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Manuel Fernando
Castellar Alvis
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El mtodo de la falsa posicin puede verse desde
dos perspectivas, una es el mtodo de Newton y
la otra es el mtodo de la biseccin. se
convierten en civilizacin cuando los que
pertenecen a ese conjunto tienen los mismos
intereses y creencias y para comunicarse
necesitan traducir de una cultura a otra.
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Para el mtodo de Newton es el caso limite del
mtodo de la falsa posicin, en el cual aparece
la recta secante en lugar de la tangente.
Supongamos que se conocen dos puntos
(0, 0) (1, 1) en la vecindad de la
interseccin con el eje x requerida. Si
reemplazamos la curva por la secante que une
estos dos puntos, la interseccin de sta con el
eje x puede ser una mejor aproximacin a la raz
requerida de la ecuacin.
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Existen 2 tipos de cultura que son cultura
alta y cultura popular, cada una se
especializa en diferentes reas de acuerdo
con Dwight McDonald, el argumenta que la
cultura alta y popular no pueden ser
comparadas ni analizadas de igual manera.
Ya que ambas se refieren a practicas sociales
diferentes, la cultura alta se refiere a
dominar cosas mas difciles como tocar el
piano o el violonchelo y la cultura popular es
descrita por los gustos culturales mas
populares como el bailar salsa y tocar la
guitarra, es decir, ser mas comunes.
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Partiendo de p el punto de interseccin se
tiene que la pendiente es la misma para ambas
semirrectas, desde p hasta p0 desde p hasta p1,esto es:
x0(x0)
=X1(X1)
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De lo cual se obtiene
= X0 -(X0)
(X1)(X0)X1X0
Esta ecuacin, es la que determina la
aproximacin de P con respecto a x0 y x1 constituyeel mtodo de la falsa posicin.
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La ecuacin de aproximacin de Newton resulta
como caso limite cuando, pues el
denominador del segundo termino del miembro
derecho en la ecuacin tiende a (0) conforme
= X0 -(X0)
(X1)(X0)X1X0
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Por otro lado tenemos el mtodo de biseccin,
este mtodo al dividir el intervalo [, ] en mitades iguales no toma en cuenta la magnitud
de () ().Ahora si por ejemplo si () es mucho mas cercana a cero que (), es lgico que la raz se encuentra mas cerca de que de .
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Este mtodo alternativo que aprovecha la
visualizacin grafica consiste en unir () y() con una lnea recta. La interseccin deesta lnea recta con el eje x en el punto P
representa una mejor estimacin de la raz. El
hecho de que se reemplace la curva por una
lnea recta da una falsa posicin de la raz,de aqu el nombre del mtodo.
Consideremos nuevamente la grafica anterior,
donde la lnea recta une los puntos extremos
de la grfica en el intervalo [, ].
-
En lugar de considerar el punto medio del
intervalo, tomamos el punto donde la recta
corta al eje x y es sta la idea central del
mtodo de la falsa posicin. Es la nica
diferencia con el mtodo de biseccin,
puesto que en todo lo dems son
prcticamente idnticos.
Supongamos que tenemos una funcin ()que es continua en el intervalo [, ] yadems, () y () tienen signos opuestos.
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Calculemos la ecuacin de la recta que une los
puntos (, ()) y (, ()) , sabemos que lapendiente de esta recta es:
= ()
Luego la ecuacin de la recta es:
y - f()= ()
(x - )
Para obtener el corte con el eje x se hace y=0,
- f()= ()
(x - )
-
Finalmente, encontramos x
= ()()
()
Este punto es el que toma el papel de P en
lugar del punto medio del mtodo de
biseccin.
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El mtodo de la falsa posicin sigue los
siguientes pasos:
1. Encontrar valores iniciales a y b, tales que
f(a) y f(b) tienen signos opuestos
f(a).f(a)
-
3. Evaluar, f(xr) y forzosamente debemos caer uno de
los siguientes casos
f(a).f(xr)< 0 En este caso, tenemos que f(a) y f(b) tienen signos opuestos, y por lo tanto la raz se
encuentra en el intervalo [a, xr].
f(a).f(xr)> 0 En este caso, tenemos que f(a) y f(b) tienen el mismo signo, lo que significa que f(xr)
y f(b) tienen signos opuestos. Por lo tanto la raz se
encuentra en el intervalo [xr,b]
f(a).f(xr) = 0 En este caso se tiene que f(xr) =
0 y por lo tanto ya encontramos la raz. El proceso
se vuelve a repetir hasta que el error relativo entre
dos aproximaciones del cero de f, cumpla con la
tolerancia previamente establecida. cn cn1
cn<
-
Ejemplo: Utilizar el mtodo de la falsa posicin
para aproximar la raz de () = -
Comenzando en el intervalo [1,2] y hasta que
el error aproximado sea < %.
solucin:
La funcin f(x) es continua en el intervalo dado
y al evaluarla toma signos opuestos en los
extremos de dicho intervalo. Por lo tanto
podemos usar el mtodo de la falsa posicin.
Calculamos la primer aproximacin:
-
xr1 = ()()
()= 2
2 21
2 1= 1.397410482
Puesto que solamente tenemos una aproximacin,
debemos seguir con el proceso.
As pues,
xr1 = 1.397410482-ln(1.397410482)
= - 0,087384509, por lo que la raz se
encuentra en el intervalo [1, 1.397410482]
La nueva aproximacin
xr2 = 1.397410482 (1.397410482)(11,397410482)
1 (1,397410482)
xr2 = 1.321130513
-
en este momento, podemos calcular el primer
error aproximado.
error =1.3211305131.397410482
1.321130513 100%
= 5.77%
Dado que la tolerancia an no se ha encontrado
seguimos con el proceso.
Evaluamos (xr2) = 1.321130513-ln(1.321130513)
= 0.011654346
Vemos que la raz se encuentra en el intervalo
[1, 1.321130513] con el cual calculamos la siguiente aproximacin
-
xr3 = 1.321130513 (1.321130513)(11.321130513)
1 (1.321130513)
xr3 = 1.311269556
Veamos cual es el error aproximado
error =1.3112695561.321130513
1.311269556 100%
= 0.75%
El valor 0.75% >1%, por lo tanto concluimos que la aproximacin buscada es
xr3 = 1.311269556
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En la siguiente tabla se aprecian las iteraciones
que se realizan
Iteracion a b f(a) f(b) xr f(xr) error1 1 2 0,36787944 -0,5578119 1,32974105 -0,08738451
2 1 1,32974105 0,36787944 -0,08738451 1,32113051 -0,01165435 5,77%
3 1 1,32113051 0,36787944 -0,01165435 1,31126956 -0,00151808 0,75%
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GRACIAS
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