metode rjesavanja lin el mreza 2
Post on 13-Dec-2015
8 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
9. predavanje OE 1
1
8.1.6. Metoda superpozicije
Svi linearni sustavi imaju svojstvo aditivnosti, koje dopušta parcijalno zbrajanje nekih
veličina. To svojstvo se zove princip superpozicije (pridodavanja), a primjenjivo je u
linearnim električnim mrežama. Struja u nekoj grani linearne mreže može se izračunati tako
da se računa doprinos struje svakog izvora posebno, a rezultirajuća struja te grane dobije se
zbrajanjem doprinosa svih izvora te mreže.
1) Pri tom postupku u mreži se ostavi samo jedan izvor, sve ostale EMS se kratko spoje,
a strujni izvori se prekinu (odspoje).
2) Zatim se izabere drugi izvor i provede isti postupak sve dok se ne dođe do zadnjeg
izvora.
3) Sve parcijalne vrijednosti struje se zbrajaju, pri čemu treba voditi računa o smjeru
pojedinih parcijalnih struja.
Taj postupak pokazat ćemo na primjeru, tako da ćemo izračunati struju I3 u mreži na
sl. 8.19. Mreža ima dvije EMS pa ćemo izračunati dvije parcijalne struje kroz treću granu,
sl. 9.19.b i c.
a) b) c)
Sl. 8.19. Princip superpozicije:
a) zadana mreža sa svim EMS; b) parcijalne struje EMS E1; c) parcijalne struje EMS E2.
1. EMS E1 stvara parcijalnu struju I3(1) u trećoj grani, sl. 8.19.b. Tu struju ćemo izračunati
tako da prvo izračunamo parcijalnu struju toga izvora. Ukupni otpor koji osjeća EMS E1 je
2 31u 1
2 3
R RR R
R R= +
+ ,
pa je struja tog izvora ( )
32
321
11 1
RR
RRR
EI
++
= .
Sada se primjenom formule za djelitelj struje dobije tražena struja
( ) ( )323121
21
32
213 11
RRRRRR
RE
RR
RII
++=
+=
2. Na isti način prvo ćemo izračunati struju izvora EMS E2 , sl. 8.19.c.
( )
31
312
22 2
RR
RRR
EI
++
= .
Parcijalna struja treće grane je ( ) ( )323121
12
31
123 22
RRRRRR
RE
RR
RII
++=
+= .
Konačno se dobije tražena struja kao zbroj struja
( ) ( )323121
1221333 21
RRRRRR
REREIII
++
+=+= .
U dobiveni izraz uvrstite brojčane vrijednosti iz primjera 8.3. i provjerite rezultat.
9. predavanje OE 1
2
Primjer 8.12. Izračunajte struju I u otporu R mreže na sl. 8.20.a.
Zadano je: E1 = 10 V, I0 = 1 A, R1 = 4 Ω i R = 6 Ω.
a) b) c)
Sl. 8.20.
Rješenje. Prvo ćemo izračunati struju EMS E1, pri čemu se strujni krug mora
prekinuti, sl.8.20.b., pa je
( ) ARR
EI 11
1
1 =+
= .
Zatim se računa doprinos strujnog izvora, pri čemu se EMS kratko spoji, sl. 8.20.c., pa je
tražena struja
( ) ARR
RII 4,02
1
10 =
+= .
Konačno se dobije tražena struja AIII 4,1)2()1( =+= .
8.2. Teoremi linearnih električnih mreža
Teoremi mreža su nedvosmisleni i jasni iskazi o nekim svojstvima mreža koja se
podrazumijevaju i sadržana su u jednadžbama I i II Kirchhoffovog zakona analizirane mreže.
Ponekad su problemi takvog karaktera da ne treba računati struje u svim granama
mreže, već samo u jednoj ili dvije grane. Za takve slučajeve pogodni su teoremi električnih
mreža. Pomoću njih u mnogim se takvim slučajevima složena mreža može svesti na bitno
jednostavniju mrežu. Pokazat ćemo neke od teorema linearnih električnih mreža.
8.2.1. Teorem zamjene (supstitucije, kompenzacije)
Teorem. Svaki linearni otpor R neke mreže kojim teče struja I moguće je zamijeniti
ekvivalentnom protuelektromotornom silom E = IR, i obratno, svaku EMS možemo
zamijeniti otporom na kojem vlada pad napona jednak iznosu EMS.
Sl. 8.21. Dokaz teorema zamjene: a) osnovna mreža; b) ekvivalentna mreža; c) ekvivalentna mreža.
9. predavanje OE 1
3
Dokaz. Iz mreže se izdvoji jedna grana s otporom R i strujom I, a preostali aktivni dio
mreže označi se s A, sl. 8.21.a. Ako se u promatranu granu unesu dvije jednake i protusmjerne
EMS čiji je iznos jednak padu napona na otporu R, raspored struja u mreži se neće
promijeniti, sl. 8.21.b. Točke a i c su na istim potencijalima, što je vidljivo iz izraza:
a c c cU U IR E U IR IR U= + − = + − = .
Zbog toga se točke a i c mogu zajedno spojiti u jednu točku (crtkano). Tako se dobije
sl. 8.21.c., u kojoj umjesto otpora R stoji protuelektromotorna sila E = IR. Raspored struja u
ostalim elementima mreže se nije promijenio. Obrat teorema je očit.
8.2.2. Theveninov teorem
Struju kroz bilo koji otpor R, grane a - b električne mreže, može se odrediti, a da se pri
tome ne računaju sve granske struje. Tu granu možemo izdvojiti, a ostali dio mreže prikažemo
jednim pravokutnikom kojeg ćemo zvati aktivnom mrežom, sl. 8.22.a. Aktivna mreža, u
općem slučaju, osim RLC elemenata sadrži naponske i strujne izvore. Theveninov teorem
kaže da se ta aktivna mreža smije zamijeniti ekvivalentnim realnim naponskim izvorom EMS ET unutarnjeg otpora RT, sl. 8.22.b.
a) b) c) d)
Sl. 8.22. Uz Theveninov teorem: a) aktivna mreža; b) ekvivalentni realni naponski izvor;
c) određivanje EMS ET = Uab ; d) određivanje unutarnjeg otpora RT = Rab .
EMS ekvivalentnog izvora ET jednaka je naponu praznog hoda phab
U = ET koji
vlada na priključnicama (a-b) aktivne mreže kada se isključi otpor R, sl. 8.22.c.
Unutarnji otpor izvora RT jednak je otporu pasivizirane mreže Rab = RT ,
sl. 8.22.d. Pasivizirana mreža se dobije tako da se sve EMS kratko spoje, a strujni izvori
prekinu. Kada se sve to obavi, tada iz sheme na sl. 8.22.b. slijedi da je tražena struja
.
a) b)
Sl. 8.23. Nadomještanje po dijelovima mreže: a) aktivna mreža; b) odgovarajuća nadomjesna shema.
T
T
EI
R R=
+
9. predavanje OE 1
4
Mreža se smije nadomještati po dijelovima. Tako je ponekad neku mrežu zgodno
nadomjestiti u dva dijela, slike 8.23. a i b, a možda i više. U takvom slučaju treba strogo
voditi računa o smjerovima Theveninovih EMS.
Primjer 8.13. Odredite struju I3 u mreži na sl. 8.24.a.
a) b) c)
Sl. 8.24.
Rješenje. Mreža ima samo dva čvora. Zadatak ćemo riješiti primjenom
Theveninovog teorema. Prvo ćemo naći EMS ET , sl. 8.24.b. Taj napon ćemo najlakše naći
metodom potencijala čvora
ph
1 2ab
1 2 1 2
1 1 E EU
R R R R
+ = +
,
pa je tražena EMS
ph
1 2
1 2T ab
1 2
1 1
E E
R RE U
R R
+
= =
+
.
Unutarnji otpor RT odredit ćemo iz pasivizirane mreže, sl. 8.24.c.
T 1 2
1 1 1
R R R= + ,
odnosno
1 2T
1 2
R RR
R R=
+ .
Sada se napravi nadomjesna shema, sl. 8.22.b., pa je tražena struja
T 1 2 2 13
T 3 1 2 1 3 2 3
E E R E RI
R R R R R R R R
+= =
+ + +.
Dobili smo isti rezultat kao i metodom superpozicije.
Nadomještanje mreže s dvama čvorovima zove se Millmanov teorem. Vidimo da je on
specijalan slučaj Theveninovog teorema, pa nema potrebe da se posebno obrađuje. Ako se u
mreži s dvama čvorovima traži struja u nekoj grani, onda je najkraći put do rezultata primjena
metode potencijala čvorova. Za nadomještanje takve mreže ekvivalentnim izvorom dovoljno
je znati Theveninov teorem, a EMS ET najlakše se odredi metodom potencijala čvorova.
Primjer 8.14. U shemi na sl. 8.25. odredite struju u otporu R5 . Zadano je: E1 = 20 V,
E2 = 10 V, E3 = 10 V, R1 = 4 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = R4 = 5 Ω i R5 = 4,1 Ω.
9. predavanje OE 1
5
Rješenje. Prvo ćemo odrediti EMS ET , sl.8.25.b. Isključenjem otpora R5 mreža se
raspada na dvije odvojene konture u kojima teku struje
1 21
1 2
1 AE E
IR R
−= =
+ ; 3
2
3 4
1 AE
IR R
= =+
.
Sada se može odrediti tražena EMS
T ab 1 2 2 2 4 11 VE U I R E I R= = + − = .
Sl. 8.25.
Do istog rezultata došli bismo tako da izračunamo potencijale φa i φb , pa dobijemo
Uab = φa - φb . Probajte to napraviti metodom potencijala čvorova.
Otpor RT dobijemo ako mrežu pasiviziramo, sl. 8.25.c., pa dobijemo da je
3 41 2T
1 2 3 4
4,9R RR R
RR R R R
= + = Ω+ +
.
Tražena struja na otporu R5 je
T5
T 5
1,2 2 AE
IR R
•
= =+
.
Primjer U mreži na sl. 8.25'. nađite struju I, napon U i snagu koja se troši na
nelinearnom elementu N, te snagu koju izvor predaje u mrežu. Nelinearni element zadan je
U – I karakteristikom.
Sl. 8.25'.
9. predavanje OE 1
6
Rješenje. S obzirom na stezaljke nelinearnog elementa nadomjestimo ostatak
sheme po Theveninovom teoremu:
2T
1 2
136 VR
E ER R
= =+
, 1 2T
1 2
40R R
RR R
= = Ω+
.
U – I karakteristiku nelinearnog elementa možemo za U > 60 V prikazati pravcem
60150 += IU .
Sl. 8.25''.
Sada možemo za nadomjesnu shemu napisati jednadžbu II
Kirchhoffovog zakona
T T150 60E I IR= + + ,
a odatle izrazimo struju u krugu
136 600,4 A
190I
−= = .
Uvrštavanjem vrijednosti struje u izraz za napon
nelinearnog elementa dobivamo
120 VU = .
Snaga koja se troši na nelinearnom elementu je N 48 WP UI= = .
Struja izvora je E
2
1 AU
I IR
= + = .
Snaga koju izvor predaje u mrežu je E E 170 WP I E= = .
8.2.3. Nortonov teorem
Nortonov teorem kaže da se aktivni dio mreže, sl. 8.26.a., smije zamijeniti
ekvivalentnim realnim strujnim izvorom, prema sl. 8.26.b.
Struja nadomjesnog strujnog izvora IN jednaka je struji koja teče između priključnica
a – b kada se one kratko spoje, sl. 8.27.a.
Unutarnji otpor RN = RT određuje se na isti način kao Theveninov otpor, sl. 8.27.b.
Primjenom djelitelja struje na nadomjesnu shemu, sl. 8.26.b., tražena struja je
NN
N
RI I
R R=
+.
a) b)
Sl. 8.26. Nadomjesna shema aktivne mreže po Nortonovom teoremu: a) aktivna mreža; b) nadomjesna shema.
a) b)
Sl. 8.27. Određivanje parametara strujnog izvora: a) struje IN ; b) unutarnjeg otpora RN.
9. predavanje OE 1
7
Primjer 8.15. Odredite struju I3 kroz otpor R3 u shemi na sl. 8.24.a. primjenom
Nortonovog teorema.
Sl. 8.24.a.
Rješenje. Za određivanje struje IN potrebno je priključnice a – b kratko spojiti,
sl. 8.28.a. Pritom otpor R3 ne igra više nikakvu ulogu pa vrijedi da je
1
11
R
EI = ;
2
22
R
EI = .
a) b) c)
Sl. 8.28.
Tražena struja izvora je
1 2N 1 2
1 2
E EI I I
R R= + = + .
Unutarnji otpor dobije se sa sl. 8.28.b.
1 2N
1 2
R RR
R R=
+.
Iz nadomjesne sheme, sl. 8.28.c., dobije se tražena struja
N 1 2 2 13 N
N 3 1 2 1 3 2 3
R E R E RI I
R R R R R R R R
+= =
+ + +.
Primjer 8.16. Pomoću Nortonovog teorema odredite struju I5 na shemi na sl. 8.25.a.
iz primjera 8.14.
Rješenje. Ako priključnice a i b spojimo, tada otpor R5 ne igra nikakvu ulogu, a
potencijal je φa = φb , sl. 8.29.a. Ako se točka c uzme kao referentna (φc = 0), tada vrijedi da je
31 2a
1 2 3 4 1 2 3
1 1 1 1 EE E
R R R R R R Rϕ
+ + + = + +
,
Odnosno
9. predavanje OE 1
8
31 2
1 2 3a b
1 2 3 4
10,6122449 V1 1 1 1
EE E
R R R
R R R R
ϕ ϕ
+ +
= = =
+ + +
a) b)
Sl. 8.29.
Sada ćemo izračunati struje
c b 33
3
0,122449 AE
IR
ϕ ϕ− += = − ,
i
a c4
4
2,122449 AIR
ϕ ϕ−= = .
Primjenom I Kirchhoffovog zakona za čvor b dobije se da je struja
N 4 3 2, 2449 AI I I= − = .
Unutarnji otpor je jednak kao i u primjeru 8.14., tj.
N T 4,9R R= = Ω .
Iz sheme na sl. 8.29.b. slijedi da je tražena struja
N5 N
N 5
1, 2 2 AR
I IR R
•
= =+
.
Isti rezultat dobili smo pomoću Theveninovog teorema u primjeru 8.14.
Primjer 8.17. U primjeru 8.14. odredite sve granske struje kombiniranom metodom.
Rješenje. Kombinirana metoda se sastoji u tome da se dio mreže može nadomjestiti
Theveninovim, odnosno Nortonovim teoremom, pa se preostali dio mreže lako riješi. Pokazat
ćemo dva načina rješavanja navedenog primjera.
a) Budući da je struja I5 određena u primjerima 8.14. i 8.16. sada preostale struje možemo
odrediti primjenom metode napona čvorova, sl. 8.30.a.
Za čvor (1) vrijedi relacija
5
2
2
1
1
21
10
11I
R
E
R
E
RRU −+=
+ ,
pa je
1 25
1 210
1 2
20 101, 2 2
4 6 13,06 V1 1 1 1
4 6
E EI
R RU
R R
•
•+ − + −
== = =
+ +
.
9. predavanje OE 1
9
Sl. 8.30.a.
Sada se mogu izračunati struje I1 i I2, sl. 8.30.a.
1 101
1
20 13,061,73 A
4
E UI
R
••− −
= = = ,
2 102
2
10 13,060,51 A
4
E UI
R
••− + − +
= = = .
Na isti način ćemo naći napon čvora (2):
5
3
3
43
20
11I
R
E
RRU +=
+ .
Traženi napon
35
320
3 4
101, 22
10 5 1, 225 8,05 V1 1 1 1 2
5 5
EI
RU
R R
••
•+ +
+ ⋅= = = =
+ +
.
Sada se lako mogu izračunati struje I3 i I4, sl. 8.30.a.
204
4
1,61 AU
IR
•
= = , 3 203
3
0,38 AE U
IR
•−= = .
b) Do rješenja se može doći i tako da lijevi i desni dio mreže prema sl. 8.30.a. nadomjestimo
pomoću Theveninovog teorema kako je pokazano na sl. 8.30.b.
Na već dobro poznati način dobije se da je
Sl. 8.30.b.
1
1 2
1 2T
1 2
20 10
4 6 16 V1 1 1 1
4 6
E E
R RE
R R
+ +
== = =
+ +
, 1
1 2T
1 2
4 62,4
4 6
R RR
R R
⋅= = = Ω
+ +,
9. predavanje OE 1
10
2
3
3T
3 4
10
5 5 V1 1 1 1
5 5
E
RE
R R
== = =
+ +
, 2
3 4T
3 4
4 62,5
4 6
R RR
R R
⋅= = = Ω
+ +.
Sada se može izračunati struja
1 2
1 2
T T
5
T 5 T
16 51, 22 A
2, 4 4,1 2,5
E EI
R R R
•− −= = =
+ + + +.
Za preostale struje potrebno je naći U10 i U20 pomoću
1 110 T 5 TU E I R= − ,
2 220 T 5 TU E I R= + .
Sada se struje I1, I2, I3 i I4 mogu izračunati kao u a).
8.2.4. Teorem recipročnosti
Ako EMS E, djelujući u grani k pasivne linearne mreže, izaziva struju I u grani i iste
mreže, onda će ta ista EMS E, djelujući u grani i izazvati u grani k također struju I.
IIIi
k
k
i == )()(
a) b)
Sl. 8.31. Teorem recipročnosti: a) djeluje samo Ek ; b) djeluje samo Ei .
Primjer 8.18. Pri uključenoj sklopci S, struja izvora jednaka je I'1= 5 A, a struja u
galvanometru I'2 = 6 mA. Treba odrediti struju I2 kroz galvanometar pri isključenoj sklopci S,
sl. 8.32.
Sl. 8.32.
Rješenje. Pasivni dio mreže čini mreža otpora. Pri zatvorenoj sklopci S napon na
priključnicama a – b pasivnog dijela mreže iznosi U'ab = E = 100 V. Treba naći ulazni i
prijenosni otpor s obzirom na priključnice a – b :
- ulazni otpor pasivne mreže je
abul
1
' 10020
' 5
UR
I= = = Ω ,
- prijenosni otpor grana između ulaznih i izlaznih priključnica pasivne mreže je
9. predavanje OE 1
11
abpr 3
2
' 10016,6 k
' 6 10
UR
I
•
−= = = Ω
⋅ .
Pri isključenoj sklopci S teče struja izvora I1:
1
ul
1004 A
5 20
EI
R R= = =
+ +.
Napon na priključnicama a – b iznosi:
ab 1 100 4 5 80 VU E I R= − = − ⋅ = ,
a struja kroz galvanometar:
ab2
3pr
804,8 mA
16,6 10
UI
R•
= = =
⋅
.
Primjer 8.18. Dva nelinearna elementa i otpornik R = 100 Ω spojeni su prema
sl. 8.33.a. na strujni izvor I = 1 A. Nelinearni elementi su jednaki i njihova je U – I
karakteristika prikazana sl. 8.33.b. Kolika je struja kroz elemente R, N1 i N2 i kolika se snaga
troši na otporniku R? Koliku snagu predaje izvor?
a) b)
Sl. 8.33.
Rješenje. Nelinearni elementi su spojeni u seriju i struja im je ista N N1 N2I I I= = .
Na osnovu I Kirchhoffova zakona vrijedi
N RI I I= + .
U – I karakteristiku jednog nelinearnog elementa možemo za UN > 20 V prikazati
jednadžbom pravca
NN1 N2
20
50
UI I
−= = ,
gdje je N1 N2 0I I= = za N 20 VU ≤ .
Sl. 8.33.
U – I karakteristika serijskog spoja dvaju
jednakih nelinearnih elemenata može se
prikazati jednadžbom pravca
N
40
100
UI
−= .
9. predavanje OE 1
12
Kako je struja omskog otpornika
R
UI
R= ,
možemo izraziti ukupnu struju izvora
100100
40 UUI +
−= .
Odatle dobivamo
UUI +−= 40100 ,
odnosno 1402 =U .
Napon na stezaljkama strujnog izvora je U = 70 V.
Slijedi da je struja omskog otpora
R 0,7 A
UI
R= = ,
a struja nelinearnih elemenata
N 0,3 AI = .
Tražene snage su:
2
R R 49 WP I R= = , I 70 WP UI= = .
top related