metoda premikov

METODA PREMIKOV

izr. prof. dr. Vojko KILARasist. dr. David Koren

marec, 2012

GRADBENA MEHANIKA:

Fakulteta za arhitekturo

Univerza v Ljubljani

Okvirne konstrukcije• SAP2000: 3-etažen okvir: Lx = 2 x 6 m, Het = 3 m, HEA 300 (stebri), IPE 240 (grede), jeklo S235

• obtežba vozlišča i: M = 100 kNm

• zasuk vozlišča i [10-3 rad]:

okvir 1 okvir 2 okvir 3

2,06 1,18 1,14

vozlišče i

M

Splošna togostna matrika elementa• OBOJESTRANSKO VPETI NOSILEC

ui wi i uk wk k

Ni L

A E 0 0

L

A E 0 0

Qi 0 12 E I

L3 6 E I

L2 0 3L

I E 12

6 E I

L2

Mi 0 6 E I

L2 4 E I

L 0

2L

I E 6

2 E I

L

Nk L

A E 0 0

L

A E 0 0

Qk 0 3L

I E 12

2L

I E 6 0 12 E I

L3 2L

I E 6

Mk 0 2L

I E 6

2 E I

L 0

2L

I E 6

4 E I

L

k i k

i k

wi

iMi

Qi

Qk

i kMi

Qi Qk

wk

i k

i

Mi

Qi Qk

i k

k

i

i

kwi

iMi

Qi

Qk

i

i

Mi

Qi

k

k

Mk

wkMi Mk

Qi

i

Qk

k

k

Qk

Mk

iMi

Mk

Qi

Qk

kk

zasuk členka ne povzročanotranjih sil

Splošna togostna matrika elementa• ENOSTRANSKO VPETI NOSILEC

k i k

i k

wi

iMi

Qi

Qk

i kMi

Qi Qk

wk

i k

i

Mi

Qi Qk

i k

k

i

i

kwi

iMi

Qi

Qk

i

i

Mi

Qi

k

k

Mk

wkMi Mk

Qi

i

Qk

k

k

Qk

Mk

iMi

Mk

Qi

Qk

kk

zasuk členka ne povzročanotranjih sil

ui wi i uk wk k

Ni L

A E 0 0

L

A E 0 0

Qi 0 3 E I

L3 3 E I

L2 0 3L

I E 3 0

Mi 0 3 E I

L2 3 E I

L 0

2L

I E 3 0

Nk L

A E 0 0

L

A E 0 0

Qk 0 3L

I E 3

2L

I E 3 0 3 E I

L3 0

Mk 0 0 0 0 0 0

Obojestransko vpeti nosilec• SAP2000: L = 1 m, EI = 1, faktor za A in As >> 1

• obtežba desnega vozlišča: φ = 1 radφ

[M] kNm

[Q] kN

deformacije

Obo

jest

rans

ko v

peti

nosi

lec

Togostna matrika:

Obo

jest

rans

ko v

peti

nosi

lec

Enostransko vpeti nosilec• SAP2000: L = 1 m, EI = 1, faktor za A in As >> 1

• obtežba vpetega (desnega) vozlišča: φ = 1 radφ

[M] kNm

[Q] kN

deformacije

Enos

tran

sko

vpeti

nos

ilec

0 00 3

Togostna matrika:

Enos

tran

sko

vpeti

nos

ilec

Vpliv

zun

anje

obt

ežbe

Primer 1

l/2

Pφ1

32

l

1

φ2 φ3

l/2

Podatki:

Primer 1

l/2

Pφ1

32

l

1

φ2 φ3

l/2

Podatki:

1 2 2 3

Togostni matriki elementov

Primer 1

1 2 2 3

Togostni matriki elementov

Togostna matrika konstrukcije:

=

=

=1

Primer 1=0

=0

l/2

Pφ1

2

l

1

φ2 φ3

l/2

Primer 1 – upogibni momenti [ ]P

21

φ2

2φ2 =0,29

4φ2 =0,57

3φ2 =0,43

+- -

φ2φ2

[Mφ2]

1,0

1,0+- [Mobt.]

0,14

- 1,0

1,29

1,14+

- [M]-0,43

Primer 1 – prečne sile [ ]P

21

φ2

6/l·φ2 = 0,86 + +

φ2φ2

[Qφ2]

4,0+

[Qobt.]-

4,0

4,86+

[Q]+0,43

3/l·φ2 = 0,43

-3,14

Primer 1 – reakcije [ ]P

21

φ2

4,86+

[Q]+0,43

-3,14

3

V1 = 4,86

M1 = 1,29H1 = 0

V2 = 3,57 V3 = 0,43

+QR

Smeri:

+Q R

[R]

Primer 2

l1

421

3

l2

l1

q

Podatki:

Primer 2

421

3

q Podatki:

1 2 2 4

2

3

Togostne matrike elementov

Primer 21 2 2 4

2

3

Togostna matrika konstrukcije:

=

i = 1 … „moder“ in „zelen“ element

i = 2 … „rdeč“ element

Primer 2

Ob predpostavki l1 = l2 velja:

Primer 2Upogibni momenti [kNm] in deformirana lega

Program SAP2000

-predpostavka l1 = l2

-q = 10 kN/m

-l = 1 m, EI = 1

-faktor za A in As >> 1

1,136

Primer 2a421

3

q Podatki:

1 2 2 4

2

3

Togostne matrike elementov

Primer 2a

Togostna matrika konstrukcije:

=

i = 1 … „moder“ in „zelen“ element

i = 2 … „rdeč“ element

1 2 2

2

3

Ob predpostavki l1 = l2 velja:

4

Primer 2aUpogibni momenti [kNm] in deformirana lega

Program SAP2000

-predpostavka l1 = l2

-q = 10 kN/m

-l = 1 m, EI = 1

-faktor za A in As >> 1

Primer 3

l

52

6

l

q

Podatki:

43

l

1

Primer 3

l

52

6

l

q

43

l

1

Togostne matrike elementov

Togostna matrika konstrukcije

φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6

0 0 0 0 0 0

0 11 2 0 2 0

0 2 8 2 0 0

0 0 2 8 2 0

0 2 0 2 11 2

0 0 0 0 2 4

Primer 3φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6

0 0 0 0 0 0

0 11 2 0 2 0

0 2 8 2 0 0

0 0 2 8 2 0

0 2 0 2 11 2

0 0 0 0 2 4

=

sistem 5 enačb s 5 neznankami

(φ2, φ3, φ4, φ5, M6)

Primer 3Upogibni momenti [kNm] in deformirana lega

Program SAP2000

-q = 10 kN/m

-l = 1 m, EI = 1

-faktor za A in As >> 1

Togostne matrike konstrukcijk11 k12 . . . k1n

k21 k22 . . . k2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

kn1 kn2 . . . knn

=

Za togostno matriko konstrukcije [K] in za togostne matrike elementov velja, da so simetrične. Togostna matrika stabilne konstrukcije je pozitivno definitna (ne more biti singularna in jo lahko invertiramo dobimo podajnostno matriko konstrukcije).Diagonalizacija matrike problem lastnih vrednosti (λ):

xMxK