metode simpleks
Post on 13-Apr-2016
144 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
LOGO
METODE SIMPLEKSModul #4
PENELITIAN OPERASIONAL-TEKNIK SIPIL UNTANMRK UNTAN@2011
Contoh PermasalahanPT.PVC memproduksi pipa pralon dengan ukuran standar 200”. Hari ini perusahaan tsb mendapat pesanan pipa dengan ukuran yg tidak standar, yaitu 50” sebanyak 150 batang,70” 200 batang dan 90” 300 batang. Untuk memenuhi pesanan tsb maka harus dilakukan pemotongan terhadap pipa standar. Ada 6 cara pemotongan yang dilakukan perusahaan, yaitu :1.dipotong menjadi 70” & 90”, sisa 40”2.dipotong menjadi 50”, 50” & 70”, sisa 30”3.dipotong menjadi 50”, 50” & 90”, sisa 10”4.dipotong menjadi 50”, 70” & 70”, sisa 10”5.dipotong menjadi 90” & 90”, sisa 20”6.dipotong menjadi 50”, 50”, 50” & 50”, tidak ada sisaTetapkan kombinasi cara pemotongan yang harus dilakukan supaya bisa memenuhi pesanan dengan meninggalkan sisa yang seminimum mungkin.
Solusinya…Panjang yang
diinginkanCara pemotongan Kebutuhan
(btg pipa)1 2 3 4 5 6
50”70”90”
011
210
201
120
002
400
150200300
Sisa pemotongan yg tidak dpt digunakan
lagi (“) 40 30 10 10 20 0
VK : x1 = cara pemotongan 1x2 = cara pemotongan 2x3 = cara pemotongan 3x4 = cara pemotongan 4x5 = cara pemotongan 5x6 = cara pemotongan 6
FT : min : Z = 40x1 +30x2+10x3 + 10x4 + 20x5
Kendala : 2x2 + 2x3+ x4 +4x6 ≤ 150 x1 +x2 + 2x4 ≤ 200 x1 + x3 + 2x5 ≤ 300 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0
Contoh PermasalahanPT. XYZ mempunyai 3 buah pabrik yang sedang menghadapi masalah pembuangan limbah. Selama ini limbah dibuang langsung ke sungai sehingga menimbulkan 2 macam polutan. Konsultan amdal menganjurkan agar limbah diproses dahulu dengan biaya Rp 150rb/ton dengan kemampuan dapat mengurangi polutan 1 sebanyak 0,1 ton dan polutan 2 sebanyak 0,45ton dari setiap 1 ton zat buangan dari pabrik X. Sedangkan pabrik Y dikenai biaya Rp 100rb/ton dengan kemampuan dapat mengurangi polutan 1 sebanyak 0,2 ton dan polutan 2 sebanyak 0,25ton. Pabrik Z dikenai biaya Rp 200rb/ton dengan kemampuan dapat mengurangi polutan 1 sebanyak 0,4 ton dan polutan 2 sebanyak 0,3ton. Peraturan pemerintah mengharuskan PT.XYZ untuk dapat mengurangi polutan 1 paling sedikit 30 ton dan polutan 2 40 ton. Formulasikan persoalan ini supaya mendapatkan ongkos total seminimum mungkin.
Solusinya…Polutan
Pabrik Peraturan kapasitas polutanX Y Z
12
0,10,45
0,20,25
0,40,3
≥ 30 ton≥ 40 ton
Ongkos pengurangan
polutan
Rp 150.000 Rp 100.000 Rp 200.000
VK : x1 = Pabrik Xx2 = Pabrik Yx3 = Pabrik Z
FT : min : Z = 150000x1 + 100000x2 + 200000x3
Kendala : 0,1x1 + 0,2x2 + 0,4x3 ≥ 30 0,45x1 + 0,25x2 + 0,3x3 ≥ 40 x1, x2, x3 ≥ 0
2 variabelx1 & x2
Metode geometri(Grafis + Matematika)
≥ 2 variabelx1, x2, x3, … xn
Metode Simpleks(Tabel iterasi)
George B. Dantzig1947
METODE SIMPLEKS
A. Definisi Metode Simpleks
B. Ciri-ciri Metode Simpleks
C. Bentuk Baku Metode Simpleks
D. Tahapan Penyelesaian Metode Simpleks
E. Contoh Persoalan & penyelesaiannya
A. DEFINISI METODE SIMPLEKSMetode simpleks adalah suatu prosedur
aljabar (yang bukan secara grafik) untuk mencari nilai optimal dari fungsi tujuan dalam masalah optimasi yang terkendala.
Motode simpleks bersifat iteratif (bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari suatu titik ekstrem pada daerah fisibel/ruang solusi, menuju ke titik ekstrem yang optimum)
B. CIRI-CIRI METODE SIMPLEKSSemua kendala berupa persamaan
dengan sisi kanan nonnegatifSemua Variabel nonnegatifFungsi Tujuan dapat memaksimumkan
atau meminimumkan.
C.BENTUK BAKU MSVK : x1 = … x2=… x3=… xn=…FT : maks/min : Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxnKendala : a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ ; = ; ≥ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ ; = ; ≥ b2…. Dstx1, x2, x3, …, xn ≥ 0
C.BENTUK BAKU MSKENDALAKendala dengan pertidaksamaan ≤ dapat
diubah menjadi persamaan (=) dengan cara menambahkan variabel slack (s ≥ 0) ke sisi kiri kendala.Contoh : x1 + 2x2 ≤ 6 tambahkan slack pada ruas kiri sehingga diperoleh : x1 + 2x2 + s1 = 6
SLACK VARIABELSlack Variabel adalah variabel yang
berfungsi untuk menampung sisa kapasitas pada kendala yang berupa pembatasSlack Variabel pada setiap kendala
yang aktif pasti bernilai nolSlack variabel pada setiap kendala
tidak aktif pasti bernilai positif
C. BENTUK BAKU MSKENDALAKendala dengan pertidaksamaan ≥ dapat diubah
menjadi persamaan (=) dengan cara mengurangkan variabel surplus (e ≥ 0) dan menambahkan variabel artifisial (a ≥ 0) ke sisi kiri kendala.Contoh : 3x1 + 2x2 – 3x3 ≥ 5 kurangkan surplus dan tambahkan artifisial pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan: 3x1 + 2x2 – 3x3 – e2 + a2 = 5
SURPLUS VARIABELSurplus Variabel adalah variabel yang berfungsi untuk menampung kelebihan nilai ruas kiri pada kendala yang berupa syarat.
Surplus variabel pada setiap kendala aktif pasti bernilai nol
Surplus variabel pada setiap kendala tidak aktif pasti bernilai positif
Kendala-kendala aktif pada setiap macam kendala pasti memiliki slack variabel atau surplus variabel yang bernilai nol
C. BENTUK BAKU MSKENDALAKendala dengan persamaan (=) harus diubah
dengan cara menambahkan variabel artifisial (a ≥ 0) ke sisi kiri kendala.Contoh : 2x1 - 3x2 + 4x3 = 5 tambahkan artifisial pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan: 2x1 - 3x2 + 4x3 + a3 = 5
C. BENTUK BAKU MSKENDALASisi kanan suatu persamaan dapat selalu dibuat
nonnegatif dengan mengalikan ke-2 sisi dengan -1.Contoh : -5x1 + 2x2 – x3 = -4 adalah ekuivalen secara matematik dengan 5x1 - 2x2 + x3 = 4
Arah pertidaksamaan dibalik jika ke-2 sisi dikalikan -1 ( ≥ ≤ begitu juga ≤ ≥) -3x1 + 2x2 – 3x3 ≥ -5 3x1 - 2x2 + 3x3 ≤ 5
C. BENTUK BAKU MSVARIABELSebagian atau semua variabel dikatakan tidak
terbatas dalam tanda (unrestricted) dapat dinyatakan sebagai dua variabel non negatif dengan menggunakan subtitusi.
FUNGSI TUJUANWalaupun model standar dapat berupa maksimasi
atau minimasi, kadang-kadang diperlukan perubahan dari satu bentuk ke bentuk lainnya. Maksimisasi dari suatu fungsi adalah ekuivalen dengan minimisasi dari negatif fungsi yang sama, begitu juga sebaliknya.
D.TAHAPAN PENYELESAIAN1. Formulasi dalam bentuk standar metode simpleks.2. Buat tabel dengan kolom sebanyak variabel yang ada
dalam persoalan dengan menambahkan 3kolom yaitu kolom untuk iterasi, basis dan rasio .
3. Masukkan angka/nilai yang ada pada variabel kedalam tabel sesuai dengan variabelnya.
4. Menentukan kolom kunci dengan melihat nilai terbesar (jika FT maksimalkan, angka dengan nilai negatif terbesar. Jika FT minimalkan, angka dengan nilai positif terbesar)
Iterasi Basis Z x1 x2 x3 … xn RK Rasio
0 ZS1 / a1S2 / a2
D.TAHAPAN PENYELESAIAN
Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio
0 ZS1S2S3S4
10000
-608420
-3062
1,51
-201
1,50,50
01000
00100
00010
00001
0482085
48/820/48/25/0
5. Menentukan baris kunci dengan cara mengambil nilai positif terkecil di kolom rasio (rasio = RK / kolom kunci). Perpotongan kolom kunci dan baris kunci disebut angka kunci/elemen pivot.
LEAVING VARIABLEFt : MAKS (- TERBESAR)
MIN (+ TERBESAR) KOLOM KUNCI
NILAI + TERKECILBARIS KUNCIANGKA KUNCI
(ELEMEN PIVOT)
D.TAHAPAN PENYELESAIAN6. Di iterasi selanjutnya dimasukkan elemen
persamaan pivot baru, dengan cara semua angka yang ada di baris kunci iterasi awal (sebelumnya) dibagi dengan angka kunci(elemen pivot)
7. Setelah itu semua persamaan yang lain termasuk persamaan Z juga dilengkapi, dengan cara :
8. Proses ini akan diulang-ulang sampai suatu solusi yang lebih baik ditemukan.
9. Iterasi akan berhenti jika dibaris Z tidak ada lagi nilai negatif jika FT maksimalkan (kecuali kolom RK), begitu juga sebaliknya.
Elemen persamaan = Elemen persamaan - Elemen entering x Elemen persamaanIterasi baru iterasi lama coloum pivot iterasi baru
CONTOH SOALFungsi Tujuan : Maksimumkan :
Z = 60x1+30x2+20X3Kendala :
8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 4X1 + 2X2 + 1.5X3 ≤ 202X1 + 1.5X2 + 0.5X3 ≤ 8
x2 ≤ 5x1,x2,x3 ≥ 0
SOLUSINYA…Z = 60x1+30x2+20X3 Z – 60x1 – 30x2 – 20x3 = 08x1 + 6x2 + x3 ≤ 48 8x1 + 6x2 + x3 + S1 = 48 4x1 + 2x2 + 1.5x3 ≤ 20 4x1 + 2x2 + 1,5x3 + S2 = 20 2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 ≤ 8 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 + S3 = 8 x2 ≤ 5 x2 + S4 = 5x1,x2,x3 ≥ 0
Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio
0 ZS1S2S3S4
10000
-608420
-3062
1,51
-201
1,50,50
01000
00100
00010
00001
0482085
SOLUSINYA…
Angka kunci (Elemen Pivot) = 2 di iterasi selanjutnya semua angka dibaris kunci dibagi angka
kunci awal.
Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio
0 ZS1S2S3S4
10000
-608420
-3062
1,51
-201
1,50,50
01000
00100
00010
00001
0482085
Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio
0 ZS1S2S3S4
10000
-608420
-3062
1,51
-201
1,50,50
01000
00100
00010
00001
0482085
654-
Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio
1 ZS1S2x1S4
0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 0 4
SOLUSINYA…Angka lain didapat dari
Contoh : baris Z elemen entering coloum = -60(-60 x baris kunci baru ) Lama : 1 -60 -30 -20 0 0 0 0 0
0 -60 -45 -15 0 0 -30 0 -240 –
Baru : 1 0 15 -5 0 0 30 0 240
Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio
1 ZS1S2x1S4
10000
00010
150-1
0,751
-5-10,5
0,250
01000
00100
30-4-20,50
00001
24016445
Elemen persamaan = Elemen persamaan - Elemen entering x Elemen persamaanIterasi baru iterasi lama coloum pivot iterasi baru
SOLUSINYA…Karena masih ada yang negatif lanjutkan iterasi
Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio
1 ZS1S2x1S4
10000
00010
150-1
0,751
-5-10,5
0,250
01000
00100
30-4-20,50
00001
24016445
-168160
Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio
2 ZS1x2x1S4
10000
00010
5-2-2
1,251
00100
01000
1022
-0,50
10-8-41,50
00001
28024820
SOLUSINYA…
Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio
1 ZS1S2x1S4
10000
00010
150-1
0,751
-5-10,5
0,250
01000
00100
30-4-20,50
00001
24016445
-168
16-
Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio
2 ZS1x2x1S4
10000
00010
5-2-2
1,251
00100
01000
1022
-0,50
10-8-41,50
00001
28024820
Iterasi Basis Z X1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio
1 ZS1S2S1S4
10000
-608420
-3062
1,51
-201
1,50,50
01000
00100
00010
00001
0482085
654
LOGOIlmu Itu Tidak akan pernah habis sampai kapanpun... Jadi Carilah Ilmu kemanapun kita berada... Tapi... Jangan Lupa, Gandengkanlah Imu Dunia dengan Ilmu Akhirat... Maka kita akan Selamat Dunia Akhirat... Insya Allah Aminnn!
rpv@03.2011
top related