método grafico. teoría y práctica

MÉTODO GRÁFICO

• Se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2

variables de decisión.

• El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las

restricciones en un eje de coordenadas X1, X2 para tratar de

identificar el área de soluciones factibles (soluciones que cumplen

con todas las restricciones).

• La solución óptima del problema se encuentra en uno de los

vértices de esta área de soluciones creada, por lo que se buscará en

estos datos el valor mínimo o máximo del problema.

MÉTODO GRÁFICO

Problema: Una compañía de auditores se especializa en preparar

liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en

saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar

mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800

horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en

promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de

revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de

impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de

revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones

mensuales disponibles es de 60.

MÉTODO GRÁFICO

Auditorias LiquidacionesHoras-Trabajo

Trabajo Directo 40 8 800

Revisión 10 5 320Ingresos 300 100

a.- Variables de Decisión:

X1: Cantidad de Auditorías a realizar mensualmente

X2: Cantidad de Liquidaciones a realizar mensualmente

MÉTODO GRÁFICO

b.- Función Objetivo:

Max Z = 300X1 + 100X2

c.- Restricciones:

1)40X1 + 8X2 <= 800

2)10X1 + 5X2 <= 320

3)X2 <= 60

4)X1 , X2 >= 0

MÉTODO GRÁFICO

Pasos:

1.Dibuja un plano cartesiano. Utiliza una escala adecuada en la que

puedas identificar visualmente el conjunto de ecuaciones.

2.Grafica en el plano el sistema de restricciones.

• Recuerda incluir las restricciones de no negatividad.

• Aunque las restricciones sean desigualdades, deberás

graficarlas como si fueran igualdades.

3.Una vez que tienes graficadas todas las ecuaciones, observa la

región acotada por el sistema, es decir, la región factible.

MÉTODO GRÁFICO

Pasos:

4.Para determinar los valores óptimos, lo primero que tienes que

hacer es buscar los valores que se localizan en los vértices de las

intersecciones de las ecuaciones; son los puntos en los que se

cruzan dos ecuaciones.

• Todos los vértices de la región factible son candidatos a ser

una posible solución óptima que maximiza o minimiza tu

modelo de programación lineal.

4.Grafica en el plano el sistema de restricciones. Para encontrar la

solución óptima es necesario que evalúes cada “combinación” o

MÉTODO GRÁFICO

Pasos:

par de valores de cada uno de los vértices en la función

objetivo, es decir, tienes que sustituir estos valores en la función

que deseas optimizar.

MÉTODO GRÁFICO

Cálculos para Graficar la Restricción # 1

Restricción # 1: 40X1+ 8X2<= 800 se transforma en igualdad quedando:

40X1+ 8X2= 800, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:

40X1+ 8X2= 800

40X1+8X2= 800

40(0)+8X2= 800

8X2= 800

X2= 800 / 8X2= 100

Haciendo lo mismo ahora con X2= 0 para obtener el valor de X1

MÉTODO GRÁFICO

40X1+ 8X2= 800

40X1+8(0)= 800

40X1= 800

40X1= 800

X1= 800 / 40X1= 20

Por tanto queda: X1 = 0 y X2= 100 ; X1 = 20 y X2= 0

MÉTODO GRÁFICO

Restricción # 1

40X1+ 8X2<= 800

Puntos:

X1= 0 ; X2= 100

X1= 20 ; X2= 0

MÉTODO GRÁFICO

Cálculos para Graficar la Restricción # 2

Restricción # 2: 10X1+5X2<= 320 se transforma en igualdad quedando:

10X1+ 5X2= 320, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:

10X1+ 5X2= 320

10X1+5X2= 320

10(0)+5X2= 320

5X2= 320

X2= 320 / 5X2= 64

Haciendo lo mismo ahora con X2= 0 para obtener el valor de X1

MÉTODO GRÁFICO

10X1+ 5X2= 320

10X1+5(0)= 320

10X1= 320

X1= 320 / 10X1= 32

Por tanto queda: X1 = 0 y X2= 64 ; X1 = 32 y X2= 0

MÉTODO GRÁFICO

Restricción # 2

10X1+ 5X2<= 320

Puntos:

X1= 0 ; X2= 64 / X1= 32; X2= 0

MÉTODO GRÁFICO

Cálculos para Graficar la Restricción # 3

Restricción # 3: X2<= 60 se transforma en igualdad quedando: X2= 60.

Por tanto X1 = 0 y X2 = 60

MÉTODO GRÁFICO

Restricción # 3

X2<= 60

Puntos:

X1= 0 ; X2= 60

MÉTODO GRÁFICO

Puntos:

A= (0,0) ; B= (20,0); C=Intersección entre la R1 y R2; D= Intersección entre R2 y R3 y E= (0,60)

C

D

E

BA

MÉTODO GRÁFICO

Punto C:

Restricción # 1: 40X1+ 8X2<= 800 se transforma en igualdad quedando:

40X1+ 8X2= 800, despejando X1:

40X1+ 8X2= 800

40X1= 800- 8X2

X1=

Introduciendo el valor de X1 (obtenido en la Restricción # 1) en la

Restricción # 2 : 10X1+ 5X2<= 320 convirtiéndola primeramente en la

igualdad queda: 10X1+ 5X2= 320

40

X8800 2−

MÉTODO GRÁFICO

3204

X20X8800

3204

)X(4X8800

320X54

X8800

:ndoSimplifica

320X5)40

X8800(10

22

22

22

22

=+−

=+−

=+−

=+−

40X

12

480X

8001280X12

1280X20X8800

)320(4X20X8800

2

2

2

22

22

=

=

−=

=+−

=+−

MÉTODO GRÁFICO

Sustituyendo el valor obtenido de X2 en la Restricción # 1 se obtiene el

valor de X1

12X

40

480X

40

320-800X

40

8(40)-800X

40

8X-800X

1

1

1

1

21

=

=

=

=

=

MÉTODO GRÁFICO

Puntos:

A= (0,0) ; B= (20,0); C=(12,40); D= Intersección entre R2 y R3 y E= (0,60)

C

D

E

BA

MÉTODO GRÁFICO

Punto D:

Restricción # 3: X2<= 60 transformándola en igualdad queda X2= 60 ,

ahora sustituimos este valor obtenido en la Restricción # 2 y

obtenemos X1

10X1+ 5X2= 320

10X1+ 5(60) = 320

10X1+ 300 = 320

10X1= 320 - 300

10X1= 20

X1= 20 / 10

X1= 2

MÉTODO GRÁFICO

Puntos:

A= (0,0) ; B= (20,0); C=(12,40); D= (2,60) y E= (0,60)

C

D

E

BA

MÉTODO GRÁFICO

Ahora sustituimos los cinco (5) puntos en la Función Objetivo y en

nuestro caso el punto factible más alto es el punto óptimo y

solución del problema

MÉTODO GRÁFICO

C

D

E

BAFunción Objetivo. Puntos Factibles y Óptimo:

X1= 12 ; X2= 40 haciendo que Z tenga un valor de 7600

MÉTODO GRÁFICO

a.- Función Objetivo:

Min Z = 3X1 + 8X2

b.- Restricciones:

1)X1 + X2 >= 8

2)2X1 - 3X2 <= 0

3)X1 + 2X2 <= 30

4)3X1 - X2 >= 0

5)X1 <= 10

6)X2 >= 9

7)X1 , X2 >= 0

MÉTODO GRÁFICO

Cálculos para Graficar la Restricción # 1

Restricción # 1: X1+ X2>= 8 se transforma en igualdad quedando: X1+

X2= 8, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:

X1+ X2= 8

(0)+X2= 8

(0)+X2= 8

X2= 8

Haciendo lo mismo ahora con X2= 0 para obtener el valor de X1

MÉTODO GRÁFICO

X1+ X2= 8

X1+8(0)= 8

X1= 8

Por tanto queda: X1 = 0 y X2= 8 ; X1 = 8 y X2= 0

MÉTODO GRÁFICO

Restricción # 1

X1+ X2 >= 8

Puntos: X1= 0 ; X2= 8/ X1= 8 ; X2= 0

MÉTODO GRÁFICO

Cálculos para Graficar la Restricción # 2

Restricción # 2: 2X1-3X2<= 0 se transforma en igualdad quedando: 2X1-

3X2= 0, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:

2X1-3X2= 0

(0)-3X2= 0

X2= 0

Haciendo lo mismo ahora con X2= 0 para obtener el valor de X1

2X1-3X2= 0

2X1-3(0)= 0

X1= 0

Por tanto queda: X1 = 0 y X2= 0 ; X1 = 0 y X2= 0

MÉTODO GRÁFICO

Restricción # 2

2X1- 3X2 <= 0

Puntos: X1= 0 ; X2= 0/ X1= 0 ; X2= 0

MÉTODO GRÁFICO

Cálculos para Graficar la Restricción # 3

Restricción # 3: X1+ 2X2<= 30 se transforma en igualdad quedando:

X1+ 2X2= 30, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:

X1+2X2= 30

(0)+2X2= 30

X2= 30 / 2

X2= 15

Haciendo lo mismo ahora con X2= 0 para obtener el valor de X1

X1+2X2= 30

X1+2(0)= 30

X1= 30

MÉTODO GRÁFICO

Por tanto queda: X1 = 0 y X2= 15 ; X1 = 30 y X2= 0

MÉTODO GRÁFICO

Restricción # 3

X1+ 2X2 <= 30

Puntos: X1= 0 ; X2= 15/ X1= 30 ; X2= 0

MÉTODO GRÁFICO

Cálculos para Graficar la Restricción # 4

Restricción # 4: 3X1-X2>=0 se transforma en igualdad quedando: 3X1-

X2=0, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:

3X1-X2= 0

(0)-X2= 0

X2= 0

Haciendo lo mismo ahora con X2= 0 para obtener el valor de X1

3X1-X2= 0

3X1-(0)= 0

X1= 0

Por tanto queda: X1 = 0 y X2=0 ; X1 = 0 y X2= 0

MÉTODO GRÁFICO

Restricción # 4

3X1 -X2 >= 0

Puntos: X1= 0 ; X2= 0/ X1= 0 ; X2= 0

MÉTODO GRÁFICO

Cálculos para Graficar la Restricción # 5

Restricción # 5: X1<= 10 se transforma en igualdad quedando: X1= 10.

Por tanto X1 = 10 y X2 = 0

MÉTODO GRÁFICO

Restricción # 5

X1 <= 10

Puntos: X1= 10

MÉTODO GRÁFICO

Cálculos para Graficar la Restricción # 6

Restricción # 6: X2>= 9 se transforma en igualdad quedando: X2= 9.

Por tanto X1 = 0 y X2 = 9

MÉTODO GRÁFICO

Restricción # 6

X2 >= 9

Puntos: X2= 9

MÉTODO GRÁFICO

A B

C

D

Puntos:

A= Inters. entre R4 y R6 ; B= Inters. entre R5 y R6; C= Inters. entre R3 y R5; D= Inters. entre R3 y R4

MÉTODO GRÁFICO

Punto A:

Restricción # 6: X2>= 9 transformándola en igualdad queda X2= 9 ,

ahora sustituimos este valor obtenido en la Restricción # 4 y

obtenemos X1

3X1- X2= 0

3X1- 9= 0

3X1= 9

X1= 9 / 3

X1= 3

MÉTODO GRÁFICO

A B

C

D

Puntos:

A= (3,9); B= Inters. entre R5 y R6; C= Inters. entre R3 y R5; D= Inters. entre R3 y R4

MÉTODO GRÁFICO

Punto B:

X1= 10 X2 =9

Punto C:

Restricción # 5: X1<= 10 transformándola en igualdad queda X1= 10

, ahora sustituimos este valor obtenido en la Restricción # 3 y

obtenemos X2

X1+ 2X2= 30

10+ 2X2= 30

2X2= 30-10

X2= 20 / 2

X1= 10

MÉTODO GRÁFICO

A B

C

D

Puntos:

A= (3,9); B= (10,9); C= (10,10); D= Inters. entre R3 y R4

MÉTODO GRÁFICO

Punto D:

Restricción # 3: X1+ 2X2 <= 30 transformándola en igualdad queda

X1+ 2X2= 30 y Restricción 4: 3X1- X2 >= 0 transformándola en igualdad

queda 3X1- X2 = 0

X1+ 2X2= 30

3X1- X2 = 0

Multiplicando X1+ 2X2= 30 por -3 queda -3X1- 6X2= -90

-3X1- 6X2= -90

3X1- X2 = 0

Aplicando el método de eliminación queda

MÉTODO GRÁFICO

- 7X2= -90

Despejando X2 ; queda X2= -90 / -7 por tanto el valor de X2 es 12,85;

sustituyendo este valor en 3X1- X2 = 0 queda

3X1- 12,85 = 0

3X1= 12,85

X1= 12,85 / 3

X1= 4,28

MÉTODO GRÁFICO

A B

C

D

Puntos:

A= (3,9); B= (10,9); C= (10,10); D= (4,28; 12,85)

MÉTODO GRÁFICO

Ahora sustituimos los cuatro (4) puntos en la Función Objetivo y en

nuestro caso el punto factible más bajo es el punto óptimo y

solución del problema

Vértices Región Factible

Z = 3X1 + 8X2 Valor Obtenido

A= (3,9) Z=3(3)+8(9) 81B= (10,9) Z=3(10)+8(9) 102

C= (10,10) Z=3(10)+8(10) 110D= (4,28;12,85) Z=3(4,28)+8(12,85) 115,64

MÉTODO GRÁFICO

A B

C

D

Función Objetivo. Puntos Factibles y Óptimo:

X1= 3; X2= 9 haciendo que Z tenga un valor de 81

MÉTODO GRÁFICO

a.- Función Objetivo:

Max Z = 400X1 + 300X2

b.- Restricciones:

1)0,4X1 + 0,5X2 <= 20

2)0,2X2 <= 5

3)0,6X1 +0,3X2 <= 21

4)X1 , X2 >= 0

MÉTODO GRÁFICO

Cálculos para Graficar la Restricción # 1

Restricción # 1: 0,4X1+ 0,5X2 <= 20 se transforma en igualdad

quedando: 0,4X1+ 0,5X2= 20, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:

0,4X1+ 0,5X2= 20

0,4(0)+0,5X2= 20

(0)+0,5X2= 20

X2= 20 / 0,5

X2= 40

Haciendo lo mismo ahora con X2= 0 para obtener el valor de X1

MÉTODO GRÁFICO

0,4X1+ 0,5X2= 20

0,4X1+0,5(0)= 20

0,4X1= 20

X1= 20 / 0,4

X1= 50

Por tanto queda: X1 = 0 y X2= 40 ; X1 = 50 y X2= 0

MÉTODO GRÁFICO

Restricción # 1

0,4X1+ 0,5X2 <= 20

Puntos: X1= 0 ; X2= 4/ X1= 5 ; X2= 0 (por efectos de la escala se dividió todos los valores

por 10)

MÉTODO GRÁFICO

Cálculos para Graficar la Restricción # 2

Restricción # 2: 0,2X2<= 5 se transforma en igualdad quedando: X2=

25.

Por tanto X1 = 0 y X2 = 25

MÉTODO GRÁFICO

Restricción # 2

0,2X2 <= 5

Puntos: X1= 0 ; X2= 2,5 (por efectos de la escala se dividió todos los valores por 10)

MÉTODO GRÁFICO

Cálculos para Graficar la Restricción # 3

Restricción # 1: 0,6X1+ 0,3X2 <= 21 se transforma en igualdad

quedando: 0,6X1+ 0,3X2= 21, se iguala X1 a 0 y se obtiene X2:

0,6X1+ 0,3X2= 21

0,6(0)+0,3X2= 21

(0)+0,3X2= 21

X2= 21 / 0,3

X2= 70

Haciendo lo mismo ahora con X2= 0 para obtener el valor de X1

MÉTODO GRÁFICO

0,6X1+ 0,3X2= 21

0,6X1+0,3(0)= 21

0,6X1= 21

X1= 21 / 0,6

X1= 35

Por tanto queda: X1 = 0 y X2= 70 ; X1 = 35 y X2= 0

MÉTODO GRÁFICO

Restricción # 3

0,6X1+0,3X2 <= 21

Puntos: X1= 0 ; X2= 7/ X1= 3.5 ; X2= 0 (por efectos de la escala se dividió todos los

valores por 10)

MÉTODO GRÁFICO

Puntos:

A= (0,0) ; B= (0;3,5); C=Intersección entre la R1 y R3; D= Intersección entre R1 y R2 y E= (0;2.5)

BA

E DC

MÉTODO GRÁFICO

Punto C:

Restricción # 1: 0,4X1+ 0,5X2 <= 20 se transforma en igualdad

quedando: 0,4X1+ 0,5X2= 20, despejando X1:

0,4X1+ 0,5X2= 20

0,4X1= 20- 0,5X2

X1=

Introduciendo el valor de X1 (obtenido en la Restricción # 1) en la

Restricción # 3 : 0,6X1+ 0,3X2<= 21 convirtiéndola primeramente en la

igualdad queda: 0,6X1+ 0,3X2= 21

0,4

X5,020 2−

MÉTODO GRÁFICO

214,0

X12,0X3,012

214,0

)X3,0(4,0X3,012

21X3,00,4

X3,012

:ndoSimplifica

21X3,0)4,0

X5,020(6,0

22

22

22

22

=+−

=+−

=+−

=+−

20X

18,0

6,3X

124,8X18,0

4,8X12,0X3,012

)21(4,0X12,0X3,012

2

2

2

22

22

=

−−=

−=−

=+−

=+−

X2= 2

MÉTODO GRÁFICO

Sustituyendo el valor obtenido de X2 en la Restricción # 1 se obtiene el

valor de X1

25X

40

480X

0,4

10-20X

0,4

0,5(20)-20X

0,4

0,5X-20X

1

1

1

1

21

=

=

=

=

=

X1= 2,5

MÉTODO GRÁFICO

Puntos:

A= (0,0) ; B= (0;3,5); C=(2,5;2) D= Intersección entre R1 y R2 y E= (0;2.5)

BA

E DC

MÉTODO GRÁFICO

Punto D:

Restricción # 2: 0,2X2<=5 transformándola en igualdad queda X2=

25, ahora sustituimos este valor obtenido en la Restricción # 1 y

obtenemos X1

0,4X1+ 0,5X2= 20

0,4X1+ 0,5(25)= 20

0,4X1+ 12,5= 20

0,4X1= 20-12,5

0,4X1= 7,5

X1= 7,5 / 0,4

X1= 18,75 ; X1= 1,87

MÉTODO GRÁFICO

Puntos:

A= (0,0) ; B= (0;3,5); C=(2,5;2) D= (1,87; 2,5) y E= (0;2.5)

BA

E DC

MÉTODO GRÁFICO

Ahora sustituimos los cinco (5) puntos en la Función Objetivo y en

nuestro caso el punto factible más alto es el punto óptimo y

solución del problema

MÉTODO GRÁFICO

BA

E

D

C

Función Objetivo. Puntos Factibles y Óptimo:

X1= 2,5; X2= 2 haciendo que Z tenga un valor de 1600