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Métodos para el Cálculo de Operaciones de Separación

Multietapa en Mezclas Multicomponentes

MMéétodos para el Ctodos para el Cáálculo de lculo de Operaciones de SeparaciOperaciones de Separacióón n

Multietapa en Mezclas Multietapa en Mezclas MulticomponentesMulticomponentes

Área de conocimiento: Ingeniería QuímicaDocencia en “Operaciones de Separación”

Febrero, 2003Prof.Dr. Juan A. Reyes-Labarta ©

http://iq.ua.es/~jareyes/

Dpto. Ingeniería Química

FUNDAMENTOS DE OPERACIONES DE SEPARACIÓN

OPERACIONES DE SEPARACIÓN

Fase Líquida. Cálculo de coeficientes de actividad (NRTL)

∑ ∑∑

∑∑

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

⎛ τ

−τ+

rrrjrj

jjjiji

Fase Vapor. Cálculo de coeficientes de fugacidad (Ecuación de Estado de Virial)

2 +++==RTPBBy2ln

1jmezclaijji ⎥

⎤⎢⎣

⎡−=ϕ ∑

•Termodinámica del equilibrio entre fases (fi, ai, ji, gi).•Termodinámica del equilibrio entre fases (fi, ai, ji, gi).

Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes ©

Operaciones de Separación:Destilación simple

Rectificación continua y discontinua

Extracción líquido-líquido y líquido-sólido

Adsorción, intercambio iónico y cromatografía

Interacción aire-agua

Secado

Cristalización

•Métodos y ecuaciones de diseño de las principales operaciones de separación (menor n° de componentes posibles)

ObjetivosObjetivos1. Introducir al alumno en la problemática del cálculo riguroso en

sistemas multicomponentes:

2. Conocer las especificaciones y esquemas de cálculo de losprincipales métodos rigurosos.

• Número de ecuaciones y no linealidad.

• Correcta utilización de los simuladores comerciales

• Procedimientos iterativos

• Modificación de los esquemas de cálculo

2.1. M. Etapa a Etapa

2.2. M. Componente a Componente

3.1. M. Dentro-fuera

3.2. M. de Relajación

3.3. M. Homotópicos

3.4. Prog. Disyuntiva

Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes

ÍÍndicendice1. Introducción. Métodos de Simulación vs. Métodos de

Diseño. Grados de Libertad. Antecedentes (métodos simplificados).

2. Principales Métodos Rigurosos

3. Últimas tendencias

4.1. M. Punto Burbuja

4. Ejemplo numérico

1.1. M. FUG

1.2. M. de Hengstebeck

1.3. M. de Grupos

Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes1. MÉTODOS DE SIMULACIÓN vs. MÉTODOS DE DISEÑO

Métodos de Simulación Métodos de Diseño

-Dadas:

-No se especifican las separaciones.

-Separación deseada de los componentes clave.

-Proporcionan:

-Diseñar los equipos necesarios para conseguir una determinada separación.

-Cálculo del rendimiento de un equipo trabajando bajo unas condiciones determinadas.

-Se obtienen:

•Condiciones de operación.

•Características de las corrientes de salida.

•Posición óptima las corrientes laterales.

•Características de un equipo.

•Perfiles de T, composiciones y caudales a lo largo del equipo.

•Nº de etapas necesarios

-No se han desarrollado prácticamente en sistemas multicomponentes.

Variables

Ecuaciones

Total Ec.= N·(c+2) + N·c + N + q·(c+1)

Balances de Energía ⇒ N ·1Balances de Materia ⇒ N·c (N pisos, c-1 componentes, global)Equilibrios ⇒ N·(c+2) (c componentes, P, T)

k Alimentos laterales ⇒ k·(c+3) (Caudal, P, T, c-1 composiciones y posición)

Grados de Libertad = Var. – Ec. =

Total Var.= (k+q)·(c+3) + 2·N·(c+2) +32 Q (en Cal. y Cond.) ⇒ 2

2 Corrientes por etapa ⇒ 2·N·(c+2) (Caudal, P, T, c-1 composiciones)

Nº de etapas ⇒ 1

q Productos laterales ⇒ q·(c+3) (Caudal, P, T, c-1 composiciones y posición)

Igualdades Prod./Piso ⇒ q·(c+1) (c-1 componentes, P, T)

Grados de Libertad

G.L.= Var. – Ec. = k·(c+3) + 2·q + N + 3

Faltan 2+2·q variables por especificar:

D, Lo y otras 2 variables por producto lateral (caudal y posición)

Si q=0 ⇒ G.L.= k·(c+3) + N + 3

Presiones ⇒ N (etapas)

Nº de pisos ⇒ 1

Faltan 2 variables por especificar: Normalmente D y Lo

k Alimentos laterales ⇒ k·(c+3) (Caudal, P, T, c-1 composiciones y pos.)

Si q≠0:

Especificaciones incompatibles:

•2 especificaciones de pureza o reconversión para el mismo componente en 2 corrientes.

•2 especificaciones de pureza o reconversión de 2 componentes distintos en una misma corriente.

•Especificaciones de pureza incompatibles con caudales de producto.

•Especificaciones de pureza demasiado elevadas.

• Especificación simultánea de todos los caudales.

• Especificación de un vapor de cabeza en un sistema que contiene incondensables.

• Caudales de productos (en destilado y residuo) sin atender a las volatilidades de los componentes.

• Especificación de las pérdidas/aportes de calor y reflujo/vapor generado en la caldera.

mHK,LK

min )log(

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

1.1. Método FUG (Fenske-Underwood-Gilliland) (diseño)

1.1. Antecedentes. MAntecedentes. Méétodos Simplificados (Short todos Simplificados (Short cutscuts))

Cálculo del N° depisos mínimo

(Reflujo Total, conocido un perfil de composiciones

del destilado y residuo)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−= 50

1211711

454111 .min

X.X.exp

RRX min

Cálculo delReflujo mínimo

(Según el tipo de sistema)

Cálculo del N°Teórico de Pisos

(Función del N° mínimo de pisos, el Reflujo y del Reflujo mínimo)

a) Sist. Bin. Ideal

b) Sist. Bin. No Ideal

c) Sist. Mult. Clase 1

d) Sist. Mult. Clase 2

e) Sist. Mult. LLK dist.

HHK no dist.

1.2. Método Gráfico de Hengstebeck (diseño)

Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes1. ANTECEDENTES. MÉTODOS SIMPLIFICADOS

Definición de Caudales y Composiciones Efectivas

Construcción de la Curva de Equilibrio Efectiva(Diagrama y vs x)

Aplicación equivalente del método de McCabe-ThieleColumnas de Rectificación Binaria

Determinación del piso óptimo de alimentación, número de pisos

xe,LK = xLK/(xLK + xHK)

ye,LK = yLK/(yLK + yHK)

Le = L(xLK + xHK)

Ve = V(yLK + yHK)

xe,LK = xLK/(xLK + xHK)

ye,LK = yLK/(yLK + yHK)

Le = L(xLK + xHK)

Ve = V(yLK + yHK)

Curva de Equilibrio Efectiva: LK(C3) y el HK(C4)

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

Equilibrio cal.xd, zf, xbPtos corteRecta Op. Enriq.Recta Op. Agot.Recta qDiagonalPr.Rec. Op. Agot.Pr.Rec. Op. Enriq.PisosRecta Op. FPr.Rec. Op. F

Utilidad de los métodos gráficos

1. La detección de pinch-points(ptos de conjunción).

2. La identificación de puntos de alimentación inadecuados.

3. La identificación de excesivos reflujo y/o vapor generado en la caldera.

4. Detectar cuando resultan adecuados intercambiadores interetapas.

5. Proporcionar orientación para la optimización de la columna.

1.3. Métodos de Grupo (Simulación)

•Definición de los factores de absorción efectivos (Ae,i), y fracción de recuperación φA.

•Especificaciones: Alimentos, nº de pisos y P.

•Variables de entrada: LN, TN y T1

•Tratamiento global todas las etapas de la cascada.

•Contracción molar del vapor igual en todas las etapas

•Variación de Tª del líquido proporcional al caudal de gas absorbido

V V VVN N

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

1 T TT T

V VV V

−−

=−−

Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes1. ANTECEDENTES. MÉTODOS SIMPLIFICADOS

( ) 1i,ji,j

ji,j AS;

A −=⋅

[ ][ ] 5.025.0)1S(SS

5.025.0)1A(AA

i,Ni,1i,e

i,1i,Ni,e

−++=

i,ei,A

−=φ + 1S

i,ei,S

−=φ +

)1(l·vv i,Si,oi,Ai,1Ni,1 φ−+φ= +

•Únicamente aplicables para la simulación de:

2.1. Primeros M2.1. Primeros Méétodos todos ““RigurososRigurosos””

•Métodos iterativos (variables de entrada)

• Thiele-Geddes

• Lewis-Matheson

columnas convencionales

MMéétodos Etapa a Etapa y Ecuacitodos Etapa a Etapa y Ecuacióón a Ecuacin a Ecuacióónn*

•1930•Rectificación

•Empiezan por ambos extremos de la columna•Avanzando piso a piso* hasta llegar a la zona de alimentación

todos los componentes se distribuyen•Presentaron un comportamiento muy inestable

Variables de entrada

Método de Thiele-Geddes

Especificaciones:• Número de platos en cada sector

Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.1. PRIMEROS MÉTODOS “RIGUROSOS”

Método de Lewis-Matheson

Se resuelve de forma alternada y empezando por ambos extremos de la columna:

Método de Simulación Método de Simulación

ConsideracionesPerfil TjKj,i=f(T)

di , biαi,r=ctes

N° de pisos totales y la posición del piso de la alimentación

i,ji,ji,jji,j

ji,j vAv

l ⋅=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

Factores de Absorción

1ir,ii,j

r,ii,ji,j

/yxVolatilidades

Relativas

• Caudal, composición y condición térmica del alimento• Otras dos variables (D, Lo)

i,1j +=+ Cocientes de Caudales Individuales 1j

i,jji,1j V

Composiciones

o “diseño”

i.agot,i,ff

i.enriq,i,ff

i.agot,i,f

i.enriq,i,f

ib/yVd/yV

b/vd/v

Al llegar al piso de alimentación por ambos extremos se calcula: di/bi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Calcular los perfil de yj,i; xj,i

)d/b(1zFd

⋅=Calcular

Comprobación de:•di/bi (simulación)•yf,i calculados desde ambos

extremos (diseño)

Nuevo perfil de Ta y Kj,i=f(Tj)

Si no se consideran los caudales molares constantes ⇒ cálculo iterativo en cada etapa de Vj.

Nuevo perfil de Ta y Kj,i=f(Tj)

Suponer Vj → Calcular Lj con BM →

→ con Lj, yji, xji, Hj,i=f(Tj, yj,i), hj,i=f(Tj, xj,i) y BE comprobar Vj

Calcular los perfil de yj,i; xj,i

)d/b(1zFd

⋅=Calcular

Comprobación de:•di/bi (simulación)•yf,i calculados desde ambos

extremos (diseño)

Métodos de punto de burbuja (BP)Métodos de suma de caudales (SR) y (SRI)Métodos Newton 2N Métodos de Corrección Simultánea (SC)

2.2. Principales M2.2. Principales Méétodos Rigurosostodos RigurososMMéétodos Componente a Componentetodos Componente a Componente

Distintos métodos según:

Forma de agrupar y resolver los sistemas de ecuaciones

Selección de las variables de entrada

•Cálculos generalmente de forma secuencial.•Agrupan todas las ecuaciones correspondiente a un componente, a lo largo de todas las etapas (SIMULACIÓN).

Especificaciones:

-Nº Pisos y presión de trabajo

-Características de todas los alimentos incluida su localización

-Caudal y posición de cada producto lateral extraído (no comp.)

-2 variables, normalmente D y Lo (rectif.)

Métodos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes2.2. PRINCIPALES MÉTODOS RIGUROSOS

w JL J-1

U JV J+1

Etapa j

Etapa 2

Etapa 1

Etapa N

Etapa N-1

JL J-1

U JV J+1

Etapa j

F N-1U N-1

Etapa 2

Etapa 1

Etapa 2

Etapa 1

Etapa N

Etapa N-1

JL J-1

U JV J+1

Etapa j

F N-1U N-1

Etapa 2

Etapa 1

Etapa 2

Etapa 1

Etapa N

Etapa N-1

JL J-1

U JV J+1

Etapa j

F N-1U N-1

Alimento Directo

Etapa 2

Etapa 1

Condensador0

Etapa 2

Etapa 1

Etapa N

Etapa N-1

JL J-1

U JV J+1

Etapa j

F N-1U N-1

Etapa 2

Etapa 1

Destilado

Reflujo

Condensador0

Etapa 2

Etapa 1

Etapa N

Etapa N-1

JL J-1

U JV J+1

Etapa j

F N-1U N-1

Etapa 2

Etapa 1

Condensador0

Parcial

Destilado

Reflujo

Etapa 2

Etapa 1

Etapa N

Etapa N-1

JL J-1

U JV J+1

Etapa j

F N-1U N-1

Etapa 2

Etapa 1

Condensador0

Decantador

Azeótropo het.2

Etapa 2

Etapa 1

Etapa N

Etapa N-1

JL J-1

U JV J+1

Etapa j

F N-1U N-1

Reflujo

Etapa N

Etapa N-1

F N-1U N-1

Etapa 2

Etapa 1

Etapa N

Etapa N-1

JL J-1

U JV J+1

Etapa j

F N-1U N-1

Etapa N

Etapa N-1

F N-1U N-1

Etapa 2

Etapa 1

Etapa N

Etapa N-1

JL J-1

U JV J+1

Etapa j

F N-1U N-1

W Caldera

Residuo

Etapa N

Etapa N-1

F N-1U N-1

Etapa 2

Etapa 1

Etapa N

Etapa N-1

JL J-1

U JV J+1

Etapa j

F N-1U N-1

Vapor Directo

Residuo

Ecuaciones MESH:

1. M: c balances de materia por etapa:

2. E: c relaciones de equilibrio por etapa:

3. S: 2 ec. suma por etapa:

4. H: 1 balance de energía por etapa:

0y)WV(x)U(L zFyVxLM i,jjji,jjji,jji,1j1ji,1jiji,j =⋅+−⋅+−⋅+⋅+⋅≡ ++−−

0xKyE i,ji,ji,ji,j =⋅−≡

0QH)WV(h)ULFHVhLH jj,Vjjj,Ljjj,Fj1j,V1j1j,L1jj =+⋅+−⋅+−⋅+⋅+⋅≡ ++−− ( H

00.1x)S(

00.1y)S(

1ii,jjx

1ii,jjy

=−≡

Criterio de signos “egoísta” para el calor

Ecuaciones ME (i):

1. M: balance de materia del componente i en la etapa j:

2. E: relación de equilibrio etapa j:

0y)WV(x)U(L zFyVxLM i,jjji,jjji,jji,1j1ji,1jiji,j =⋅+−⋅+−⋅+⋅+⋅≡ ++−−

0xKyE i,ji,ji,ji,j =⋅−≡

1mmmm1jj V)U WF(VL −−−+= ∑

ji,1jji,jji,1jj DxCxBxA =⋅+⋅+⋅ +−

Nj2 V)UWF(VA1j

1m1mmmjj ≤≤−−−+= ∑

Nj1 )KW+(V+U+V)UWF(VB ij,jjj

1m1mmm1jj ≤≤

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−−−+−= ∑

1-Nj1 K·VC i,1j1jj ≤≤= ++ Nj1 z·FD i,jjj ≤≤−= con xio = 0, VN+1 = 0

Matriz tridiagonal

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−−

1N1N1N

2N2N2N

DDD..................DDD

xxx..................xxx

BA000.........0CBA00.........0

0CBA0.........0..........................................0.........0CBA00.........00CBA0.........000CB

Para cada componente i:

Ecuaciones ME (i):ji,1jji,jji,1jj DxCxBxA =⋅+⋅+⋅ +−

2i111i B

xCDx −=

11 == 2i111i xpqx −=Etapa 1

Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. MulticomponentesMATRIZ TRIDIAGONAL: ALGORITMO DE THOMAS

1222i x

pABqADx ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−

=Etapa 2

pABqADq

−−

3i222i xpqx −=

En general1jjj

1jjjj pAB

pABqAD

q−−

1j,ijjij xpqx +−=

Etapa N NiN qx =

Por lo tanto una vez calculados los qjy pj de forma secuencial desde j=1 hasta N se puede recalcular las xj,idesde j=N hasta j=1:

i,j1j1j1j,i xpqx ⋅−= −−−

Este algoritmo es de gran eficiencia y superior a otras alternativas como la inversión de matrices o métodos de resolución numéricas

ji,1jji,jji,1jj DxCxBxA =⋅+⋅+⋅ +−

Extracción L-L. Se itera sobre las composiciones para obtener los

coeficientes de actividadLj

(k), xj(k)SRI

Sistemas con un estrecho rango de volatilidades

Tj(k+1) Cálculo T Burbuja

Vj(k+1) Balances de

Energía modificados

Tj(k), Vj

{Kj,i(k)}BP

Más generales y poderosos(sist. altamente no ideales, columnas alimentadas con vapor directo o sin

condensador, dest. Azeotrópica)

Resolución de todas las ecuaciones MESH de

forma simultánea

Tj(k), Vj

(k), Lj

(k), yj,i(k),

xj,i(k)

Newton global

Sistemas con un intervalo de volatilidades intermedio

Resolución de los BE y relaciones de equilibrio

simultáneamente (Newton-Raphson)

Tj(k), Vj

{Kj,i(k)}

Newton 2N

Sistemas con un amplio rango de volatilidades

Vj(k+1) BM con

Tj(k+1) Balances de

Energía

Tj(k), Vj

{Kj,i(k)}

AplicaciónPerfilesVar. Entr.Método

+ ⋅=c

)1k(j xLL

+ ⋅=c

)1k(j xLL

Extracción L-L. Se itera sobre las composiciones para obtener los

coeficientes de actividadLj

(k), xj(k)SRI

Sistemas con un estrecho rango de volatilidades

Tj(k+1) Cálculo T Burbuja

Vj(k+1) Balances de

Energía modificados

Tj(k), Vj

{Kj,i(k)}BP

Más generales y poderosos(sist. altamente no ideales, columnas alimentadas con vapor directo o sin

condensador, dest. Azeotrópica)

Resolución de todas las ecuaciones MESH de

forma simultánea

Tj(k), Vj

(k), Lj

(k), yj,i(k),

xj,i(k)

Newton global

Sistemas con un intervalo de volatilidades intermedio

Resolución de los BE y relaciones de equilibrio

simultáneamente (Newton-Raphson)

Tj(k), Vj

{Kj,i(k)}

Newton 2N

Sistemas con un amplio rango de volatilidades

Vj(k+1) BM con

Tj(k+1) Balances de

Energía

Tj(k), Vj

{Kj,i(k)}

AplicaciónPerfilesVar. Entr.Método

+ ⋅=c

)1k(j xLL

+ ⋅=c

)1k(j xLL Muy sensibles a los puntos iniciales de partida (opt. loc.).

Aplicación de otro método riguroso para encontrar buenas estimaciones iniciales.

Se pueden agrupar de distintas formas las ecuaciones:

c elevado y N pequeño ⇒ ec. por tipos (BM, BE, Eq)

c pequeño y N elevado ⇒ ec. por etapas

Tj(k) =Tj

Vj(k) =Vj

Métodos Punto de Burbuja (BP) Métodos Suma de Caudales (SR)

Calculo xj,i ( c sistemas tridiagonales)

Suponer perfil de Tj(k), Vj

Cálculo de Kj,i(k+1) =f(Tj, yj,i, xj,i)

Cálculo de Vj(k+1)

BE modific. (Matriz bidiagonal)

Cálculo de Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i)

Normalizar las xj,i

Cálculo de Tj(k+1) e yj,i (N Ptos de burbuja)

y Kj,i(k)

Cálculo de Tj(k+1)

BE, Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i)

Cálculo yj,i (Kj,i(k))

Normalizar xj,i

Cálculo de Vj(k+1) (BM piso j)

+ ⋅=c

)1k(j xLLCálculo de

Métodos

Newton 2N

1mmmm1jj V)U WF(LV −−−−= ∑

Tj(k) =Tj

Vj(k) =Vj

Métodos Punto de Burbuja (BP) Métodos Suma de Caudales (SR)

Calculo xj,i ( c sistemas tridiagonales)

Suponer perfil de Tj(k), Vj

Cálculo de Kj,i(k+1) =f(Tj, yj,i, xj,i)

Cálculo de Vj(k+1)

BE modific. (Matriz bidiagonal)

Normalizar las xj,i

Cálculo de Tj(k+1) e yj,i (N Ptos de burbuja)

y Kj,i(k)

Métodos

Newton 2N

Cálculo de Tj(k+1) y

Vj(k+1) resolviendo

simultáneamente los BE, relaciones de

equilibrio♦

Métodos Punto de Burbuja (BP)

j1jjjj VV γ=β+α +

( ) jLVjFLjLL

1m1mmmj

Q)hH( W)Hh(F)hh(VUWF

jjjj1jj

+−+−+−⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−−−=γ

−=β

−=α

∑−

1mmmmj1j V)U WF(VL −−−+= ∑

0QH)WV(h)ULFHVhLH jVjjLjjFjV1jL1jj jjj1j1j=−⋅+−⋅+−⋅+⋅+⋅≡

+− +− ( H

Cálculo de Vj(k+1)BE modific. (Matriz bidiagonal)

Métodos Punto de Burbuja (BP)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎡ −

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−

000.........0000.........0000.........0..........................................0.........0000.........0000.........0000

γγγ

γγαγ

βαβα

Cálculo de Vj(k+1)BE modific. (Matriz bidiagonal)

Métodos de Suma de Caudales Isotermos (SRI)

II(k+1) = LjII (k)

+ ⋅=c

)k(IIj

)1k(IIj xLL

Cálculo de LjII(k+1)

Calcular xj,iII= Kj,i·xj,i

Cálculo xj,iI ( c sistemas tridiag.)

Suponer perfil de LjII(k) Tj

xj,iI(Sup.) =xj,i

I(Cal.)

Calcular xj,iII= Kj,i·xj,i

Norm. y Calc. γj,iII, Kj,i

Normalizar xj,iI

Calcular γj,iI, Kj,i

Suponer xj,iI

Cálculo de γj,iI, γj,i

II y Kj,i=xj,iII/xj,i

I= γj,iI/γj,i

Calcular xj,iII (BM)

Aplicable en operaciones isotermas.

Todas las Tjespecificadas

Extracción Líquido-Líquido(γi

Aplicable en operaciones isotermas.

Todas las Tjespecificadas

Extracción Líquido-Líquido(γi

3.1. M. Dentro-fuera

3.2. M. de Relajación

3.3. M. Homotópicos

3.4. Prog. Disyuntiva

1. Métodos de Simulación vs. Métodos de Diseño

Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes

ÍÍndicendice

Se componen de dos bucles:

•bucle interno, se resuelven las ecuaciones MESH (utilizando el método BP, SR, SC… y modelos termodinámicos sencillos)

•bucle externo, se calculan los parámetros específicos de modelos más sencillos.

33. . ÚÚltimas tendenciasltimas tendencias

3.1. Métodos Dentro-Fuera (Inside-Out)

Kj,i = exp(Aj,i-Bj,i/Tj)HV,j=HV,j°+∆HV,j con ∆HV,j=cj-dj(Tj-Tref)

hL,j = hL,j° +∆hL,j con ∆hL,j = ej - fj (Tj-Tref)

Reducir los esfuerzos para resolver el problema al evitar calcular las K y H con modelos termodinámicos complejos.

Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes3. ÚLTIMAS TENDENCIAS (Método Inside-Out)

Cálculo de Vj(k+1)

BE modific. (Matriz bidiag.)

Cálculo de Tj(k+1) utilizando

Newton-Raphson y BE, Hj,i=f(Tj, yj,i) y hj,i=f(Tj, xj,i)

Cálculo yj,i (Kj,i a Tj(k))

Tj(k) =Tj

Vj(k) =Vj

Cálculo de Tj(k+1) e yj,i (N Ptos burb.)

Normal. xj,i

Cálculo de Vj(k+1) (BM piso j)

+ ⋅=c

)1k(j xLLCálculo de

Si Fin

Calculo xj,i ( c matrices tridiag.)

Suponer perfil de Tj(k) y Vj

(k) Bucle Internomodelos

Kj,i , Hj,i , hj,isencillos

Bucle ExternoParámetros

modelos sencillos

Parámet.(r)=Parámet.(r-1)

Obtener los parámetros de modelos sencillos para Kj,i, Hj,i y hj,i

Calcular γj,i, ϕj,i, Kj,i , Hj,i , hj,i con modelos termodinámicos complejos

Con xj,i, yj,i, Tj

Nor=r+1

• Utiliza ecuaciones diferenciales en estado no estacionario para los balances de energía y de materia de los componentes.

• Interesante combinar la elevada velocidad de convergencia en las primeras vueltas de los métodos de relajación, con la estabilidad y robustez del método SC en las siguientes iteraciones.

3.2. Métodos de Relajación

Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes3. ÚLTIMAS TENDENCIAS

• La velocidad de convergencia disminuye al aproximarnos a la solución.

• A partir de un conjunto supuesto de las variables de entrada, se resuelven las ec. para diferentes intervalos de tiempo, hasta llegar a la convergencia (régimen estacionario) donde el término acumulación será nulo.

)xM(dy)WV(x)U(L zFyVxL i,jj

i,jjji,jjji,jji,1j1ji,1jij =⋅

−⋅+−⋅+−⋅+⋅+⋅ ++−−

)hM(dQH)WV(h)UL( HFHVhL j,Lj

jj,Vjjj,Ljjj,Fj1j,V1j1j,L1j =⋅

−+⋅+−⋅+−⋅+⋅+⋅ ++−−

H(x,t) = t·F(x) + (1-t)·G(x)

3.3. Métodos Homotópicos o de Continuación

• La función homotópica: combinación de la solución buscada y una solución conocida del problema.

• Consisten en una deformación sistemática de la función “homotópica” hacia la solución deseada.

Parámetro de homotopía t

• ∆t

• Modificaciones progresivas en las variables• t=1 ⇒ Sol. buscada H(x)=F(x)

• t=0 ⇒ Sol. conocida H(x)=G(x)

3.3. Métodos Homotópicos o de Continuación

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅−+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⋅

⋅⋅

⋅= i

Pt)t,x(H

Temperature

3.4. Programación Disyuntiva (MINLP)

• Alternativa para el diseño y simulación en sistemas multicomponentes, incluyendo optimización secuencias de equipos.

Toma de decisiones (variables binarias y modelización matemática de restricciones lógicas).

Todo tipo de restricciones: continuas o discontinuas.

• Resolución simultánea de las ecuaciones MESH.

• Novedades:

DDD LD

LL⎥⎦

⎤⎢⎣

=γ∨

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∨⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==α

i,RDi,

i,i,1i, x

Si la variables binarias α, β, γ estuvieran asociadas a la existencia de un condensador total, parcial o una alimentación de un reflujo directo respectivamente, la selección de una y solo una de las opciones se modelaría:

α + β + γ =1

γ+β+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+α= ·x·

L1·yx i,RD

i,1i,LD

DDD LD

LL⎥⎦

⎤⎢⎣

=γ∨

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∨⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==α

i,RDi,

i,i,1i, x

Si la variables binarias α, β, γ estuvieran asociadas a la existencia de un condensador total, parcial o una alimentación de un reflujo directo respectivamente, la selección de una y solo una de las opciones se modelaría:

)1·(Mxx)1·(M

)1·(M

L1x)1·(M

)1·(Myx)1·(M

i,RDi,L

i,1i,L

γ−≤−≤γ−−

β−≤+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−≤β−−

α−≤−≤α−−α + β + γ =1

MyxM0Si

yx0yx01Si

i,1i,L

i,1i,Li,1i,L

≤−≤−⇒=α

=⇒≤−≤⇒=α

• Alternativa para el diseño en sistemas multicomponentes, incluyendo optimización secuencias de columnas…

• Resolución simultánea de las ecuaciones MESH

• Novedades:

Toma de decisiones (variables binarias y modelización matemática de restricciones lógicas).

Todo tipo de restricciones: continuas o discontinuas

Subproblemas NLP Iniciales

Nuevo subproblema NLP

MILP master problem

Linealización de todas las ecuaciones no lineales en todas las anteriores NLP soluciones

Nuevo conjunto de variables binarias (cota inferior de la F.O.)

Conjunto de soluciones conocidas (con variables binarias fijadas) que juntas contemplan todas las posibilidades de la superestructura.

Aproximacion lineal del problemaoriginal modelando las disyuncionescomo inecuaciones relajadas

Cota superiorStop?

4.1. Método Punto Burbuja

ÍÍndicendice1. Métodos de Simulación vs Métodos de Diseño.

•Presión de la columna = 1 atm (despreciamos la pérdida de carga).

•Condensador parcial

•Caudal de destilado = 23 kmol/h

•Reflujo = 150 kmol/h

•N° de etapas de equilibrio (excluidos caldera y condensador) = 15

•El alimento se introduce en la etapa intermedia

Para este sistema a 1 atm, los valores de K y las entalpías pueden calcularse dentro de un intervalo de temperatura de 10 a 180 ºC mediante las siguientes ecuaciones polinómicas, utilizando las constantes que se indican.

Ki = αi + βi·T + χi·T2 + δi·T3

HVi = Ai + Bi·T + Ci·T2

hLi = ai + bi·T + ci·T2

•Calcular los perfiles de T, caudales y composiciones a lo largo de una columna de rectificación, así como las características de los productos obtenidos y los calores intercambiados en la caldera y condensador. Especificaciones iniciales:

4. Ejemplo Numérico

•Alimento (líquido saturado a 1 atm y 101 ºC): etano 3.0; propano 20.0; n-butano 37.0; n-pentano 35.0; n-hexano 5.0 kmol/h.

Simulación de una columna de rectificación con 5 componentes mediante el método BP

Métodos Rigurosos para el Cálculo de Oper. de Sep. Multicomponentes4. EJEMPLO NUMÉRICO

Etapa 2

V =L +D2

Etapa 1

Etapa N

Etapa N-1

Etapa 9

Q =Q N

L =R N

Cond.Parcial

CalderaN=17

Etapa 2

Etapa 1

Etapa N

Etapa N-1

JL J-1

U JV J+1

Etapa j

F N-1U N-1

150 kmol/h

23 kmol/h

173 kmol/h

100 kmol/h

ji,1jji,jji,1jj DxCxBxA =⋅+⋅+⋅ +−Matriz tridiagonal

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−−

1N1N1N

2N2N2N

D ... ... ... ... ... ... D D

xxx..................xxx

BA000...... ... 0 CBA00...... ... 0

0CBA0...... ... 0 ...... ...... ...... ...... ...... ... ...... ... 0.........0 C B A 0 0.........0 0 C B A 0.........0 0 0 C B

))·KW+(V+U+V)UWF(V(B i1,111111121 −−−+−=

0 0 0 0 0

)·KDL(B i1,D1 +−=

LD+D D D

f(T1=101 ºC)

-258.09

09.258)70.4·23150( −=+−=

Nj1 )KW+(V+U+V)UWF(VB ji,jjj

1m1mmm1jj ≤≤⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−−+−= ∑

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−−

1N1N1N

2N2N2N

D ... ... ... ... ... ... D D

xxx..................xxx

BA000...... ... 0 CBA00...... ... 0

0CBA0...... ... 0 ...... ...... ...... ...... ...... ... ...... ... 0.........0 C B A 0 0.........0 0 C B A 0.........0 0 0 C B

i2,Di2,21 ·K)DL(·KVC +==

f(T2=101 ºC)

813.01

01.81370.4)·23150( =+=

1-Nj1 KVC 1j,i1jj ≤≤= ++

-258.09

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−−

1N1N1N

2N2N2N

D ... ... ... ... ... ... D D

xxx..................xxx

BA000...... ... 0 CBA00...... ... 0

0CBA0...... ... 0 ...... ...... ...... ...... ...... ... ...... ... 0.........0 C B A 0 0.........0 0 C B A 0.........0 0 0 C B

0z·FD i,111 =−=

-258.09 813.01

Nj1 zFD ijjj ≤≤−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−−

1N1N1N

2N2N2N

D ... ... ... ... ... ... D D

xxx..................xxx

BA000...... ... 0 CBA00...... ... 0

0CBA0...... ... 0 ...... ...... ...... ...... ...... ... ...... ... 0.........0 C B A 0 0.........0 0 C B A 0.........0 0 0 C B

111122 V)UWF(VA −−−+=

0 0 0LD+D D

-258.09

150L D ==

813.01

Nj2 V)UWF(VA1j

1m1mmmjj ≤≤−−−+= ∑

( ) jLVjFLjLL

1m1mmmj

Q)HH( W)HH(F)HH(VUWF

jjjj1jj

+−+−+−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−=γ

−=β

−=α

∑−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎡ −

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−

...VVV

000.........0000.........0000.........0..........................................0.........0000.........0000.........0000

γγγ

γγαγ

βαβα

Resolución Matriz bidiagonal

α−γ=+

22232 V·V· α−γ=β2

)DL·(Vβ

+α−γ=⇒

Cálculo de Tª de burbuja

iioi ,,p γϕ

1y cal,i =∑

cal,i·P

x··py

cal,isup,i yy = NO

Suponer T

Suponer yiLi

Vi ff =

ii0iii x··p·y·P γ=ϕ

)x,T,P(g

)y,T,P(f

Cálculo de Tª de burbuja

iioi ,,p γϕ

1y cal,i =∑

cal,i·P

x··py

cal,isup,i yy = NO

Suponer T

Suponer yiLi

Vi ff =

ii0iii x··p·y·P γ=ϕ

)x,T,P(g

)y,T,P(f

Vaporideal

Líquidoideal

Fase Vapor no ideal:Cálculo de coeficientes de fugacidad (Ecuación de Estado de Virial)

2 +++==RTPBBy2ln

1jmezclaijji ⎥

⎤⎢⎣

⎡−=ϕ ∑

∑ ∑=i j

ijjimezcla ByyB jiij BB =

( ) ( ) ( )[ ]ijRij)AS(

RijRij)(H

ijRij)NP(

cijij ,Tf,Tf,Tf

B η+µ+ω= µ

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−−−+ω+−−−= 8

iiiiiii T0073.0

T097.0

T46.0073.0

T0121.0

T1385.0

T330.01445.0f

( ) ( ) ( )( ) [

( ) ( ) ]( ) ( ) ( )[ ]

iRiiiRAS

2iRiRiRiR

T7.06.6exp,Tf

ln2649074.0ln283270.2

ln181427.6769770.5T1ln2525373.0

ln133816.2ln665807.5237220.5,Tf

−η−=η

µ−µ

+µ−+µ

+µ−µ+−=µµ

si µRi≥4

si µRi≤400

Fase Líquida no ideal:Cálculo de coeficientes de actividad (NRTL)

∑ ∑∑

∑∑

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

⎛ τ−τ+

rrrjrj

jjjiji

( )jijiji expG τα−= jiij α=α

RTgg jiiiji

ji =−

( )15.273TAAA Tji

cjiji −+= Dependencia de los parámetros y de

la constante de ordenación con la temperatura( )15.273TT

jicjiji −α+α=α

Evolución: Iteración 0, 1, 2, 5, 10, 20, 40 y 100

Perfiles de T

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Perfiles de Caudales de Vapores

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Perfiles de xj (LK)

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18Piso

Perfiles de yj (LK)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18Piso

•Utilizando el método BP de Wang-Henke, calcúlese la composición de los productos, temperaturas de las etapas, composiciones y flujos de las corrientes de vapor y líquido interetapas, composiciones y flujos de las corrientes de vapor y líquido interetapas, servicio del ebullidor y servicio del condensador que resultan, para las especificaciones de la siguiente columna de destilación :

•Alimentación (líquido saturado a 250 psia y 213.9ºF) . Componente lbmol/h: acetona 30.0; n-hexano 5.0; n-heptano 35.0

•Presión de la columna = 250 psia (despreciamos la pérdida de carga).

•Condensador parcial y ebullidor parcial

•Caudal de destilado = 23.0 lbmol/h

•Reflujo = 150 lbmol/h

•N° de etapas de equilibrio (excluidos el condensador y el ebullidor) = 15

•La alimentación se introduce en la etapa intermedia

Ejemplo Numérico 2

Nomenclatura D caudal molar de destilado

Lo reflujo externo

B caudal molar de residuo

Piso 0 condensador

Piso 1 primer plato de la columna (cabeza)

Piso f piso de alimentación

Piso N último piso de la columna (base)

Piso N+1 caldera

Vj caudal de vapor que abandona el piso j

V’j caudal de vapor que llega al piso j-1

Vj = V’j si no se introduce ninguna corriente de vapor entre los pisos j y j-1

Lj caudal de líquido que abandona el piso j

L’j caudal de líquido que llega al piso j+1

Lj = L’j si entre los pisos j y j+1 no se introduce ningún líquido

1. Se ha realizado una revisión y análisis de los métodos para el cálculo de operaciones de separación multicomponentes.

2. Se conocen los fundamentos de los métodos utilizados por los simuladores comerciales con lo que se ha obtenido un conocimiento crítico para su utilización.

Conclusiones

1. Holland, C.D. “Fundamentals of Multicomponent Distillation”. McGraw-Hill. New York (1981).

2. King, C.J. Separation Processes. Chemical Engineering Series, Mc. GrawHill. NY, 1988

3. Kister, H.Z. Distillation Design, McGraw-Hill, Inc. NY, 1992.

4. McCabe, W.L., Smith, J.C. & Harriot, P. “Unit Operations in Chemical Engineering”. 5ª ed. McGraw-Hill. New York (1993).

5. Seader, J.D. & Henley, E.J. “Separation Process Principles”. John Wiley & Sons, New York (1998).

6. Van Winkle, M. “Distillation”. McGraw-Hill. New York (1968).

BibliografBibliografííaa

• Clases de teoría 9 h

• Problemas en Sala de Ordenador 6 h

TemporalizaciTemporalizacióónn

Métodos Rigurosos para el Cálculo de Operaciones de Separación Multietapa en

Mezclas Multicomponentes

MMéétodos Rigurosos para el todos Rigurosos para el CCáálculo de Operaciones de lculo de Operaciones de SeparaciSeparacióón Multietapa en n Multietapa en

Mezclas MulticomponentesMezclas Multicomponentes

Área de conocimiento: Ingeniería QuímicaDocencia en “Operaciones de Separación”

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Dpto. Ingeniería Química

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