metodo de rigideces y flexibilidad
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8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
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CAPITULO 8
MATRIZ DE RIGIDEZ Y DE FLEXIBILIDAD DEUN ESTRUCTURA A PARTIR DEL CONCEPTO
RESUMEN
Se presenta el clculo de las matrices de rigidez K y de flexibilidad F de una estructurausando el concepto. En los captulos posteriores a partir del concepto se obtendr en forma prcticala matriz de rigidez.
Posteriormente se trabaja con la matriz de transformacin de coordenadas para encontrar lasmatrices K y F . Finalmente se presenta un algoritmo orientado al uso del computador paraestructuras con elementos flexibles para encontrar las matrices indicadas en otro sistema decoordenadas.
8. 1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA K
8.1.1 Definicin
En el captulo 6 se indic que un trmino cualquiera de la matriz de rigidez de una estructura
ijk , es el valor de la carga generalizada iQ correspondiente a la deformada elemental 1=jq y
dems nulas. Por consiguiente si se desea calcular, por ejemplo, los elementos de la primeracolumna de la matriz de rigidez de una estructura se deber calcular el vector de cargasgeneralizadas que corresponde al estado de desplazamiento elemental 1
1=q y 1,0 = iqi . De
igual forma se proceder con las dems columnas de K .
8.1.2 Procedimiento de clculo
El procedimiento de clculo para hallar la matriz de rigidez de una estructura K a partir delconcepto es el siguiente:
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8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
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234 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
1) Construir la deformada elemental cuya columna se desea calcular.
2) Encontrar las deformaciones p en cada uno de los elementos asociados a la deformadaelemental. Es un problema de geometra.
3) Transformar las deformaciones p de cada elemento en cargas internas P por medio de la
matriz de rigidez del elemento k . La ecuacin matricial que se utiliza es: pkP = .
4) Usando la esttica se realiza el equilibrio de cada uno de los elementos que conforman laestructura.
5) Encontrar el equilibrio de cada una de las juntas de la estructura.
6) En el paso anterior se obtienen las cargas que actan sobre la estructura y el vector decargas generalizadas que son los elementos de la matriz de rigidez de la estructura.
8.1.3 Primera forma de clculo numrico
Por didctica nicamente se denomina primera forma de clculo de la matriz de rigidez deuna estructura a aquella en que se utiliza como sistema de coordenadas del elemento el indicado enla figura 8.1
Figura 8.1 Sistema pP para la primera forma de clculo.
Se recuerda que las deformaciones p se obtienen con las siguientes ecuaciones:
123
12
22
12
11 uup
L
vvp
L
vvp =
=
=
La matriz de rigidez de un elemento para el sistema de coordenadas indicado es:
=k
L
EA
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
00
042
024
EJEMPLO N.- 1
Encontrar la primera columna de la matriz de rigidez de la estructura indicada en la figura8.2.1 si todos los elementos tienen la misma seccin transversal y la misma longitud. Encontraraplicando el concepto y no considerar el efecto de corte.
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ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 235
Figura 8.2.1 Figura 8.2.2 Figura 8.2.3
SOLUCIN
Por ser todos sus elementos flexibles se tiene seis grados de libertad. En consecuencia elsistema de coordenadas de la estructura qQ es el indicado en la figura 8.2.2. Para una mejor
compresin en la figura 8.2.3 se indica la numeracin de los elementos.
En la figura 8.2.4 se indica el sistema de coordenadas de miembro pP de cada uno delos elementos de la estructura.
Figura 8.2.4 Sistema pP de la estructura.
Para diferenciar las deformaciones y cargas internas se escribe entre parntesis y comosubndice el nmero del elemento al cual corresponde.
De acuerdo al procedimiento indicado en el apartado anterior para encontrar los elementos dela primera columna de la matriz de rigidez de la estructura se procede de la siguiente manera:
1) Deformada elemental 11 =q y 1,0 = iqi .
Figura 8.2.5 Diagrama elemental1q
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236 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
2) Clculo de las deformaciones p .
010
00
1
001
)3(
3
)2(
3
)1(
3
)3(
2
)2(
2
)1(
2
)3(
1
)2(
1
)1(
1
===
===
===
ppp
ppLp
ppL
p
Para encontrar las deformaciones del elemento 1, se procedi de la siguiente manera:
000
1010
1010
00
10
00
12
)1(
3
12
2
)1(
2
12
1
)1(
1
21
21
21
===
=
=
=
=
=
=
==
==
==
uup
LLL
vvp
LLL
vvp
vv
uu
Se puede obtener stos mismos valores directamente sin necesidad de aplicar lasecuaciones si se recuerda que las deformaciones
1p y 2p son los ngulos comprendidos entre lacuerda y la tangente de los nudos inicial y final respectivamente como se indic en el captulo 6. Parael elemento 1 en la figura 8.2.6 se ha separado la deformada elemental correspondiente a la columnaizquierda en ella se ha unido la cuerda entre B y B, luego se han trazado las tangentes en el nudoinicial y final se observa que el ngulo entre la cuerda y la tangente es antihorario luego las
deformaciones 1p y 2p son positivas.
Figura 8.2.6 Regla para encontrar las deformaciones del elemento 1.
En la figura 8.2.6 se aprecia que el ngulo1p es igual al ngulo 2p por ser alternos e
internos y que1
p es igual al cateto opuesto sobre el cateto adyacente. Por lo tanto se tiene:
Lp
Lp
11 )1(2
)1(
1 ==
3) Se obtienen las cargas internas P en cada uno de los elementos del prtico plano. Comotodos los elementos tienen la misma seccin transversal y la misma longitud, la matriz derigidez de cada uno de ellos es la misma y vale:
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ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 237
)3()2()1( kkk ==
LEA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
00
042
024
Las cargas internas del elemento 1 se obtienen del producto matricial )1()1()1( pkP = .
Donde )1(P es de la siguiente forma:
De donde:
066 )1(
32
)1(
22
)1(
1 === PL
EIP
L
EIP
Lo propio se realiza con los elementos 2 y 3 es decir se multiplica la matriz de rigidez delrespectivo elemento por su vector de deformaciones, los resultados que se obtienen, son:
000
00
)3(
3
)3(
2
)3(
1
)2(
3
)2(
2
)2(
1
===
===
PPP
L
EAPPP
4) Se encuentra el equilibrio de cada elemento.
En la figura 8.2.7 se indica con lnea continua las cargas internas P obtenidas en el pasoanterior y con lnea entrecortada las diferentes fuerzas que equilibran cada uno de los elementos.
Figura 8.2.7Equilibrio de elementos.
El cortante en la columna se obtiene sumando los momentos y dividiendo para la longitud.
=
0
1
1
00
042
024
)1(
3
)1(
2
)1(
1
L
L
L
EAL
EI
L
EI
L
EI
L
EI
P
P
P
-
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238 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
5) Se realiza el equilibrio de juntas.
En las juntas de la estructura las fuerzas y momentos internos de cada elemento actan consentido contrario, stas se han representado con lnea continua y las cargas exteriores que equilibrancada uno de los nudos se presentan con lnea entrecortada en la figura 8.2.8.
Figura 8.2.8 Equilibrio de juntas o nudos.
Ntese que para equilibrar la fuerza horizontal del nudo B se ha sumado el cortanteproveniente de la columna y la fuerza axial que viene de la viga.
6) Finalmente se determinan las cargas exteriores y el vector de cargas generalizadas.
En la figura 8.2.9 se presentan las fuerzas y momentos exteriores que se deben aplicar a laestructura para que produzcan el diagrama elemental de la figura 8.2.5.
Figura 8.2.9 Valores de la primera columna de K
Por consiguiente el vector de cargas generalizadas Q resulta:
=Q
+
0
0
6
0
12
2
3
L
EA
L
EI
L
EA
L
EI
=
61
51
41
31
21
11
K
K
K
K
K
K
-
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ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 239
Por definicin los elementos de Q son los trminos de la primera columna de la matriz de
rigidez de la estructura. Se deja al estudiante el obtener las dems columnas de K aplicando elconcepto. El resultado total es el siguiente:
=K
+
+
+
+
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EI
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EI
LEA
LEI
LEA
LEI
866260
6120
6120
60
1200
260
866
6120
6120
006012
222
2323
23
222
2323
23
8.1.4 Segunda forma de clculo numrico
Se puede considerar otro sistema de coordenadas del elemento para encontrar la matriz derigidez de la estructura, por ejemplo el presentado en la figura 8.3
Figura 8.3 Otro sistema de coordenadas del elemento pP
EJEMPLO N.- 2
Calcular la primera columna de la matriz de rigidez de la estructura mostrada en la figura8.2.1, considerando el sistema de coordenadas del elemento el indicado en la figura 8.3. En lasfiguras 8.2.2 y 8.2.3 se indican el sistema de coordenadas de la estructura qQ y la numeracin delos elementos respectivamente.
SOLUCIN
En la figura 8.4.1 se presenta las coordenadas de cada uno de los elementos que forman laestructura.
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240 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
Figura 8.4.1 Sistema de coordenadas de los elementos del ejemplo 2.
Se resume a continuacin el procedimiento de clculo.
1) Deformada elemental1q
Figura 8.4.2 Deformada elemental 1q
Las frmulas con las cuales se obtienen las deformaciones de un elemento se obtuvieron enel captulo 6, en el apartado 6.3.4, stas son:
123
1122
121
=
=
=
p
Lvvp
uup
2) Deformaciones de los elementos
Las deformaciones en cada uno de los elementos son las siguientes:
010
001
010
)3(
3
)2(
3
)1(
3
)3(
2
)2(
2
)1(
2
)3(
1
)2(
1
)1(
1
===
===
===
ppp
ppp
ppp
3) Cargas Internas
La matriz de rigidez de elemento para el sistema de coordenadas pP de la figura 8.3 fuededucida en el captulo anterior en el apartado 7.3.3 y es la siguiente:
-
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ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 241
=k
LEI
LEI
L
EI
L
EI
L
EA
460
6120
00
2
23
Por los datos del ejemplo la matriz de rigidez es igual para todos los elementos. Al realizar elproducto matricial pkP = en cada uno de los elementos de la estructura se obtiene:
006
0012
00
)3(
3
)2(
32
)1(
3
)3(
2
)2(
23
)1(
2
)3(
1
)2(
1
)1(
1
===
===
===
PPL
EIP
PPL
EIP
PL
EAPP
4) Equilibrio de elementos
En la figura 8.4.3 se presenta con lnea continua las cargas P obtenidas en cada uno de loselementos y con lnea entrecortada las diferentes fuerzas que equilibran los elementos.
Figura 8.4.3 Equilibrio de elementos
Las figuras 8.4.3 y 8.2.7 son iguales. En consecuencia los siguientes pasos que faltan parahallar los elementos de la primera columna de la matriz de rigidez de la estructura son los dados en elejemplo anterior. De idntica forma se obtendrn las dems columnas de la matriz de rigidez.
El haber obtenido la misma matriz de rigidez de la estructura, utilizando diferentes sistemasde coordenadas de elemento, no es un hecho casual. Esto es debido a que la inmovilizacin de losdesplazamientos como cuerpo rgido, que se estudi en el captulo 6, utilizando diferentes tipos devnculos es un artificio. Si se utiliza otro sistema de coordenadas de miembro se obtendr la mismamatriz de rigidez K .
Finalmente, se puede resolver la estructura utilizando sistemas de coordenadas de elementopP , diferentes para cada uno de los elementos, por ejemplo el que se indica en la figura 8.5.
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242 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
Figura 8.5 Nuevo sistema de coordenadas de los elementos para la estructura de los ejemplos 1 y 2.
8. 2 MATRIZ DE FLEXIBILIDAD DE UNA ESTRUCTURA F
8.2.1 Definicin
Se conoce que QFq = . Por lo tanto un elemento cualquiera de la matriz de flexibilidad de
una estructura ijF ser el valor del desplazamiento o giro iq correspondiente al estado de cargas
1=jQ y las dems nulas.
La matriz de flexibilidad F transforma las cargas generalizadas Q en coordenadasgeneralizadas q .
8.2.2 Procedimiento de clculo
Para encontrar la matriz de flexibilidad F a partir de su definicin, se realizan los siguientespasos:
1) Para el estado de carga elemental 1=iQ y las dems nulas, se debe hallar las cargas
internas P que actan en cada uno de los elementos. Esto es un procedimiento de esttica.
2) Conocido el vector P se encuentran las deformaciones p , por medio de la siguiente
ecuacin: Pfp = .
3) A partir de las deformaciones internas en cada uno de los elementos de la estructura sedetermina el vector de coordenadas generalizadas q . Este es un problema de geometra. Al
encontrar q se tienen ya los elementos de la columna de F que se est calculando.
EJEMPLO N.- 3
En la figura 8.6 se presenta un prtico plano con todos sus elementos completamenteflexibles, se pide calcular los elementos de la primera columna de la matriz de flexibilidad.
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ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 243
Figura 8.6 Estructura de ejemplo 3.
SOLUCIN
Por facilidad se ha considerado que los dos elementos tienen la misma seccin transversal yla misma longitud. En consecuencia la matriz de flexibilidad de sus elementos es igual.
En la figura 8.7.1 se indican los 6 grados de libertad que tiene el prtico y en la figura 8.7.2 seindica la numeracin de los elementos.
Figura 8.7.1 Sistema qQ Figura 8.7.2
De acuerdo al procedimiento de clculo indicado en el apartado 8.2.2 se tiene:
1) 1011 == iQyQ i
Figura 8.7.3 Momento unitario en A. Figura 8.7.4 Equilibrio de fuerzas externas
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244 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
Debido al momento unitario que acta en el nudo A de la estructura, se generan reacciones
en los vnculos A y C que valenL
1con lo cual la estructura est en equilibrio. En la figura 8.7.4 se
muestran stas reacciones.
Por efecto del sistema de cargas en cada uno de los elementos se tienen fuerzas ymomentos internos los mismos que se indican en la figura 8.7.5. Con lnea continua se indican lasacciones que vienen de las reacciones de los nudos y con lnea entrecortada las acciones queconducen al equilibrio en los elementos.
Para el equilibrio de las juntas se colocan en primer lugar las fuerzas externas que actan enla junta las mismas que estn indicadas en la figura 8.7.4. Luego se equilibra el nudo con fuerzas ymomentos. Estas fuerzas son las que pasan a los elementos con sentido contrario y son las que sehan indicado en la figura 8.7.5.
Figura 8.7.5 Equilibrio de los elementos.
Se deja al lector la verificacin del equilibrio de juntas y de elementos. Por otra parte setrabaja con el sistema de coordinas de miembro de la figura 8.1, en la cual se tiene que
1P es el
momento en el nudo inicial y es positivo si es antihorario,2P es el momento en el nudo final y es
positivo si es antihorario y3P es la fuerza axial en el nudo final y es positiva si produce traccin en el
elemento. Con stas indicaciones las cargas internas en los elementos que se obtienen de la figura8.7.5 son las siguientes:
01
01
11
)2(
3
)1(
3
)2(
2
)1(
2
)2(
1
)1(
1
==
==
==
P
L
P
PP
PP
=)1(P
L
1
1
1
=)2(
P
0
0
1
2) Clculo de las deformaciones de los elementos.
Pfp =
==)2()1( ff
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
00
036
063
-
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ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 245
==)1()1()1( Pfp
EAL
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
00
036
063
=
L
1
1
1
EA
EI
L
EI
L
1
2
2
==)2()2()2( Pfp
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
00
036
063
=
0
6
3
0
0
1
EI
L
EI
L
En consecuencia se tiene:
01
62
32
)2(
3
)1(
3
)2(
2
)1(
2
)2(
1
)1(
1
==
==
==
pEA
p
EI
Lp
EI
Lp
EI
Lp
EI
Lp
3) Clculo de los desplazamientos y giros q
Esta es la parte ms difcil del clculo de la matriz de flexibilidad de una estructura. Se quierehallar los desplazamientos y giros que experimentan las juntas de tal forma que los elementos tenganlas deformaciones p indicadas. Para facilitar la explicacin, se denomina:
EAEI
L 1
2==
Con sta nomenclatura las deformaciones en los elementos valen:
0
3
3
2
)2(
3
)1(
3
)2(
2
)1(
2
)2(
1
)1(
1
==
==
==
pp
pp
pp
En la figura 8.7.6 se indican stas deformaciones y en la misma se aprecia que se estviolando dos reglas bsicas en el nudo B que son:
i) El nudo B es discontinuo ; se aprecia que el nudo B por parte de lacolumna ha bajado.
-
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246 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
ii) El nudo B antes de deformarse meda 90 grado, ahora no.
Figura 8.7.6 Deformaciones de los elementos obtenidos.
Para solucionar stos dos problemas se deben dar ciertos desplazamientos y giros a laestructura. En primer lugar para corregir la anomala de la discontinuidad en el nudo B, al elementoBC se desplaza verticalmente una magnitud igual a como se indica en la figura 8.7.7.
Figura 8.7.7 Solucin de la discontinuidad en el nudo B pero no en el ngulo.
Si bien se ha solucionado un problema, ahora se ha creado otro que es la posicin del nudoC ya que debido al tipo de vnculo existente en esa junta el nudo C no debe bajar. Esto se va aresolver posteriormente, se concentra la atencin en resolver el problema de que la junta B antes dedeformarse meda 90 grados y despus de deformarse debe medir 90 grados.
En la figura 8.7.7 se aprecia que el ngulo B vale 3
590
3
290 +=++ . Pero el ngulo
B debe valer 90 grados luego el elemento BC se rota 3
5haciendo centro en B esto se presenta
en la figura 8.7.8.
-
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ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 247
Luego de la rotacin el punto C se ha desplazado verticalmente L3
5hasta llegar a C.
Figura 8.7.8 Solucin de la rotacin del nudo B.
La posicin final del nudo C no puede ser C como est indicado en la figura 8.7.8 debe estaren cualquier parte de la recta BC, para lograr ste objetivo se debe rotar el nudo A un ngulo .
3
53
5
+=
+
=LL
L
Esta rotacin se indica en la figura 8.7.9, se observa que la posicin final del nudo C esC. El nudo C se ha desplazado horizontalmente L igual corrimiento experimenta el nudo B comose aprecia en la figura mencionada.
Figura 8.7.9 Posicin final de la estructura.
En resumen, los desplazamientos y giros de los nudos son los siguientes:
-
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248 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
+=1q Rotacin del nudo A.
Lq =2 Desplazamiento horizontal del nudo B.
=3q Desplazamiento vertical del nudo B.
+= 4q Rotacin del nudo B.
Lq =5 Desplazamiento horizontal del nudo C.
+=
3
5
36q Rotacin del nudo C.
Al reemplazar ,, , se encuentra:
EI
L
EALLLq
EI
L
EALq
EI
L
EALLLq
EAq
EI
L
EALL
Lq
EALEI
L
LLq
6
1
33
52
6
51
3
1
3
2
3
5
1
6
51
3
5
3
5
1
3
4
3
8
3
5
6
2
5
4
3
2
2
1
==++=
==
+=+=++=
==
==
+=
+=+=++=
Por definicin se tiene:
EI
L
EALFq
EI
L
EAFq
EI
L
EALFq
EAFq
EI
L
EAFq
EALEI
LFq
6
1
6
51
3
1
1
6
51
1
3
4
616
2
515
414
313
2
212
111
==
==
+==
==
==
+==
Las restantes columnas de la matriz de flexibilidad F se obtienen en forma similar. Con elpropsito de que el estudiante calcule cualquiera de las columnas de la matriz de flexibilidad a partir
de su definicin, se indica el resultado completo pero nicamente se presenta la matriz triangularsuperior debido a que la matriz es simtrica.
-
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ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 249
=F
+
+
++
+
++
LEAEI
L
EAEI
L
EA
L
EI
L
LEAEI
L
EAEI
L
LEAEI
L
EAEAL
EAEAL
EAEI
L
EA
L
EI
L
EAEI
L
EA
L
EA
L
EI
L
EI
L
EALEI
L
EAEI
L
EALEAEI
L
EAEALEI
L
1
3
1
6
2
3
2
1
6
1
3
1
3
11
1
63
21
33
2
6
1
6
51
3
11511
3
4
23
2
2323
22
8.2.3 Principio de superposicin
Como se indic la parte ms difcil del clculo de la matriz de flexibilidad de una estructura apartir de su definicin es calcular los desplazamientos y giros q luego que se han obtenido lasdeformaciones p . Si se emplea el principio de superposicin se puede hacer esto de una formasencilla como se ilustra con el ejemplo 4.
EJEMPLO N.- 4
Encontrar la primera columna de la matriz de flexibilidad del ejemplo 3, aplicando el principiode superposicin para calcular el vector de coordenadas q .
SOLUCIN
Para el ejemplo que se est analizando se tiene:
0
3
3
2
)2(
3
)1(
3
)2(
2
)1(
2
)2(
1
)1(
1
==
==
==
pp
pp
pp
En el clculo del vector de coordenadas generalizadas q se consideran dos etapas, a saber:
Etapa 1.- Actan slo las deformaciones del elemento uno, por lo tanto se considera al elemento doscomo totalmente rgido.
Etapa 2.- El elemento uno es totalmente rgido y slo hay deformaciones en el miembro dos.
-
8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
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250 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
A los desplazamientos y giros de la etapa uno se los denomina )1(q y a los desplazamientos y
giros de la etapa dos )2(q . En consecuencia:)2()1( qqq +=
Etapa 1.- En la figura 8.8.1 se presenta sta fase del clculo que consiste en tenerdeformaciones nicamente en el elemento vertical.
Figura 8.8.1 nicamente se deforma elemento AB
Al igual que en el ejemplo anterior, en la figura 8.8.1 hay que rectificar dos errores que setienen y son los siguientes:
i) El nudo B es discontinuo.
ii) El ngulo del nudo B antes de la deformacin es diferente al obtenido despus de la
deformacin.
Para corregir el primer error se desplaza el elemento BC una cantidad como lo indica lafigura 8.8.2 y para solucionar el segundo error haciendo centro en B se rota el elemento BC unamagnitud igual a como lo ilustra la figura 8.8.3. Ntese que el punto C se ha desplazado hasta Cuna cantidad L .
Figura 8.8.2 Figura 8.8.3
Pero la posicin final del nudo C tiene que estar a lo largo de BC ya que no puede
desplazarse verticalmente para lograr esto haciendo centro en el nudo A se rota la estructura unngulo1 .
-
8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
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ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 251
+=
+=
LL
L1
Por lo tanto la ubicacin final del nudo C al terminar sta etapa es C como se indica en lafigura 8.8.4.
Figura 8.8.4 Fin de etapa uno
Por lo tanto los desplazamientos y giros encontrados en la etapa uno son:
Lq
LLq
Lq
q
LLq
Lq
=+=
==
=+=
=
==
+=+=
1
)1(
6
1
)1(
5
1
)1(
4
)1(
3
1
)1(
2
1
)1(
12
Etapa 2.- En sta etapa actan las deformaciones en el elemento 2 ya que el miembro 1 seconsidera como elemento rgido, estas deformaciones iniciales se indican en lafigura 8.9.1
Figura 8.9.1 Slo se deforma elemento BC.
-
8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
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252 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
El ngulo final del nudo B en la figura 8.9.1 se aprecia que es 3
290 +
o . Esto no puede ser.
Se deja al estudiante que justifique las figuras 8.9.2 y 8.9.3 con las cuales se corrige sta anomala.
Figura 8.9.2 Figura 8.9.3
Luego de la geometra realizada se tiene:
33
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
0
3
2
3
2
2
)2(
6
2
)2(
5
2
)2(
4
)2(
3
2
)2(
2
2
)2(
1
=+=
==
=+=
=
==
==
q
LLq
q
q
LLq
q
Al sumar los desplazamientos y giros obtenidos en las dos etapas se tiene:
)2()1( qqq +=
3
3
5
3
2
3
2
0
3
5
3
2
38
322
6
5
4
3
2
1
=
==
+=
=+=
==
+=++=
Lq
LLLq
Lq
q
LLLq
LLq
-
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21/34
ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 253
Al sustituirEI
L
2= y
EA
1= se obtienen los valores de la primera columna de la matriz
de flexibilidad anotados en el ejemplo 3.
8. 3 TRANSFORMACIN DE COORDENADAS DE UNA ESTRUCTURA
8.3.1 Clculo de la matriz de rigidez y de flexibilidad
Conocida la matriz de rigidez Kpara un determinado sistema de coordenadas qQ de una
estructura, se desea ahora calcular la matriz de rigidez K en otro sistema de coordenadas
qQ . Este clculo se lo va a realizar utilizando la matriz de transformacin de coordenadas.
EJEMPLO N.- 5
El prtico plano de la figura 8.10.1 est compuesto por una columna de altura H y una viga delongitud L, los dos elementos se consideran axialmente rgidos y el sistema de coordenadas qQ
es el indicado en la figura 8.10.2. La matriz de rigidez Kasociado a ste sistema de coordenadases la siguiente:
=K
+
L
EI
L
EI
LEI
LEI
HEI
HEI
H
EI
H
EI
oo
oo
11
112
23
420
2446
0612
Se desea encontrar la matriz de rigidez K para el sistema de coordenadas qQ de la
figura 8.10.3 por medio de la matriz de transformacin de coordenadas T .
Figura 8.10.1 Figura 8.10.2 Sistema qQ Figura 8.10.3 Sistema qQ
-
8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
22/34
254 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
SOLUCIN
Se establece una relacin entre los dos sistemas de coordenadas de la siguiente manera:
= qTq
La relacin as definida fue estudiada en el captulo 5 por consiguiente el estudiante deberdibujar cada una de las deformadas elementales y encontrar la siguiente matriz T .
=
010
001
100
T
En el apartado 7.3.2 del captulo anterior se demostr que la matriz de rigidez de un elementoen otro sistema de coordenadas se obtiene con la siguiente ecuacin:
TkTk t=
La ecuacin ( 8.1 ) que fue deducida para un elemento es aplicable a una estructura. Por lo
tanto para hallar la matriz de rigidez de la estructura K (mayscula) se utilizar la siguienteecuacin.
TKTK t=
Para el ejemplo se tiene:
=K
001
100
010
+
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
oo
oo
11
11
2
23
420
2446
0612
010
001
100
Por lo tanto la matriz de rigidez K para el sistema de coordenadas de la figura 8.10.3 es:
K
+
=
32
11
2
11
120
6
042
6244
H
EI
H
EI
L
EI
L
EIH
EI
L
EI
L
EI
H
EI
oo
oo
Si se desea calcular la matriz de flexibilidad F para el sistema de coordenadas de la figura8.10.3, conocida la matriz de flexibilidad F para el sistema qQ de la figura 8.10.2, hay que
hacerlo por medio de la matriz1T estudiada en el captulo 5.
= QTQ 1
( 8.1 )
-
8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
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ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 255
La matriz de flexibilidad buscada se obtiene del siguiente triple producto matricial.
11 TFTF t=
Se deja al lector la demostracin de las formulas con las cuales se obtiene K y F en base
a la teora presentada en el captulo 5.
8.3.2 Regla prctica
Se puede obtener directamente la matriz de rigidez y de flexibilidad de una estructura cuyoselementos son totalmente flexibles, cuando se cambia el sistema de coordenadas generalizadas, porconsiguiente no es necesario calcular las matrices T y
1T respectivamente.
En efecto, para hallar K para el sistema de coordenadas qQ de la figura 8.10.3 a
partir de la matriz K calculado para las coordenadas de la figura 8.10.2 se han de intercambiar las
filas y columnas de sta matriz de acuerdo al cambio de numeracin del nuevo sistema decoordenadas.
La forma de pasar las coordenadas de la figura 8.10.2 a la 8.10.3 se presenta en dos fases asaber:
1) Se cambian la numeracin de los dgitos uno y tres en el sistema qQ esto se presenta en
la figura 8.10.4. Por lo tanto ahora1q es la rotacin en el rodillo C y 3q es el desplazamiento
horizontal de la junta B.
Figura 8.10.4 Sistema de coordenadas generalizadas de fase uno.
La matriz de rigidez para este nuevo sistema de coordenadas se obtiene intercambiando lascolumnas y las filas uno y tres de la matriz de rigidez, con lo que se halla:
Kde la fase uno =
+
32
2
11
11
1260
6442
024
H
EI
H
EI
H
EI
L
EI
H
EI
L
EI
L
EI
L
EI
oo
oo
-
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24/34
256 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
2) Por ltimo para pasar de las coordenadas de la figura 8.10.4 a las coordenadas de la figura8.10.3 se intercambian los dgitos uno y dos. Por lo tanto en la matriz de rigidez de la faseuno se intercambian los elementos de la fila uno a la fila dos y luego los elementos de la
columna uno a la columna dos, obteniendo de sta manera la matriz K que ya fuepresentada en el ejemplo anterior.
Un procedimiento similar se sigue para calcular la matriz de flexibilidad de una estructura enun nuevo sistema de coordenadas. El procedimiento de clculo presentado es muy fcil programarlo.
8. 4 EJERCICIOS RESUELTOS
En los ejercicios que se van a resolver en ste captulo al igual que en el prximo, el lectordeber justificar cada uno de los pasos dados, toda vez que ya se han indicado la teora respectiva.
EJEMPLO N.- 6
Obtener directamente a partir de su definicin los elementos de la segunda columna de lamatriz de rigidez de la estructura mostrada en la figura 8.11.1, las vigas son totalmente rgidas y lascolumnas son axialmente rgidas. Todas las columnas tienen la misma seccin transversal y longitud.
Figura 8.11.1 Estructura de ejemplo 6.
Figura 8.11.2 Sistema qQ Figura 8.11.3 Sistema pP
-
8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
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ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 257
SOLUCIN
La estructura tiene dos grados de libertad que son los desplazamientos horizontales de cadauno de los pisos. Estos grados de libertad se indican en la figura 8.11.2. Por ser los elementosverticales axialmente rgidos no existe deformacin axial luego hay dos coordenadas en el sistema
pP de cada elemento. En la figura 8.11.3 se muestra el sistema de coordenadas de los
elementos de la estructura analizada y la numeracin de los elementos. Ntese que no existe sistemapP en los elementos horizontales esto se debe a que son elementos completamente rgidos.
De acuerdo al procedimiento de clculo indicado en el apartado 8.1.2 se construye ladeformada elemental
2q ya que se va a encontrar los elementos de la segunda columna de la matrizde rigidez.
2012 == iqyq i
Figura 8.11.4 Deformada elemental2q
Lpp
Lpp
Lpp
Lpp
10
10
10
10
)4(
2
)3(
2
)2(
2
)1(
2
)4(
1
)3(
1
)2(
1
)1(
1
====
====
Cargas Internas pkP = . nicamente los elementos dos y cuatro tienen deformaciones.
==)4()2( PP
=
2
0
2
0
6
6
1
1
42
24
L
EI
L
EI
L
L
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
oo
oo
Por lo tanto:
2
)4(
2
)3(
22
)2(
2
)1(
2
2
)4(
1
)3(
12
)2(
1
)1(
1
6
0
6
0
60
60
L
EI
PPL
EI
PP
L
EIPP
L
EIPP
oo
oo
====
====
-
8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
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258 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
Equilibrio de elementos
Figura 8.11.5 Equilibrio de los elementos
Equilibrio de Juntas
Figura 8.11.6 Junta B Figura 8.11.7 Junta C
o Junta B
+==
+==
==
uL
EIM
L
uuNNF
NL
EIF
o
Y
o
X
2
'
21
53
60
0
120
o Junta C
+==
+==
+==
2
''
'''''
2
36
60
0
120
LEIuM
L
uuNF
L
EINF
o
Y
o
X
-
8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
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ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 259
Figura 8.11.8 Junta D Figura 8.11.9 Junta E
o Junta D
+==
++==
+==
'''
2
'''''
4
3622
60
0
120
uL
EIM
L
uuNF
L
EINKF
o
Y
o
X
o Junta E
+==
++==
++==
'
2
'
43
1253
60
0
120
uL
EIM
L
uuNNF
KNL
EIF
o
Y
o
X
Al resolver las 12 ecuaciones con 12 incgnitas que se han presentado, se encuentra:
3223122
'''
2
''
2
'
23635
34333231
242466
661212
12241224
L
EIK
L
EIK
L
EIu
L
EIu
L
EIu
L
EIu
L
EIN
L
EIN
L
EIN
L
EIN
L
EIN
L
EIN
oooo
oooo
oooo
====
====
====
Fuerzas exteriores
Figura 8.11.10 Elementos de la segunda columna de K
-
8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
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260 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
De sta manera se ha obtenido los elementos de la segunda columna de la matriz de rigideza partir de su definicin, se deja al estudiante el obtener los elementos de la primera columna de K .El resultado completo es:
=K
33
33
2424
2448
L
EI
L
EIL
EI
L
EI
oo
oo
EJEMPLO N.- 7
Encontrar a partir de su definicin los elementos de la segunda columna de la matriz deflexibilidad de la estructura presentada en la figura 8.11.1
SOLUCIN
De acuerdo al procedimiento de clculo indicado en el apartado 8.2.2 se tiene:
2012 == iQyQ i
Figura 8.12.1 Fuerza unitaria Figura 8.12.2 Equilibrio de estructura.
Equilibrio de elementos
Figura 8.12.3 Fuerzas internas
-
8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
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ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 261
Por consiguiente:
4444
4444
)4(
2
)3(
2
)2(
2
)1(
2
)4(
1
)3(
1
)2(
1
)1(
1
LP
LP
LP
LP
LP
LP
LP
LP
====
====
Clculo de las deformaciones
====)4()3()2()1( ffff
21
12
6 oEI
L
Pfp =
oooo
oooo
EI
Lp
EI
Lp
EI
Lp
EI
Lp
EI
Lp
EI
Lp
EI
Lp
EI
Lp
24242424
242424242
)4(
2
2)3(
2
2)2(
2
2)1(
2
2
)4(
1
2
)3(
1
2
)2(
1
2
)1(
1
====
====
Clculo del vector q
Se denominaoEI
L
24
2
= . Por lo tanto las deformaciones a flexin en cada uno de los
elementos valen toda vez que tienen ese valor.
Figura 8.12.4 Deformaciones obtenidas
La estructura de la figura 8.12.4 no cumple con la geometra de deformacin, para esto seprocede de la siguiente forma:
i) El nudo D se desplaza verticalmente una magnitud igual a L como lo indica la figura8.12.5 de esa manera las vigas giran un ngulo y ya cumplen con el principio de Williot.Pero el nudo F se ha desplazado a F. En consecuencia se solucion un problema pero se
cre otro y para solucionarlo se da el siguiente paso.
-
8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
30/34
262 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
ii) Con centro en el nudo A, se rota a la estructura en sentido horario un ngulo como loilustra la figura 8.12.6.
Figura 8.12.5 Figura 8.12.6
De la figura 8.12.6 se tiene:
oo EI
LLq
EI
LLq
122
24
3
2
3
1 ====
Pero
oo EI
LFq
EI
LFq
1224
3
222
3
121 ====
EJEMPLO N.- 8
Si en conexin con el problema 6, la matriz T define una transformacin de coordenadas de
la forma = qTq . Interpretar las nuevas coordenadas qQ y encontrar la matriz de rigidezusando la ley de transformacin de coordenadas de ste nuevo sistema.
=
11
01T
SOLUCIN
= qTq
=
2
1
2
1
11
01
q
q
q
q
+=+=
=+=
21212
1211
11
01
qqqqq
qqqq
De donde:
11 qq =
-
8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
31/34
ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 263
122 qqq =
Por lo tanto las coordenadas q miden desplazamientos relativos.
Figura 8.13.1 Sistema qQ Figura 8.13.2 Sistema qQ
Clculo de K
TKTK t=
=K
11
01
2424
2448
10
11
33
33
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
oo
oo
=K
3
3
240
024
L
EI
L
EI
o
o
EJEMPLO N.- 9
La matriz de flexibilidad F para la estructura del problema 7 es:
=F
oo
oo
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
1224
2424
33
33
En este caso el sistema de coordenadas qQ es el presentado en la figura 8.11.2. Se pide
calcular la matriz de flexibilidad F para el sistema de coordenadas de la figura 8.14, utilizando laregla prctica.
-
8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
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264 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
Figura 8.14 Coordenadas generalizadas del ejemplo 14
SOLUCIN
Se cambia la fila uno a la fila dos.
oo
oo
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
2424
1224
33
33
Finalmente se cambia la columna uno por la columna dos.
oo
oo
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
2424
2412
33
33
8. 5 EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio N.- 1
Encontrar la matriz de rigidez utilizando el concepto, de la estructura del ejemplo 8,
empleando las coordenadas qQ .
Ejercicio N.- 2
Generar directamente de su definicin los trminos de la primera columna de la matriz deflexibilidad de la estructura mostrada en la figura 8.11.1
Ejercicio N.- 3
Calcular la matriz de rigidez para el prtico de la figura 8.2.1, empleando la transformacin decoordenadas. Si el nuevo sistema de coordenadas es:
-
8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
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ANLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 265
Ejercicio N.- 4
Para la estructura de la figura 8.6 obtener la matriz de flexibilidad si el sistema decoordenadas generalizadas es el mostrado a continuacin. Utilice la regla prctica.
Ejercicio N.- 5
Hallar la matriz de rigidez usando el concepto del siguiente prtico plano.
Emplear como sistemas de coordenadas del elemento:
a.
-
8/13/2019 Metodo de Rigideces y Flexibilidad
34/34
266 Roberto Aguiar FalconCEINCI-ESPE
b.
c. Sistema a. para elemento vertical y sistema b. para elemento horizontal.
Ejercicio N.- 6
Obtener la matriz de rigidez para la armadura presentada.
Usar como sistema de coordenadas del elemento el siguiente:
Sistema P-p
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