metodo pegaso
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Método PégasoEmanuele Santos
Monday, December 17, 12
UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2
Método da Bisseção:Descrição• Seja uma função f(x) contínua no intervalo [a,b], sendo ξ a única
raiz de f(x) = 0 neste intervalo• O método da bisseção consiste em reduzir a amplitude do
intervalo que contém a raiz [a,b] até se atingir a precisão requerida: (b-a) < ε, subdividindo o intervalo ao meio a cada iteração
2
Monday, December 17, 12
UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2
Método da Bisseção:Graficamente
3
x
f(x)
ξb=b0
a=a0
x0
Iteração 1x0 =
a0 + b0
28<
:
f(a0) > 0f(b0) < 0f(x0) < 0
9=
; ⇒
8><
>:
⇠ 2 (a0, x0)a1 = a0
b1 = x0
Monday, December 17, 12
UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2
Método da Bisseção:Graficamente
4
x
f(x)
ξb=b0
a=a0a1
x0
b1
Iteração 2
x1
8<
:
f(a1) > 0f(b1) < 0f(x1) > 0
9=
;
x1 =a1 + b1
2
⇒
8><
>:
⇠ 2 (x1, b1)a2 = x1
b2 = b1
Monday, December 17, 12
UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2
Método da Bisseção:Graficamente
5
x
f(x)
ξb=b0
a=a0a1
x0b1
b2
Iteração 3
x1a2
⇒
x2
8<
:
f(a2) > 0f(b2) < 0f(x2) > 0
9=
;
8><
>:
⇠ 2 (x2, b2)a3 = x2
b3 = b2
x2 =a2 + b2
2
E assim sucessivamente até que (bk-ak) < ε
Monday, December 17, 12
UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2
Método da Posição Falsa:Descrição• De maneira similar ao método da bisseção, o método da posição
falsa consiste em reduzir a amplitude do intervalo [a,b] que contém a raiz
• Ao invés de usar o ponto médio do intervalo, o método da posição falsa usa o ponto onde a reta secante unindo (ak, f(ak)) e (bk, f(bk)) cruza o eixo-x e o seleciona para ser uma nova extremidade do intervalo
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Monday, December 17, 12
UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2
Método da Posição Falsa:Graficamente• Seja uma função f(x) contínua no
intervalo [a,b], sendo ξ a única raiz de f(x) = 0 neste intervalo
• Uma estimativa da raiz ξ é tomada onde a reta secante cruza o eixo-x
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x
f(x)
ξb=b0
a=a0
x0
Monday, December 17, 12
UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2
Método da Posição Falsa:Graficamente• Seja uma função f(x) contínua no
intervalo [a,b], sendo ξ a única raiz de f(x) = 0 neste intervalo
• Uma estimativa da raiz ξ é tomada onde a reta secante cruza o eixo-x
8
x
f(x)
ξb=b0
a=a0a1
b1=x0x1
Monday, December 17, 12
UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2
Equação da reta secante• A equação da reta secante que
passa pelos pontos de coordenadas (a, f(a)) e (b,f(b)) é dada por:
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x
f(x)
ξ b
a x0
(b,f(b))
(a,f(a))
b� x0
f(b)=
x0 � a
�f(a)x0(f(b)� f(a)) = a(f(b))� b(f(a))
x0 =a(f(b))� b(f(a))
f(b)� f(a)
Monday, December 17, 12
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Exemplo• f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01
10
x
f(x)
ab
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Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01
11
x
f(x)
ab x
f(x)
ab
x00.5
x0-0.099
bisseção posição falsa
Monday, December 17, 12
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Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01
12
x
f(x)
ab x
f(x)
ba a a x1
0.332
x11.25
bisseção posição falsa
Monday, December 17, 12
UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2
Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01
13
x
f(x)
a bb x
f(x)
baa a ax2
0.875 0.639x2
bisseção posição falsa
Monday, December 17, 12
UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2
Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01
14
x
f(x)
a bb x
f(x)
ba a aa
0.839x3
1.062x3
aa
bisseção posição falsa
Monday, December 17, 12
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raiz: 1.078313raiz: 1.077148
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Método Pégaso:Descrição
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• De maneira similar ao método da posição falsa, o método Pégaso consiste em reduzir a amplitude do intervalo [a,b] que contém a raiz
• Ao invés de apenas usar o ponto onde a reta secante unindo (xk-1, f(xk-1)) e (xk, f(xk)) cruza o eixo-x, o método também reduz o valor de f(xk-1) por um fator de f(xk)/(f(xk)+f(xk+1))
Monday, December 17, 12
UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2
Método Pégaso:Graficamente• Seja uma função f(x) contínua no
intervalo [a,b], sendo ξ a única raiz de f(x) = 0 neste intervalo
• Uma estimativa da raiz ξ é tomada onde a reta secante cruza o eixo-x
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x
f(x)
ξb=x1
a=x0
x2
Monday, December 17, 12
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Método da Posição Falsa:Graficamente• Seja uma função f(x) contínua no
intervalo [a,b], sendo ξ a única raiz de f(x) = 0 neste intervalo
• Uma estimativa da raiz ξ é tomada onde a reta secante cruza o eixo-x
• Se fx * fb > 0:‣ fa = fa * fb/(fb+fx)
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x
f(x)
ξb=x1
a=x0x1
b=x2x3
Monday, December 17, 12
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Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01
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x
f(x)
ab
x0-0.099
x
f(x)
ab
x0-0.099
pégasoposição falsa
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Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01
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x
f(x)
aa b x1
0.332
x
f(x)
ba a x1
0.332
pégasoposição falsa
Monday, December 17, 12
UFC - Universidade Federal do CearáMétodos Numéricos I - Professora Emanuele Santos - Período 2012.2
Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01
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x
f(x)
aba b 0.828x2
x
f(x)
baa a 0.639x2
pégasoposição falsa
Monday, December 17, 12
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Exemplo:f(x) = 2x3-cos(x+1)-3, a=-1, b=2, ε=0.01
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x
f(x)
ba a
0.839x3aa
x
f(x)
aba b
1.115x3
b
pégasoposição falsa
Monday, December 17, 12
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raiz: 1.078892raiz: 1.078313raiz: 1.077148
Monday, December 17, 12
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