modernÍ aplikace statistickÉ fyziky ikotrla/vyuka/tmf049/presentace/uvodma14.pdf · přednášky...

MODERNÍ APLIKACE

STATISTICKÉ FYZIKY I

NTMF049, 2/0 Zk - ZS

externě: ÚTF UK

Miroslav Kotrla a František Slanina kotrla@fzu.cz slanina@fzu.cz

kmenově:

FZÚ AV ČR, v.v.i., Praha 8

oddělení teorie

kondenzovaných látek

http://www.fzu.cz/~kotrla/teach.htm

Přednášky MK na ÚTF

MODERNÍ APLIKACE STATISTICKÉ FYZIKY I TMF049, 2/0 Zk - ZS MODERNÍ APLIKACE STATISTICKÉ FYZIKY II TMF050, 2/0 Zk - LS POČÍTAČOVÉ SIMULACE VE FYZICE MNOHA ČÁSTIC TMF021, 2/0 Zk - ZS POKROČILÉ SIMULACE VE FYZICE MNOHA ČÁSTIC TMF024, 2/0 Zk – LS

Kde mě najít? V budově Ústavu

teorie informace

a automatizace

(UTIA)

Pod Vodárenskou

věží 4, Praha 8,

křídlo v pravo,

místnost 435,

doprava: např.

metrem do

stanice Ládví

též na stránce

www.fzu.cz/~kotrla

Statistická fyzika

Metoda: - Vychází z představy o atomové struktuře látky.

- Předpokláda platnost ergodické hypotézy a místo řešení

pohybových rovnic užívá středování přes statistické

soubory, tj. metod statistiky.

Původní cíl:

odvodit fenomenologické zákonitosti

termodynamiky z mikroskopického hlediska

Statistická fyzika

Úspěšné: - vybudován obecnýn formalismus při užití statistických

metod –> stat. fyzika je důležitá součást teoretické fyziky

- mnoho aplikací pro všechny stavy hmoty:

pevné látky, kapaliny, kinetická teorie plynů, etc.

- v principu lze STATFYZ použít pro systém složený z

velkého počtu elementů s definovanými vztahy mezi nimi

Původní cíl:

odvodit fenomenologické zákonitosti

termodynamiky z mikroskopického hlediska

Statistická fyzika je to vhodný nástroj i pro

studium netradičních složitých

nerovnovážných problémů.

Tato přednáška

Představíme některé v aplikace rovnovážné i

nerovnovážné statistické fyziky.

Cíl: Výklad pokročilejších metod statistické fyziky

a seznámení se studiem komplexních jevů.

Společný rys: kritické chování

červená niť: existence škálování

Kritické chování vysvětlujeme

na příkladu magnetických jevů.

Kritické jevy – kritická teplota TC

kritický bod pára - kapalina

kritický bod feromagnet – paramagnet

Singulární chování

v okolí Tc

Magnetizace má skok v Tc.

Měrné teplo Cv

a susceptibilita c

mají singularitu.

Singularita v Tc je mocninná !

Experimentální výsledky pro železo

p CC k T T

kritický exponent α

Dvě části přednášky

a) rovnovážné uzavřené systémy

– demonstrováno pomocí

Isingova modelu a dalších

mřížkových modelů

b) nerovnovážné otevřené systémy

– demonstrováno výkladem

růstových jevů etc.

Isingův model

Existuje fázový přechod a kritické chování?

počítáme: měrné teplo, susceptibilitu etc.

Příklady konfigurací

magnetického systému

pro různé teploty včetně

okolí kritického bodu.

Konfigurace jsou

získané simulacemi,

hodnota spinu (+-1)

je zobrazena černým

resp. bílým bodem.

Všimněte si velikosti

domén stejně

orientovaných spinů.

Velikost domén roste

s blížením k TC a se

zvětšováním systému.

To naznačuje divergenci

pro nekonečný systém.

≈ TC

pod TC

nad TC

Složité nerovnovážné systémy

• dopravní problémy

• vývoj rozhraní

• modely evoluce

• náhodné sítě

• samoorganizované automaty

• …

- složitější než rovnovážné a klasické

N-částicové systémy přitom jsou nekvantové;

- otevřené systémy;

- vykazují kritické chovaní.

například:

viz dále

v přednášce

Data o skutečné

dopravě

Cíl je maximální průjezdnost.

Ale vznikají zácpy.

Nagel-Schreckenbergův model http://en.wikipedia.org/wiki/Nagel-Schreckenberg_model

V každém kroku se aplikují dané akce na všechna auta,

tj. máme určený celulární automat.

Stav buňky: i) prázdná=žádné auto ii) auto s rychlostí V; V= 0,1, … Vmax.

Dynamika: Obsazené buňky se pohybují jedním směrem i -> i+1;

auto na uzlu i vidí auto vpředu do vzdálenosti L.

Nagel-Schreckenbergův model V každém kroku se aplikují 4 akce v uvedeném pořadí na všechna auta.

1. ZRYCHLENÍ: když auto jede menší než maximální

rychlostí, pak jeho rychlost je zvýšena o jednotku,

tj. V -> V+1.

2. BRZDĚNÍ: pro každé auto se kontroluje, aby jeho

vzdálenost k předchozímu autu byla menší než jeho

rychlost, tj. když L<= V, pak V -> V-1.

3. NÁHODNÉ ZPOMALENÍ: rychlost každého auta, které

má rychlost větší než 0, je s pravděpodobností p

snížena o jednotku.

4. POHYB: všechna auta jsou posunuta dopředu o počet

jednotek rovný jejich rychlosti.

Bod 3. NÁHODNOST je podstatný: lidský faktor, stav

vozovky etc.,bez něj přechod do stacionárního

stavu s neměnnými rychlostmi!

Simulace

Nagel-

Schreckenbergova

modelu

Zácpy se pohybují

proti směru jedoucích

vozidel.

Vznikají zácpy, když

pohybu auta brání

předchozí vozidlo, etc.

Fraktální geometrie Pojem fraktálu, příklady matematických a reálných fraktálů, výpočet

fraktální dimenze, self-afinní fraktály, Hurstův exponent, škálovací relace.

Kritické jevy Fenomenologie kritických jevů, parametr uspořádání, kritická teplota,

singulární chování termodynamických veličin v okolí kritické teploty,

kritické exponenty, universalita - pojem tříd univerzality.

Mřížkové modely Isingův model a ekvivalentní modely, Bragg-Williamsova a Betheho

aproximace středního pole, přesné řešení Isingova modelu v 1D a

vlastnosti Onsagerova řešení v 2D, vysokoteplotní rozvoje a analýza řad.

Škálování Škálovací hypotéza, škálovací relace, škálování s velikostí systému,

idea renormalizační grupy (RG).

Obsah přednášky - rovnováha

Stochastické procesy Markovův proces, mistrovská rovnice, Langevinova rovnice, harmonický

oscilátor ve fluktuujícím vnějším poli, kinetický Isingův model Kawasakiho a

Glauberova dynamika, fázové uspořádávání.

Dynamické škálování Časový vývoj rozhraní v experimentech a diskrétních modelech, hrubost

povrchu a její chovaní (exponent hrubosti, růstový a dynamický exponent),

cesta k data kolapsu - škalovací funkce, dynamické třídy universality.

Modely vývoje rozhraní Konstrukce obecné spojité stochastické rovnice na základě symetrií,

náhodná depozice, Edwards-Wilkinsonův model, Kardar-Parisi-Zhangova

rovnice, diskrétní modely, asymetrický vylučovací proces.

Celulárni automaty (CA) Typy CA, klasifikace dynamického chování, pojem samoorganizace,

samoorganizované kritické systémy, hra života, chování pískové kupy, BTW

model, dopravní problémy atd.

Obsah - nerovnováha

Fraktály typy: • matematické (abstraktní) fraktály

• přírodní objekty

• výsledky měření/výpočtů

mnoho příkladů:

• Cantorova množina, Kochova křivka, …

• mapy (profily pobřeží, síť říčních přítoků,

hvězdná obloha, krátery na planetách, …)

• výsledky měření/výpočtů

http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal#Introduction

další příklady a informace např. na wikipedii:

např.

H. von Koch - jeden z prvních matematických fraktálů 1904,

B. Mandelbrot - pojem fraktálu – 1975, …

Fraktály typy: • matematické (abstraktní) fraktály

• přírodní objekty

• výsledky měření/výpočtů

mnoho příkladů:

• Cantorova množina, Kochova křivka, …

• mapy (profily pobřeží, síť říčních přítoků,

hvězdná obloha, krátery na planetách, …)

• výsledky měření/výpočtů

PROČ A JAK V PŘÍRODĚ VZNIKAJÍ?

1. samopodobnost (self-similarity)

2. fraktální dimenze

vlastnosti:

první krok statický popis tj. Geometrie

• tradiční > 2000 let

• založená na určité velikosti

• vhodná pro makroskopické lidské výtvory

• popsaná vzorci

Euklidovská geometrie:

• nová cca 40 let

• žádná specifická škála

• vhodná pro přírodní objekty

• objekty jsou určeny algoritmy

fraktální geometrie:

Škálová invariance

M bL g b M L

Po n iteracích po sobě nL b L

n

ng b g b

n

n nM b L g b M L g b M L

řeší g b b

Příklad samopodobnosti - krajina

pojem dimenze

objekt rozděl na N stejně velkých částí o velikosti r

fraktální dimenze:

Kochova křivka - rok 1904 http://en.wikipedia.org/wiki/Helge_von_Koch

V rovině …

Sierpinski gasket

Sierpinski carpet

log 3

log 2D

Mnoho příkladů na

internetu http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal

přírodní objekty

DLA klaster vzniklý elektrodepozicí sulfátu mědi

Výbojem vytvořený fraktál

High-voltage dielectric breakdown within a block of plexiglas creates a fractal pattern called a Lichtenberg figure. The branching discharges ultimately become hairlike, but are thought to extend down to the molecular level.

http://capturedlightning.com/frames/lichtenbergs.html

Sněhové vločky

Diffusion Limited Aggregation (DLA)

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Of7_p0001_15h.jpg

A DLA consisting about 33,000 particles obtained by allowing random walkers to adhere to a seed at the center. Different colors indicate different arrival time of the random walkers.

• B.B. Mandelbroad, The fractal geometry of nature,

W.H. Freeman and comp., New York 1983.

• M. Plischke a B. Bergensen, Equilibrium statistical Physics,

World Scientific, Singapore, 1994(2. vydání)

• K. Huang, Statistical Mechanics, John Wiley & Sons,

Singapore, 1987 (2. vydání)

• A. -L Barabasi a H. E. Stanley, Fractal Concepts is Surface

Growth, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

•A. C. Levi and M. Kotrla, Theory and simulations of crystal

growth, J. Phys. Cond. Matt. 9, 299-344 (1997).

•N. G. Van Kampen, Stochastic Processes in Physics and

Chemistry, North-Holland, Amsterdam, 1981.

Literatura

MODERNÍ APLIKACE

STATISTICKÉ FYZIKY I

NTMF049, 2/0 Zk - ZS

http://www.fzu.cz/~kotrla/teach.htm

tato prezentace bude na:

pod NTMF049 úvodní přednáška