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Modélisation surfaciquePartie I : Représentation de surfaces
Ulysse Vimont
Inria, Équipe Imagine
2014-2015
1 Introduction
2 Modèles volumiques
3 Modèles surfaciques
4 Bilan
Ulysse Vimont (Inria) Modélisation surfacique 2014-2015 1 / 34
1 IntroductionObjectifs du coursSurfacique vs VolumiqueContinu vs Discret
2 Modèles volumiques
3 Modèles surfaciques
4 Bilan
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Objectifs du cours
définition d’une grille d’analyse pour les modèles de représentationd’objetsprésentation de différents modèlescomparaison de ces modèles
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Surfacique vs Volumique
Volumique :
le modèle contient del’information en chaque pointde l’espace
Surfacique :le modèle contient del’information en unsous-ensemble de l’espaceapparenté à une surfacele modèle volumique contientdes données visuelles, le modèlesurfacique des positions en plus
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Un peu de calcul
ExerciceCalculer le volume de données pour représenter un cube de1000× 1000× 1000 (où chaque élément contient un double) pour unmodèles volumique, et pour un modèle surfacique. Comparer à la mémoirevive d’une machine standard.
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Continu vs discret
Discret :le modèle utilise des primitiveslocalisées, en quantitédénombrable et bornée.représentation non lisseniveau de détail limité
Continu :le modèle utilise des primitivesétenduesrésultat potentiellement lisseniveau de détail extensible(multirésolution)
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Un peu de calcul (bis)
ExerciceCalculer le volume de données pour représenter la surface d’un terrain de10x10km2 à une résolution de 10cm2.
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1 Introduction
2 Modèles volumiquesCSGSurface impliciteBlobtreeSurface de convolutionÉnumération spatiale
3 Modèles surfaciques
4 Bilan
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CSG
PrincipeAssembler des primitives simples grâce à des opérations booléennes.
Arbre d’évaluation :primitives terminales :
I demi-plan (px (X ) > α)I sphère (‖X‖ < ρ)I cylindre (‖px ,y (X )‖ < ρ)I ...
primitives intermédiaires :I union (
⋃)
I intersection (⋂)
I différences (\)I ...
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CSG
Plus :définition mathématiqueCAO (usinage)simplicité d’implémentation(ray-tracer)
Moins :faible liberté de formenon représentabilité des objetscomplexes, organiquesinformation non empirique
Utilisé dans Solidwork, Pov-Ray, ...
ExerciceOn dispose de deux fonction booléennes IA, IB : R3 → {0, 1}. TrouverIA∪B, IA∩B, et IA\B.
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Surface implicite
PrincipeOn décrit la surface comme l’isopotentielle d’une fonction scalaire del’espace.
On prend une fonction scalaire del’espace :
f : R3 → R
La surface est définie implicitementpar une équation ouverte :
S = f −1(cst) = {X ∈ R3|f (X ) = cst}
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Surface implicite
Plus :définition mathématiquemélangeformes "bloby"conversion en maillagedéfinition de la normale(gradient)
Moins :
paramétrisation
contrôle de la topologie
effacement des détails
Très utilisé pour représenter les fluides (approche lagrangienne).
ExerciceTrouver une fonction f représentant une sphère de centre C et de rayon ρà l’isopotentielle 0.
Démo Blender.
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BlobtreePrincipeLa surface est assemblée à partir de primitives implicites et d’opérateurs dedéformations.
Analogie avec le CSG-tree, avec enplus :
blendingwarping...
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Blobtree
Similaire aux surfaces implicites simples, avec une plus grande facilitéd’édition.
ExerciceTrouver l’équation du blend et du twist.
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Surface de convolutionPrincipeLa surface est déduite d’un skelette par convolution avec un noyau àsupport compact.
Cas particulier de surface implicite où f = k ∗ s et :{k est une fonction à support compactS est une fonction type "dirac"
Cf. théorie des distribution.Ulysse Vimont (Inria) Modélisation surfacique 2014-2015 15 / 34
Surface de convolution
Plus :facilité d’éditionextension pour rayon variableétendue spatiale limitée
Moins :
comme les surfaces implicites
problème du bulge
ExerciceTrouver un exemple de fonction à support compact.
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Énumération spatiale
PrincipeOn définit une propriété donnée de l’objet à représenter dans un ensemblede points de l’espace (grille 3D).
Modèle discret.
Différentes propriétés :
booléen (intérieur / extérieur)
entier (couleur)
double (coefficientd’absorption)
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Énumération spatiale
Plus :topologie arbitrairedonnée naturelle, mesurable(scanner CT, IRM,échantillonnage d’un fonctionde potentielle scalaire...)rendu volumique par absorption/ émission
Moins :
volume de données
création de données
caractère surfacique (réflexion,...)
anisotropie liée à la grille
Utilisé en imagerie médicale, en simulation de fluide (champs eulerien), etpour certaines applications de sculptures virtuelles.
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1 Introduction
2 Modèles volumiques
3 Modèles surfaciquesReprésentation paramétriqueB-repNuages de pointsMaillagesSurfaces de subdivisionHeightfield
4 Bilan
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Représentation paramétriquePrincipeLa surface est donnée directement par une équation paramétriquecalculable.
On définit un mapping del’espace des paramètres, qu’onpeut ensuite échantillonner.Conversion en maillage.Donnée explicite.
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Représentation paramétrique
Plus :surface paramétrée(coordonnées de texture, ...)conversion en maillage
Moins :donnée non intuitive (équation)variété des objetsreprésentables
ExerciceCalculer l’équation de la surface de révolution de la courbe f : R→ R
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B-rep
PrincipeLa surface est définie par un ensemble de patch se raccordant de manièrelisse.
Patchs :
Coons
Béziers / Nurbs
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Nuages de points
PrincipeLa surface est définie par un ensemble de points supposés êtres dessus.
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Nuages de points
Plus :
donnée simple et compacte
visualisation
Moins :structure / informationtopologiquedensité nécessaire
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MaillagesPrincipeLa surface est composée d’un ensemble de polygones s’appuyant sur unnuages de points.
technique universellementutilisé
approximation d’ordre 1 d’unesurface
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Maillages
Plus :stockage informatique (point +connectivité)rapidité de visualisation(rasterisation)liberté de forme et de topologiedéfinition d’une géométriediscrète (voisinage, courbure)interpolation decaractéristiques sur la surface
Moins :polygone = donnée nonnaturellerésultats anguleux
Demo Blender.
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Surfaces de subdivisionPrincipeUn maillage est raffiné autant de fois que nécessaire dans le but d’enaugmenter la résolution.
Chaque face est transformée enplusieurs faces plus petites.
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Surfaces de subdivision : schéma de Catmull-Clark1 remplacer chaque face par un point en son barycentre2 remplacer chaque segment par un point en son milieu3 placer chaque point original P en :
F + 2N + (n − 3)Pn
où :I F est le barycentre des points voisins de P ajoutés à l’étape 1I N est le barycentre des points voisins de P ajoutés à l’étape 2I n est le nombre de ces voisins
Demo Blender.nb : il existe bien d’autres schémas de subdivision :
Loop√3-Kobbelt
Butterfly (interpolation)Ulysse Vimont (Inria) Modélisation surfacique 2014-2015 28 / 34
Surfaces de subdivision
Plus :représentation au niveau dedétail adaptéedonne un aspect lisse à desobjets anguleux (convergenceG2 presque partout)
Moins :fortement dépendant dumaillage initial
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Heightfield
PrincipeL’altitude de la surface est définie en chaque point d’une grille.
représentation matricielle
surtout utilisé pour les terrains
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Heightfield
Plus :pas de topologie à encodersimple à éditer (Gimp)méthodes de générations debruits procédurauxd
Moins :structure rigide (rotation, miseà l’échelle ?)niveau de détail fixétopologie fixe (pas d’arches, degrottes)
ExerciceTrouver une manière de représenter les surplombs avec un champs dehauteur modifié.
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1 Introduction
2 Modèles volumiques
3 Modèles surfaciques
4 Bilan
Ulysse Vimont (Inria) Modélisation surfacique 2014-2015 32 / 34
Conclusion
Pour résumer :les modèles volumiques sont adaptée à :
I la représentation d’objets à la topologie quelconqueI un mode de visualisation off-line (pour l’instant)
les modèles surfaciques sont adaptée à :I la représentation d’objets à la topologie fixeI un mode de visualisation on-line (rasterisation)
les modèles continus sont adaptée à :I la représentation d’objets lissesI la représentation d’objets multirésolution
les modèles discrets sont adaptée à :I la représentation du modèle dans un ordinateurI la visualisation efficace de ce modèle
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Fin !
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