modul 6 kalkulus medan vektor.pdfx
Post on 02-Mar-2018
420 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
1/30
MODUL VI
KALKULUS MEDANVEKTOR
PRAYUDI
MEDAN SKALAR Medan skalar adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada setiap titik di
dalam suatu himpunan titik-titik di dalam ruang dan nilainya adalah
bilangan real yang tergantung pada titik-titik asal, dan bulan pada sistem
koordinat yang digunakan
Daerah definisi D suatu fungsi dapat berupa sebuah interval, daerah pada
ruang dimensi, permukaan atau benda dimensi tiga
Sebuah fungsi f yang mengkaitkan setiap titik di dalam daerah asal D
dengan suatu skalar, dikatakan sebagai medan skalar
Contoh :Kerucut,
22 yx)y,x(f
y
x
z
Daerah asal, 1 x2 + y24
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
2/30
MEDAN VEKTOR
Fungsi bernilai vector : fungsi yang terdefinisikan pada suatuhimpunan D didalam ruang yang menghubungkan setiap titik
P(x,y,z) didalam D dengan sebuah vector F(p).
Himpunan fungsi-fungsi F(p) yang menghubungkan setiap
titik di D dengan sebuah vector F(p) disebut medan vector.
Fungsi bernilai vector F(p), muncul dalam penerapan,
mekanika fluida, medan elektro magnetic.
Medan vektor di R3, daerah definisi suatu himpunan bagian
di R3, fungsi medan vektornya adalah,
F(x,y,z) = M(x,y,z)i+ N(x,y,z)j+ N(x,y,z)k
dimana I,j,dan k adalah vektor satuan.Medan vektor dalam ruang dimensi dua, daerah definisinya
adalah suatu himpunan bagian di R2, fungsi medan adalah
``F(x,y) = M(x,y)i+ N(x,y,j
dimana I,j,dan k adalah vektor satuan.
ContohFungsi bernilai vektor
F(x,y)= yi+ xjVektor-vektor F(x,y) pada titik tertentu diberikan oleh tabel dan gambar
berikut ini
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
3/30
GRADIEN MEDAN SKALAR
Andaikan f(x,y) fungsi dari x dan y, dan mempunyai turunan-
turunan parsial pertama. Gradien f yang dinyatakan dengan
f(x,y) = grad f (dibaca del f ) didefinisikan oleh,
jijiy
f
x
fyxf
yxyxf
),(),(
Andaikan f(x,y,z) fungsi dari x, y, dan z mempunyai turunan-
turunan parsial pertama. Gradien f yang dinyatakan dengan
f(x,y,z) = grad f (dibaca del f ) didefinisikan oleh,
kjikjiz
f
y
f
x
fzyxf
zyxzyxf
),,(),,(
Contoh :
Jika f(x,y) = x2y xy3, hitunglah fungsi
gradien medan skalar f, dan hitung
nilai gradien f did titik (3,2)
Jawab
Dari fungsi f diperoleh hasil,
22
3
3
2
xyxy
f
yxyx
f
Gradien f diberikan oleh,
f(x,y) = (2xyy3)i+(x23xy2)j
Gradien f dititik (3,2) diberikan oleh :
f(3,2) = 4i 27 j
Contoh :
Jika,
Hitunglah gradien f di titik (2,1,1)
Jawab
Dari fungsi f diperoleh hasil,
)(2 22),,( zyexzyxf
)(2
)(2
)(
22
22
22
2
2
2
zy
zy
zy
zexz
f
yexyf
xex
f
Gradien f diberikan oleh
)222( 22)(22
kji zxyxxef zy
Gradien f dititik (2,1,1) diberikan oleh :
f(2,1,1) = 4i + 8j 8k
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
4/30
DIVERGENSI MEDAN VEKTOR
Andaikan, F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)jadalah medan vektor pada ruangdimensi dua, M dan N fungsi dari x dan y yang mempunyai turunan parsial.
Divergensi medan vektor F ditulis div F didefinisikan oleh
y
yxN
x
yxM
yxNyxMyx
),(),(
]),(),([
jkjiFFdiv
Andaikan, F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j+ R(x,y,z)kadalah medan
vektor pada ruang dimensi tiga, M, N dan R fungsi dari x, y dan z yang
mempunyai turunan parsial. Divergensi medan vektor F ditulis div F
didefinisikan oleh
z
zyxR
y
zyxN
x
zyxM
kzyxRzyxNzyxMzyx
),,(),,(),,(
]),,(),,(),,([
jkkjiFFdiv
CONTOH
Hitung, div F, bila,
Jawab :
jiF byebyeyx axax sincos),(
byeba
bybey
N
byeyxN
byaexM
byeyxM
ax
ax
ax
ax
ax
cos)(
cos
sin),(
cos
cos),(
Fdiv
:maka
CONTOH
Hitung, div F, bila,
Jawab :
kjiF yzyzyz zeyexeyzzyx )(),,(
yz
yzyz
yzyz
yzyz
eyz
eyzz
RzezyxR
eyzy
NyezyxN
e
x
MxeyzzyxM
)23(
)1(),,(
)1(),,(
),,(
Fdiv
:maka
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
5/30
CURL MEDAN VEKTOR
Andaikan, F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + R(x,y,z)k adalah medan vektor
pada ruang dimensi tiga, dengan M, N, dan R adalah fungsi tiga variabel
dari x, y dan z yang mempunyai turunan parsial. Curl medan vektor F
ditulis curl F didefinisikan oleh :
kj-i
kji
FFcurl
y
M
x
N
z
M
x
R
z
N
y
R
RNMzyx
Khusus untuk fungsi dua variabel, F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j, curl medan
vektornya diberikan oleh,
k
kji
FFcurl
y
M
x
N
NMyx
0
0
CONTOH
Hitung, curl F, bila,
Jawab :
jiF byebyeyx axax sincos),(
k
k
kji
FFcurl
byeba
y
bye
x
bye
byebye
yx
ax
axax
axax
sin)(
cos()sin(
0sincos
0
CONTOHHitung, curl F, bila,
Jawab :kjiF yzyzyz zeyexeyzzyx )(),,(
j-
ji
k
j-
i
kji
FFcurl
yz
yzyz
yzyz
yzyz
yzyz
yzyzyz
exzz
exyyeyz
xeyzy
yex
xeyzz
zex
yez
zey
zeyexeyz
zyx
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
22
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
6/30
SOAL-SOAL LATIHANHitunglah (1). div F = ( F),
(2). curl F = ( F),(3). div(curl F) = ( F)
untuk setiap fungsi medan vektor yang diberikan.
1. F(x,y) = (y2+ e2xy)i + (e2xy+ x2)j
2. F(x,y) = (cos by sin by) eaxi + (sin by + cos by)eaxj
3. F(x,y) = (sin2x + cos2y)e2yi + (cos 2x + sin 2y) e2yj
4. F(x,y) = (x2ln y + y)i + (2x + y2ln y)j
5. F(x,y) = (x2ln x + 2y)i + (x+ y2ln x)j
6. F(x,y,z) = (xz + yexz)i + (yz + exz)j + (yz + exz)k
7. F(x,y,z) = (xy + zexy)i + (xz + yexy)j + (xy + ze2xy)k
8. F(x,y,z) = xz cos y i + xz2siny j + x2z sin y k .
9. F(x,y,z) = (y + z) cos x i + (y z) sin x j + (y2 z2)cos x k .
10. F(x,y,z) = x2cos yz i + y2sin yz j + z2cos yz k .
11. F(x,y,z) = xy sin xz i + yz sin xz j + xz cos xz k .
MEDAN VEKTOR KONSERVATIF
Andaikan f medan skalar, dan F
medan vektor. Suatu medan vektor
F yang didefinisikan oleh,
F = f
maka F disebut medan vektor
gradien, dan f dikatakan fungsipotensial untuk medan vektor
gradien F. Medan vektor,
F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j
dikatakan konservatif bilamana
x
N
y
M
Bilamana Fmedan vektor konservatif,
fungsi potensial f dan, F(x,y) =f ,
maka fungsi potensial f(x,y) = c,
diberikan oleh :
dydxyxMy
yxNyg
yxNygdxyxMy
yxNy
f
yg
ygdxyxMyxf
sehingga,
:daridiperoleh
),(),()(
),()(),(
),(
)(
)(),(),(
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
7/30
Misalkan diberikan fungsi medan vektor,
F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + R(x,y,z)k
Medan vektor F dikatakan konservatif(atau medan vektor gradien), jika
hanya jika : x
R
z
N
x
R
z
M
x
N
y
M
;
Fungsi potensial f untuk F adalah fungsi tiga variabel f(x,y,z) = c,
sedemikian rupa sehingga F(x,y,z) =f(x,y,z), dimana fungsi f adalah :
)(),,(),,()(
),,(),(),,(
),,()(
),(),,(),,(
zhdydxzyxMy
zyxNyg
zyxNzygdxzyxMy
zyxNy
fyg
zygdxzyxMzyxf
sehingga,
:daridiperoleh
),,( zyxRz
f
CONTOHHitung fungsi f(x,y) bila,
Jawab :jiF )()(),( xyxy xeyyexyx
ceyxyxf
exyx
N
y
M
exyx
N
xeyyxN
exyy
M
yexyxM
xy
xy
xy
xy
xy
xy
22
2
1
2
1),(
)1(
)1(
;),(
)1(
;),(
:maka
:karenaf,konservatiF
CONTOHHitung fungsi f(x,y,z) bila,
Jawab : kjiF
)(
)()31(),,(
322
322
z
zx
yexzyz
exyzyexzyx
cz
zyyexxzyxf
exyzy
Ryex
x
R
yexzyzzyxR
exyzz
Nex
x
N
exyzzyxN
yexz
Mex
y
M
yexzyxM
z
zz
z
zz
z
zz
z
32
1
3
1),,(
2;3
;),,(
2;3
;),,(
3;3
)31(),,(
32233
32
322
32
32
22
2
:makaf,konservatiF
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
8/30
SOAL-SOAL LATIHANSelidikilah apakah medan vektor yang diberikan konservatif. Jika
konservatif tentukanlah fungsi potensial f untuk fungsi medan vektor
]j2[xe]iye[xy)8.F(x,
y]j[xcos(xy)ycos(xy)]i[xy)F(x,7.
)jxe(y)iye(xy)6.F(x,
lny]j1)[ln(xi
1x
2xy2y)5.F(x,
j1y
21xi
1x
xy1y)4.F(x,
j1y
yx)ln(1i
x1
yxy)F(x,3.
x)jcos3y(2ysin2x)iy(1y)F(x,2.
j)sinx-(y)ie-(2xcosyy)F(x,.1
x/yx/y2
xy2xy
22
22
2
223
2x
y
y
9. F = (y2ex+ 2x ez)i
+ 2y(ex+ez)j
+ (x2+y2+z2)ezk
10. F= (x2 y2)i + (yz22xy)j
+ (y2z + 3z2)ezk
11. F= (2x sin y 2x ezz)i
+ (x2cosy + 2yz3)j
+ (3y2z2 x2ez)k
12. F= (z2 ex+ 2x ey)i
+ (x2 z2)eyj
+ 2z(exey+ez)k
13. F = (xz2+ 2xy3)i
+ (3x2y2+ 2z ey)j
+ (x2z + z2ey+ln z)k
INTEGRAL GARISAndaikan F(x,y,z) adalah medan vektor
yang diberikan oleh,
F(x,y,z)= M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+R(x,y,z)k
dengan M, N, dan R fungsi-fungsi dari
x, y, dan z yang kontinu. Andaikan pulabahwa,
r = xi + yj + zk
adalah vektor posisi untuk titik P(x,y,z)
pada kurva C. Integral garis medan
vektor F sepanjang kurva C diberikan
oleh,
CcdzzyxRdyzyxNdxyxM ),,(),,(),,(drF
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
9/30
CONTOH
dari (-1,1) ke titik (2,4)
dengan lintasan seperti
tergambar :
jiF
biladrFHitung,
)(),( 22 xyxyxyx
C
60
71
5
8
12
5)(
5
8
)(drF
12
5
)(drF
drFdrFdrF
)4,2(
)1,1(
22
)4,2(
)0,0(
22)4,2(
)0,0(
)0,0(
)1,1(
22)0,0(
)1,1(
)4,2()0,0(
)0,0()1,1(
dyxyxydxx
dyxyxydxx
dyxyxydxx
C
Lintasan 1
4
27)(
darilurusgarisLintasan,
)4,2(
)1,1(
22
dyxyxydxx
CONTOH
dari (0,0) ke titik (2,4) dengan lintasan seperti tergambar :
jiFbila,drFHitung, )4()2(),( 222 yxyxyxyxC
Garis lurus, y=2x, dy = 2dx
22
4
Parabola, y=x2, dy=2x dx
2
0
32
)4,2(
)0,0(
222
3
16)8218(
)4()2(
dxxxx
dyyxydxxyx
y=2x,
2
0
532
)4,2(
)0,0(
222
3
16)382(
)4()2(
dxxxx
dyyxydxxyx
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
10/30
CONTOH
dari (0,0,0) ke titik (1,2,1). :
kjiFbila,drFHitung, yzxzyxyzyxC
2)(2),,( 2
Garis lurus dari titik (0,0,0) ke titik
(1,2,1). Persamaan
parameternya adalah :
x=t, dx=dt,
y=2t, dy=2 dt dan
z=t, dz = dt dengan 0
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
11/30
Cydyxdxxxy
222
)(.1
dari titik (0,0) ke titik (4,2), dan
bilamana C lintasan (a) garis lurus,
dan (b) parabola x = y2.
SOAL-SOAL LATIHAN
C
dyyyxdxxxy )()(.2 3232
dari titik (1,1) ke titik (2,4), dan
bilamana C lintasan (a) garis lurus,
dan (b) parabola y = x2.
C
ydyxdxxyx 332 )(.3
dari titik (1,1) ke titik (2,8), dan
bilamana C lintasan (a) garis lurus,
dan (b) y = x3.
C
dyyyxdxxxy )43()2(.4 2223
dari titik (1,1) ke titik (2,8), bila Clintasan (a) garis lurus, (b) y = x3.
dzzyx
dyzxydxzyxC
)2(
)2()2(.5
22
22
dari titik (0,0,0) ke titik (1,2,2), dan
bila C lintasan (a) garis lurus, dan (b)
persamaan vektor,
r(t)=t3i + 2t2j + 2tk, 0t1
dzyxz
dyzxydxzyxC
)2(
)()(.6
22
2222
dari titik (0,0,0) ke titik (2,2,1), dan
bilamana C lintasan (a) garis lurus,
dan (b) persamaan vektor,
r(t)=2ti + 2t2j + t3k, 0t1
KEBEBASAN INTASAN
),(),( 1122 yxfyxfdC
rF
Rumus 1.
Andaikan C adalah kurva yang menghubungkan titik A(x1,y1) ke titik
B(x2,y2) pada bidang. Misalkan
F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j
adalahmedan vektor konservatif, dan f fungsi potensial untuk F. Maka
integral garis F dr tidak tergantung pada lintasan C, dan diberikan oleh :
Rumuss 2.
Misalkan C adalah lintasan mulus sederhana sepotong-potong kontinu
dari titikA(x1,y1,z1) ke titik B(x2,y2,z2) pada ruang. Misalkan :
F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + R(x,y ,z)k
medan vektor konservatif, dan f(x,y,z)adalah suatu fungsi potensial untuk
F. Maka integral garis,
)z,y,x(f)z,y,x(frdFC 111222
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
12/30
CONTOH
dari (0,0) ke titik (2,4) dengan rumus 1. :
jiFbila,drFHitung, )4()2(),( 222 yxyxyxyxC
xyx
N
y
M
xyx
N
yxyyxN
xyy
M
xyxyxM
2
2
4),(
2
;2),(
2
2
:karenaf,konservatiF
?fkonservatiF
3
16
2
12
3
2
)4()2(
2
12
3
2),(
)4,2(
)0,0(
2223
24,2(
)0,0(
22
2223
yxyx
dyyxydxxyx
cyxyxyxf
)
garis,Integral
,pembangkitFungsi
kjiFbila,drFHitung, )()2()4(),,( 2223 zyxzyxyxzyxC
CONTOH
dari (0,0,0) ke titik (1,1,2). Dengan rumus 2.
:makaf,konservatiF
yy
R
x
R
zyzyxR
yz
Nxy
x
N
xzyzyxN
z
M
xyy
M
xyxzyxM
2;0
;),,(
2;2
)2(),,(
0;2
4),,(
2
2
23
2
9
2
1
2
1
)()2()4(
2
1
2
1),,(
)2,1,1(
)0,0,0(
22224
22)2,1,1(
)0,0,0(
23
22224
zzyyxx
dzzydyxzydxxyx
czzyyxxzyxf
garis,Integral
,pembangkitFungsi
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
13/30
SOAL-SOAL LATIHANTunjukkanlah bahwa integral garis berikut ini tidak tergantung pada lintasan
C. Kemudian hitung nilai integral garisnya.
dyyyx
dxyxxx
dyyxydxyxx
dyyxydxyxx
dyeyydxyex
dyyxdxxxy
dyyxydxyx
e
e
e
xx
)cossec(
)tan2ln(.6
)ln()3(.5
)23()ln(.4
)3()(.3
)()2(.2
)2()(.1
222
)3/,(
)6/,0(
2
),2(
)1,1(
22
)4,(
)1,1(
23
)2,1(
)1,0(
2222
)4,2(
)1,1(
222
)4,2(
)1,1(
222
dzzxyzdyxzy
dxzyx
dzyedyeye
dxee
dzyxzdyyzyx
dxzxyx
dzzxydyyxz
dxyzx
zyxz
yx
)122()82(
)42(.10
)1()(
)21(.9
)2()cos(
)3sin2(.8
)()(
)(.7
223
)2,2,1(
)1,1,1(
32
2222
)2,2,1(
)0,1,0(
2
2322
)2,3/,1(
)1,6/,1(
22
22
)2,2,1(
)1,0,1(
2
TEOREMA GREENAndaikan M dan N adalah fungsi-
fungsi dua variabel dari x dan y yang
kontinu dan mempunyai turunan-
turunan parsial kontinu pada daerah R,
dan batasnya C. Andaikan C adalah
kurva mulus sepotong-sepotong
tertutup sederhana yang batasnya
membentuk daerah R dibidang.Bilamana
F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j
adalah medan vektor dan R daerah
yang dibatasi oleh C, maka
CR
CdA
y
M
x
NdyyxNdxyxM drF ),(),(
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
14/30
Periksalah kebenaran berlakunya teorema Green, untuk medan vektorF(x,y)= y2i + x2y j, dan jika C adalah kurva tertutup seperti gambar
Jawab :
Ruas kiri teorema Greens
CONTOH
dyyxdxy
dyyxdxy
C
CC
2
1
22
22
drF
15
16)22(
)22(
3
16
3
80
15
416
3
80)44(
15
416)2(
2
0
2
22
22
0
2
32)0,0(
)4,2(
22
2
0
24)4,2(
)0,0(
22
2
dydxyxy
dAyxyydyxdxy
ydyxdxy
dxxxydyxdxy
dxxxydyxdxy
x
x
RC
C
GreensTeoremakananRuas
Jadi,
CONTOH
dimana C adalah kurva tertutup seperti gambar.
CCdrFHitung, dyyxdxxyx )2()3( 22
3
92
)3()(
)2()3(
4
0
6
22
22
dxdyxdAx
dAxyxy
yxx
dyyxdxxyx
y
yR
R
Jawab
C
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
15/30
CONTOH
dimana C adalah lingkaran seperti gambar.
CC drFHitung, dyyyxydxyxe x )ln()( 222
yyx 222
2
3
)(
)ln()ln(
)ln()(
0sin2
0322
22
222
drdrdydxyx
dAyyxyy
yyxyx
dyyyxydxyxe
R
R
x
:Jawab
C
LUAS DAERAH
Misalkan R adalah daerah
pada bidang yang dibatasi
oleh kurva mulus sederhana
sepotong-sepotong dan
tertutup sederhana. Dalam
bentuk integral garis, luasdaerah R diberikan oleh,
C
RR
ydxxdy
dAy
y
x
xdARA
2
1
)()(
2
1)2(
2
1)(
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
16/30
CONTOHHitunglah luas Ellips yang
dibatasi oleh,
Jawab :
Sketsa gambar Ellips terlihat
pada Gambar. Luas daerah
diberikan oleh,
122
b
y
a
x
Dengan menggunakan transformasi, x = a cos t, y = b sin t, dx = a sint dt, dy = b cos dt, dan dari sektsa diperoleh pula 0 t 2. Jadi,
CydxxdyRA
2
1)(
abdtttab
tdtatbtdtbtaRA
2
0
22
2
0
)sin(cos2
1
)sin)(sin()cos)(cos(2
1)(
TEOREMA DIVERGENSI GOUSS DI
BIDANG
Andaikan C adalah kurva tertutup,
mulus sepotong-sepoting
sederhana dalam bidang, dengan
arah berlawanan arah jarum jam.
Selanjutnya, misalkan
persamaan vektor kurva C adalah,
dAdAdAy
N
x
M
ds
yxNyxMyx
ds
dx
ds
dysysxs
C
FFdiv
nFFFluks
jiF(
j-in;jir
RRR
),(),(),
)()()(
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
17/30
CONTOHDiberikan medan kecepatan fluida, F(x,y) = x
3
i + y3
jTentukanlah laju aliran fluida keluar daerah R yang dibatasi oleh kurva C
yang berbentuk lingkaran tertutup, x2+ y2= 2x.
Jawab :
x2+ y2= 2x.
dAyxdAyy
xx
dAy
N
x
MFFluks
RRR
)(3)()( 2233
Dengan R berbentuk lingkaran
seperti pada Gambar, dengan
transformasi koor kutub maka :
2
9
3
)(3
2/
2/
cos2
0
3
22
drdr
dAyx FFluksR
TEOREMA STOKES DI BIDANG
F medan vektor
Maka,
Andaikan T vektor singgung satuan C di titik P
jiTds
dy
ds
dxs )(
jiF ),(),(),( yxNyxMyx
dA
dAy
M
x
N
dyyxNdyyxMds
R
R
CC
kF
TF
)(
),(),(
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
18/30
CONTOHSelidikilah kebenaran teorema Stokes, bila F(x,y) = x2yi + xy2j, dan
C adalah lingkaran, x2+ y2= 4 dengan arah berlawanan arah jarum jam.
CdsTFkiri,Ruas
8
)(
)()(
)(
,,
)(
2
0
2
0
322
22
22
drdrdAyx
dAyxy
xyx
dAy
M
x
NdA
xyNyxM
dA
R
R
RR
R
kF
:makaKarena,
kF:kananRuas
Persamaan paramater lingkarannya
adalah , x=2cos t y=2 sin t 0
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
19/30
SOAL LATIHAN
Gunakanlah teorema Green(pendekatan integral garis) untuk
menghitung luas daerah R, yang
dibatsi oleh kurva-kurva.
1. y = x2, dan y = 2x,
2. y = x2, dan x = y2,
3. y = x3, dan x = y2,
4. y = x2, dan x = y3,
5. y = x2, x + y = 2, dan sumbu x
6. x = y2, x + y = 2, dan sumbu y
7. Lingkaran, x2+ y2= 2y
8. Lingkaran, x2+ y2= 4x
9. Ellips, 4x2+ 9y2= 36
10. Ellips, 16x2+ 9y2= 144
Selidikilah kebenaran berlakunyateorema divergensi Gauss dalam
bidang, dam teorema Stokes di
dalam bidang, untuk medan vektor
dan lintasan berikut ini.
1. F(x,y) = (x3 y3)i + (x3+ y3)j, dan
C adalah lingkaran, x2+ y2= 2y
2. F(x,y) = (x3 y3)i + (x3+ y3)j, dan
C adalah lingkaran, x2+ y2= 4x.
3. F(x,y) = (x3 x2y)i + (xy2+ y3)j, C
adalah lingkaran, x2+ y2= 4.
4. F(x,y) = (x2 y2)i + (x2+ y2)j, danC adalah lingkaran, x2+ y2= 4y.
INTEGRAL PERMUKAANAndaikan S adalah suatu permukaan
yang diberikan oleh persamaan,
z = f(x,y)
dengan proyeksinya pada bidang xy
diberikan oleh daerah D. Andaikan,
G(x,y,z) = G(x,y,f(x,y)) fungsi tiga
variabel dari x, y, dan z yang konitnupada S, maka integral permukaan G
atas S dinyatakan dengan,
dAffyxfyxG
dSzyxG
R
yx
s
1)),(,,(
),,(
22
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
20/30
dSyzS
:Hitunglah
CONTOH
Bila S bagian permukaan bidang :
2x + 2y + z = 4, yang dipotong oleh
paraboloida, x = y2, dan bidang-bidang
x = 0, dan z = 0.
Jawab :
Mengingat, z=f(x,y)=4 2x 2y dan
20
51
3
2)2(
3
)2(3
3
2)2(3
]2)24[(3
)3()224(
1
0
2/331
0
32
1
0
22
dxxxxx
dxyyx
dydxyyx
dAyxydSyz
x
x
RS
x-2
x
dAdS 1)2()2( 22
Z=4
CONTOH
Bila S bagian permukaan kerucut : z2=4( x2+ y2) yang dipotong
oleh paraboloida, z=2, dzn z=4.
Jawab :
dSzx
S
:Hitunglah
22
dAdAyx
y
yx
x
yxz
dS
:makaMengingat,
5144
,2
22
2
22
2
22
542
cos54
)(3[
2
0
2
1
25
22222
drdr
dAyxxdSzx
RS
5
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
21/30
LUAS DAN MASSA PERMUKAAN
BENDA PEJALPersamaan S yang diberikan oleh
persamaan z = f(x,y) dan diatas
daerah R pada bidang xy, dan
kerapatan disembarang titik (x,y,z)
pada permukaan S diberikan oleh
(x,y,z). Maka luas permukaan A(S)
dan massa permukaan S, m(S)
diberikan oleh,
dAffzyxSm
dAffSA
R
yx
R
yx
1),,()(
1)(
22
22
Jika persamaan permukaan S adalah
y = g(x,z) dan daerah R pada bidang
xz. dan kerapatan (x,y,z) , maka :
dAggzyxSm
dAggSA
R
zx
R
zx
1),,()(
1)(
22
22
Jika persamaan permukaan S adalah
x = h(y,z) dan daerah R pada bidang
yz. dan kerapatan (x,y,z) , maka :
dAhhzyxSm
dAhhSA
R
zy
R
zy
1),,()(
1)(
22
22
CONTOHHitunglah luas permukaan bidang, 2x+2y+z=12, yang dipotong
oleh permukaan kerucut : y=x2, z=0 dan x=0.
Jawab :
Luas permukaan benda diberikan oleh,
Mengingatm z=f(x,y)=12 2x 2y, maka :
dAffSA
R
yx
1)( 22
223
1)6(
2
13
])6[(3
3
31)2()2()(
2
0
32
2
0
2
2
0
6
22
2
xx
dxxx
dydx
dAdASA
x
x
RR
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
22/30
CONTOHHitunglah massa permukaan bidang bola, x2+y2+z2=25, yang dipotong oleh
bidang, z=3 dan z=4. kerapatannya, kz2.
Jawab :
Mass permukaan benda diberikan oleh,
Mengingat.
maka :
dAffkzSm
R
yx
1)( 222
2225),( yxyxfz
k
drdrrk
dydxyxk
dAyx
yxkSm
R
R
3
370
255
25(5
))25(
)25(5)(
2
0
4
3
2
22
22
22
Andaikan F adalah medan vektor,
F(x,y,z) = M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+R(x,y,z)k
Andaikan S permukaan S yang
diberikan oleh, z =f(x,y) yang terletak
diatas daerah R pada bidang xy, vektor
normal nkearah atas. Lihat gambar.
Fluks medan vektor F keluar S
diberikan oleh,
dARNfMf
dS
R
yx
S
nFFFluks
)(
bawah)ke(nnFFFluks dARNfMfdS
R
yx
S
)(
FLUKS MEDAN VEKTOR
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
23/30
CONTOHMisalkan diberikan medan kecepatan panas,F(x,y,z) = 2yi + 3xj + 2zk
dan S adalah bagian permukaan bidang, 2x + y + z = 6, yang dipotong
bidang, y = x, x = 0. Hitunglah banyaknya panas yang keluar melalui
permukaan S.
Jawab :
Karena, nke arah atas, maka :
24
)212(
)212(
)2)1)(3()2)(2[(
)(
2
0
26
dydxyx
dAyx
dAzxy
dARNfMfdS
x
x
R
R
R
yx
S
nFFFluks
CONTOHMisalkan diberikan medan kecepatan panas,F(x,y,z) = y2i xyj+ z2k
dan S bagian permukaan bola, x2+ y2+ z2= 8, yang dipotong bidang, z=2.
Hitunglah banyaknya panas yang keluar melalui permukaan S.
Jawab :
Karena, nke arah atas, maka :
24)8(
)8(
)(
)(
2
0
2
0
3
22
2
22
drdrr
dAyx
dAz
dAzz
yxy
z
xy
dARNfMf
R
R
R
R
yx
FFluks
228 yxz
x2+ y2=4
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
24/30
CONTOHMisalkan diberikan medan kecepatan panas,F(x,y,z) = 2xi+ 2yj+ zk
dan S bagian permukaan kerucut, z2= x2+ y2, yang dipotong bidang, z=1,
dan z=2. Hitunglah banyaknya panas yang keluar melalui permukaan S.
Jawab :
Karena, nke arah bawah, maka :
3
14
22
)(
2
0
2
1
2
22
drdr
dAyxdAz
dAz
z
yy
z
xx
dARNfMf
dS
RR
R
R
yx
S
nFFFluks
SOAL-SOAL LATIHAN
Hitunglah integral permukaannya
4x1R,diatasdan
-yz:S,)2().4(
3zdan1,zdipotong,dan
,xz:S,)().3(
0,0,yxdipotong,dan
82z2yx:S,)((2).
0zdan0,xx,ydipotong,dan
142z3y4x:S,)().1(
22
222
22222
2
y
xdSzx
yzdSyx
zy
dSzy
dSyx
S
S
S
S
Hitunglah luas permukaan, benda S
berikut ini
(5). Bagian permukaan bidang, 3x +
2y + 6z = 10 yang dipotong oleh
bidang, y = x, x = 0, dan z = 0.
(6). Bagian permukaan bidang, 2x + y
+ 2z = 8, dipotong, y = x2, x = 0,
dan z = 0.
(7). Bagian permukaan paraboloida, z
= x2+ y2, yang dipotong oleh
bidang z = 1 dan z = 9
(8). Bagian permukaan kerucut,
z2=x2+y2, yang dipotong oleh
bidang z = 2 dan z = 3
(9). Bagian permukaan bola,
x2+y2+z2=4, dan didalam silinder,
x2+y2= 2y, diatas bidang xy.
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
25/30
SOAL-SOAL LATIHAN
Hitunglah massa permukaan benda Sberikut ini
(1). Masa bagian bidang, 2x+3y+z = 6,
di oktan pertama, kerapatannya
adalah (x,y,z) = x + 2z
(2). Masa bagian silinder paraboloida,
z = x2+ y2, yang dipotong bidang,
z = 1 dan z = 4 jika kerapatannya
adalah, (x,y,z) = k(x2+ y2)
(3). Masa bagian kerucut, z2= x2+y2,
yang dipotong bidang, z = 1 dan z
= 2,kerapatan, (x,y,z) = k(x2+y2)
(4). Masa bagian permukaan bola,
x2+y2+ z2= 25, yang dipotong
oleh z = 3 dan z = 4, dan
kerapatannya (x,y,z) = k(x2+ y2)
Hitunglah fluks medan vektor, dari :
(1). F(x,y,z) = 2xi + 2yj + 5zk, dan Sadalah permukaan bola, x2+ y2+
z2= 25 dan diatas, z = 3.
(2). F(x,y,z) = 2x i + 3y j + z k, dan S
adalah permukaan bidang, x + y
+ z = 2, yang dipotong oleh, y = x,
x = 0, dan z = 0
(3). F(x,y,z) = 2x i + y j + z k, dan S
adalah bagian permukaan bidang,
z = 2 + y, yang dipotong oleh, y =
x2, y = 0, dan x = 2.
(4). F(x,y,z) = 2x i + 3y j + 2z k, dan S
adalah permukaan bidang, 2x +2y + z = 4, yang dipotong oleh,
x=y3, x = 0, dan z = 0
(5). F(x,y,z) = 2x i + 2y j + 3z k, dan S
adalah permukaan paraboloida,
z= 5(x2+ y2), z = 1 dan z = 4.
TEOREMA DIVERGENSI GOUSS
Andaikan B sebuah benda pejal tertutup
dan terbatas dibatasi oleh permukaan
tertutup dan sederhana dalam ruang
dimensi tiga. Misalkan,
F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j +
R(x,y,z)k
adalah medan vektor sedemikian rupa
sehingga M(x,y,z), N(x,y,z), dan R(x,y,z)
mempunyai turunan-turunan parsial
pertama yang kontinu pada B, dan
batasnya permukaan tertutup S.
Bilamana n adalah vektor normal
satuan keluar S, maka :
BBs
dVdVdS F)(FdivnF
x
R
y
N
x
M
RNMxyx
kjikji
F
Mengingat,
)(
B
Bs
dVz
R
y
N
x
M
dVdS
F)(nF
Maka,
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
26/30
kjiFbiladSnFHitunglah, xyzyzyxyzzyx
S
23)(),,(, 2
CONTOH
bilamana S adalah permukaan tertutup benda pejal yang di oktan pertama
dibatasi oleh bidang-bidang, 2x + y + z = 6, y = x, z = 0 dan x = 0
Jawab
zxyzz
yzy
yxyzx
3)2()3()( 2
FFdiv
54
332
0
26 26
0
x
x
yx
B
BS
dzdydxzdVz
dV
F)(dSnF
Maka
CONTOH
bilamana S adalah permukaan tertutup antara dua silindr lingkaran tegak,
1 x2+y24, antara z=1 dan z=2.
Jawab
kjiFbiladSnFHitunglah, zxyzxyzyx
S
222 22),,(,
222
222
)(2
)2()()2(
zyx
zxz
yzy
xyx
FFdiv
22)2(
])(2[
)(
2
0
2
1
2
1
22
222
dzdrdrzr
dVzyx
dV
B
S
FdSnF
B
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
27/30
kjiFbiladSnFHitunglah, 333),,(, zyxzyx
S
CONTOH
bilamana S adalah permukaan tertutup yang terletak dibawah bola,
x2+y2+z2= 2z, dan diatas kerucut, z2=x2+y2.
Jawab
Maka,
FFdiv
)(3
)()()(
222
333
zyx
zz
yy
xx
5
28sin3
)(2
)(
4/
0
2
0
cos2
0
4
222
ddrdr
dVzyx
dV
B
S
FdSnF
B
TEOREMA STOKESMisalkan S permukaan dengan vektor
satuan n bervariasi dan kontinu, dan
batasnya S adalah C. (Lihat gambar)
Andaikan,
F(x,y,z) = M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+R(x,y,z)k,
adalah medan vektor dimana turunan-turunan parsial pertama M N R kontinu
pada S, dan batasnya S. Jika nvektor
normal satuan dengan arah keatas pada
S, dan jika Tadalah suatu vektor
singgung pada C, maka
dSds
SC
nFTF
)(
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
28/30
kjiFbiladsTFHitunglah,C
22
),,(, yxyxzyx
CONTOH
bilamana C kurva perpotongan permukaan, z=4 x2, yang dipotong oleh
bidang y=x, z=0 dan x=0, lihat gambar.
Jawab.
3
4)424(
)]2()0)(()2)(2([(
])2(2[
)(
2
0 0
2
x
R
S
SC
dydxxxyx
dAzxyxy
dSzxyy
dSds
nkji
nFTF
CONTOH
bilamana C adalah kurva perpotongan permukaan kerucut, z2=x2+y2, yang
dipotong oleh bidang z=2.
Jawab.
kji),,(Fbila,dsTFHitunglah, 333
C
zxyzyx
240
)(300
)(3
)(
2
0
2
0
3
22
22
drdr
dAyxz
y
z
x
dSyx
dSds
R
S
SC
nk
nFTF
z2=x2+y2
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
29/30
CONTOH
bilamana C adalah kurva perpotongan permukaan, z2=10(x2+9y2), yang
dipotong oleh bidang z=1.
Jawab. Persamaan parameter kurva C, x=3 cos s, y=sin t, z=1, maka :
T(s) = 3 sin s i + cos sj + 0k
F(s)= sin si + 6 cos sj+ 3 cos s sin s k
F T = - 3 sin2s + 6 cos2s= 6 9 sin2s
Jadi,
kjiFbiladSnF)(permukaan,integralHitung
S
xyxzyzzyx
2),,(,
3
)sin96(
)(
2
0
2
dss
dsdS
CS
TFnF
SOAL-SOAL LATIHAN
Hitunglah fluks medan vektor
F melalui permukaan S,
(a) secara langsung
(b) Teorema divergensi Gauss
(1). F(x,y,z) = 3xyi + 2yzj + z2k, dan
S permukaan balok dibatasi oleh,
x = 0, x = 2, y = 1, y = 2, z = 1
dan z = 3.
(2). F(x,y,z) = y2i xy j + 2z2k, dan Spermukaan dibatasi bidang, x +
2y + z = 2, x = 0, y = 0, dan z = 0
(3). F(x,y,z) = xy i x2j + z2k, dan S
adalah permukaan tertutup yang
dibatasi oleh, z = 8 x2 y2, dan
z = x2+ y2.
(4). F(x,y,z) = 2xy2i + 2x2y j z3k,
dengan S adalah permukaan
tertutup yang dibatasi oleh bola,
x2+ y2+ z2= 4.
Hitunglah,
S adalah permukaan tertutup dengan
menggunakan teorema divergensi
(1). F(x,y,z) = xz i + 2yz j + 3z2k,
dengan S adalah permukaan
tertutup : x+2y+z=6, y = x, y = 0,
dan z = 0.
(2). F(x,y,z) = x2yz i xy2z j + 2xyz2k,
dengan S adalah permukaan
tertutup, y2+ z2= 4, bidang y = x,
x = 0, dan z = 0.
(3). F(x,y,z) = x3i + y3j + z3k, S adalah
permukaan tertutup, x2+ y2= 4y,
antara z = 0, dan z = 2.
(4). F(x,y,z) = xy2i + x2yj + (x2+y2)z k,
dengan S adalah permukaan
tertutup, bola, x2+ y2+ z2= 2z.
dS
S
nF
-
7/26/2019 Modul 6 Kalkulus Medan Vektor.pdfx
30/30
Periksalah kebenaran berlakunya teorema Stokes, untuk medan vektor F
dan kurva C batas dari permukaan S berikut ini.
(1). F(x,y,z) = 3z i + 2y j + 4z k, dan kurva C adalah batas dari permukaan
S yang merupakan bagian dari permukaan paraboloida, z = 4 x2 y2,
dan diatas bidang xy.
(2).F(x,y,z) = 2xy i + 2x j + 3z k, dan kurva C adalah batas dari permukaan
S yang merupakan bagian dari permukaan paraboloida, z = x2+ y2,
dibawah bidang, z = 4.
(3). F(x,y,z) = 3yz i + 2xz j + z k, dan kurva C adalah batas dari permukaan
S yang merupakan bagian dari permukaan paraboloida, z = 10 x2
y2, dan diatas bidang, z = 1.
(4). F(x,y,z) = y3i + x3j + xyz k, dan kurva C adalah batas dari
permukaan S yang merupakan bagian dari permukaan bola, x2+ y2+
z2= 25 dan diatas bidang, z = 3.(5). F(x,y,z) = xy2i + 3x j + z2 k, dan kurva C adalah batas dari permukaan
S yang merupakan, bagian dari permukaan kerucut, x2+ y2= z2dan
dibawah bidang, z = 3.
(6). F(x,y,z) = yx2i + xy2j + 3z3k, dan kurva C adalah batas dari
permukaan S yang merupakan bagian dari permukaan bola, x2+ y2+
z2= 25 dan diatas bidang, z = 4.
SOAL-SOAL LATIHAN
top related