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1
Econometria III ANE059
A P O S T I L A
MODELOS ARIMA (Metodologia de Box & Jenkins)
Março 2017
Prof. Rogério Silva de Mattos Departamento de Economia
Faculdade de Economia Universidade Federal de Juiz de Fora
Rogério.mattos@ufjf.edu.br http://www.ufjf.edu.br/rogerio_mattos
2
BREVE REVISÃO 1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA: Sejam n observações para X e Y
Média = =
Variância =( − ̅)
=( − )
Desvio–padrão = =
Covariância =( − ̅)( − )
∈ (−∞, ∞)
Coeficiente de Correlação Linear
=∙
∈ [−1,1]
2. PROBABILIDADE: Sejam X ~VA e Y ~ VA; p(x) e p(y) funções de probabilidade
Média ( ) = ∙ ( ) ( ) = ∙ ( )
Variância ( ) = [ − ( )] ( ) = [ − ( )]
Desvio–Padrão = ( ) = ( )
Covariância ( , ) = ([ − ( )][ − ( )]) ∈ (−∞, ∞)
Coeficiente de Correlação Linear
=( , )∙
∈ [−1,1]
3
1. CONCEITOS INICIAIS
Processo Estocástico
Conjunto de VAs ordenadas no tempo t. Exemplo: Yt ~ N(t,t
2) para t = (-,) l
Série Temporal
Realização finita de um processo estocástico. Exemplo: S = {2, 7, 4, 9, 1, 5, .... , 6}
Notação: },,,{ 21 Tyyy
Processos Estocásticos Estacionários
Média constante: )( tYE
Variância constante: 2)( tYVar
Autocovariância depende só do lag k: kktt YYCov ),(
Exemplo: ),(~ 2NYt
Análise de ST
Identificar características do PE para se especificar um modelo estatístico, estimar esse modelo (i.e., seus parâmetros) a partir da série temporal observada, e prever valores futuros.
2. MODELOS LINEARES PARA PEs
Modelos são representações para PEs. Os modelos lineares da classe ARMA (autorregressivos-médias móveis) são particularmente úteis para representar PEs estacionários.
Modelo MA(q)
qtqttttY 2211
Modelo Autorregressivo AR(p)
tptpttt YYYY 2211
Modelo Mixto ARMA(p,q)
qtqttptptt YYY 1111
4
t é ruído branco e normal com:
o média 0 ––––––––– 0)( tE
o variância constante )(2tVar
o Autocovariância –– 0),( kttk Cov para k 0.
Construção de modelos ARMA(p,q). É feita em três estágios:
o identificação, o estimação e diagnóstico o previsão.
3. FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO
Usada para se caracterizar os modelos lineares, sendo útil no processo de identificação do lag máximos q de um processo MA ou da parte MA de um processo ARMA(p,q).
Média )( tYE
Autocovariância
))((),( kttkttk YYEYYCov k = 1,...
Variância (caso particular em que k = 0)
2
0 )()( tt YEYVar
FAC teórica
0
kk k = 0,1,...
FAC amostral (calculada a partir da série temporal observada)
0ˆ
ˆˆ
kk k = 1,...,T-p-q
5
4. PROPRIEDADES DOS MODELOS LINEARES
Quadro 1 – Três fatos uteis para entendimento da seção
1. t é um processo ruído branco:
a. E(t) = 0;
b. 2)()( ktt VarVar k = 0, 1, 2, 3, ...;
c. 0),( kttCov k = 1, 2, 3, ...;
2. 2),( ttYCov ;
3. 0),( tktYCov k = 1, 2, 3, ...
Modelo MA(1)
11 tttY
)1()( 21
20 tYVar
212111111 )])([()])([( tttttt EYYE
0)])([()])([( 1111 ktktttkttk EYYE k>1
FAC:
10
11 2
1
1
0 k
kkk
Exemplo: 18,02 tttY 8,01
7
Modelo MA(2)
2211 ttttY
)1( 22
21
20
2211 )1(
222
0k k > 2
FAC:
20
21
11
)1(
22
21
2
22
21
21
0
k
k
k
kk
Exemplo: 21 3,06,02 ttttY 6,01 3,02
20
221,03,0)6,0(1
3,0
128,03,0)6,0(1
)3,01(6,0
22
22
0
k
k
k
kk
8
Modelo MA(q)
qtqttttY 2211
FAC:
qk
qkq
qkqkkk
k
0
,...,11 22
22
1
11
0
Modelo AR(1)
ttt YY 11 Cond. Estacionariedade 11 1
Notar que:
11
ttt YY )( 11
Então (demonstrar usando a definição de Cov(Yt,Yt-k) só para k 1):
2
02
1112
02
1
1122
12
12
110
),(2
)(2)()()(
tt
ttttttt
YCov
YEYEYEYVar
21
2
0 1
),(
])[()()()(
))()(()])([(),(
101
12
1112
11
111111
tt
tttttt
ttttttt
YCov
YEYEYYE
YYEYYEYYCov
9
21
21
011 1
11211
22
212211
211222
),(
)]([)()())((
))()(()])([(),(
tt
ttttttt
ttttttt
YCov
YEYEYYYE
YYEYYEYYCov
21
221
02
1112 1
Generalizando:
k
kk
k1
21
01 1
k = 1,...
FAC: ,...1,010
kkkk
Exemplo: ttt YY 29,0 1
,...1,09,0 kkk
10
Modelo AR(2)
tttt YYY 2211
Notar que: 211
tttt YYY )()( 2211
Então (demonstrar usando sempre a definição de Cov(Yt,Yt-k) mesmo para k=0):
2
221122110 )])()()([(),( tttttt YYYEYYCov
12011221111 )])()()([(),( tttttt YYYEYYCov
02112221122 )])()()([(),( tttttt YYYEYYCov
Para k 3
22112211 )])()()([(),( kkkttttkttk YYYEYYCov
Consolidando
Sistema de equações de Yule-Walker (YW) (p/Autocovariâncias)
222110
12011
02112
Mais 2211 kkk
Sistema de equações p/Autocorrelaçõs
1211
2112
Mais 2211 kkk
A FAC é obtida por meio da solução do sistema de equações para as autocorrelações.
11
FAC:
21
1
2211
2
21
22
2
11
0
kkkk
kk
Exemplo: tttt YYY 27,09,0 21 9,01 7,02
27,09,0
22,07,01
9,07,0
53,07,01
9,0
21
2
2
1
kkkk
k
12
RESUMO 1: FACs TEÓRICAS
a) MA(1):
175,02 tttY
b) MA(1):
175,02 tttY
c) MA(2):
21 4,05,02 ttttY
d) MA(2):
21 4,05,02 ttttY
e) AR(1):
ttt YY 175,03
f) AR(1):
ttt YY 175,03
g) AR(2):
tttt YYY 21 7,09,03
h) AR(2):
tttt YYY 21 4,05,03
13
5. FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO PARCIAL
Útil para determinar a ordem de um processo AR ou da parte AR de um processo ARMA(p,q).
Noção de autocorrelação parcial
tptpttt YYYY 2211
kkt
t
Y
Y
derivada parcial
FACP teórica para o Processo AR(1)
o ttt YY 11
o FACP:
10
11
k
kk
o Exemplo: ttt YY 29,0 1 9,01
FACP:
10
19,0
k
kk
FACP teórica para o Processo AR(2)
o tttt YYY 2211
14
o FACP:
20
2
1
2
1
k
k
k
k
o Exemplo: tttt YYY 27,09,0 21 9,01 7,02
FACP:
20
27,0
19,0
k
k
k
k
Questão: Como determinar ,...1: kk sem estimá-los antes?
Equações de Yule-Walker
o Note que:
tptpttt YYYY )()()( 2211
)])([(),( kttkttk YYEYYCov
o Substituindo ttY em k :
)])()()()([( 2211 kttptpttk YYYYE
15
o Sistema de equações de YW para as covariâncias
0322211
21302112
12312011
23322110
ppppp
pp
pp
pp
Para k > p: pkpkkk 2211
o Sistema de equações de YW para as autocorrelações
pppp
pp
2211
11211
Subsistema relevante
Para k > p: pkpkkk 2211
Se p ,,1 fossem conhecidos, poderíamos resolver as equações de Yule-
Walker para p ,,1 .
Dependência de p: Tamanho do sistema e solução das equações de YW dependem do lag p.
Procedimento: Resolve-se as equações de YW recursivamente para p = 1, 2, ... obtendo-se:
FACP: 1|~
11 pa , 2|~
22 pa , . . .
Onde j~
é a solução das equações de YW para j quando p = j.
http://www.ufjf.br/rogerio_mattos/files/2009/06/pablo.zip FACP Amostral
1. A partir de uma série temporal },,{ 1 Tyy , computa-se a FAC amostral, isto é:
,...ˆ,ˆ 21 2. A partir disso, resolve-se as equações de YW recursivamente para diferentes valores
de p = 1, 2, ...., obtendo-se então a FACP amostral ,...ˆ,ˆ 21 aa
16
RESUMO 2: FACPs TEÓRICAS
a) MA(1):
175,02 tttY
b) MA(1):
175,02 tttY
c) MA(2):
21 4,05,02 ttttY
d) MA(2):
21 4,05,02 ttttY
e) AR(1):
ttt YY 175,03
f) AR(1):
ttt YY 175,03
g) AR(2):
tttt YYY 21 7,09,03
h) AR(2):
tttt YYY 21 4,05,03
17
6. MODELOS MISTOS ARMA
Modelo ARMA(1,1)
1111 tttt YY
22
1
112
10 1
21
21
11111 1
))(1(
FAC :
221
))(1(
11
112
1
1111
0
11
kkk
Exemplo: 11 9,028,0 tttt YY 8,01 9,01
2
1076,0)9,08,0(2)9,0(1
)9,08,0)(9,08,01(
11
2
0 k
k
k
kk
18
Exemplo: 11 9,028,0 tttt YY 8,01 9,01
2
1076,0)9,0)(8,0(2)9,0(1
)9,08,0))(9,0)(8,0(1(
11
2
0
11
k
k
k
Modelo ARMA(p,q)
qtqttptpttt YYYY 112211
p
211
Para processos ARMA(p,q), com p>1 e q> 1 as variâncias, covariâncias e
autocorrelações são soluções de equações de diferenças que não podem ser resolvidas por inspeção. No entanto, pode ser mostrado que:
12211 qkpkpkkk
19
12211 qkpkpkkk
Como q é a memória da parte de médias móveis do processo, para k q + 1 a FAC exibe as propriedades de um processo AR puro.
Resumo
Comportamento das FAC e FACP teóricas em modelos ARMA
Modelo FAC FACP
MA(q) Contrai para 0 após o lag q Decaimento exponencial e/ou comporta–
mento cíclico amortecido
AR(p) Decaimento exponencial e/ou comporta–
mento cíclico amortecido Contrai para 0 após o lag p
ARMA(p,q) Decaimento exponencial e/ou comporta–
mento cíclico amortecido Decaimento exponencial e/ou comporta–
mento cíclico amortecido
Uma forma diferente de representar modelos ARMA(p,q)
Operador de Defasagens (Backshift operator ou Lag operator)
mttm zzB
Representação ARMA(p,q)
tt
tq
qtp
p
BYB
BBBYBBB
)()(
)1()1( 221
221
)(B – Polinômio (ou operador) autorregressivo
)(B – Polinômio (ou operador) media–mõvel
Condição de estacionariedade – raízes de )(B estão fora do círculo unitário
Condição de invertibilidade – raízes de )(B estão fora do círculo unitário
20
6. PROCESSOS NÃO ESTACIONÁRIOS: MODELOS ARIMA
Definição: Yt é um processo não estacionário homogêneo de ordem d se
td
t YW é uma série processo estacionária. Exemplo: Log das exportações coreanas
Se Wt = dYt é estacionária e segue um processo ARMA(p,q) então dizemos que Yt segue um processo ARIMA(p,d,q).
Transformação de Box-Cox
Diferenciação torna série estacionária na média, mas não necessariamente na variância.
Objetivo da transformação de Box-Cox (1964): estabilizar variância
Procedimento:
0)ln(
01
)(
t
t
t
Y
YY
Para Yt > 0 e (–,).
5
6
7
8
9
10
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984
LXKOREA
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984
D(LXKOREA)
21
Exemplo: Exportações Coreanas
Modelos ARIMA(p,d,q)
O “I” de ARIMA quer dizer “Integrado”
Dada a série não estacionária Yt:
Aplica-se transformação de Box-Cox e/ou mais“d” diferenças para se achar:
o td
td
t YBYW )1( (série estacionária)
Aplica-se procedimentos para modelos ARMA para se estimar:
o tt BWB )()(
0
2000
4000
6000
8000
10000
70 72 74 76 78 80 82 84 86
XKO REA
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
70 72 74 76 78 80 82 84 86
D(XKOREA)
5
6
7
8
9
10
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984
LXKOREA
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984
D(LXKOREA)
22
7. ESTIMAÇÃO DE MODELOS ARIMA(p,d,q)
Simplificando, assuma que = 0: tt BWB )()(
Assuma também que:
o )(B atende condição de estacionariedade
o )(B atende condição de invertibilidade
Representação do erro: ttt WBBW
B
B)()(
)(
)( 1
Soma dos quadrados dos erros:
o ),,;,,(])()([ 11
1
21
1
2qp
T
tt
T
tt SWBB
Problema: Achar )ˆ,,ˆ;ˆ,,ˆ( 11 qp que minimiza S.
Estimação Não-Linear Modelos AR(p): tptptt WWW ,11 Pode ser usada aplicação direta de MQO
Modelos com médias móveis dos erros:
MA(q): qtqttttW 2211
ARMA(p,q): qtqttptptt WWW 1111
Presença de não-linearidade nos parâmetros da parte média móvel. Usa-se, então, um algoritmo iterativo (Eviews usa Marquardt).
Problema: inicialização dos parâmetros )ˆ,,ˆ;ˆ,,ˆ( )0()0(1
)0()0(1 qp .
Inicialização da Série S é uma função que depende dos seguintes valores passados não observáveis necessários para cômputos das primeiras observações de t :
Modelos MA(q): ),,,( 110 q
Modelos AR(p): ),,,( 110 pWWW
23
Modelos ARMA(p,q): ),,,;,,,( 110110 pq WWW
Por exemplo, para a 1ª observação de um ARMA(p,q):
112011120111 qqppWWWW
Solução: Valores esperados incondicionais (Backasting ou Backforecasting):
0)(, 110 tq E
0)(, 110 tp WEWWW (exato se = 0, mas usado também se
0) Obs: Eviews usa abordagem diferente, ele ignora as c = max(p,q) observações iniciais. 8. DIAGNOSTICANDO MODELOS ARIMA
Uma vez obtidas as estimativas )ˆ,,ˆ;ˆ,,ˆ( 11 qp :
Cálculo dos resíduos como erro de previsão um passo à frente:
o Previsão um passo à frente:
0,,
,,ˆ
21
21
ttt
tttt
WWE
WWWEW
ttt
qtqtptptt
WW
WWW
ˆˆ
ˆˆˆˆˆˆˆ1111
FAC dos resíduos:
T
tt
T
ktktt
kr
1
2
1
ˆ
ˆˆˆ
k = 0,1, 2...
Teste simples
Para KkK 4 (K = no. máximo de lags computados na FAC dos resíduos)
o Se TrT k 2ˆ2 para todo k modelo bem especificado;
o do contrário, mal especificado.
24
Teste Q (Box e Pierce (1970))
)1( 0 um menos ao :
0:
1
10
JjH
H
j
J
2
1
2 ~ˆ qpK
K
kkrTQ
Se )Pr(Q (nível de significância) não rejeito H0; do contrário, rejeito H0.
Obs: faz-se o teste para diferentes valores de J. Obs: Eviews usa o teste de Ljung-Box. A diferença está na estatística de teste que é dada por:
2
1
2
~ˆ
)2()( m
aJ
k
kLB kT
rTTJQ
Onde qpJm (J = número de lags testados menos número de termos AR e MA) Outros Diagnósticos
Comparação de Modelos ARIMA para uma mesma série: o R2 o R2–ajustado o Critérios de Akaike (AIC) o Critério de Schwarz (SC)
Teste de Normalidade dos erros: Jarque–Bera 9. PREVISÃO COM MODELOS ARIMA Propriedade: as previsões feitas com um modelo ARIMA minimizam o erro quadrático médio de previsão. Conceito Supondo conhecidos os parâmetros verdadeiros ),,,,,( 11 qp :
),(~ qpARMAYW t
dt
Previsões l–passos à frente (l = 1,2,...)
0),|(ˆ)(ˆ
)|(ˆ)(ˆ,
TlTlTT
TlTlTT
WEl
WWEWlW
25
Cômputo das Previsões Caso MA(1): 11 tttW
Função de Previsão:
2ˆ
ˆ11
T
TT
W
W
Caso MA(2): 2211 ttttW
Função de Previsão:
3ˆ
ˆ
ˆ
22
1211
T
TT
TTT
W
W
W
Caso AR(1): ttt WW 1
Função de Previsão:
2ˆˆ
ˆ
11
11
TT
TT
WW
WW
Caso AR(2): tttt WWW 2211
Função de Previsão:
3ˆˆˆ
ˆˆ
ˆ
1211
12112
1211
TTT
TTT
TTT
WWW
WWW
WWW
Caso ARMA(p,q)
Previsão 1-passo à frente:
1111
,11 )|(ˆ)1(ˆ
qTqTpTpT
TTTT
WW
WWEWW
Previsão 2-passos à frente:
26
222211
,22
ˆ
)|(ˆ)2(ˆ
qTqTpTpTT
TTTT
WWW
WWEWW
Previsão l-passos à frente:
para qpl 1 :
lqTqTllpTpTllT
TlTlTT
WWW
WWEWlW
11
,
ˆ
)|(ˆ)(ˆ
Para l > p e l > q:
lpTplT
TlTlTT
WW
WWEWlW
ˆˆ
)|(ˆ)(ˆ
11
,
9.1 PREVISÕES NO EVIEWS
Dentro da Amostra: (cômputo de TtWt ,,1,ˆ )
1) Opção Prever Série Orignal; 2) Opção “Static”; 3) Dar nome para “Forecast Name”
27
Fora da Amostra: (cômputo de ,2,1,ˆ lW lT )
1) Opção Prever Série Origina; 2) Opção “Dinamyc”; 3) Dar nome para “Forecast Name”
9.2 PREVISÕES EM NÍVEL COM MODELOS ARIMA
td
t YW ~ ARIMA(p,d,q)
Caso d = 1: Representação em t:
tt YW
1 ttt YWY
Função de Previsão (em T ):
1ˆˆˆ
TTT YWY
Caso d = 2:
Representação em t:
tt YW 2
1 ttt YWY
1 ttt YYY
Função de Previsão (em T ):
1ˆˆˆ
TTT YWY
1ˆˆˆ
TTT YYY
Caso d = 3
Representação em t:
tt YW 3
122
ttt YWY
28
12
ttt YYY
1 ttt YYY
Função de Previsão (em T ):
122 ˆˆ
TTT YWY
12 ˆˆˆ
TTT YYY
1ˆˆˆ
TTT YYY
Caso Geral d
Representação em t:
td
t YW
111
t
dtt
d YWY
1212
t
dt
dt
d YYY
:
12
ttt YYY
1 ttt YYY
Função de Previsão (em T ):
111 ˆˆˆ
T
dTT
d YWY
1212 ˆˆˆ
T
dT
dT
d YYY
:
12 ˆˆˆ
TTT YYY
1ˆˆˆ
TTT YYY
Caso Geral: Representação Compacta
Representação em t:
d
jt
jdtt YWY
11
Função de Previsão (em T ):
d
jT
jdTT YWY
11
ˆˆˆ
29
PREVISÃO INTERVALAR Preliminares Assuma que:
)(B atende condição de estacionariedade
)(B atende condição de invertibilidade
tt BBW )()(1 ↔ tt BW )(
Onde 33
221
1 1)()()( BBBBBB é um polinômio de grau infinito
1332211 1)(
iititttttt BW
Erro de Previsão
Definição TTT WWe ˆ
Supondo agora conhecidos TT ,,1 mas lembre que 0ˆˆ 1 TT
Então seja:
T
TTTTTTT
TTTTTTT
W
W
11332211
11332211
ˆˆˆˆˆˆ
Segue que: 11332211 TTTTTTe Média do Erro de Previsão
0)()()()()()( 11332211 TTTTTT EEEEEeE
Variância do Erro de Previsão
21
1
2
12
12221
21
1
)()()()()(
ii
TTTTT VarVarVarVareVar
Nível de Confiança: 1 TTT UWLP
30
Limites do Intervalo de Previsão:
previsão da padrão-desv.1
superior limiteˆinferior limiteˆ
2211,
,2/1
,2/1
iiTe
TeTT
TeTT
nWU
nWL
Nota: 2/1 n quantil da distribuição normal padrão associado a 2/1
Cálculo do Intervalo de Previsão na Prática
),,|(ˆ 1 TTTT wwWEw , ou seja, supondo-se dados os valores da série
Twww ,...,, 21 ;
Limites do Intervalo de Previsão:
previsão da padrão-erroˆ1
superior limiteˆ
inferior limiteˆ
2211,
,2/1
,2/1
ss
stwu
stwl
iiTe
TeTT
TeTT
Nota: 2s variância residual (estimativa de 2
) e ,...ˆ,ˆ 21 são estimativas de ,..., 21
obtidas a partir de ,...ˆ,ˆ21 e ,...ˆ,ˆ
21 Exemplo
31
10. MODELOS ARIMA SAZONAIS Vendas de Passagens Aéreas (Reino Unido)
Vendas do Comércio Varejista (EUA)
Também conhecidos como modelos SARIMA (“S” de Seasonal) Período sazonal: designado pela letra “s” minúscula
Mensal: s = 12 Trimestral: s = 4 Quadrimestral: s = 3 Semestral: s = 2
Série original: Yt Série diferenciada sazonalmente: t
Dst
Dst YBYZ )1(
Exemplos: D = 1 stttst YYYZ
D = 2 )()( 22
stststtstststst YYYYYYYZ MA Sazonais
MA(Q): QstQststttZ 221 Parâmetros não nulos só para lags múltiplos inteiros de s
0
100
200
300
400
500
600
700
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 608,000
12,000
16,000
20,000
24,000
28,000
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
32
Modelo MA(1) Sazonal
stttZ 1
FAC:
10
11 2
1
1
0 k
kksks
Exemplo: stttZ 8,02
49,064,1
8,0s
Modelo MA(2) Sazonal
ststttZ 221
FAC:
20
21
11
)1(
22
21
2
22
21
21
0
k
k
k
ksks
33
Exemplo: ststttZ 23,06,02
Modelo MA(Q) Sazonal
QstQsstttZ 1
FAC:
Qk
QkQ
QkQkkks
ks
0
,...,11 22
1
11
0
34
Modelo AR(1) Sazonal
tstt ZZ 1
11
21
2
0 1
21
21
01 1
s
21
221
0212 1
s
k
kk
ks1
21
01 1
FAC: ,...1,010
kkskks
Exemplo: tstt ZZ 29,0
35
Modelo AR(2) Sazonal
tststt ZZZ 221
FAC:
21
1
)2(2)1(1
2
21
22
2
1
kskskks
s
s
Exemplo: tststt ZZZ 27,09,0 2
Modelos Multiplicativos ARIMA(P,D,Q)
ts
tDs
s BYB )()(
ARIMA(p,d,q,P,D,Q) Combinação de ARIMA(p,d,q) simples com ARIMA(P,D,Q) sazonal.
ts
tDs
ds BBYBB )()()()(
36
pp BBB 11)( : polinômio autorregressivo simples de ordem p
PsP
ss BBB 11)( : polinômio autorregressivo sazonal de ordem P dd B)1( : operador diferença simples de ordem d
DsD B )1( : operador diferença sazonal de ordem D q
qBBB 11)( : polinômio média móvel simples de ordem q Qs
Qss BBB 11)( : polinômio média móvel sazonal de ordem Q
Diferenciação no Eviews d(Y) = d(Y,1) – 1 diferenciação simples ou: tt YBY )1(
d(Y,d) d diferenciações simples td
td YBY )1(
d(Y,0,s) 1 diferenciação sazonal ts
ts YBY )1(
d(Y,1,s) 1 diferenciação simples c/1 diferenciação sazonal: ts
ts YBBY )1)(1(
d(Y,d,s) d diferenciações simples c/1 diferenc. sazonal: )1()1( sdts
d BBY
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