00 qui intersectentles
prcdentsen
MNPQ
LesrayonsOMoOQ, O N, O P
prolongsdonnent enF et Pies
centresdesarcsde raccordements
(rayonsFH, PK)
La courbeestdcritepar le point P
d une droite J.roulant sans
glissersur un cercle.
LessegmentsIl , 22 , 33 ,44 , 55
perpendiculairesau rayondu
point detangenceont pour
longueursrespectiveslesarcs
PT, P2,P3 etc.danscecas
xd 1td xd 1td
IYf2 .2,TI.3,TI 4,etc.
A
c
x
A Q-
B
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OMTRI
CONSTRUCTIONSGOMTRIQUES
1
Il
nombrede
~
ivision'une C=
r
x
ln
divisionsen 2 C 9
circonfrencen partiesgales
r
n
partiesgales Exemple= 1 longueurde 3
1
{_
8
r
= 20mm lacordeau
n = 9 rayonunit
ln =0,6840 r rayonducercle 4
C = 13,68mm C longueurde
lacorde
S
~
3 1,7320 12 0,5176 21 0,2979 29 0,2160
Longueur 4 1,4142 13 0,4784 22 0,2845 30 0,2090
dela corde 5 1,1755 14 0,4448 23 0,2722 31 0,2021
l
pou
l
r r = I
b
6 1,0000 15 0,4158 24 0,2610 32 0,1960
seon enom re
de divisionsde 7 0,8672 16 0,3901 25 0,2506 33 0,1899
lacirconfrence 8 0,7653 17 0,3675 26 0,2408 34 0,1845
9 0,6840 18 0,3473 27 0,2321 35 0,1792
10 0,6180 19 0,3289 28 0,2239 36 0,1743
II 0,5632 20 0,3128
Sinusode Dansecerc ed~rayon y 1 Y
Y = sinx R = lIa projectiondeM
f1
/j)
'
A
eny donneles '1'1 Il
\
Construction o.rdon~esela y[ t 1/1 ~ a. X
parpoints sl.nusOideour
JO0.. Il. . . '40273OO JO6
-
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D~~
A
B~C
B
c
A
O
B
c 4
ABC
sm +sm +sm = cos2 cos2 cos2
A
O
B
c
4
0AoB C
sm +sm - sm = sm2 sm2 cos2
tanA+ tanB + tanC =tanA tanB
0
tanC
ABC ABC
cotan2 + cotan2 + cotan 2 = cotan 2
0
cotan2
0
cotan2
A
r j P-b P-c
b
tan2 =
p
_
a
=
p
(P_
a
avec
p
=
a
+ +
c
30
1
GOMTRIE
SOLUTION DES TRI NGLES
1
Triangles
1
1
DM.
rectangles
MH = OMcos
OH
an 0
-
1 OMsinM
OH= OMcos
MHtanM
Triangles
A +B+C - 180.
quelconques
a b e
sinA = sinB = sinC
a2 = b2 + e2 - 2be cos A
b2 = e2 + a2 - 2ea cos B
e2 _ a2 + b2
- 2ab cosC
Aireen
1
0
-
fonction
S=labsmC
desangles
l -
dans un cercle S=lbcsinA
l -
S=lca sin B
S_aoboe
- 4R
abc
Rayondu
r = 4Rp
cercle inscrit r
(2 p = a + b + c)
Rayon du
R =
aoboc
ercle
circonscrit R
4 p (P - a p
-
b P - e
Autres
relations
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N LYSE COMBIN TOIRE
1
I
. Voir probabilits page
66.
31
LMENTS
FORMULES
Factorielle
n
n
a
1
X
2
X
3
X
4
X...
n
n
nombresentiers)
ArrangementsA
P
n
de
n
objetspris
p p
An =
n
_
p)
Permutations
(nombrede permutations
A:
= n
possiblesde
n
objets)
n =p
CombinaisonsC
n
(nombredecombinaisons
de
n
objetspris
p
p)
n = p n _)
ProbabilitsP
Exemple=
C:8 1
P casfavorables
Probabilit d avoir 4 as
1
= caspossibles
sur13cartesprisesdans
P
-Cl3 = 378
un jeu de 52
52
Calcul des
Exemple=
coefficients
Calculducoefficient
x +a)7coefficientd ordre4
dutriangle
dePascal
d ordre 1 cP
4 7
exposant
n
C7 = 4 (7
_
)
- 35
TriangledePascal
Puissances Coefficients
1 1 1
2 1 2 1
3
1
3 3 1
4 1
4 6
4 1
5 1
5 10 10 5
1
6 1 6 15
20
15 6 1
7
1
7 21 35 35 21 7
1
8 1
8
28 56
70
56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9
1
10
1
10 45 120 210 252 210 120 45
10
1
Binme
de
x a) = xn Cxn-I a Cxn-2 a2 Cxn-J aJ
Newton
...... c.: xn - PaP ....... C: - xan - 1 C: an.
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1
DVELOPPEMENTS
Thorme
de
Rolle
Formuledes
accroissements
finis
Formulede
l Hopital .
Formulede
Taylor
Formulede
MacLaurin
Formuledu
binme
de
Newton
(voirpage 31)
32
y =f(x)
continue,drivable
lzri
A
=
y(B)
=0
y'(x) s'annule au moins une fois pour x = c
Pente
de la droite
f b
-
f a
m=~
y
f(b)
-
f(a)
=l'(c)
b-a
f(Xt h)
-
f(x)
=
hf'(Xt Oh)
0
f etg continuementdrivables;
f(~) = 0 =g(xo)et g'(~) ' 0
. &l _ .t1&l
J:~ g(x) - g'(~)
o
f n fois drivable sur J
Ireforme a e J. (a + h) e J; il existe 0 e 10,1[
h (1) h2 (2) h' -1 - J h',
f(a+h) =f(a)+Tf (a)+2if (a)+ '+(n_I) f (a)+i1f(a+Oh)
2' forme h = x - a
~
x
)
=
ji(
a
)
+
(x
-
a)
f
(l)
(
a' + (x - a)2
f
(2)
(
a
)
+ +
(x
- a),-I ,.(,-I)
a
)
+
(x
-
a)'
f
I')
Il J 2 ... (n - I) J n (c)
f n fois drivable autour de 0 ;J(') drivable en 0 ;
x x2 ,.(2) x' ()
y =f(x) = f(O)+T f'(O)+TI J (a)+... + ii1f(~)+ x'&(x)
aveclim
e(x) =0
x-o
( )
xemple:lim 1+
l
m
=e
m aj m
(a + b)m=am +1t . am-I b + m(m - 1) am-2 b2
+
m m
- I)(m - 2) m-J
bJ
I 2 3
a
...
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V LOPP M NTS
DVELOPPEMENTSL SSIQUES
X x2 xJ
y = eX = 1 + TI' 1+ 21' 1+ J[' 1 ... soit en posant
x
= 1
1 1 1
Y = 1+ 1+2+6+24...=2,71828..
J x5 x7
. X : ...+---
7
''''
=smx =TI-3 5 .
x2 :L_~+...
y=cosx = 1-21+ 4 6
x3 2x5
+
17x7
+...
y=tanx =x+ 3+ 15 315 1
{
Calcul de 7t x = 2
. i 3x5+...-+ . 1 1 1. J+...
* y
=arcsm
x
=
x
+ 6 + 40 arcsm2=2 +Z 3
C)
7t .
y=arccosx =Z-arcsmx
xJ
x5 x7
y = Arctanx = x - 3 + 5 - '7 + ...
xJ X5
}
y=shx =x+J[+51 shx
2 4 thx=-
hx
x x c
y=chx =1+21+41
x2 xJ x4 x5
y=ln(1 +x) =x-T+ 3-4 + 5-
x2 xJ x4
y =ln(1- x) = - x - T - 3 - 4 - ...
X x2 xJ
y
= ln
(a
+
x)
= ln
a
+
a -
2a2 + 3a3
- ...
-x
X 2 x3 x4
y
=
xe
=-ex =
x
-
x
+T - 6 +...
-/ex 1 2x2 J x3 4 x4
y=e =?i=I-kx+k T-k 6+k 24
. m3x3 m\5
y
=sm
mx
-
mx
- 6 + 120+...
x E [-1,1]
x E [-1,1]
x
ER
x
E ]-1,1]
x E [-I,I[
x
E ]-lal,lal[
a
E
R
x
ER
y
=
.jI+Xi
x2 x4 x6 x2
= 1+T-8+16' avec Ixl < 1 ~ 1+T
x2 x4 x6 x2
=1-T-8-16' ~I-T
=~
_ 1 2
y_..; =1_: ...345
+ x2 2 +8x - 16 x6
~
I_i
2
Dfinitionsage 44.
x ER
x
ER
x
ER
x
ER
x ER
x
ER
XE]-1 1 [
'2
x
E [-1,1]
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7/25/2019 Memo Formulaire Mathematique
30/65
1
V LOPP M NTS
DVELOPPEMENTSL SSIQUES
=~ _ X2 3
4
5 6 2
Y ~ -1+T+gx+T6x ::::I+T
r,-:-: 1 2 3
Y = V 1 + X = (1 + X 2 = 1 + _:f.. +:f..
2 8 16'
1
Y=I-x
1
Y=I+x
= 1 + X + x2 + x3 + x4
= 1 - X + x2 -
x3 + x4
(
1
m 1 1
Y =
1+ m = 1+ 1+2 + 6 + ... (y e quand
m et
y =
aX =
eloga = 1 + X lo
g
a
+
x2
101\2
a
+
X
3 101\3a
2 6 '
avec
X E ]-I,I
avec X
E ]- I,I
avec X
E ]- I,I
avec X
E ]- I,I
avec X E
R
y = a +xt = am+ T am-I X +~ m -1) am-2x2 +~ m - I m - 2 am-3x3 + ...
poura -
xt
les
puissancesmpairesde
X
serontngatives.
mEN et X E R
y =(1+ xt = 1+ mx + ~ m -1) x2 + ~ m - I m - 2 x3 +...
mENetxER
* x3 Xl x2n+1
y =ArgthX =X+ 3+ 5+ ... +
2n
+ 1+...
* 1 x3 1. 3 . Xl ni, 3 . 5 ... 2n - 1) x2n+1
Y =Argshx
=x-2' 3+T4:5 (-I) 2.4.6... 2n '2n+I+'
.
h
2 2 23 6 21 10
y=smx.s
X
=21X
-61x +mX -
.
h
2 3 22 1 23 7
Y
= sm
X
. c X
=
X
+
3
X
- TI
X
-
7
X +...
2 3 22 1 23 7
y=cosx shx =X-3 X
-TI
X
+7fX
-...
h
22 4 24
a 26 12
y=COSX CX =1-41X+81X-12 X +...
1
X3 X3
2x1
X7
y=cotanx
=:X- 3-Y-:-S-v:s-:7-J 527- 'O < Ixi < It
X X
B2x2
X4 B6X6
y = eX _
1 = 1+ BI T + 2T + B4 4+ 6 +... Ixl < 21t
. 1 1 1 1 1
BnombresdeBernoullI=BI=-2 B2=6 B4=-30 B6=42 Ba=-30
. Voir fonctions hyperboliques p. 40.
X
E ]-I,I
X E ]-I,I[
x R
X ER
X ER
X ER
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7/25/2019 Memo Formulaire Mathematique
31/65
V LOPP M NTS
DVELOPPEMENTSIMITS 1
Il
35
Infiniment
1estunIPd'ordren si lim fW=
a
E
R
etit
x x
(J.P.)
Exemples:1)FormuledeMacLaurin(dveloppementimitd'ordren)
I(x) =1(0)+ .................. Il )(0)
+
x (x)
1 . 1
1 1
partieprincipaled'ordren infinimentpetitd'ordren
2 )
2) eX-1 +
x
+ t +t +cp(x)
19 IP d'ordre3
Rgle
19et '1'deuxIPd'ordrenetmavecn m
decalcul
desIP
SOMME PRODUIT
QUOTIENT
19+'1' 19''1'
Ordreindtermin
estunIPd'ordre
n
estunIPd'ordre
n
+
m
Dveloppement
SOMME PRODUIT
QUOTIENT
IimAt
parties Sommedes Produitdes Quotientdes
principales
partiesprincipales
partiesprincipales partiesprincipales
. ) 2x1
Exemplesm
x
=
x
+ .. +_ + h6
cosx 3 15
l'ordrededveloppementbtenu ordredesdveloppementsedpart
Fonctiondefonction
Exemple y =lncosx
onposelcosx=I-U
y =ln(1- u)
u -> 0 avecx
x2 x4 x6
Dveloppement
y
= - '2 - TI - 45+1]X6
Fractionalgbrique
I+x Effectueradivisionselon
Exemple
y
-1 2
lespuisancesroissantesexx+x
Dveloppement
y
= 1
- x2
+
x)
+ 1:xl
Dveloppement
Letermedeplusfaibledegrdonne'ordreetla PP.
x)
Xlensrie
Exemple'y =sin..x=
x - T + 5'
deMacLaurin
si m-I
. x
x
sinx=l_
six->O sinx=1
x
3 ...
x
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32/65
1
V LOPP M NTS
DVELOPPEMENTSNSRIEDEFOURIER.
Fonctionpriodique
non sinusoidale
continue[- It, + It)
Dcompositionensrietrigonomtrique:
j x .
ilo + al cos
x
+ bl sin
x
+... +
an
cos
nx
+
bn
sin
nx...
1
1
.
ilo .2it _. f x dx
ao . valeurmoyenneelafonction
Coefficients
an .
1
. f x
cos
nx
dx -
x
impaire
an.
0 si
n
;;. 0
It -.
bn =
1
+.f x sinnxdx- f x pairebn.0 sin ;;.1
It -.
Fonction
depriode
x _ 2ltl.001
j l = ~ +AI cosml + BI sinml +
...
Ancos
nool
+ Bnsin
nool...
~ .1 rI
f 1
dl
-1
2
Coefficients
2
1
1
An = T
_12
j l COS
ool
dl
z
2
1
1 .
Bn = T -1 f 1 smnooldl
,
Fonctione
priode
sousorme
exponentieUe
+co
j t =LCn einl
-co
Cn =+ri j(1) e-i ' dln E Z,a E R)
Co = 110.ak
2ibk=
Ct,
ak~bk
= C-dk e N)
36
* Voir aussi page 149. applications l'analyse des signaux lectriques.
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7/25/2019 Memo Formulaire Mathematique
33/65
ON TIONS
DFINITIONS
Il
TUDEDESFONCTIONS
37
Continuit
Xo - 1] < x < Xo+ 1]
entrane
f X{J - E < f(x) < f(X{J) + E
Limite
Limf(x)
=
f(X{J)
quand
x..... Xo
si
f
continue en
Xo
Variations
Variables X2 > XI
f, fonction monotone sur
[x x21
d'une
fonction Croissante Dcroissante
f(X2) ... f(XI) f(X2);;f(XI)
Fonction
Dfinie pour x et pour
-
x
Exemples: x2,X2., cos x
paire
avec
f(- x)
=
f x
Fonction
Dfinie pour x et pour
-
x
Exemples: x2n+l, sin x, tan x
impaire
avecf(-x) =-f(x)
Fonction
f(x) dite de priode a
Exemples
dfinie pour X et x + na
priodique
lorsque
n
=
-
2, -l, 0, 1,2,3...
sin x (priode 21t)
et
quef(x
+
na) B
f(x)
tan x (priode It)
Fonction
x
=
g(y)
est la fonction rciproque de
y
B
f(x).
(Elle est noteF 1)
rciproque
(gnralement symtriques par rapport la 1' bissectrice)
ou inverse
Produit
f(x)
et
g(x)
continuesdans [a.b
p(x)
=
f(x). g(x)
fonctioncontinuedans
[a.
bl
Quotient
q x B AA fonction continuesi
g x
ne s'annulepasdans l'intervalle
[a.bl
Fonction
u
=f( et
y
-
-
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1 FONCTIONSONCTIONS ALGBRIQUES
Fonction
Ax
+By+C
=
0 B l 0
YI
M
linaire
A C
Y,
droite)
Y=-ax-aou y=ax+b
1
Y.
a
= YI - Yo = tg
0
- b
:t
.Jb2
-
4ac
1
Racines
=
2a
1
x
1 IX.
I x X
b
1
xO=-2a
1
,.
0
o 1 4ac_b2
Yo
=
4a
Fonction
1
_ax+b 1 0
Y - a x + b a
homographique
ab - a b
(hyperbole)
a -----a;r-
y-(ji-----v-
1
x
---......../1
x
x +(ji
Parchangement axes:
hyperbolequilatre _ 15..
(axesasymptoteselacourbe)y - X 1
1y
Fonction
Pardfinition(Neper) 1
Y
exponentielle
logarithmenpriendex
(voirfonction
1
lnX =S 1 airedelaportiondu
logarithmique plan compriseentre
page 39)
l axe desabscisses,la
courbereprsentanta
fonction et les droites 1 01
1
X
d quationx = 1
et
x
=X
Fonctionnverse
1 e r----ii
Y
-e-
y=lnx x=f
Fonction
xponentielle
Y = eX
e = 2,71828
Y 1 e
1
1
1
x
1
(voir dveloppement page 33)
1
38
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ON TIONS
FONCTIONSTRIGONOMTRIQUES
Il
FONCTIONSLOG RITHMIQUEST EXPONENTIELLES
1
y
=eX
inverse de
x
= ln
y
y =lnx
~O 1 +00nx - 00 ./ 0 ./ + 00
y =aX a> 0 Iny=xlna=u
y =exl., y =eU
y =eH1
y=e .el
y =x Iny =m Inx - u
y = eml.. y - eU
Croissances compares
* Voir logarithmes page16.
9
FONCTIONS
LIMITES
PRIODE
PARIT
SYMTRIQUE PAR
RAPPORT A
Y
=
sin x
- 1 .. sinx .. 1
sin
x
+ 21t)
sin -x)
-
-sin x
la droite x
-
et + kit
y =cosx
-1..cosx,,;;1
cos
x
+ 21t)
cos(-x)=cosx
x=Oetx=kIt
y
=taux
- 00 < tan x < + 00
tan x + It) tan -x) =- tanx
l origine
y =
arcsinx
Fonction inverse de
x
-1
0
+1
y=sinx ou x=siny
-
/
- Arc sin x est la dtermination
y
0
/ +
principale (DP)
y =
arccosx
Fonction inverse de
x
-1 0
+1
y=cosx ou x=cosy
\.
It
\.
= Arc cos x (DP) y
It
2
0
y =arctan
x
Fonction inverse de
x
-1 0 +1
y-tanx ou x=tany
It
/
+
= Arc tan
x
(DP)
y
-4
/
0
4
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36/65
1
ON TIONS
FONCTIONSHYPERBOLIQUES
1
LIGNESTRIGONOMTRIQUESYPERBOLIQUES
40
EXPRESSIONS
FONCTIONS INVERSES
Y
= ch
x
eX+ e-x
y
=
Argchx=In x +
= ----r-
y = shx
eX_ e-x
y =Argshx ln x + .j7+
=----r-
y = thx
_eX_e-x
1 1 +x
ex+e-x
y=Argthx=2In I-x
CALCUL
Onposeh
x
= sin0
Ondtermine9
-1
-
7/25/2019 Memo Formulaire Mathematique
37/65
NOM RES IM GIN IRES OU COMPLEXES
1
Il
41
FORME FORME FORME
ALGBRIQUE TRIGONOMTRIQUE
EXPONENTIELLE
Forme
desnombres
z =
a
+
b} z = r
(cos9 + ) sin 9)
z=r.e+j9
complexes
a
partie relle
a=rcos9
e
-
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NOMBRES IM GIN IRES OU COMPLEXES
OPRATIONS
FORMULES
L -L _
a
-
biZ - a + bj - a2 + b2
1_ 1 _cosB-isinB
z - ,(cosB+j sinB)- ,
Inverse
Puissance
zn
=
(a
+
bj)
= ,n(cos B +
j
sin
9)n
,n
=
(a2
+
b2 9
Exemple
Racine
carre
Fi
=fj
zn = (rejer =
rndna
.. 3 3..
(2 e41) = 8 e 41
JJ= 0d
- ,,2
-1 = 1(cos 1t+ j sinlt) j = I( cos ~ + j sin~)
Racine
. cubique
p (cos a + j sin a) = r3 (cos 39 + j sin 39)
[COS(J+2kj)+jSin(J+2kj)] k=0,1,2
,=
39 =
a
+
2k1t
a
k
1t
9=}+2 }
Racines cubiques de 1
00,= 1
002= -1 +jJ3
2
(03
= -1 -
jJ3
r-
Solutions de l'quation
Z2
+
z
+ 1 = 0
CIl,
X
Racines nllm.
d'un nombre A
x = JT [cos (~ + 2~1t + j sin (~ + 2~1t ]
A
= ,(cos 9 + j sin 9) et
k
= 0, 1,2, ...,
n
- 1
Fonction
d'une
variable complexe
Formule d'Euler
Fonction e' = eH iY= eX.
dx
= cos
x
+
j sinx
cos x = dx + e-jx
-r-
42
1
eX module
y
argument
eix_ e-ix
sinx=~
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39/65
Calculdes
drives
Fonction y = f x)
Drivey =lim
t
quand lU 0
y =l x) =
~
gomtriquement
y
= tga T aupoint M
43
DRIVES 1
yT
1
Il
-
7/25/2019 Memo Formulaire Mathematique
40/65
1
DRIVES
44
FONCfION DRIVE
Drives
sinx
cos
x
de
cosx
-sin
x
fonction
1 +tan2x ou
+irculaires
tan
x
cos
x
cotan
x
1
- sin2
x
Arcsinx
1
JI
-
x2
Arccos
x
1
J
1-
x2
Arctanx
1
1+ x2
Autres
lnx (lognprien)
1
fonctions
x
19.x
1
xlna
Inu
t.
u
eX
eX
eU
e
aX aX
.In
a
shx chx
ch
x
shx
thx
--L = 1 - th2X
ch2x
Argshx
1
Jx2+ 1
Argch
x
1
Jx2 1
Argthx
1
l x2
Dfinitions
Arcsinx J
onctions
[ sin
x
Il
sh
x
sinushyperboliquee
x
Arccos
x
mverses cos
x
chx cosinushyperboliqueex
Arctan
x
de tgx th
x
tangenteyperboliquee
x
Arg shx
]
Fonctions
[ shx ou Argument de shx
Arg ch
x
inverses
ch
x
Argumentde ch
x
Arg tanx
de
thx Argumentde thx
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41/65
Drive
y
=
f x)
y
y -J x)
1
I
IFFR NTI ll S
Calcul
des
diffrentielles
Fonction
y
= / x)
Diffrentielle
dy
=
y .
dx
x
6y
=
y 6x
+
~6x
.:::./ ~ C7
partie IP IP
principale 1 ordre ordre
suprieur
AB=PAtga
dy
=
dx
.y
A
l ide
dela
formule
deTaylor
y
=
f x) x
variede
6x
2
YI =
Y
+
6y
=
f x
+
6x)
=
f x)
+
T
x)
+ TI
.f x)
+...
6y
=
6x .f x)
+ 2t2
.f x
45
DIFFRENTIELLE FORMULES
d une
y=f u) u=q> x) y;
=
f u), u x)
fonctiondefonction
dy=f u) u x)dx
dy
=
f u) du
de
1 f x
fonctionmplicite
/ x, y)
= 0 dy = - J y .dx
de
y
=
f 9)
1
dy= y 9).dx
fonctionparamtrique
x = q>(9) x 9)
seconde
d dy)= f x) dx). dx d2Y =f x) dx2
(nepasconfondrevec
d x2)
=
2xdx)
premirede
dy =f du +f: dv+f dw
fonctions
y =f u, v, w)
composes
(diffrentielleotale)
d une
y =f x,z) dy ou dF=f; dx +f; dz
fonctionde
plusieursariables
f f
dF=ax.dx+az.dz
successivese
y
-
u,v) 1
dy =
v
.du +
u
.
dv u
et
v
fonctionsde
x)
d2F= u
.
d2v
+
v.d2u
+2du.
dv
fonctions d)F =
u
.
d)v
+3du.
d2v
+ 3
dv
. d2
u
+
v
. d)
u
composes
y =f u, v) u=q> x,y) dy=f u du+f vdv
v
=
g x,y)
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42/65
IINTGRALES
MTHODESD INTGR TION
6
FONCfION
y =X2
f2Xdx=x2+C
PRIMITIVE
l
t
DRIVE
y =2x -..
dy
=
y dx
DIFFRENTIELLE
Intgration
Rgles
ou
- f Cf x)dx = C f f x)dx
ommation
- J
f x)
:t
g x)) dx =J
f x) dx
:t Jg x) dx
Par changement
J
f x) dx
= J
f[cp t)]
.
cp'l dl
evariable
Par transformations
u
conduisant
u
.
u
ou
i
une forme gnrale
Par parties
J
uv dx = uv
-
f.u v dx
J
u dv = uv
- J
v du
Par dcomposition
I-J dx -J dx
u trinmedu
- ax2+ bx+ c - a[ x+ fJ _ b2 )ac ) ]
econd degr
a - 0
b b2- 4ac e. b2 0)
Onpose x + '2 = u -r =:t sUivantque - 4ac
4a
Pourlesfractions
J ful
si degr
P >
degr
Q il
fautdiviser
ationnelles
Q x) si degr
P O b>O
i
X
1t1
- dx--
o eX+ 1 - 12
fo~ ln (sin x) dx = fo~ ln (COSx) dx = -}
ln 2
t
x
ln(sin
x)
dx=-fln2
r
---1 ..Ldx_ _
Jo (1+d - 2
r' J lL
dx-i
Jo x2_ 1 - 4
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48/65
1
QU T ONS
1erDEGR
-
SYSTMESINAIRESMthodesdersolution)
FORMES
RACINES
1inconnue
ax b=O
b
x= i
pour a o
0
2 inconnues
Parsubstitution
(1) x = c - bz a x + b z= c (2)
~a t
ax + bz= c (1)
a x + b z = c (2)
avecab -
a b
;o 0
z
= ac
- ca
1
il1= Oiii ax
+
bz
=
c
Cb bc
X=il1= Oiii
J
Par lesdterminants
l
a
x
b
1
=
ab- ba _I~I i,l _eb be
a b x-
po
I
-~
a b
x =
l
e x b
1
= cb
-
be
e b
z
=
l
a xC
1
=
ae - ca
a e
1;, ~II
ae
-
ca
z=
po
I
=~
a b
3inconnues
J.Dnominateurcommundes3 dterminantsde x, z, t
ax +bz +ct =d
a x
+
b z
+
e t
=
d
a x + b z +c t =d
l
a b c
1
J.=
a b e
=
ab c
+
be a
+
ca b eb a ba c ac b
a b c
l
a b c
1
J.= a b c
a b c
etd #O
NumrateursNx,N N,
I
d
bC
I
l
a dC
I
Nx =
d b c Nz
=
a d c
d b c a d c
l
a b d
1
Nt = a b d
a b d
Nx = db c + bc d + cd b -
cb d
-
bd c
-
dc b
Nz
=
ad c
+
dc a
+
ca d
-
cd a
-
da c
-
ac d
Nt =
ab d
+
bd a
+
da b
-
db a
-
ba d
-
ad b
Nx Nz
x=t; z= I:
Nt
t=t;;
52
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49/65
aU T ONS
2e
EGR
1
I
ORMES RACINES
ax2
+
bx
+
c
= 0
avec' 0
Formecanonique
[
(
l..
)
2
_
2
_
~ac
Jx2
+
bx
+
c
a
a x
+
2a 4a
- b- ~b2- 4ac
a = 2a
- b +
~
b2
-
4ac
p=~
b2
-
4ac
> 0 2racines
danscecas ax2+ bx + c =a x
-
a) x - P)
2
-b
=b-4ac=0 1racine a=2a
=
b2
-
4ac
< 0 pasderacinesellesvoirimaginaires)
Somme
s
racines:a +
p
=
-
~
ro uit s racines : a
.p= ~
2 _Sx + P _ 0 (calculde2 nombres a et pconnaissant
x - leursommeSet leurproduitP)
3e
EGR
53
FORMES RACINES
x3 +ax2+bx+ c =0
Formecanoniquearchangementevariable
a a
X=x J x=X J
x3+x(
b
-) +f7
2a29b)
+
c
= 0
p q
x3+pX +q = 0 R = 4p3+ 27q2
MthodedeCardan XI =
u
+
v
; X2= uoo+
voo2;
X3=
uoo2
+ vooet 00= el3
u= 3 - + J Y +(y v= 3- - J Y +(y
R=O
1racinedouble=
-
l' 1 3q
lmpe=-
R
-
7/25/2019 Memo Formulaire Mathematique
50/65
1
a r ONS
4e GR
FORMES
x. + ax3+ bxl + ex + d = 0
54
RACINES
L'quationdevient
) 1 avecles
I
r = -
b
y + ry +sy+ 1=0 ables s = ac- 4d
van
i
=
d(4b
-
a2)
_
c2
Avecy racinerelledeplusgrandevaleur
P=1+
p =1-
q=}.+aft
q =}.- aft
Ll=(1Y-b+y
1
a=l
si~-c
> 0
L1'= Y
-
d
a= _ 1 si
~
_
c
< 0
Lesracinesdel'quation du 4' degrsontracines
1
X2
+
px
+
q
= 0
des2 trinmes
x p x
q
=
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,
EQU TIONS IFFRENTIEllES
1
I
finitions
Relationentre
l
unefonctiony etsesdrives.Ql d]y dny
et dx dx2...dxn
unevariablex
Formegnrale
(
dy d2y dny
)
X,y dx dx2 dxn =0
1 type
quations
variables
sparables
2 type
quations
homognes
3 type
quations
linaires
aUATIONSDIFFRENTIELLESU 1erORDRE
1
~=f(x) g(y) g(yo)=0 alors y ;: Yosolutiondel quation
~=f(x)dx
f
~=
f
(X)dx +C
g(y) g(y)
dy du
dy
(
Y
)
1
dx= u +x dx
dx =
f
x
avec
Y
=
u
.
x du
/(u)
=
u
+
x
dx
f
~ -
f
~ +C
= ln
x
+ lnC si
f(uo)
=
Uo
x - f(u) - u alorsY=Uo solutionel quation
dy
dx+f(x)y = q>(x)
- sanssecondmembreq>(x)= 0 solution du 1 type
- avecsecondmembreq>(x)
Rsolutionen 2 temps
1- : +yf(x)= 0 -> Y = Ce-F(X) F(x) primitive def(x)
2 - C estune fonction de
x
:
= - Ce-F(x)
(x)
+~e-F(x)
~e-F(x)= q>(x) C=
f
l(X)q>(x)dx
Y =e-F(X).
{f(X)q>(x)dxc}
55
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1
EQU TIONS IFFRENTIEllES
aUA TIONSDIFFRENTIELLESU 28 ORDRE
Forme
d2y
dx2=f x
ar intgrations
:= ff X dx=F X +C
y a f F x dx+ Cx + C = 4> x+Cx + C
d2y
dx2=f y
ultiplicationdes2membresar2:
y d2y dy
2- - dx= 2
f y
-
dx dx2 dx
:y
2
f
j y dy+C=2F y +C
dx - dy x =
f
dy + C
,j2F y + C ,j2F y + C
d2y
d
)
x2=f x,t
dy
Avecdx= u
d2y du
dx2= dx=f x, u quationu1
r
ordre
d2y
d
)
x2=f y,
t
dy
Avecdx = u
d2y du du
dx2= dx = u dy =f y, u quationdu 1crordre
Linaires
coefficientsonstants
-
sans
secondmembre
d2y dy
dx2+P dx+qy=O
Solutiondelaformey =eux u =constante)
quationcaractristiqueu2+pu + q = 0 1)
1:1=
p2 - 4q > 0 y = Cleu,x + Cl eU>,avec Uh U2solution de 1)
1:1= 0
y
= euxC1x +
C2
1:1< 0
y=e.X C,cos~x+C2sin~x
a + ~ j = u,. a - ~j= U2. C, et C2constantes
rbitraires
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53/65
Linaires
coefficientsconstants
- avecsecondmembre
variable
f x
1 cas
2'cas
3'cas
4'cas
,
EQU TIONS IFFRENTIEllES
aUA TlONSDIFFRENTIELLESU26 ORDRE
1
Il
2y dy
dx2+p dx +qy=f x
Solution
1
y intgrale gnrale de l quation
y +YI
sanssecondmembre +YIsolution
particulire de l quation avec second membre
f x
=P
eux
P polynmeenx ;degrP
- n
Solution particulire Q(x)eUX o Q polynme en x
u2 + pu + q = 0
1
si a n estpas racine degrQ
- n
a est racinesimple degr Q - n + 1
a est racinedouble degrQ = n + 2
f x = R cos lx + Ssin px
I
R et S polynmes en x degr R = r
p=constante degrS=s
Solution particulire T x cos lx + U x sin px
u2 + pu + q _ 0
1
sipj n est pasracine degT = r degU = s
sipjestracine degT=r+ 1 degU=s+ 1
n
f x -
L
akfi x
k.1
n
une solution
particulire
est L akYk x o akestune
constante
k.1
et Yk solution particulire ~
+ p
~
+ q y x
-
fi x
d2 d
f x
=
ax2
+
bx
+
c
= A J + B
lx
+
Cy
avecC 0
Solutionarticulire (avecYI=ax2+ lx +y)
ax2+bx+c == A.2a+B2ax+P)+C ax2+px+y)
a=~
1
Cp+2aB=b
2aA+Bp+Cy=c
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1 CALCUL VECTORIEL
Vecteuribre
Identit de Chasles
Addition de vecteurs
Composantes vectorielles
et scalaires
d un vecteur
Multiplication d un
vecteur V par un
nombre
m
Produit scalaire
ou produit gomtrique)
Expression analytique
du produit scalaire
Produit vectoriel
Thorme de
Varignon
58
IABInonne du vecteur
V
notation officielle Il Il
AB+OA-OB
s-V+V:
V=OM-OA+OB+OC
x, y, z composantescalaires
i, j, k
vecteursunitaires
V xi yj zk
W-mV
m +V)- m+mV
V. v: = IVI IV:Icosa
En mcanique:
T-F.[.cosa
v
~
o
A
B
1
w{v
~=Iml
IVI
D
V H
v=xT_+
yj ~zk
_
1
V.V:=XX +YY +zz
V:-X i
+Y j +Z k
/\V=W
Avec
IWI= II IVI lsin al
iY-
iY/\
V=
/\ V
w
V
/\ A+
ih=
V/\ A+V/\ B
sansintervertir l ordre des facteurs)
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Composantes
duproduitvectoriel
Produit mixte
de vecteurs
Double produit
vectoriel
Fonction vectorielle
d une variable
Moment d un
vecteurar
rapport un point
A
l~
,V,W)=0 V1\ W)
Produitvectoriel V 1\ W = 0 0
ro uitmixte
V 1\ W)= OU OG
cos Il
produit scalaire
l
x
V
y
z
CALCUL VECTORIEL
1
Il
_
1
yz - zy
U
1\
V zx -xz
xy
-
yx
1\
V
1\
W)
~ W)V - V)W
V t)
{
Vvect~ur
t scalalfe
V t) = 6M vecteur espace
_
l
x
=/ t)
V t)
y =g t)
z ~ h t)
dV
l
X drive de x
dl y drivede y
z drivede z
l
x
V y
z
Enmcanique:
_
V
o
d
M
dM
vItesseu pomt = dl
d2V-
2 = S acclration
dt
1
Xo
A Yo
Zo
z
M
y
x
v u
_
I
X
AB
i
o origine
Lo AB) = OA
1\
AB - OG
_
1
L =yoZ-zoY
OG M= zoX-xoZ
N=xoY-yoX
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M
O p
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quationdela
circonfrence
-
encoordonnes
cartsiennes
-
encoordonnes
paramtriques
-
encoordonnes
polaires
Tangente
quation de MT
-
encoordonnes
cartsiennes
- encoordonnes
paramtriques
Intersection
avecunedroite
y
1
Il
GOMTRI N LYTIQU
LECERCLE
- 1 l origine =
x2
+
y2
= R2
- 1 en
1
b
x - a)2+ y -
W
= R2
x=a+Rcos9 y=b+Rsin9
Avectg~ = t [- 00+ 00]
x
=
a
+ R 1- 12
Y
=
b
+ R 21
T+? Ti7
x=OMcos 9=pcos9
y
= OM sin 9 = p sin 9
p cos9
-
xoi + psin9
- YO)2
= R2
Centresurl axepolairep = 2Rcos9
Centreauple0 p = 2Rsin9
IM
l
xo-a
Yo
-
b
TI~
x- a) xo a)+ y- b) yob)
= R2
x
- a)cos9+
y
-
b)
sin9 - R = 0
Cerclex2+/ = R2 C)
Droite y = ax + b D)
Intersectione C)et D):
x2+ ax
+
b)2=
R2
ety=ax+b
= R2 1+ a2)-
b2
< 0 droiteextrieureucercle
= 0 1pointtangenteucercle
> 0 2points x= -ab: : 1{i:.;y=ax+b
1
+a
b
o
x
x
axepolaire
y
>
y
6
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1
GOMTRI N LYTIQU
LECERCLE
nterse tion de
2 circonfrences
Puissance un
pointparrapport
uncercle
Axeradical
de2circonfrences
X2
+
y2
= R2 (0) 00 =
d
x
-
d)2
+ /
=
R 2 (0 )
R2+d2
_
R,2
X
=
u
y = : :JR2
-
X2
PM = r x = XI + r cosa
PM =
r y
= Y I +
r
sina
MI;
XI + r cosa - xo)2 + (yI + rsin a - YO)2 = R2
rr
=
XI
-
xoi
+ (yI -
YO)2
- R2
distance PC =
d
d2 - R 2 = constante = Puissance de P
Lieu des points de mme
puissance par rapport 0 et 0
quation de AB
M E AB fs i OM2
-
O M2
= R2 - R,2
1
TANGENTESET NORMALESA UNE COURBE
Tangente
Sousangente
Normale
Sousnormale
Longueurde la tangente
Longueurdela normale
62
Tangente en M (drive)
Y
-
Yo- xo) x- xo)
f x) y
- ~=-y=TP
Nonnale en M
1
Y - Yo=- - x- xo)
f xo)
f xo)
.
f XO)
=
yi =
PN
MT =yJI +y 2
y
MN = yJ1+Yii
y
x
y
T
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SYSTMES E OOR ONNES
1
Il
63
Diffrents Coordonnesartsiennes
(j) y
@ p
systmes (4quadrants)
y
quationexplicite
y
=
f x)
0-
x
quationmplicite x,y)
=
0
x
(j)
@
Coordonnesolaires
ofP
Ple0)
p
=f 9)
horizontale
Coordonnesaramtriques
paramtre1
x
= Rcos9
(
--......p
rn
utemps y = Rsin9
Ixl =OH
Iyl =PH
u x
H
y
Y
Translation
@=OO+nM
lM
esaxes
a/
Q
X
(changementorigine)
x X a
y=Y+b
0
x
Rotation
X =
x
cos
a
-
y
sin
a
desaxes
Y=ysina+xcosa
y X
IPenP etQenQ
Q a Q :
ransforme Ox en OX et Oy en OY
transformation
x
=X cos
a
+Y sin
a
o p
x
inverse y=-Xsina+Ycosa
Formulegnrale
X=a +xcosa- ysina
translationrotation
Y=b+xcosa+ycosa
Transformation
Ox axepolaire
cos9=. .1
1d,
escoordonnesolaires
R R2=
x2
+
y2
o eRx
y x
encoordonnes Y .
cartsiennes
s in9=
R
(9 2k1t prs)
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1 CONIQUES
Dfinition
d uneconique
quation
gnrale
Changement
d origine
Rductione
l quation
gnrale
quationcommune
aux 3 coniques
64
Lieu gomtriquedfini
MF
par MP = constante= e
I
F pointfixe= foyer FH=
P
D droitedirectrice
e excentricit
(HF)appelexefocal
MF =
.Jx2
+
y2
= e(x +
p
MP=x p
Quation
x2
+ l-
e2(x+
d = 0
Lechangement en-
y
montreasymtrieparrapport
l axedes
x
y
=0 e(x +
p
= j:
x
e= 1 0pointd intersectionntre
coniqueet axefocaldans
lerepre0,
Ox,Oy
F:(~,O) D: x=-~
y2=
2pX
Parabole
o < e < 1 e= f
a2
-
e2
> 0
- a
X2 y2 .
2 + 2 2 = 1 Elhpse
a a - e
e > 1
a2
-
e2
< 0
e2
_
a2=
b2
X2 y2
- - -
= 1 Hyperbole
a2 b2
e=O Cercle
ellipse
y
x
A
OA = ON = a
OF = OF =
e
Al + Bxy+Cx2+ Dy +Ex+F=0
avec
XoYo
nouvelleorigine
x=xo X y=Yo y
Ay2+BXY+CX2+FI=0
l
>
0 hyperbole
, < 0ellipse
, = 0 parabole
y2 =
p
X2
y
H P F
x
D
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QUATIONS DE COURBESDIVERSES 1
Il
65
Coordonnes Coordonnes
Formes
cartsiennes
polaires
paramtriques
Cercle
x _XO 2
+ y -
Yo 2
= R2 p2_ 2p
xo
cos9 +
Yo
sin9)+
x
=
Xo
+ Rcos9
x
+
y
- R2) = 0
y
=
Yo
+Rs in9
Parabole
p
12
yi
=
2px
P=I-cos9
x=2ji
y =1
Ellipse
x2 yi
p
x=acos9
+-=1
P=1-ecos9
2 b2
eexcentricit
b2
y=bsin9
p=-
a2
_
c2
=
b2
a
Hyperbole
x2 y2 P
X
_
a
--=1
P-I-ecos9
2 b2
- Os
e=
c2
_
a2
=
b2
b2
b
p=-
Y=g
a
Cyclode
B..::.1
p =
2a :t
1- cos9)
x
= R 9- sin9)
=Rarccos R :t
,j2Ry - y2
cardiode)
y
=
R 1- cos9)
Cissode
y=:txJ2x
P= co 9 - 2pcos9- 2qsin9
2 p+ql)
a -x
x=a-I+T
x
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