modulo de funciones ii sub tema funciones exponenciales

FUNCIONES EXPONENCIALES

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Índice

Puedes escoger a

donde quieres ir, solo haz click en el enlace que

deseas.

Objetivos

Evaluación

Tutorial

Introducción

Instrucciones

Propósito

Presiona aquí para comenzar

Carta al Estudiante

Presiona el encima de la destrezas que deseas estudiar.

Funciones Exponenciales

Definición de Función Exponencial

Ejemplos de Funciones Exponenciales

Propiedades de las Funciones Exponenciales

Gráfica de la Función Exponencial

Aplicaciones de las Funciones Exponenciales

Resolver Ecuaciones Exponenciales

Para ir al principio presiona aquí

Ejercicios de Práctica

Función Exponencial base natural e

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Definición

La función exponencial con base a define y se denota:

f(x) = a x

donde a>0, a≠1 y X es cualquier número real.

Constante

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Ejemplos de Funciones Exponenciales

“Estas funciones se conocen como funciones exponenciales porque el exponente es variable.”

1. ( ) 32. ( ) 4

23. ( )

34. ( ) 55. ( ) 10

x

x

x

x

x

f xf x

f x

f xf x −

==

= ==

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Propiedades de las Funciones Exponenciales

1. Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1).

5. El dominio es el conjunto de los números reales.

4. El eje de x es una asíntota horizontal.

2. Si a (base) < 0 la función es decreciente.

3. Si a (base) > 0 la función es creciente.

7. Las funciones exponenciales son uno a uno.

6. El alcance es el conjunto de números reales positivos.

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Trazar la Gráfica de una Función Exponencial

x f(x)

Podemos trazar la gráfica usando :

Tabla de Valores Calculadora Gráfica

Escoge entre tabla de valores

y calculadora gráfica haciendo un click encima

del que deseas.

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Para completar la tabla de valores debes evaluar varios valores para x en la función exponencial.

Ejemplos: X=0

F(0) = 30

F(0) = 1 X=1

F(1) =31

F(1) = 3 Una tabla de valores para esta función podría

ser la que se encuentra a la izquierda.

Trazar la Gráfica de una Función Exponencial

Tabla de Valores

x f(x)

0 1

1 3

2 9

-1 1/3

-2 1/9

Presiona aquí para continuar

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Trazar la Gráfica de una Función Exponencial

Tabla de Valores

x f(x)

0 1

1 3

2 9

-1 1/3

-2 1/9

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y

x

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Haz click en el plano

para ver la ubicación

de los puntos y haz un

último click para ver la

gráfica completa.

Análisis de la Gráfica

Dominio: (-∞,∞)

Campo de Valores: : (0,∞)

Creciente: : (-∞,∞)

Asíntota Horizontal: y = 0

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y

x

Volver al índice

Escoger calculadora gráfica Presiona aquí para continuar

Usando la Calculadora Gráfica

Presionar

Escribirla función

Presiona aquí para continuar

Gráfica de f(x) = 3x

Presiona

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Resolver Ecuaciones Exponenciales igualando bases

Las funciones exponenciales son funciones uno a uno, por lo tanto si y solo si x = y .

Esta propiedad nos permite resolver ecuaciones exponenciales igualando las bases. O sea si las bases son iguales entonces los exponentes son iguales.

x ya a=

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Resolviendo

Recordatorio:

Las funciones exponenciales son uno a uno por lo que si las bases son iguales, los exponentes son iguales.

32

6

2

2

62

283

283

=

=

=−=−−=−

x

x

x

xx

xx Igualamos los exponentes

Términos semejantes

Despejamos para x

Solución

283 22 −− = xxVolver al índice

32

6

2

2

62

283

283

=

=

=−=−−=−

x

x

x

xx

xx

Presiona aquí para continuar

Práctica: Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales

34x-6 = 3-x

27x = 3x+1

4x2+2x=2x2+5

(1/2) 4x-2=2x-2

Solución

Solución

Solución

Solución

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Práctica: Construye la grafica de las siguientes Funciones Exponenciales

f(x) = 2x

f(x) = (½)x

f(x) = (2/3)x

f(x) = 10-x

Solución

Solución

Solución

Solución

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Resolver 34x-6 = 3-x

5

65

6

5

5

65

64

64

=

=

==+−=−

x

x

x

xx

xx Igualamos los exponentes

Términos semejantes

Despejamos para x

Solución

Volver al índice

Regresar a la Practica

Resolver 27x = 3x+1

( )

2

12

1

2

2

12

13

13

33

33

327

13

13

1

=

=

==−+=

==

=

+

+

+

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

Reescribir para obtener las bases iguales

Utilizamos las leyes de exponentes

Igualamos los exponentes

Términos semejantes

Despejamos para x

Solución

Volver al índice

Regresar a la Practica

Resolver 4x2+2x=2x2+5Regresar a la Practica

Volver al índice

( )2

222 5 2 2x x x+ +=

2 22 4 5x x x+ = +2 22 4 5 0x x x− + − =

2 4 5 0x x+ − =( ) ( )5 1 0x x+ − =

5 0 1 0x x+ = − =5 1x x= − =

52 22

24 ++ = xxx

Reescribir para obtener las bases iguales y utilizamos las leyes de exponentes

Igualamos los exponentes

Términos semejantes

Factorizar

Despejamos para x

Solución

Resolver (1/2) 4x-2=2x-2

224

22

1 −−

=

x

x

( ) 4 21 22 2x x−− −=

4 2 22 2x x− + −=4 2 2x x− + = −

5 4x− = −4

5x =

Reescribir para obtener las bases iguales

Utilizamos las leyes de exponentes

Igualamos los exponentes

Términos semejantes y Despejamos para x

Solución

Presiona aquí para continuar

Volver al índice

Solución: Gráfica de una Función Exponencial

Tabla de Valores

x f(x)

0 1

1 2

2 4

3 8

-1 ½

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y

x

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y

x

Regresar a la Practica

Solución: Gráfica de una Función Exponencial

Tabla de Valores

x f(x)

0 1

1 ½

2 ¼

-1 2

-2 4

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y

x

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9y

x

Regresar a la Practica

Solución: Gráfica de una Función Exponencial

Tabla de Valores

x f(x)

0 1

1 2/3

2 4/9

-1 3/2

-2 9/4

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Regresar a la Practica

Solución: Gráfica de una Función Exponencial

Tabla de Valores

x f(x)0 1

1 1/10

2 1/100

-1 10

-2 100

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Presiona aquí para continuar

Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones en ciencias, matemáticas, comercio y en otras disciplinas. Veremos aquí algunas de esas aplicaciones.

Aplicaciones de las Funciones Exponenciales

Presiona aquí para continuar

Fórmula del Interés Compuesto

1

es la cantidad acumulada o valor futuro es el principal de la inversión

es la tasa de interés anual es el número de periódos de tiempo por año es el número años

ntrA P

m

APrnt

= +

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Interés Compuesto

Una suma de $13,600.00 se ha invertido en un fondo de inversión que paga un interés compuesto semestral de un 12%. Determine que cantidad de dinero se tendrá al pasar 25 años.

nt

n

rPA

+= 1

)25(2

2

12.1600,13

+=A

250,514.10 $

nt

n

rPA

+= 1

P = $13,600.00

r = 12% = .12t = 25 años

Semestral: n = 2

Tenemos que:

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Crecimiento Poblacional

P=P02t/d

donde P = población en el tiempo tP0 = población en el tiempo t=0

d = tiempo de duplicación

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Crecimiento Poblacional P=P02t/d

México tiene una población aproximada de 100 millones de personas y se estima que habrá aumentado al doble en 21 años. Si sigue creciendo a la misma tasa, ¿Cuál será la población en 15 años a partir de ahora?

Sustituyendo P0= 100, d=21y t = 15, se obtiene

P= 100(215/21)P≈164 millones de personas

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Decaimiento Radiactivo

A= A0(1/2)t/h

Donde A= cantidad al tiempo tA0= cantidad al tiempo t=0h= Vida media

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El isotopo radiactivo de galio 67 usado en el diagnostico de tumores malignos, tiene una media vida de 46.5 horas. Si se empieza con 100 miligramos de isotopo, ¿cuántos miligramos quedarán después de 24 horas?

Usa el modelo de decaimiento de la vida media:

A= A0(1/2)t/h Tomando A0 =100, h=46.5, y t=24 horas se obtiene

A= 100(1/2)24/46.5 A= 69.9 miligramos

Decaimiento Radiactivo A= A0(1/2)t/h

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Más aplicaciones

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Fórmula del Interés Continuo

es la cantidad acumulada o valor futuro es el principal de la inversión

es el interés anual es el número de años de la inversión

itA Pe

APit

=

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Fórmula de crecimiento o decaimiento exponencial

( ) 0

0

es la cantidad acumulada luego de un tiempo t es la cantidad inicial

es la constante de crecimiento o decaimiento, es el tiempo

Si 0 hay crecimiento o aumento en el valor de ,

ktA t A eAAkt

k A

=

>si 0 elvalor de decae o decrece.k A<

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Pre-prueba

Haz click aquí para comenzar

1) ¿Cuál de las siguientes es una Función Exponencial?

9)( += xxf

33

2)( += xxf

3)( xxf =

34)( += xxf

A

D

C

B

NO, lo sientoNO, lo siento

WOW, Muy Bien

Incorrecto

LO SIENTO

2) La gráfica de f(x)=4x es…

A

D

C

B

NO, lo sientoNO, lo siento

WOW, Muy Bien

Incorrecto

LO SIENTO

La gráfica de f(x)=(1/2)x es…

A

D

C

B

NO, lo sientoNO, lo siento

WOW, Muy Bien

Incorrecto

LO SIENTO

La solución de 4x-3=8 es…

2

9=x9

2=x

4=x9−=x

A

D

C

B

NO, lo sientoNO, lo siento

WOW, Muy Bien

Incorrecto

LO SIENTO

La solución de es… 283 22 −− = xx

5−=x 6=x

4=x9−=x

A

D

C

B

NO, lo sientoNO, lo siento

WOW, Muy Bien

Incorrecto

LO SIENTO

Aplicaciones

La cólera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria de cólera que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por N=N0e

1.386t donde N es el número de bacterias presentes después de t horas y N0 es el número de bacterias presentes cuando t=0. Si se empieza con una bacteria, ¿cuántas bacterias habrá en 5 horas?

100=N 1020=N

3010=N120=N

A

D

C

B

NO, lo sientoNO, lo siento

WOW, Muy Bien

Incorrecto

LO SIENTO

Presiona en el dibujo para continuar

Hasta aquí la pre-prueba

Post-prueba

Haz click aquí para comenzar

1) ¿Cuál de las siguientes es una Función Exponencial?

9)( += xxf

33

2)( += xxf

3)( xxf =

34)( += xxf

A

D

C

B

NO, lo sientoNO, lo siento

WOW, Muy Bien

Incorrecto

LO SIENTO

2) La gráfica de f(x)=4x es…

A

D

C

B

NO, lo sientoNO, lo siento

WOW, Muy Bien

Incorrecto

LO SIENTO

La gráfica de f(x)=(1/2)x es…

A

D

C

B

NO, lo sientoNO, lo siento

WOW, Muy Bien

Incorrecto

LO SIENTO

La solución de 4x-3=8 es…

2

9=x9

2=x

4=x9−=x

A

D

C

B

NO, lo sientoNO, lo siento

WOW, Muy Bien

Incorrecto

LO SIENTO

La solución de es… 283 22 −− = xx

5−=x 6=x

4=x9−=x

A

D

C

B

NO, lo sientoNO, lo siento

WOW, Muy Bien

Incorrecto

LO SIENTO

Aplicaciones

La cólera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria de cólera que se multiplica exponencialmente por la división de células modelada por N=N0e

1.386t donde N es el número de bacterias presentes después de t horas y N0 es el número de bacterias presentes cuando t=0. Si se empieza con una bacteria, ¿cuántas bacterias habrá en 5 horas?

100=N 1020=N

3010=N120=N

A

D

C

B

NO, lo sientoNO, lo siento

WOW, Muy Bien

Incorrecto

LO SIENTO

La Función Exponencial de base natural e

Al igual que p, e  es un número irracional donde e = 2.71828... 

La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). 

Definición:  Para un número real x,  la ecuación f(x) = ex 

define a la función exponencial de base e.

Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex.

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Gráfica de f(x)=ex

El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.

La función  f(x) = ex  es una  función exponencial natural.  Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex  está entre f(x) = 2x  y  f(x) = 3x, como se ilustra a continuación.

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Instrucciones

Lee cuidadosamente cada una de las plantillas presentadas. Encontrarás una pre-prueba que deberás contestar, luego está la lección que estudiarás cuidadosamente para que puedas hacer los ejercicios de práctica. Y por último hallarás una post-prueba donde podrás comprobar lo que aprendiste.

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Propósito

El siguiente módulo tiene como propósito el presentar los conceptos básicos sobre el tema de los polígonos.

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Objetivos

Al finalizar el tema se espera que usted pueda: Evaluar una función exponencial Trazar la gráfica de una función exponencial Trazar la gráfica de una función exponencial

naturalComparar gráficas de funciones exponencialesResolver problemas aplicados

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Introducción

Las funciones exponenciales son una de las familia de funciones más importantes en las matemáticas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen. En la Administración de Empresas se usan para interés compuesto, anualidades y planes de ahorro entre otras. En las ciencias naturales las aplicaciones son innumerables incluyendo modelos de crecimiento en biología, reacciones de primer orden en química orbitales moleculares en química física, etc.. En este módulo veremos los conceptos básicos de construcción de gráficas, solución de ecuaciones exponenciales y algunas aplicaciones de las funciones exponenciales.

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Carta al Estudiante

¡Querido estudiante!La siguiente unidad te ayudará a aprender conceptos fundamentales de la geometría. En este caso aprenderás un poquito sobre los polígonos. Te exhorto a que te animes a completar el módulo, leyéndolo en todas sus partes y realizando todos los ejercicios. El módulo es uno sencillo y te resultará divertido realizarlo. ¡Adelante y Éxito!

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¡¡FELICIDADES!FELICIDADES!

Has completado el módulo de Funciones Exponenciales, espero te haya ayudado a aprender un poco más

sobre el tema.

Presiona aquí

Haz click en el perrito para continuar!!

Hasta aquí la post-prueba

Evaluación

Lo más que me gusto del modulo fue…

Lo que menos me gusto fue…

Pueden mejorar en …

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