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Modélisation des discontinuités par des Éléments Joints dans les codes aux Éléments Finis

Ahmad POUYA

Journée sur les Discontinuités et Joints dans les Massifs Rocheux

24 mai 2007

2

Méthodes numériques de modélisation des fractures dans les roches et les massifs rocheux

o Éléments Distincts (Cundall 1980)

o Éléments Finis (Élément Joint de Goodman 1968)

o Éléments de Frontière

o Analyse en Déformations Discontinues (Shi et Goodman 1985)

…

Éléments Joints dans les codes aux Éléments Finis :

• Anthyc (École Polytechnique)

• CESAR (LCPC)

Assemblage

de blocs

3

ModModèèle numle numéérique de jointrique de joint(Goodman 1968, (Goodman 1968, Ghabousi Ghabousi et al. 1973, et al. 1973, ……))

=

=

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

T

x y x y x y x y

T

x y x y x y x y

u u u u u u u u u

f f f f f f f f f

1 2

3

4x y

U

1 2

3 4Élément Joint

, t

n n

uu

uτσ

σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Épaisseur nulle

4 n4 nœœuds, 8 degruds, 8 degréés de liberts de libertéé de dde dééplacements et de forcesplacements et de forces

1 ( ) ( )2

p pdsE u u u u= − −∫ . K .Énergie Élastique :

Formulation Variationnelle

4

Création du maillage aux Éléments Finis tenant compte de la géométrie des fractures

Création des Éléments Joints

5

Traitement des intersection de fractures

Ajustements et filtres numériques

Frontière Frontièrefracture

fracture

fracture

Avantfiltrage

Aprèsfiltrage

6

Dédoublement

7

ModModèèle de joint le de joint éélastoplastique parfaitlastoplastique parfait

Critère de Critère de MohrMohr––Coulomb et potentiel plastique :Coulomb et potentiel plastique :

e p= +U U U

et tn t

en tn n n

k k Uk k U

τσ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠p fλ ∂

=∂σ

U

cϕ

τ

σn A

M

H

M'n: ( )= +Critère f tg cτ σ ϕ −σ

n: ( )= +Potentiel g tgτ σ ψσ

8

Différentes lois et phénomènes physiques

Element Joint

1 2

3 4

cϕ

τ

σn A

n( )= +f tg cτ σ ϕ −σ

Joint Rocheux, MortierFracture non colmatée

et t

en n n

k Uk U

τσ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

Contact élastique

9

Différentes configurations de fracturation d’un massif rocheux

Fractures découpant des blocs

Fractures sub-parallèles Milieux fissurés

Applications

11

Direction azimutale,PendageRayon,….

σ

Comportement à grande échelle des massifs fracturés par homogénéisation numérique

ε

σ

ε

01234

0 9 18 28 37 46 55 64 74 83angle θ (°)

dens

ité d

e pr

obab

ilité

(%)

12

Résultats de simulation pour le granite de la Vienne(Stockage de déchets radioactifs, ANDRA)

0

10

20

30

40

50

60

70

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

Série1

Série2

Série5

σxx = 0σxx = 10MPaσxx = 20MPa

σyy

Mpa

εyy

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

Série1

Série2

Série3

σxx

Mpa

εxx

σyy = 0σyy = 1MPaσyy = 2MPa

0

2

4

6

8

10

12

0.0000 0.0004 0.0008 0.0012 0.0016 0.0020

Série1

Série3

Série5

σm = 0σm = 1MPaσm = 2MPa

εxy

σxy

Mpa

Compression //x

Compression //y

Cisaillement //xy

x

y

Ux

x

yUy

x

y Ux

Uy

13

Classification des massifs rocheux Bieniawski, Barton, …

Thèse de Michel Chalhoub (2006)

Apports des méthodes d’homogénéisation numérique à la classification des massifs rocheux

LCPC, Centre de Géosciences ENSMP

Abaques ou formules approchées donnant le module équivalent du massif dans différentes directions en fonction de la densité, l’extension et la nature des fractures

14

Homogénéisation numérique du comportement des roches fissurées

Argilites, bétons, …

σ

CESAR-LCPC

15

Module homogénéisé des milieux fissurés en élasticité linéaire

nl

( )2 ( ) ( )1 k k kij i jl n n

Aα = ∑

1 ( ) ( )ij ij ij ik kj ik kjtrE E E

ν ν πε σ σ δ α σ σ α+= − + +

Solution Analytique (Kachanov) :

Résultat numérique:

0.002310 00 0.6 03E

ε⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

0.002298 00 0.5745 03E

ε⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

16

Homogénéisation des structures en maçonnerie

σ τ

Structures régulières : possibilité de méthodes théoriques

Structures irrégulières : nécessité de méthodes numériques

VER

17

Stabilité des talus rocheux

Modélisation d’un système de blocs

CESAR-LCPC

18

Modélisation des contraintes et déplacements dans le massif

FS

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

1,3

1,35

1,4

1,45

30354045

PHI (°)

Facteur de sécurité en fonction de l’angle de frottement

Déformé

Contraintes principalesContraintes verticalesCESAR-LCPC

CESAR-LCPC

19

Rochers de Valabres

Projet STABROCKINERIS (Pilote), LAEGO,

LCPC/ERA Toulouse, L3S, Géoscience-Azure, Société SITES

(PME) , Univ. Besançon

20

Stabilité des talus rocheux

Cas plus général : fractures pouvant s’arrêter dans le massif

Rochers de Valabres

CESAR-LCPC CESAR-LCPC Vecteurs déplacementsContrainte verticale

21

Développements en coursThèse P. Bémani, LCPC

ModModèèle de le de JingJing et al. (1993) :et al. (1993) :

•• Comportement pré et post picComportement pré et post pic•• Évolution des raideurs normal et tangentÉvolution des raideurs normal et tangent

( )0

21

nn m

n n

kku u

=−

2 (0 )

0 ( 0)

mn nt t n c

c c

t n

k k

k

σ σ σ σσ σ

σ

⎧ ⎛ ⎞= − ≥ ≥⎪ ⎜ ⎟

⎨ ⎝ ⎠⎪ = >⎩

Les paramètres du modèle :Les paramètres du modèle :0 0

0, , , , , , , , , , , ,σ ϕ ϕ αm m p rt n c n r b t t t m ck k u C u u u D s

22

Modélisation de l’arrachement dans un system des fractures Modélisation de l’arrachement dans un system des fractures

ArrachementArrachement

GlissementGlissement

Ouverture des fractures dans des falaises rocheuses sous l’effet de gel-dégel

23

ModModèèle de joint le de joint àà endommagement normalendommagement normal

( )σ =n n nk D U )1(0 Dkk nn −=

( 1)

0 si (ou )

1 si (ou )α

σ σ

σ σ− −

≤ ≤⎧⎪= ⎨− > >⎪⎩ n R

n R n RU U

n R n R

U UD

e U U

UR Un

D1

1) D = 0 , F = 0 ⇒ σn = σR2) D → 1, F = 0 ⇒ σn → 0

ParamParamèètres du modtres du modèèle :le :

0 0 , , , n t Rk k σ α

( , , ), , 0 1, 1 n n RF D Dσ α σ σ α≤ ≤ < >

σn

Un

kn0

UR

σR

Influence du paramètre α Influence du paramètre α

CritCritèère dre d’’endommagementendommagement ::

24

Progression d’une fracture sous l’effet de cycles de gelProgression d’une fracture sous l’effet de cycles de gel--dégeldégel

Thèse M. Bost, LCPC

(1) (2) (3)Avancement de l’extrémité de la de fissure

25

Développement des fissures dans des structures en maçonnerie

26

Développement en cours Thèse P. Bémani, projet STABROCK

Prise en compte de la pression de fluide dans le joint

T

Ω

∂Ω

Γ

n

Γ +

Γ −

σ (x)

p p

θ

W

θ

N

W

x2

x1

n

t

φ C

T

Q

P1P2 p0

p0

' p nσ σ= −

Effet de l’eau sur la stabilité des massifs

27

PerspectivesCouplage avec les phénomènes d’écoulement

Fluides agressifs (dissolution-recristallisation) Diffusion

Écoulement

Dissolution

Diminution

Ténacité/ Cohésion

Croissance de la fissure

28

Conclusion

Les Éléments Joints implantés dans un code aux Éléments Finis permettent de modéliser aisément différents phénomènes hydro-mécaniques dans les massifs rocheux et les roches fissurées.

Fin