modelado de ecuaciones diferenciales paciales
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Matemáticas Aplicadas a la
Ingeniería Química
Centro Universitario de la Ciénega
División de Desarrollo Biotecnológico
Dpto. de Ciencias Tecnológicas
Academia de Ingeniería Química
Mtro. Octavio Flores Siordia
Febrero del 2010
Universidad de Guadalajara
Consideremos, una cuerda elástica estirada bajo una tensión T
entre dos puntos del eje x. Supondremos que el peso de la cuerda
por unidad de longitud, después que se estira, es una función
conocida w(x).
Sobre la cuerda, además de las fuerzas elásticas y de inercia
inherentes al sistema, puede actuar también una carga
distribuida, cuya magnitud por unidad de longitud, suponemos
es una función conocida de x, y, t y
, digamos .
CUERDA VIBRANTE
_Velocidad transversal y( , , , )f x y y t
x (x+x) l x
1
2
x
T
T’
m = w(x)x
g
),,,( tyyxf
Al plantear el problema supondremos que:
a. El movimiento tiene lugar sólo en el plano, en el cual cada
partícula se desplaza perpendicularmente a la posición de
equilibrio de la cuerda.
b. La deflexión de la cuerda durante el movimiento es tan
pequeña, que el alargamiento que sufre ésta no ejerce
influencia sobre la tensión T.
c. La cuerda es flexible, sólo puede transmitir la fuerza en
sentido longitudinal.
d) La pendiente de la curva de deflexión de la cuerda es en
todos los puntos y en todo momento tan pequeña que sin
error, se puede sustituir sen por tan , siendo el ángulo
de inclinación de la tangente a la curva de deflexión.
d) Las fuerzas gravitacionales y de rozamiento, en caso de
existir, suponemos se toman en cuenta en la expresión para
la carga por unidad de longitud . ( , , , )f x y y t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 5 10 15 20 25 30
seno( x) tan(x)
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
seno( x) tan(x)
En estas condiciones consideremos un segmento infinitesimal
de la cuerda como cuerpo libre.
Por la hipótesis a), la masa de este elemento es
Por la hipótesis b) las fuerzas que actúan sobre los extremos
del elemento son iguales a saber, T. Según la hipótesis c,
estas fuerzas siguen las direcciones de las tangentes
respectivas a la curva de deflexión; y en virtud de la hipótesis
d, sus componentes transversales son:
( )w x xm
g
2 tanx x x x
Tsen T sen T
1 tanx x
Tsen T sen T
Dividiendo esta ecuación entre x queda:
La aceleración que estas fuerzas, y la parte de la carga
distribuida que actúa sobre el intervalo de ,
imprimen y es la ordenada de un punto arbitrario del
elemento. Aquí la derivada con respecto al tiempo es parcial
porque, evidentemente depende de t y de x,
Por la Ley de Newton en el elemento podemos escribir:
2
2
( )tan tan ( , , , )
x x x
w x x yT T f x y y t x
g t
2
2
ym
t
( , , , )f x y y t x x
2
2
tan tan( )( ) ( , , , )x x xw x y
T f x y y tg t x
La fracción del segundo miembro es la diferencia entre los
valores de tan en los puntos (x + x) y (x), dividida entre la
diferencia x. En otras palabras, es precisamente el cociente de
diferencias de la función tan . Cuando es la
derivada de tan con respecto a x, o sea, .
Pero como , esto se puede escribir simplemente
como . Entonces que la deflexión de una
cuerda tensa satisface la ecuación diferencial parcial.
0x
tan
x
tany
x
2
2
y
x
( , )y x t
2 2
2 2( , , , )
( ) ( )
y Tg y gf x y y t
t w x x w x
En la mayor parte de las aplicaciones el peso de la cuerda por
unidad de longitud w(x) es una constante, y las fuerzas
externas son despreciables; es decir, puede ponerse que
. Cuando sucede esto, la ecuación se reduce a
LA ECUACION UNIDIMENSIONAL DE ONDA
( , , , ) 0f x y y t
2 22
2 2
y ya
t x
2 Tga
w
MEMBRANA VIBRANTE
La membrana se estira en una curva cerrada C.
Cuando vibra, hay movimiento perpendicular de partículas
El peso por unidad de área al estirarse :
Sobre la membrana actúa una fuerza
( , )w x y
( , , , , )f x y z z t
2 2 2
2 2 2( ) ( , , , , )
( , ) ( , )
z Tg z z Tgf x y z z t
t w x y x y w x y
Calculando los componentes z y aplicando la Ley de Newton a la masa
de este elemento se tiene :
A B
C D
x+x , y
z
x
y
x+x , y+ y
x, y+y
Si es constante y si 0 , se reduce a la
ECUACIÓN BIDIMENSIONAL DE ONDA
( , , , , )f x y z z t
2 2 22
2 2 2
z z za
t x y
2 Tga
w
( , )w x y w
Donde :
FLUJO DE CALOR EN REGIONES TÉRMICAMENTE
CONDUCTORAS
•Hechos experimentales:
•A .- El calor fluye en la dirección en que decrece la temperatura.
•B .- La rapidez a la que fluye el calor a través de un área es
proporcional al gradiente de temperatura.
•C .- La cantidad de calor ganada o perdida por un cuerpo al
cambiar su temperaturas proporcional a la masa del cuerpo.
•La constante de proporcionalidad es llamada Conductividad
Térmica k del material en el inciso b. En el c, se refiere al Cp.
A B
C D
H G
F
x
y
z
z
y
x
E
Si consideran un elemento infinitesimal de un sólido conductor, la masa de
ese elementos:
Por c, la cantidad de calor almacenada en ese tiempo es:
Donde es el cambio en la temperatura. ; la rapidez con que
se esta almacenando el calor es:
g
zyxm
g
TzyxcumcH
T
t
Tzyx
g
c
t
H
proviene de dos fuentes:
Por medios eléctricos o químicos, donde la rapidez a la que esta recibiendo calor es:
O ganar calor en virtud de la transferencia de calor a través de sus diversas caras. Por b , la rapidez a la que fluye el calor en EFGH:
Se toma el
gradiente de
temperatura
en el centro
( , , , )f x y z t x y z
2
2z
z
yy
xx
Tzyk
u
2
2z
z
yy
xxx
Tzyk
De igual manera para cara ABCD:
2
2
2
2z
z
yy
xx
zz
yy
xx
Tzyk
x
Tzyk
2
2
2
2
zz
yy
xx
zz
y
xx
y
Tzxk
y
Tzxk
zz
yy
xx
z
yy
xx
z
Txyk
z
Txyk
2
2
2
2
La rapidez neta por la cual gana calor en la dirección x:
La rapidez neta por la cual gana calor en la dirección y:
La rapidez neta por la cual gana calor en la dirección z:
)(),,,(
2
2
2
2z
z
yy
x
zz
yy
xxx
T
x
Tzykzyxtzyxf
t
Tzyx
g
c
)()(
2
2
2
2
2
2
2
2
z
yy
xx
zz
yy
xx
zz
y
xx
zz
yy
xx
z
T
z
Tyxk
y
T
y
Tzxk
La rapidez de almacenamiento de calor en el elemento debe ser igual
a la rapidez con que se produce calor mas la rapidez a la que fluye
calor hacia el elemento:
zyxk Dividiendo entre :
2
2
2
2
2
22 ),,,(
z
T
y
T
x
T
k
tzyxf
t
Ta
kg
ca
2
0),,,( tzyxy haciendo que :
Donde:
0
t
T
02
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
T
02 T
Si se encuentra en estado estacionario entonces :
Por lo que la ecuación quedaría como :
Que también se representa por :
Esta es la Ecuación de Calor también conocida como
Ecuación de Laplace
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