metodo de las fuerzas (1)
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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
I.U.P. “SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSION MATURÍN
INGENIERÍA CIVIL
Profesor: Realizado por:
Ing. Antonio Amundaray Isamar Cabrera CI 19.875.613
Sección “L” Estefanía Licciony CI 20.311.746
INTENSIVO Rosmaira Calzadilla CI 24.502.121
José Rocca CI 18.651.526
Maturín, 24 de agosto del 2015
Teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron
El teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron es una relación
deducida de la teoría de flexión de vigas y usada en análisis estructural para
resolver ciertos problemas de flexión hiperestática, fue demostrado por Émile
Clapeyron a principios del siglo XIX.
Aplicables a vigas continuas, Se calculan los momentos encima de los apoyos,
Las incógnitas Mn pueden ser interpretadas de dos formas:
Momentos reales encima de los apoyos (los diagramas An serán generados
apenas por la carga de los apoyos)
Momentos hiperestáticos (momentos adicionales en relación a los momentos de la
base isostática; los diagramas son diagramas de esfuerzos de la base isostática).
El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enuncio por primera vez la ecuación
fundamental de los tres momentos.“La ecuación de los tres momentos es aplicable a
tres puntos cualquiera de un viga, siempre que no haya discontinuidades, tales como
articulaciones, en esa parte de la estructura”. Entonces, este método sirve para hallar
los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, o en puntos característicos o
notables de la viga.
Ecuación de los Tres Momentos
Vigas Continuas
Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser
calculadas estáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de
los Tres Momentos, el cual puede ser utilizado también para resolver vigas de un
solo tramo. Esta ecuación puede ser expresada de la siguiente manera:
M1* L1+ 2M2*(L1+L2) +M3*L2= - C1 – C2
C1 = W*L1 3 C2= W*L2
3
4 4
Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de
Tres Momentos que vamos a construir. Pero los momentos en los extremos
pueden ser hallados de acuerdo a los siguientes criterios:
1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero.
2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de
Tres Momentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales
a cero.
3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero.
Además, el momento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los
productos de las cargas por su brazo de palanca a este último apoyo.
Principio de los trabajos virtuales
El principio de los trabajos virtuales es un método utilizado en resistencia de
materiales para el cálculo de desplazamientos reales en estructuras isostáticas e
hiperestáticas, y para el cálculo de las incógnitas que no podemos abordar con el
equilibrio en las estructuras hiperestáticas. El principio de los trabajos virtuales
puede derivarse del principio de d'Alembert, que a su vez puede obtenerse de la
mecánica newtoniana o más generalmente del principio de mínima acción.
Formulación
Con un número de grados de libertad no positivo, el principio de los trabajos
virtuales establece que si inventamos un campo de desplazamientos ,
llamado campo de desplazamientos virtual, compatible con los enlaces existentes
que impiden el movimiento de sólido rígido se cumplirá que el trabajo virtual
externo y el trabajo virtual interno serán iguales.
Donde las deformaciones y tensiones en la ecuación anterior deben calcularse a
partir del campo de desplazamientos virtual:
Aplicación a vigas rectas
La fórmula anterior se simplifica substancialmente si se aplica al caso de una viga recta, ya
que en ella los trabajos interno y externo vienen dados por:
Donde:
, son los esfuerzos cortantes producidos por el campo de desplazamientos.
, es el momento torsor producido por el campo de desplazamientos.
, son los momentos flectores producidos por el campo de
desplazamientos.
Y los desplazamientos, en el caso de una viga que flecta sólo en el plano XY,
pueden ser calculados a partir de los desplazamientos horizontal y
vertical a lo largo de la viga:
La igualdad (1) puede aplicarse para el cálculo de reacciones hiperestáticas, para
ello basta elegir un desplazamiento virtual adecuado.
EL MÉTODO DE LAS FUERZAS
También denominado el Método de flexibilidad es el clásico método consistente en
deformación para calcular fuerzas en miembros y desplazamientos en sistemas
estructurales. Su versión moderna formulada en términos de la matriz de
flexibilidad de los miembros también tiene el nombre de Método de Matriz de
Fuerza debido al uso de las fuerzas en los miembros como las primariamente
conocidas.
Flexibilidad de Miembros
La flexibilidad es el inverso de la rigidez. Por ejemplo, considera un resorte que
tiene Q y q como, respectivamente, su fuerza y deformación:
La relación de rigidez del resorte es Q = k q donde k es la rigidez del resorte.
Su relación de flexibilidad es q = f Q, donde f es la flexibilidad del resorte.
Por lo tanto, f = 1/k.
la relación de flexibilidad de un miembro típico tiene la siguiente forma general:
Donde
m = número de miembros m.
= vector de las características de deformación del miembro.
= matriz de flexibilidad del miembro la cual caracteriza la susceptibilidad
del miembro a deformarse bajo fuerzas.
= vector de fuerzas características independientes del miembro, las
cuales son fuerzas internas desconocidas. Estas fuerzas independientes
dan subida a todas las fuerzas en los extremos de los miembros mediante
equilibrio de miembro.
= vector de deformaciones características de los miembros causados
por efectos externos (tales como fuerzas conocidas y cambios de
temperaturas) aplicadas a los miembros aislados, desconectados (i.e.
con ).
Para un sistema compuesto de muchos miembros interconectados en puntos
llamados nodos, las relaciones de flexibilidad de los miembros puede ser puesta
junto dentro de una sola ecuación de matriz, soltando el superíndice m:
donde M es el número total de características de deformación de miembros o
fuerzas en el sistema.
A diferencia de el método matricial de la fuerza donde las relaciones de rigidez de
los miembros pueden ser fácilmente integradas mediante el equilibrio nodal y
condiciones de compatibilidad, la presente forma de flexibilidad de la ecuación (2)
posee serias dificultades. Con fuerzas de miembros como las primeras
desconocidas, el número de ecuaciones de equilibrio nodal es insuficiente para la
solución, en general a menos que el sistema es estáticamente indeterminado.
Ecuaciones de Equilibrio Nodal
Para resolver esta dificultad, primero hacemos uso de las ecuaciones de equilibrio
nodal en disposición de reducir el número de fuerzas desconocidas en miembros
independientes. Las ecuaciones de equilibrio nodal para el sistema tienen la
forma:
Donde
: Vector de fuerzas nodales a todos los N Grados de Libertad de el
sistema.
: La matriz resultante de equilibrio nodal
: El vector de fuerzas derivado desde cargas en los miembros.
En el caso de los sistemas determinados, la matriz b es cuadrada y la solución
para Q puede ser encontrada inmediatamente (3) siempre que el sistema sea
estable.
El Sistema Primario
Para sistemas Estáticamente Indeterminados , M > N, y por lo tanto, podemos
aumentar (3) con I = M-N ecuaciones de la forma:
El vector X es el también llamado vector de Redundancia fuerzas y I es el grado
de indeterminación estática del sistema. Usualmente elegimos j, k, , and such
that es una reacción en el soporte o una fuerza interna en un extremo del
miembro. Con ajustables elecciones de fuerzas redundantes, el sistema de
ecuaciones (3) aumenta por (4) puede ser ahora resuelto para obtener:
Sustituyendo en (2) da:
Las ecuaciones (5) y (6) son la solución para el sistema primario el cual es el
sistema original que ha sido hecho estáticamente determinado por cortes que
exponen las fuerzas redundantes . La ecuación (5) efectivamente reduce el
conjunto de fuerzas desconocidas a .
Ecuación de Compatibilidad y Solución
Después, necesitamos crear ecuaciones de compatibilidad en disposición de
encontrar . Las ecuaciones de compatibilidad devuelven la continuidad
requerida a los cortes de sección fijando los desplazamientos relativos a los
redundantes X a cero. que es, usando el Método de Unidad de Fuerza Falsa:
o
donde
Ecuación (7b) puede ser resuelta para X, y las fuerzas en miembros son después
encontradas desde (5) mientras los desplazamientos nodales pueden ser
encontrados por
donde
es la matriz de flexibilidad del sistema.
El movimiento de los soportes tomando lugar a las redundantes puede ser incluido
en el lado derecho de la ecuación (7), mientras el movimiento de soportes a otros
lugares debe ser incluido en y también.
Ventajas y Desventajas
Mientras la elección de redundantes en (4) aparenta ser arbitraria y dificultosa
para cálculos automáticos, esta objeción se puede superar procediendo desde (3)
directamente a (5) usando un proceso modificado de Eliminación de Gauss-
Jordan . Este es un robusto procedimiento que automáticamente selecciona un
buen conjunto de fuerzas redundantes para asegurar la estabilidad numérica.
Es aparente de el proceso arriba que el método de la matriz de rigidez es fácil de
comprender y para implementar para cálculos automáticos. Es también fácil de
extender para aplicaciones avanzadas tales como análisis no lineal, estabilidad,
vibraciones, etc. Por estas razones, el método de la matriz de rigidez es el método
de elección para uso en paquetes de software de análisis estructural de propósito
general. Por otro lado, para sistemas lineales con bajo grado de indeterminación
estática, el método de flexibilidad tiene la ventaja de ser computacionalmente
menos intensivo. Esta ventaja, sin embargo, es un punto discutible como las
computadoras personales son ampliamente disponibles y más poderosas. El
principal factor redentor en aprender este método hoy en día es su valor
educacional en impartir los conceptos de equilibrio y compatibilidad en adición a
su valor histórico. En contraste, el procedo del método de rigidez directa es tan
mecánico que se arriesga a ser usado sin mucho entendimiento de el
comportamiento estructural.
Los argumentos arriba fueron válidos hasta los inicios de 1990. Sin embargo,
avances recientes en cálculos numéricos han mostrado una vuelta atrás del
método de fuerza, especialmente en el caso de sistemas no lineales. Nuevos
armazones han sido desarrollados que permiten formulaciones "exactas"
respectivamente del tipo o naturaleza de la no linealidad del sistema. Las
principales ventajas del método de flexibilidad son que el error resultante es
independiente de la desratización del modelo y que este es en realidad un método
muy rápido. Por el momento, la solución elástica-plástica de una viga continua
usando el método de fuerza requiere solo 4 elementos de viga mientras que un
comercial "basado en rigidez" FEM requiere 500 elementos en disposición de dar
resultados con la misma precisión. Para concluir, uno puede decir que en el caso
donde la solución del problema requiere evaluaciones recursivas de el campo de
fuerza como en le caso de optimización estructural o identificación de sistemas, la
eficiencia del método de flexibilidad es indiscutible.
Generalización del método de las fuerzas sometido a otros estímulos.
1. Identificación y pre dimensionado de la estructura. Deben producirse las
definiciones geométricas que definan dimensionalmente toda la estructura y
deben desarrollarse los denominados análisis de cargas. Estos son realizados
con la aplicación de los reglamentos vigentes y consideraciones propias del
proyecto en curso. La conclusión de esta etapa
Es disponer del esquema de barras, sus sistemas de cargas y dimensiones de
secciones.
2. Análisis del grado de hiperestaticidad de la estructura. El método de las
fuerzas consiste básicamente en eliminar vínculos a un hiperestático hasta
transformarlo en un isostático que se denomina esquema fundamental. Las
reacciones que suministran los vínculos eliminados se convierten en las
incógnitas del sistema de ecuaciones que se plantea. Cada ecuación plantea la
condición de deformación nula en el esquema real, siendo denominada de
compatibilidad.
3. Se elige el esquema fundamental utilizando el criterio que tenga una
deformabilidad parecida al esquema real. Esta condición se haya relacionado con
la cantidad de dígitos significativos a utilizarse para minimizar los errores relativos
en la resolución del sistema de ecuaciones.
4. Debemos obtener las reacciones de vínculos en el esquema fundamental,
originados por los estados reales de cargas y luego por valores unitarios de las
incógnitas. Trazamos luego los diagramas de momentos flexores
producidos por el estado de cargas reales, que opera sobre el
esquema fundamental, y los diagramas derivados de los valores unitarios de las
incógnitas. Tener presentes las convenciones de signos adoptadas y la
presencia de ejes absolutos de la estructura y relativos de cada barra.
5. Calculamos los valores de los coeficientes del sistema de ecuaciones. Para ello
integramos ordenadamente los diagramas de momentos. Obtenemos
sucesivamente las deformaciones producidas por el estado de cargas real en el
esquema fundamental que sean correspondientes con los vínculos
eliminados y luego las deformaciones correspondientes en los mismos puntos por
los valores unitarios de las incógnitas.
Identificar las características de las estructuras Hiperestáticas.
Para conocer esfuerzos internos y reacciones es necesario usar además de
ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad (características del
material).
Desplazamientos menores que en sistemas isostáticos. Mayor reserva de
capacidad antes del colapso.
Material es mejor aprovechado. Limitaciones constructivas: Estructuras
monolíticas (hormigón) Rótulas, apoyos deslizantes, etc. difíciles de materializar
Limitaciones de proyecto.
Aplicar el método de las fuerzas para resolver estructuras
hiperestáticas.
El método de las fuerzas También denominado de la Flexibilidad, por los
coeficientes que aparecen en el proceso de cálculo. Recordemos que en las
estructuras hiperestáticas debemos recurrir no sólo a las Condiciones de
Equilibrio sino también a las Condiciones (ecuaciones) Suplementarias de
Deformación. Aquí aparece la necesidad del anteproyecto y
Pre dimensionamiento, ya que las deformaciones dependerán de las cargas,
pero también de las secciones adoptadas para los elementos constitutivos
(vigas, columnas, etc.). Más precisamente las solicitaciones dependerán de las
cargas y de las relaciones de rigideces de los distintos elementos.
Podemos referirnos como “vínculos hiperestáticos o sobreabundantes” a
aquellos vínculos externos o internos que podrían ser eliminados sin que el
sistema se convierta en inestable. El número o cantidad de vínculos que se
deben eliminar para que el sistema “hiperestático” se convierta en isostático se
denomina “Grado de Hiperestaticidad”. Para una estructura dada el grado de
hiperestaticidad es único y perfectamente definido, sin embargo existe la
posibilidad de elegir varias alternativas de conjuntos de vínculos que al
eliminarse hacen isostática a la estructura, con la salvedad que en cada conjunto
el número de vínculos es siempre el mismo.
a) Vigas Grado de hiper-estaticidad = 2 Se elimina la continuidad en los
apoyos mediante 2 articulaciones, quedando 3 vigas simplemente apoyadas.
En el segundo caso se eliminan dos apoyos intermedios quedando una viga
simplemente apoyada.
b) Pórticos B A C El pórtico empotrado-empotrado es un hiperestático de tercer
grado que lo puedo convertir en isostático en un caso introduciendo tres
articulaciones en A, B, y C, que eliminan los vínculos que resisten momentos
(2 externos y uno interno).
También podemos llegar al isostático con una articulación en B (elimina
momento flector), otra articulación en C (elimina reacción de momento) y la
eliminación de la reacción horizontal en C convirtiendo el apoyo en móvil.
C) Reticulados El número de vínculos a eliminar o grado es uno. Puedo en este
caso eliminar un apoyo (vínculo externo) o una barra (vínculo interno).
Señalaremos que en estos tres casos es posible elegir otros conjuntos de
vínculos a eliminar que me producirán otros sistemas isostáticos asociados. Al
isostático asociado por la eliminación de vínculos al sistema hiperestático lo
denominamos “isostático fundamental”. Su elección depende del calculista, y
puede tener importancia en la simplicidad del cálculo pero no en los resultados
finales del mismo.
Aplicar el método de las fuerzas en estructuras hiperestáticas
sometidas a cargas.
Sistemas estáticamente indeterminados. (hiperestáticos) Se denominan
sistemas estáticamente indeterminados (hiperestáticos) aquellos sistemas en los
que no se pueden determinar los esfuerzos en todos los elementos, aplicando
solamente las ecuaciones de la estática y las condiciones de compatibilidad de
los desplazamientos. El cálculo se lleva a cabo en el orden siguiente.
Se comienza por plantear las ecuaciones de la estática y se determina el
grado de hiperestaticidad del sistema dado. Después se plantean las condiciones
de compatibilidad de los desplazamientos, es decir, las relaciones geométricas
entre los alargamientos de los diversos elementos del sistema.
Los alargamientos de los elementos del sistema se expresan a través de los
esfuerzos mediante la ley de Hooke y se introducen en las condiciones de
compatibilidad de los desplazamientos.
Resolviendo las ecuaciones de la estática planteadas y las ecuaciones
compatibilidad de los desplazamientos, se obtienen los esfuerzos axiales en todos
los elementos del sistema. Al calcular las tensiones térmicas se mantiene el
mismo esquema de cálculo. En este caso las ecuaciones de la estática se
plantean solamente los esfuerzos; las variaciones de las longitudes de las
barras calentadas o enfriadas se determinan sumando algebraicamente los
incrementos de las longitudes originados por los esfuerzos y por la variación de
la temperatura. La variación de la temperatura. El valor medio del coeficiente de
dilatación lineal del material de la barra. El alargamiento absoluto debido a la
variación de la temperatura se calcula por la formula, siendo l la longitud de la
barra
El cálculo de las tensiones de montaje se realiza también basándose en las
ecuaciones de la estática y en las condiciones compatibilidad de los
desplazamientos se tiene en cuenta la existencia de errores dados en las
longitudes de los elementos del sistema. Puesto que las longitudes reales de
los elementos, que resultan durante la elaboración de éstos, se diferencian muy
poco de las previstas en el proyecto, al calcular los alargamientos absolutos de los
elementos por la ley de Hooke, se consideran las longitudes previstas en el
proyecto y no las reales. Al determinar la fuerza máxima de seguridad
partiendo del cálculo por tensiones admisibles, se supone que en la barra más
cargada la tensión es igual a la admisible. Partiendo del esfuerzo así obtenido
se establece la fuerza máxima de seguridad. El cálculo de sistemas
hiperestáticos por su capacidad resistente se lleva a cabo en virtud, solamente,
de las ecuaciones de la estática. En estas condiciones los esfuerzos axiales se
consideran iguales a los productos de las tensiones admisibles por las
áreas de las secciones transversales en todos los elementos, en los que, al
alcanzar las tensiones el límite de fluencia del material, el sistema se transforma
en cinemática mente variable. Este método de cálculo se basa sobre la
sustitución del diagrama real de tracción del material por el diagrama
idealizado de Prandtl, en el cual el escalón de fluencia se considera ilimitado.
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