modelo de dietas
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8/18/2019 Modelo de Dietas
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Modelo de DietasCuevas Ledesma Stephanie MelissaHernández Alaníz RaúlLartigue Flores Roberto ZurielRodríguez !mez "os# $raulio
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¿Qué es el modelo dedietas?
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%ste modelo se llama así por&ueoriginalmente se dise'o paradeterminar la dieta humana máse(on!mi(a)
*odemos de(ir &ue en su versi!ngeneralizada trata de obtener lamez(la de materias primas máse(on!mi(a+ &ue obedez(a a (ierta(omposi(i!n (uantitativa (ono(idade antemano)
,ebido a &ue los (ostos de lasmaterias primas (ambian (on eltiempo+ es importante ha(er notar&ue la mez(la más e(on!mi(a ho-puede no serlo ma'ana)
Introducción
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a.. /. 0 a.1 /1 0 a.2 /2 0 3 0 a.n /n ≤ b. 4para el (omponente .5 a1. /. 0 a11 /1 0 a12 /2 0 3 0 a1n /n ≤ b1 4para el (omponente 15
) ) ) ) )
) ) ) ) )
) ) ) ) )am. /. 0 am1 /1 0 am2 /2 0 3 0 amn /n ≤ bm 4para el (omponente m5
/.+ /1+ /2+3+ /n ≥ 6 /. 0 /1 0 /2 0 30/n 8 b9 4para el peso total5
(8 (./. 0 (1/1 030 (n/n 8 M:;:M<
Modelo matemático
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m= ;o) de (omponentes
n= ;o) de ingredientes
bw= *eso de mez(la
b j= Cantidad de los (omponentes
x j=Cantidad utilizada de (ada uno de los ingredientes
aij=Contenido de (ada uno de los (omponentes
C j=Costo unitario de (ada uno de los (omponentes
Las variables son:
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La notación condensadaes:
MINIMO x j =∑=
n
1 j
jc bx w
n
1 j
j =∑=
∑=
≤n
j 1
i jij m,…1,2,3,=i para bxa
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%>emplo? %n una planta de produ(tos @arma(#uti(os se desea preparar tabletas (on un peso de
de(igramos - &ue (ontengan (uando menos B miligramos de ;ia(ina - 6 miligramos de
Diamina+ a'adiendo un material inerte 4C5 para (ompletar el peso - @a(ilitar el pastillado)
SOLUCION Para el objeto, se cuenta con 2
ingredientes (A Y B) cuo contenido enNiacina, !ia"ina Costos se "uestranen la siguiente tabla#
Se desea obtener lamez(la más e(on!mi(a
Inredientes!
com"onentes # $ C
;ia(ina
4mgEd(gm5 16 . 6 Diamina
4mgEd(gm5 1 6
Costo 4EGg5 16 26 .
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.5 *rimero ha- &ue estable(er el modelo matemáti(o
Si llamamos /.8de(igramos de A por pastilla /18de(igramos de $ por pastilla
/28de(igramos de C por pastilla
16/. 0 ./1 0 6/2 ≥ B 4para ;ia(ina5
/. 0 1/1 0 6/2 ≥ 6 4para Diamina5
/. 0 /1 0 /2 8 4para total5
/.+ /1+ /2 ≥ 6
(8 1/. 0 2/1 0 6)./2 M:;:M<
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16/. 0 ./1 0 ;. =M. 8 B
/. 0 1/1 0 0;1 =M1 86
/. 0 /1 0 0/2 8
1/.02/1 0.6;.0.6;1 0)./2 06M.06 M1 8
M:;:M<
%& #'ora( trans)ormaremos a la )orma *IM+L,- "ormedio de variables de 'olura auxiliares:
Hemos asignado un (osto arbitrario de .6 de(igramos a ;.- ;1+ (on
ob>eto de asegurar &ue no resulten en la solu(i!n !ptima)
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.. 0 61 0 62 8.6 4para ;.5
6. 0 61 0 .2 8.6 4para ;15
6. 0 61 0 .2 86). 4para /25
,e a&uí obtenemos?
.8.6+ 18.6+ 286).
.& Cálculo de costosim"l/citos
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0& #'ora calculamos los costos deo"ortunidad
10- 0(0.1)1(10)-)10(0
10- 0(0.1)0(10))10(1
0.1 0(0.1)0(10))10(0
10 0(0.1)1(10))10(0
10 0(0.1)0(10))10(1
400.11(0.1)25(10))10(15
250.11(0.1)5(10))10(20
2
1
3
2
1
2
1
=++=
=++−=
=++=
=++=
=++=
=++=
=++=
M
M
x
N
N
x
x
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
-
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1& #'ora calculamos las di)erencias 2 j3C j
La variable &ue debemos introdu(ir es /1 -a &ue el arreglono es !ptimo)+ pues no se (umple la (ondi(i!n Z > =C > ≤ 6
10 010
10 010
0 1.01.00 1010
0 1010
introducir avariabl!3"#.1 31.400
1.24$ 21.250
22
11
33
22
11
22
11
−=−−=−
−=−−=−
=−=−=−=−
=−=−
=−=−
=−=−
M M
M M
x x
N N
N N
x x
x x
C Z
C Z
C Z C Z
C Z
C Z
C Z
-
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4& #'ora( debemos la nueva solución5a&Calculo de 6 j
2 j
%1
%2
%1
j
321
321
321
321
20.3. &dond
5 1
5
20.325
$0
33.415
'5
&d)
1,25,15&dond
100
250015 0
xmínde
Cálculob
de X N N
X N N
X N N
X N N
==
==
==
==
−=∆=∆−=∆
−=∆+∆+∆
−=∆+∆+∆
−=∆+∆+∆
θ
θ
θ
θ
θ
-
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1.0,$$.5,10
&dondd
)x(para 1.0 0 0 ) %(para 100 0
)x(para 3 2515
&implcito*co*to*d+lculo)1
-ptima.**oluci-n*ta*i aoradbmo*itraci-n, primralatrmina/u
2.35)(tabla$.1x,1# %,20.3x
&uda*oluci-nnuva
$.1 )2.3(15x 0)2.3(25$0 %
1#)2.3(15'5 %
&xd)
321
2321
1321
2321
312
3
2
1
j
=−==
=++
=++
=++
===
=−=
=−=
=−=
La
Cálculoc
-
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%&Cálculo de costos deo"ortunidad
5.$$ 1(-5.$$)-
1#.0# 1(10)-
0.1 )1.0(1
5.$$ 1(-5.$$) 10 1(10)
3 )1.0(1 25(-5.$$) 15(10)
1#.0# )1.0(1 5(-5.$$) 20(10)
2
1
3
2
1
2
1
==
==
==
==
==
=++=
=++=
M
M
x
N
N
x
x
Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
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%l arreglo no es !ptimo+ debemosintrodu(ir /. 4tabla 1=2B5)
*ara introdu(ir /. deberemos (al(ular I > -
J "
7&Cálculo de di)erencias 2 j3C j
5.$$ 0- $$.5
-10 0- 10
0 0.1- 1.0 x
-15.$$ 10- $$.5 %
0 1010 %
0 3- 3 x
! 1'$.# 2- #.1#0x
2
1
3
2
1
2
1
==
=−=
==
=−=
=−=
==
== para
-
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8& Cálculo de 6j
otal) p*o(4ara 1 0
) iamina(4ara 200025
) %iacina(4ara 200115
312
312
312
−=∆+∆+∆
=∆+∆+∆
=∆+∆+∆
x N x
x N x
x N x
-
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De donde:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 1 x11.$ - $.1 x
3 x01 1#- 1# %
1 x31.2 - 2.3 x
1 x
&*olucinnuvalad)'
1 x
1mnima &dond
25.20.$
1.$ ,11#
1# ,1'0.2
3.2
&d)5
0.1# 1#)2.0(1520
$.0 1
-0.2
25
5
33
21
12
1
1
x3 %1x2
6
11
323
22
==+=
==+=
==+=
=
=
=
======
−=∆−=−−−=∆
−=∆∆−−=∆
=∆−=∆
Cálculo
de
Cálculo
N N
x x x
x x
θ
θ θ θ
θ
-
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16. 0 1 0 2 81 4para /.5
.. 0 11 0 2 82 4para /15
6. 0 61 0 2 86). 4para /25
,e donde?
2 86).
16. 0 1 8.)K.. 0 11 81)K
9& Cálculo de costosim"l/citos
-
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( )
( )
( )
( )
10.0 ,0#2.0 0.0##,
0.0#2 5
3'.0
3'.05
54.1"0.15
"0.15 .0##20
&1nndo7ub*titu
0.0## $5
'0.' $5
51 "0.22515-
51 50." 25100
&*i*tmal8
321
22
2
2
2
11
21
21
===
==
=
−=
=+
==
−=−
=+
X
X
solviendo
-
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )( ) 0#2. 0.0#21- 9
0##. ##.019
10.0 10.01 9
0#2.0 0.0#21 9
0##.0 .0##1 9
00.3 10.010.0#252 0##.159
00.2 10.010.0#25 0##.209
&doportunidadco*to*d+lculo)2
2
1
x3
%2
%1
x2
x1
−==
−=−=
==
==
==
=++=
=++=
-
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ptimo.*
arr:lolumodod0,+ 9condicinlacumpl7
-.0#2 0-.0#2-
-.0## 00##.
0 .10 -10. x -"."2$ 10- 0#2. %
"."23- 10- 0##. %
0 3- 3 x
0 2- 2x
+ 9*di;rnciad+lculo)3
66
2
1
3
2
1
2
1
66
≤−
==
=−−=
====
==
==
==
−
para
-
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La (omposi(i!n de la tableta será?. de(igramo del ingrediente A 4/.5
2 de(igramos del ingrediente $ 4/15
.E de(igramos del ingrediente ( 4/25
tendrá un (osto de?
.)1686)16
2)2686)K6
.6)6.686)6.E.).. (entavos por tabletas de de(igramos
%l (ontenido de ;ia(ina será?
.16816
2.8N
B miligramos por tableta %l (ontenido de Diamina será?
. 8
218O
6 miligramos por tableta
La solución es:
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