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Chimica fisica superiore
Modulo 1
Recupero di matematica
Sergio Brutti
Numeri complessi
Un numero complesso è una espressione matematica
costituita da 3 elementi (2 numeri reali a,b e l’unità
immaginaria i:
definizione
12
i
ibaz
bzaz ImRe
Algebra di base
Dati due numeri complessi:
idcvibaz
Somma o sottrazione:
dbicaidcibavz
Prodotto:
bccdibdac
bdiibcicdacidcibavz
2
Complesso coniugato
Dato un numero complesso
ibaz Il suo complesso coniugato è:
zz
zzibaibaz
ImIm
ReRe
Che gode delle seguenti proprietà:
222
2
2
zbazz
ibzz
azz
Rapporto tra numeri complessi
Dati due numeri complessi:
idcvibaz
Il rapporto tra i due è pari a:
2222 dc
adbcibdac
dc
idciba
v
z
idc
idc
idc
iba
idc
iba
v
z
Diagramma di Argand
E’ utile rappresentare un numero complesso z come un
punto su un piano bidimensionale detto di Argand
nel quale l‘asse x riporta Re(z) e l’asse y Im(z)
ibaz
Im(z
)
Re(z)
θ
b
a
Diagramma di Argand
Dato il numero complesso z rappresentato su un
diagramma di Argand si definiscono:
r modulo, ampiezza o
magnitudine del numero
complesso
θ argomento o fase del
numero complesso
ab
bar
rb
ra1
222
tansin
cos
Esponenziale immaginario
L’esponenziale dell’unità immaginaria è possibile
esprimerlo come:
sincos iei Le definzioni trigonometriche dell’ampiezza e della fase
di un numero immaginario consentono di scrivere:
ieriribaz sincos
Che implica:
*11
*
11
2*
11
*
11
2
1
2
12121
;*11
2121
rrrerrzz
er
r
z
zerrzz
i
ii
Teorema di De Moivre
Utilizzando utili funzioni trigonometriche è possibile
dimostrare che
mimi
eeziez
m
immimi
sincossincos
sincos
Considerando il complesso coniugato di z:
È possibile scrivere:
sincos* iez i
2cos
2sin
iiii ee
i
ee
Numeri complessi
ESERCIZI
x
y
z
O
Equazione di un vettore
Vettore
Dato un qualunque punto di uno spazio vettoriale cartesiano (con
versiori x,y,z) definito da una terna di coordinate (a,b,c) si definisce
vettore applicato all’origine (O) il segmento orientato che congiunge
O a (a,b,c).
b
a
c
Vettore
Equazione di un vettore
Modulo di un vettore
zcybxav
222 cbav
Distanza tra l’origine e il
vertice del vettore
Vettori come matrici
Vettore-riga (o vettore colonna)
Una matrice definita da una sola riga (o colonna) ovvero di
dimensione 1xN (o Nx1) viene detta vettore-riga o vettore-colonna. I
vettori del campo dei numeri reali definiti da uno spazio vettoriale
cartesiano vengono rappresentati come vettori-colonna
Equazione di un vettore
Descrizione con un vettore-colonna
zcybxav
c
b
a
Somma tra vettori
Dati due vettori u e v di equazione
Descritti dai seguenti vettori-colonna
Si definisce somma tra vettori la seguente operazione elementare:
zcybxav
c
b
a
v
zcybxau
c
b
a
u
cc
bb
aa
zccybbxaavuw
Il risultato è un nuovo vettore w con un diverso modulo, direzione
e verso.
Prodotto di uno scalare per un vettore
Dato un vettori v e uno scalare l
Il prodotto dello scalare per il vettore definisce un nuovo vettore k
dato da:
zcybxav
c
b
a
v
l
l
l
lllll
c
b
a
c
b
a
zcybxavk
Prodotto scalare tra vettori
Dati due vettori u e v di equazione
Descritti dai seguenti vettori-colonna
Il prodotto scalare tra i due vettori è dato da:
zcybxav
c
b
a
v
zcybxau
c
b
a
u
vuvuvug
ccbbaavug
,cos
Le due operazioni sono equivalenti e il risultato è lo scalare g.
Vettori
ESERCIZI
Determinanti: metodo dei minori
Data una matrice n x n con elementi xij
Il suo determinante sarà dato dalla somma dei determinanti di tutti i suoi
minori (n-1) x (n-1) ottenuti cancellando ciascun elemento x1j’ della riga
1 (e la corrispondente colonna j’) e moltiplicati per (-1)1+j’x1j’
nnnn
n
n
xxx
xxx
xxx
A
21
22221
11211
Con i numero di riga e j
numero di colonna
11
1221
1
1
1
221
12
21
2
222
11
11det1det1det1det
nnn
n
n
n
nnn
n
nnn
n
xx
xx
x
xx
xx
x
xx
xx
xA
Matrici e determinanti
Data una matrice 2x2
Il suo determinante sarà dato dal prodotto a croce tra i suoi elementi
2221
1211
xx
xxB
211222112112
21
2211
1111det xxxxxxxxB
Nel caso di una matrice 3x3:
yxyxzzxzxyzyzyx
yx
yxz
zx
zxy
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
det1det1det1det312111
Matrice trasposta
Data una matrice 2x2
La sua matrice trasposta si otterrà scambiando le righe con le colonne
dc
ba
db
ca
Nel caso di una matrice 3x3 il meccanismo è lo stesso:
zzz
yyy
xxx
zyx
zyx
zyx
trasposta
Matrice identità – definizione e proprietà
Si definisce matrice identità una matrice n x n i cui elementi sono
tutti nulli tranne quelli giacenti sulla diagonale principale. Questi
ultimi sono tutti unitari.
La matrice identità gode di alcune proprietà particolari:
10
01
0110
01det
Il suo determinante
è unitario
100
010
001
100
010
001
trasposta
100
010
001
La sua matrice trasposta è
sempre pari alla matrice identità
Prodotto vettoriale tra vettori
Dati due vettori u e v di equazione
Descritti dai seguenti vettori-colonna
Il prodotto vettoriale tra i due vettori è dato dal determinante della seguente
matrice 3x3:
zcybxav
c
b
a
v
zcybxau
c
b
a
u
cba
cba
zyx
vuw
det
Il risultato è un nuovo vettore che non appartiene allo spazio
vettoriale di partenza
Prodotto vettoriale tra vettori
Dati due vettori nello spazio cartesiano
Di norma (modulo) pari a:
Il modulo del vettore ottenuto dal prodotto vettoriale dei due vettori è dato da
zcybxav zcybxau
vuw
In cui a è l’angolo formato dalle due direzioni/versi di applicazione
dei due vettori.
222 cbav 222 cbau
asenvuw
Similmente a quanto accade per il prodotto scalare anche nel caso del
prodotto vettoriale le due formule che consentono di ricavarne il risultato
consentono di ottenere indirettamente l’angolo tra i 2 vettori.
Matrici
ESERCIZI 1
Prodotto tra matrici
Date 2 matrici 2x2
Il prodotto delle due matrici produce una nuova matrice con un numero
di righe pari al numero di righe della matrice 1 e numero di colonne pari
al numero di colonne della matrice 2.
Il prodotto tra matrici è possibile solo se il numero di colonne della
matrice 1 corrisponde al numero di righe della matrice 2.
dc
ba
hdfcgdec
hbfagbea
hg
fe
Ciò che si fa è una somma di prodotti riga-colonna
.........
......'
...''''
'''
'''
'
'
'
edbd
eaadeaad
eee
ddd
cc
bb
aa
Prodotto tra matrici
Date 2 matrici non quadrate in cui il numero delle righe della matrice 1
corrisponde al numero delle colonne della matrice 2.
cc
bb
aa
eee
ddd
'
'Il prodotto delle due matrici è
ecdceccdeacd
ebdbebbdebbd
eadaeaadeaad
'''''
'''''
'''''
La matrice finale è una matrice quadrata (sempre) che ha come numero
di righe e colonne il numero di righe della matrice 1 (o il numero di
colonne della matrice 2)
Matrice inversa
Si definisce matrice inversa di una matrice quadrata n x n, una
diversa matrice quadrata di dimensioni n x n che moltiplicata
per la matrice di partenza produce come matrice risultante la
matrice identità
ac
bd
AA
dc
baA
det
11
100
010
001
'''
'''
'''
'''
'''
'''
fff
eee
ddd
ccc
bbb
aaa
In generale non esiste un algoritmo semplice che consente di
calcolare quando esiste l’inversa di una data matrice.
Esistono algoritmi non banali come quello dei “cofattori” o il
“Gauss-Jordan”.
Secondo il metodo dei cofattori per le matrici 2x2 (e solo per esse)
vale:
Matrice inversa – metodo dei cofattori
Data una matrice quadrata i x j
ji,A,minordet1, , ji
jixAcof
jii
j
xx
xx
A
,1,
,11,1
La sua matrice inversa è data da:
T
jii
j
xAcofxAcof
xAcofxAcof
AA
,1,
,11,1
1
,,
,,
det
1
In cui det(A) è il determinante della matrice A, T indica l’operazione di
trasposizione e cof(A,xi,j) è definito dalla seguente relazione:
det(minor(A,i,j)) è il determinante del minore della matrice A
ottenuto cancellando la riga i e la colonna j.
Matrici
ESERCIZI 2
Serie di Fourier
Una qualunque funzione f(x) può essere rappresentata in
espansione di Taylor purchè la funzione f(x) sia differenziabile n-
volte :
!
.....)(
0
2
02010
n
xfa
xxaxxaaxf
n
n
Nel caso in cui f(x)=g(x) sia una funzione periodica l’espansione
di Taylor non è adeguata a rappresentarla. In questo caso è
preferibile sfruttare l’espansione in serie di Fourier:
....2sinsin........
.....2coscos2
)(
21
210
xbxb
xaxaa
xg
Serie di Fourier
La funzione g(x) di periodo 2π/ω è quindi rappresentabile da un
somma di termini in seno e coseno (armoniche) a meno delle
costanti an, bn e ω.
E’ possibile dimostrare che i coefficienti dell’espansione in serie di
Fourier possono essere determinati mediante le seguenti
equazioni:
N
n
n
N
n
n xnbxnaa
xg11
0 sincos2
)(
2
0
2
0
sincos dxxnxfbdxxnxfa nn
Da cui si deduce che una funzione è espandibile in serie di
Fourier se è integrabile e continua entro il periodo.
Serie di Fourier
La forma più compatta con cui viene indicata l’espansione in serie
di Fourer incorpora la descrizione delle funzioni seno e coseno
mediante l’esponenziale immaginario:
I cui coefficienti sono legati all’espansione in armoniche mediante:
n
xin
necxg )(
Il vantaggio dell’espansione esponenziale è che essa consente
una generalizzazione dell’espansione di Fourier per funzioni non
periodiche continue. Per esse infatti:
nnnnnn ccibcca
deFxf xi)(
Trasformata di Fourier
Data un’espansione di Fourier nel suo limite al continuo descritta
da:
deFxf xi)(
La funzione dei coefficienti F(x) è data da:
dxexfF xi
2
1)(
La funzione F(x) è definita la TRASFORMATA DI FOURIER di
f(x).
Al contrario f(x) è l’anti-trasformata (o trasformata inversa) di
Fourier di F(x).
Trasformata di Fourier: esempio
Consideriamo quale è la trasformata di fourier di una costante
dxekdxekdxexfF xixixi
2
1
2
1
2
1)(
L’integrale di un esponenziale immaginario è una quantità nota:
badxe ba
xbai
,2
1
Pari alla funzione delta di Dirac per (a-b) che è sempre nulla
tranne per a=b valore per il quale vale 1. Dalla precende:
,2
1
2
1)( kk
kix
k
xi
e
kdxe
e
kdxekF
Trasformata di Fourier: esempio
In termini cartesiani:
kxf ,)( kke
kF
f(x
)
x
k
F(x
)
ω k
k/ek
Trasformata di Fourier: esempio
Consideriamo quale è la trasformata di fourier della funzione
cos(x)
dxeaxdxeaxdxexfF xixixi cos
2
1cos
2
1
2
1)(
Ricordando le formule di Eulero:
Da cui:
dxe
eedxeaxF xi
iaxiaxxi
22
1cos
2
1)(
,,2
1
4
1)( aa
aixaix dxeeF
Trasformata di Fourier: esempio
In termini cartesiani:
axxf cos
f(x
)
x
F(x
)
ω a/2
,,2
1)( aaF
-a/2
a
4π/a
La trasformata di Fourier è una sorta di “spettro” dell’oscillazione
periodica di f(x).
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