metode simson 1per3
Post on 15-Feb-2016
5 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
METODE SIMSON 1/3
Di samping menggunakan rumus trapesium dengan interval yang lebih kecil, cara lain
untuk mendapatkan perkiraan yang lebih teliti adalah menggunakan polinomial order lebih tinggi
untuk menghubungkan titik-titik data. Misalnya, apabila terdapat satu titik tambahan di antara f
(a) dan f (b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola (Gambar 7.5a).
Didapat
I=∫a
b
f ( x ) dx≈∫a
b
f 2 ( x ) dx
Dimana f 2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2
Digunakan
(a , f (a ) ) ,( a+b2
, f ( a+b2 )) , (b , f (b ) ) ,
Ketiga nilai diatas diinput ke persamaan f 2 ( x )=a0+a1 x+a2 x2 sehingga di dapatkan data – data
sebagai berikut :
f ( a )=a0+a1 a+a2a2
f ( a+b2 )=a0+a1( a+b
2 )+a2( a+b2 )
2
f (b )=a0+a1 b+a2b2
Dari ketiga persamaan diatas, maka nilai a0 , a1, dan a2 didapatkan
a0=a2 f (b )+abf (b )−4abf ( a+b
2 )+abf ( a )+b2 f (a)
a2−2ab+b2
a1=−af (a )−4 af ( a+b
2 )+3 af (b )+3 bf (a )−4 bf ( a+b2 )+bf (b)
a2−2 ab+b2
a2=
2( f (a )−2 f ( a+b2 )+ f (b))
a2−2ab+b2
Sehingga
I ≈∫a
b
f 2 ( x ) dx
I ≈∫a
b
(a0+a1 x+a2 x2)dx
I=[a0 x+a1x2
2 +a2x3
3 ]a
b
I=a0 (b−a )+a1b2−a2
2+a2
b3−a3
3
Substitusi nilai a0 , a1, dan a2
∫a
b
f ( x )dx=b−a6 [ f ( a )+4 f ( a+b
2 )+ f (b)] Simson 1/3 dibagi menjadi 2 bagian segment, dengan panjang masing – masing segment
h=b−a2
Sehingga formula Simsons 1/3 menjadi
∫a
b
f ( x )dx=h3 [ f (a )+4 f ( a+b
2 )+ f (b)] Pias Banyak pada simsons 1/3
Sama seperti pias banyak pada metode trapesium, jumlah segment pada simpsons 1/3 juga dapat
dibagi menjadi n-pias dan mengaplikasikan formula Simpsons 1/3 berulang – ulang setiap dua
buah pias / segment. Dengan catatan jumlah nilai n diharuskan berupa bilangan genap, sehingga
panjang masing – masing segment menjadi h=b−an
I=∫a
b
f ( x ) dx≈∫x0
xn
f 2 ( x ) dx
Dimana
x0=a
xn=b
∫a
b
f ( x )dx=∫x0
x2
f ( x )dx+∫x2
x4
f ( x ) dx+. .. .+∫xn−4
xn−2
f ( x )dx+∫xn −2
xn
f ( x ) dx
Aplikasikan formula simpsons 1/3 pada setiap interval,
∫a
b
f ( x )dx ≅ x2−x0[ f ( x0 )+4 f ( x1 )+ f ( x2)6 ]+x4−x2[ f ( x2 )+4 f ( x3 )+ f ( x4 )
6 ]+. .. .+xn−2−xn−4 [ f ( xn−2 )+4 f ( xn−3 )+f ( xn−4 )6 ]+ xn−xn−2[ f ( xn )+4 f ( xn−1 )+ f ( xn−2 )
6 ] Dengan
x i−x i−2=2h dengan nilai i= 2, 4, . . . , n
∫a
b
f ( x )dx ≅ 2 h[ f ( x0 )+4 f ( x1)+ f ( x2 )6 ]+2h [ f ( x2 )+4 f ( x3 )+ f ( x4 )
6 ]+. .. .+2 h[ f ( xn−2 )+4 f ( xn−3 )+f ( xn−4 )6 ]+2 h [ f ( xn )+4 f ( xn−1 )+ f ( xn−2 )
6 ]
∫a
b
f ( x )dx ≅ h3 [ f ( x0 )+4 {f ( x1 )+ f ( x3 )+. . .+f ( xn−1 )}+2{f ( x2 )+f ( x4 )+ .. .+ f ( xn−2 )}+f ( xn ) ]
∫a
b
f ( x )dx ≅ h3 [ f ( x0 )+4 ∑
i=1i=ganjil
n−1
f ( x i )+2 ∑i=2
i=genap
n−2
f ( x i )+f ( xn)] Sehingga
∫a
b
f ( x )dx ≅ b−a3n [ f ( x0 )+4 ∑
i=1i=ganjil
n−1
f ( x i )+2 ∑i=2
i=genap
n−2
f ( xi )+f (xn)]
Contoh soal:
Gunakan metode simpsons 1/3 untuk menghitung, I=∫
0
4
e x dx .
Penyelesaian eksak:
Bentuk integral diatas dapat diselesaikan secara analitis:
I =∫0
4
ex dx=[ex ]04=[e4−e0 ]=53 , 598150.
Penyelesaian simpsons 1/3
Dengan menggunakan formula simpsons 1/3 maka luas bidang adalah:
Ai=b−a
6 [ f (a )+4 f (c ) + f (b )] = 4−06
(e0+ 4 e2+ e4 ) = 56 ,7696.
Kesalahan terhadap nilai eksak:
ε t=53 ,598150− 56 ,769653 ,598150
×100 %= −5 ,917 %.
Penyelesaian simson 1/3 banyak pias:
Dengan menggunakan persamaan (7.19) maka luas bidang adalah:
I = 13
[ e0+ e4+ 4( e1+ e3) + 2 e2 ] = 53 ,863846 .
Kesalahan terhadap nilai eksak:
ε t=53 , 598150−53 ,86384653 , 598150
×100 % = 0,5 %.
Skala 1:100000
0 105
6
3
15
9
Contoh soal:
Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
• Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai
atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila
satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah
100.000 mm atau 100 m.
• Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal
ini n=16). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
Penyelesaian :
∫a
b
f ( x )dx ≅ b−a3n [ f ( x0 )+4 ∑
i=1i=ganjil
n−1
f ( x i )+2 ∑i=2
i=genap
n−2
f ( xi )+f (xn)] a = 0 ; b = 16 ; n = 16
∫0
16
f ( x )dx ≅ 16−03 n [ f ( x0 )+4 f ( x1 )+2 f ( x2 )+4 f ( x3 )+2 f ( x4 )+4 f ( x5 )+2 f ( x6 )+4 f ( x7 )+2 f ( x8 )+4 f ( x9 )+2 f ( x10 )+4 f ( x11)+2 f ( x12 )+4 f ( x13 )+2 f ( x14 )+4 f ( x15)+2 f ( x16 ) ]
∫0
16
f ( x )dx ≅ 16−03.16 [0+4 (1 )+2 (2.5 )+4 ( 4.5 )+2 (6 )+4 (7 )+2 (6.5 )+4 (6 )+2 (6 )+4 (6.5 )+2 (6.5 )+4 (6 )+2 (5.5 )+4 (3.5 )+2 (3 )+4 (3 )+2 (0 ) ]
∫0
16
f ( x )dx ≅ 13
[ 0+4+5+18+12+28+13+24+12+26+13+24+11+14+6+12+0 ]
∫0
16
f ( x )dx ≅ 13
.222
∫0
16
f ( x )dx ≅ 74 satuan
top related