mtematicas discretas clase 5
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7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
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funcin conteo de funciones
Funciones
Jana Rodriguez HertzMD1
IMERL
20 de agosto 2015
http://goforward/http://find/http://goback/ -
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funcin conteo de funciones
definicin funcin
qu es una funcin
qu es una funcin?tiene 3 elementos:
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funcin conteo de funciones
definicin funcin
qu es una funcin
qu es una funcin?tiene 3 elementos:
dominio codominio
http://find/ -
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funcin conteo de funciones
definicin funcin
qu es una funcin
qu es una funcin?tiene 3 elementos:
dominio codominioley
f i d f i
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funcin conteo de funciones
definicin funcin
funcin
funcin
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funcin conteo de funciones
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funcin conteo de funciones
definicin funcin
funcin
funcin
dadosA(dominio), B(codominio) conjuntos no vacosllamamosfuncin
f : A B
funcin conteo de funciones
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funcin conteo de funciones
definicin funcin
funcin
funcin
dadosA(dominio), B(codominio) conjuntos no vacosllamamosfuncin
f : A Ba una relacin donde a cada elemento del dominio le
corresponde un nico elemento del codominio
funcin conteo de funciones
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funcin conteo de funciones
definicin funcin
ejemplos
ejemplos
funcin conteo de funciones
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funcin conteo de funciones
definicin funcin
ejemplos
ejemplos: NO es funcin
funcin conteo de funciones
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funcin conteo de funciones
definicin funcin
ejemplos
ejemplos
funcin conteo de funciones
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u c co teo de u c o es
definicin funcin
ejemplos
ejemplos : S es funcin
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funcin conteo de funciones
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definicin funcin
ejemplos
ejemplos : S es funcin
funcin conteo de funciones
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definicin funcin
ejemplos
ejemplos
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funcin conteo de funciones
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definicin funcin
ejemplos infinitos
ejemplos infinitosf : R R tal que f(x) = x2
x
f(x)
f(x) = x2
funcin conteo de funciones
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definicin funcin
ejemplos infinitos
ejemplos infinitos S es funcinf : R R tal que f(x) = x2
x
f(x)
f(x) = x2
funcin conteo de funciones
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definicin funcin
ejemplos infinitos
ejemplos infinitosf : R R tal que f(x) = x
x
f(x)f(x) =
x
f(x) = x
funcin conteo de funciones
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definicin funcin
ejemplos infinitos
ejemplos infinitos NO es funcinf : R R tal que f(x) = x
x
f(x)f(x) =
x
f(x) = x
funcin conteo de funciones
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imagen
imagen
imagen
funcin conteo de funciones
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A,Bconjuntos no vacos
funcin conteo de funciones
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A,Bconjuntos no vacosf : A Bfuncin
funcin conteo de funciones
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imagen
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A,Bconjuntos no vacosf : A Bfuncinimagen de f
f(A) = {f(x) : x A} B
funcin conteo de funciones
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ejemplos
ejemplos
funcin conteo de funciones
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imagen
ejemplos
ejemplos : imagen
funcin conteo de funciones
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ejemplos
ejemplos
funcin conteo de funciones
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imagen
ejemplos
ejemplos : imagen
funcin conteo de funciones
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imagen
ejemplos infinitos
ejemplos infinitosf : R R tal que f(x) = x2
x
f(x)
f(x) = x2
funcin conteo de funciones
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imagen
ejemplos infinitos
ejemplos infinitos : imagenf : R R tal que f(x) = x2
x
f(x)
f(x) = x2
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funcin conteo de funciones
f i i i
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funcin inyectiva
funcin inyectiva
funcin inyectivaf : A
Bfuncininyectiva
funcin conteo de funciones
f i i ti
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funcin inyectiva
funcin inyectiva
funcin inyectivaf : A
Bfuncininyectiva
si no hay dos elementos distintos del dominio con lamisma imagen
funcin conteo de funciones
funcin inyectiva
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funcin inyectiva
funcin inyectiva
funcin inyectivaf : A
Bfuncininyectiva
si no hay dos elementos distintos del dominio con lamisma imagen
f(x1) = f(x2)
x1= x2
funcin conteo de funciones
funcin inyectiva
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funcin inyectiva
ejemplos
ejemplos
http://goforward/http://find/http://goback/ -
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funcin conteo de funciones
funcin inyectiva
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funcin inyectiva
ejemplos
ejemplos
funcin conteo de funciones
funcin inyectiva
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u c yect a
ejemplos
ejemplos : S es inyectiva
funcin conteo de funciones
funcin inyectiva
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y
ejemplos infinitos
ejemplos infinitosf : R R tal que f(x) = x2
x
f(x)
f(x
) =x2
funcin conteo de funciones
funcin inyectiva
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ejemplos infinitos
ejemplos infinitos : NO es inyectivaf : R R tal que f(x) = x2
x
f(x)
f(x
) =x2
funcin conteo de funciones
funcin sobreyectiva
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funcin sobreyectiva
funcin sobreyectiva
funcin conteo de funciones
funcin sobreyectiva
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funcin sobreyectiva
funcin sobreyectiva
f : A Bfuncinsobreyectiva
funcin conteo de funciones
funcin sobreyectiva
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funcin sobreyectiva
funcin sobreyectiva
f : A Bfuncinsobreyectivasi
f(A) = B
funcin conteo de funciones
funcin sobreyectiva
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funcin sobreyectiva
funcin sobreyectiva
f : A Bfuncinsobreyectivasif(A) = B
TODO elemento del codominio es imagen de (al menos)
un elemento del dominio
funcin conteo de funciones
funcin sobreyectiva
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ejemplos
ejemplos
funcin conteo de funciones
funcin sobreyectiva
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ejemplos
ejemplos : NO es sobreyectiva
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funcin conteo de funciones
funcin sobreyectiva
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ejemplos
ejemplos : NO es sobreyectiva
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funcin conteo de funciones
funcin sobreyectiva
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ejemplos
ejemplos : S es sobreyectiva
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funcin conteo de funciones
funcin sobreyectiva
j l i fi it
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ejemplos infinitos
ejemplos infinitosf : R R+0 tal que f(x) = x2
x
f(x)
f(x) = x2
funcin conteo de funciones
funcin sobreyectiva
j l i fi it
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ejemplos infinitos
ejemplos infinitos : S es sobreyectivaf : R R+0 tal que f(x) = x2
x
f(x)
f(x) = x2
funcin conteo de funciones
funcin biyectiva
funcin biyectiva
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funcin biyectiva
funcin biyectiva
funcin conteo de funciones
funcin biyectiva
funcin biyectiva
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funcin biyectiva
funcin biyectiva
f : A Bfuncinbiyectiva
funcin conteo de funciones
funcin biyectiva
funcin biyectiva
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funcin biyectiva
funcin biyectiva
f : A Bfuncinbiyectivasi
funcin conteo de funciones
funcin biyectiva
funcin biyectiva
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funcin biyectiva
funcin biyectiva
f : A Bfuncinbiyectivasi
1 f inyectiva
funcin conteo de funciones
funcin biyectiva
funcin biyectiva
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funcin biyectiva
funcin biyectiva
f : A Bfuncinbiyectivasi
1 f inyectiva2 fsobreyectiva
funcin conteo de funciones
funcin biyectiva
ejemplos
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ejemplos
ejemplos
funcin conteo de funciones
funcin biyectiva
ejemplos
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ejemplos
ejemplos : S es biyectiva
funcin conteo de funciones
funcin biyectiva
ejemplos infinitos
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ejemplos infinitos
ejemplos infinitosf : R R tal que f(x) = x2
x
f(x)
f(x) = x2
funcin conteo de funciones
funcin biyectiva
ejemplos infinitos
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ejemplos infinitos
ejemplos infinitos : NO es biyectivaf : R R tal que f(x) = x2
x
f(x)
f(x) = x2
funcin conteo de funciones
funcin biyectiva
ejemplos infinitos
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ejemplos infinitos
ejemplos infinitosf : R+0 R+0 tal que f(x) = x2
x
f(x)
f(x
) =x2
funcin conteo de funciones
funcin biyectiva
ejemplos infinitos
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ejemplos infinitos
ejemplos infinitos : S es biyectivaf : R+0 R+0 tal que f(x) = x2
x
f(x)
f(x
) =x2
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
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ca t dad de u c o es e t e co ju tos tos
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
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j
cantidad de funciones entre conjuntos finitossi Ay Bson conjuntos finitos
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funcin conteo de funciones
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
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j
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
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j
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
(4 posibilidades)
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
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cantidad de funciones entre conjuntos finitos
(4 posibilidades)(4 posibilidades)
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
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cantidad de funciones entre conjuntos finitos
(4 posibilidades)(4 posibilidades)(4 posibilidades)
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
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cantidad de funciones entre conjuntos finitos
(4 posibilidades)(4 posibilidades)(4 posibilidades)=43 funciones
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
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cantidad de funciones entre conjuntos finitos
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
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cantidad de funciones entre conjuntos finitossi Atiene melementos
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
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cantidad de funciones entre conjuntos finitossi Atiene melementos
y Btiene nelementos
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
cantidad de funciones entre conjuntos finitos
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cantidad de funciones entre conjuntos finitossi Atiene melementos
y Btiene nelementosentonces hay
nm
funciones posibles f : A
B
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones inyectivas
cantidad de funciones inyectivas
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cantidad de funciones inyectivas
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones inyectivas
cantidad de funciones inyectivas
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cantidad de funciones inyectivas
(4 posibilidades)
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones inyectivas
cantidad de funciones inyectivas
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cantidad de funciones inyectivas
(4 posibilidades)
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones inyectivas
cantidad de funciones inyectivas
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cantidad de funciones inyectivas
(4 posibilidades)(3 posibilidades)
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones inyectivas
cantidad de funciones inyectivas
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cantidad de funciones inyectivas
(4 posibilidades)(3 posibilidades)
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones inyectivas
cantidad de funciones inyectivas
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cantidad de funciones inyectivas
(4 posibilidades)(3 posibilidades)(2 posibilidades)
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones inyectivas
cantidad de funciones inyectivas
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cantidad de funciones inyectivas
(4 posibilidades)(3 posibilidades)(2 posibilidades)=4.3.2funciones inyectivas
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones inyectivas
cantidad de funciones inyectivas
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cantidad de funciones inyectivas
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones inyectivas
cantidad de funciones inyectivas
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cantidad de funciones inyectivassi Atiene melementos
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones inyectivas
cantidad de funciones inyectivas
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cantidad de funciones inyectivassi Atiene melementos
y Btiene nelementos
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones inyectivas
cantidad de funciones inyectivas
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cantidad de funciones inyectivassi Atiene melementos
y Btiene nelementos
y m m
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones inyectivas
cantidad de funciones inyectivas
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cantidad de funciones inyectivassi Atiene melementos
y Btiene nelementos
y m mentonces hay
n!
(n
m)!
= P(n,m)
funciones inyectivas f : A B
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones inyectivas
cantidad de funciones inyectivas
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cantidad de funciones inyectivas
http://goforward/http://find/http://goback/ -
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funcin conteo de funciones
cantidad de funciones inyectivas
cantidad de funciones inyectivas
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cantidad de funciones inyectivassi Atiene melementos
y Btiene nelementos
http://find/ -
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funcin conteo de funciones
cantidad de funciones inyectivas
cantidad de funciones inyectivas
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cantidad de funciones inyectivassi Atiene melementos
y Btiene nelementos
y m m
entonces NO hay funciones inyectivas f : A B
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/ -
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cantidad de funciones
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
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cantidad de funciones
si Atiene melementos
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/http://goback/ -
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cantidad de funciones
si Atiene melementosy Btiene nelementos
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/ -
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cantidad de funciones
si Atiene melementosy Btiene nelementos
cuntas funciones sobreyectivas f : A Bhay?
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/ -
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cantidad de funciones
http://find/http://goback/ -
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funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
-
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cantidad de funciones
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
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cantidad de funciones
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
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cantidad de funciones
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
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cantidad de funciones
35 funciones
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
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cantidad de funciones sobreyectivas
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
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cantidad de funciones sobreyectivas
si queremos contabilizar las funciones sobreyectivas
http://find/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
108/151
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
-
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109/151
cantidad de funciones sobreyectivas
si queremos contabilizar las funciones sobreyectivastenemos que restar las que no lo son
restamos las que tienen codominio de 2 elementos
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/ -
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cantidad de funciones sobreyectivas
codominio {1,2},
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/ -
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cantidad de funciones sobreyectivas
codominio {2, 3},
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
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cantidad de funciones sobreyectivas
codominio {1, 3}
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/ -
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113/151
cantidad de funciones sobreyectivas
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/ -
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114/151
cantidad de funciones sobreyectivasformas de elegir codominio de 2 elementos: C(3, 2) =3
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/http://goback/ -
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115/151
cantidad de funciones sobreyectivasformas de elegir codominio de 2 elementos: C(3, 2) =3
funciones de 5 en 2: 25
http://find/ -
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-
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funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
-
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118/151
cantidad de funciones sobreyectivas
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://goforward/http://find/http://goback/ -
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cantidad de funciones sobreyectivas
sin embargo, hay funciones que estn contabilizadas 2veces:
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/http://goback/ -
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cantidad de funciones sobreyectivas
la funcin constante f(x) =2 est contabilizada en:
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/ -
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cantidad de funciones sobreyectivas
la funcin constante f(x) =2 est contabilizada en: codominio{1,2},
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/ -
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cantidad de funciones sobreyectivas
la funcin constante f(x) =2 est contabilizada en: codominio{1,2}, codominio {2,3},
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/http://goback/ -
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cantidad de funciones sobreyectivas
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/ -
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cantidad de funciones sobreyectivas
entonces, tenemos que volver a sumar las funciones queestaban contadas dos veces:
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/ -
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cantidad de funciones sobreyectivas
entonces, tenemos que volver a sumar las funciones queestaban contadas dos veces:
35 C(3,2)25 + C(3,1)15
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/ -
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cantidad de funciones sobreyectivas
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
http://find/ -
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127/151
cantidad de funciones sobreyectivassi Atiene melementos
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
id d d f i b i
http://find/ -
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cantidad de funciones sobreyectivassi Atiene melementosy Btiene nelementos,
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
tid d d f i b ti
http://find/ -
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cantidad de funciones sobreyectivassi Atiene melementosy Btiene nelementos,
la cantidad de funciones sobreyectivas f : A Bes:
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
tid d d f i b ti
http://find/http://goback/ -
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cantidad de funciones sobreyectivassi Atiene melementosy Btiene nelementos,
la cantidad de funciones sobreyectivas f : A Bes:
n
n
nm
n
n 1
(n 1)m + + (1)n1 n
1
1m
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones sobreyectivas
cantidad de funciones sobreyectivas
tid d d f i b ti
http://find/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
131/151
cantidad de funciones sobreyectivassi Atiene melementosy Btiene nelementos,
la cantidad de funciones sobreyectivas f : A Bes:
n
n
nm
n
n 1
(n 1)m + + (1)n1 n
1
1m
o sean
k=0
(1)k
n
n k
(n k)m
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones biyectivas
cantidad de funciones biyectivas
http://find/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
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cantidad de funciones biyectivas
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones biyectivas
cantidad de funciones biyectivas
http://find/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
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cantidad de funciones biyectivassi#A >#Bno hay funciones inyectivas f : A B
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones biyectivas
cantidad de funciones biyectivas
http://find/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
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cantidad de funciones biyectivassi#A >#Bno hay funciones inyectivas f : A Bsi#A
-
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cantidad de funciones biyectivassi#A >#Bno hay funciones inyectivas f : A Bsi#A
-
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136/151
cantidad de funciones biyectivassi#A >#Bno hay funciones inyectivas f : A Bsi#A
-
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
137/151
cantidad de funciones biyectivas
http://find/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
138/151
funcin conteo de funciones
cantidad de funciones biyectivas
cantidad de funciones biyectivas
-
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
139/151
cantidad de funciones biyectivassi Ay Btienen melementos
entonces haym! = P(m,m)
funciones biyectivas f : A B
funcin conteo de funciones
nmeros de Stirling de segundo tipo
distribucin de objetos distintos en recipientes
http://find/http://goback/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
140/151
distribucin de objetos distintos en recipientes distintos
funcin conteo de funciones
nmeros de Stirling de segundo tipo
distribucin de objetos distintos en recipientes
http://find/ -
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distribucin de objetos distintos en recipientes distintoscuntas formas hay de distribuir mobjetos diferentes ennrecipientes numerados de forma que no quede ninguno
vaco?
funcin conteo de funciones
nmeros de Stirling de segundo tipo
distribucin de objetos distintos en recipientes
http://find/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
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distribucin de objetos distintos en recipientes distintoscuntas formas hay de distribuir mobjetos diferentes ennrecipientes numerados de forma que no quede ninguno
vaco?n
k=0
(1)k
n
n k
(n k)m
funcin conteo de funciones
nmeros de Stirling de segundo tipo
distribucin de objetos distintos en recipientes
http://find/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
143/151
distribucin de objetos distintos en recipientes iguales
funcin conteo de funciones
nmeros de Stirling de segundo tipo
distribucin de objetos distintos en recipientes
http://find/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
144/151
distribucin de objetos distintos en recipientes igualescuntas formas hay de distribuir mobjetos diferentes en nrecipientesigualesde forma que no quede ninguno vaco?
funcin conteo de funciones
nmeros de Stirling de segundo tipo
distribucin de objetos distintos en recipientes
http://find/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
145/151
distribucin de objetos distintos en recipientes igualescuntas formas hay de distribuir mobjetos diferentes en nrecipientesigualesde forma que no quede ninguno vaco?
1n!
nk=0
(1)k
n
n k
(n k)m
http://find/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
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funcin conteo de funciones
nmeros de Stirling de segundo tipo
nmero de Stirling de segundo tipo
-
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
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nmero de Stirling de segundo tipose llamanmero de Stirling de segundo tipo
funcin conteo de funciones
nmeros de Stirling de segundo tipo
nmero de Stirling de segundo tipo
http://find/http://goback/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
148/151
nmero de Stirling de segundo tipose llamanmero de Stirling de segundo tipo
aS(m,n) =
1n!
nk=0
(1)k
n
n k
(n k)m
http://find/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
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funcin conteo de funciones
nmeros de Stirling de segundo tipo
propiedad
-
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
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propiedadsi m n>1 son nmeros enteros,
funcin conteo de funciones
nmeros de Stirling de segundo tipo
propiedad
http://find/http://goback/ -
7/24/2019 Mtematicas discretas clase 5
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propiedadsi m n>1 son nmeros enteros,
entoncesS(m+1,n) = S(m,n 1) + nS(m,n)
http://find/
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