mÉtodos rigurosos para el θ cÁlculo de operaciones … · 2016-05-27 · 3 ampliación...
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1
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos1
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
Tema 2MÉTODOS RIGUROSOS PARA EL CÁLCULO DE OPERACIONES DE SEPARACIÓN DE MEZCLAS MULTICOMPONENTES
• Métodos etapa a etapa y ecuación a ecuación
• Métodos componente a componente (BP, SR, Newton 2N, SC)
• Otros métodos (Inside-out, relajación, homotópicos)
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos2
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� Hasta 1950: cálculos “a mano”Métodos rigurosos sólo a columnas pequeñas o para comprobar diseño final
� Aparición de los ordenadores Los métodos aproximados quedan relegados a un segundo plano
� Actualmente Métodos rigurosos: para el diseño final (T, P, xi, yi, Li, Vi)
Métodos aproximados: estimación inicial; análisis de resultados
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos3
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
Ecuaciones a resolver altamente no lineales
Métodos iterativos
Distintos métodos según
�Selección de las variables independientes
�Forma de resolver los sistemas de ecuaciones
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos4
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
MÉTODOS ETAPA A ETAPA Y ECUACIÓN A ECUACIÓN
Thiele-Geddes
Lewis-Matheson
MÉTODOS COMPONENTE A COMPONENTE
- Dificultades de convergencia- Método θ de Holland
Método del punto de burbujaMétodo de suma de flujosMétodos Newton 2N Métodos SC
T: ecuación de punto de burbuja
T: balance de entalpía
T y caudales simultáneamente
Todas las ecuaciones conjuntamente
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos5
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NUEVOS MÉTODOS
Inside-out
Relajación
Homotopía
No equilibrio
- Problemas de convergencia
- Sistemas más complejos
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MMéétodo de todo de ThieleThiele--GeddesGeddes
D caudal molar de destilado
Lo reflujo externo
B caudal molar de residuo
Piso 0 condensador
Piso 1 primer plato de la columna (cabeza)
Piso f piso de alimentación
Piso N último piso de la columna (base)
Piso N+1 caldera
2
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos7
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
MMéétodo de todo de ThieleThiele--GeddesGeddes
Vj caudal de vapor que abandona el piso jcaudal de vapor que llega al piso j-1
Vj = si no se introduce ninguna corriente de vapor entre los pisos j y j-1
Lj caudal de líquido que abandona el piso jcaudal de líquido que llega al piso j+1
Lj = si entre los pisos j y j+1 no se introduce ningúnlíquido
Lj
Vj
Vj
Lj
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos8
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Bxb DXd
xLl yVv
xLl yVv
BiiDii
jijjijijji
jijjijijji
==
==
==
jiji
jijijijji
jji
jijijij
jjiji
jijjijij
jijjjijijj
jijiji
S/1A
donde vAvVK
Ll
lSlL
VKv
o
lVKvL
xLVKyLV
xKy
=
=
=
=
=
=
=
=
MMéétodo de todo de ThieleThiele--GeddesGeddes
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos9
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
MMéétodo de todo de ThieleThiele--GeddesGeddes
Variables independientes: Tj
Especificaciones:
• Número de platos en cada sector
• Caudal, composición y condición térmica del alimento
• Otras dos variables (D, Lo)
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos10
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
MMéétodo de todo de ThieleThiele--GeddesGeddes
1Ad/v oiii1 +=
1-fj2 1)d/v(Ad/v ii,1ji,1jiji ≤≤+= −−
1)d/v(Ad/v ii,1fi,1fifi += −−
1)b/l(Sb/l iffiii,1f +=−
Nj1+f 1)b/l(Sb/l ijijiii,1j ≤≤+=−
1Sb/l i,1NiNi += +
F LF-1
LF-1
VF
VFPiso f
Piso f-1
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos11
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante MMéétodo de todo de ThieleThiele--GeddesGeddes
NO
Suponer perfil inicial de T (Tj)
Suponer perfil inicial de K (Kij)
Cálculo piso a piso desde la caldera hasta el piso de alimentación: vij/bi y lij/bi
Cálculo piso a piso desde el condensador hasta el piso de alimentación: vij/di y lij/di
Cálculo de di y a partir de éste, nuevo perfil de composición y de Kij
Coinciden los perfiles de Kijcalculados y supuestos
Nuevos perfiles: Tj y Kij
FINSI
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos12
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante MMéétodo de todo de ThieleThiele--GeddesGeddes
Conocidos di y bi:
a) Si se obtienen, por ejemplo
lij = (lij/di)diLj = Σlijxij = lij/Lj
b) Si se obtienen, por ejemplo
y Lj de balances de materia + entalpía∑
=
=
c
1ii
i
ji
ii
ji
ji
dd
l
ddl
x
APROXIMADO !!!!!!!APROXIMADO !!!!!!!
RIGUROSO !!!!!!! RIGUROSO !!!!!!!
3
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos13
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante MMéétodo de todo de ThieleThiele--GeddesGeddes
ifi
ifi
i
i
b/v
d/v
d
b=
Para un alimento líquido saturado:
donde se calcula usando las ecs. del sector de enriquecimiento y vfi/bi por las del de agotamiento:
ifi/dv
=
i
fifi
i
fi
b
lS
b
v
1)d/v(Ad/v ii,1fi,1fifi += −−
)d/b(1
FXd
ii
ii
+=
Conocido di se puede calcular biCon di y bi se calculan xij, yij, Lj, VjTj y Kij se obtienen por cálculos de equilibrio
OJO: balances de entalpía
Ecs. 2.21 y 2.22
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Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante MMéétodo de todo de ThieleThiele--GeddesGeddes
Para un alimento en cualquier condición térmica:
1d
l
d
v
d
v
i
i,1f
i
Fi
i
fi +=+−
FX
l1
FX
v
i
Fi
i
Fi −=
i
Fi
i
fi
i
Fi
i
i,1f
i
i
FX
v
b
v
FX
l
d
l
d
b
+
+
=
−
1d
l
d
FX
FX
v
d
b
b
v
i
i,1f
i
i
i
Fi
i
i
i
fi +=
+
−
d
b+1=
d
FX
i
i
i
i
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos15
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
Nuevo perfil de T:
∑=
=c
1i
ii
ji
ii
ji
ji
dd
v
dd
v
y
∑=
=c
1i
ii
ji
ii
ji
ji
dd
l
dd
l
x
∑∑
=
= α
=α
=c
1i
ii
b
c
1i i
ib
x
1K o
yK
MMéétodo de todo de ThieleThiele--GeddesGeddes
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MMéétodo de todo de LewisLewis--MathesonMatheson
Variables independientes: dj , bj
Especificaciones:
• Número de platos en cada sector
• Caudal, composición y condición térmica del alimento
• Otras dos variables (D, Lo)
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos17
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
a) Sector de enriquecimiento
• A partir de di, se calculan y1i• A partir de y1i, se calcula x1i
• Para los demás pisos:
• Al llegar a j = f:
Cálculos:
∑ α
α=
iji
iji
ji/y
/yx
V
d
V
Lxy i1j
ji +=−
i
fi
i
fi
d
Vy
d
v=
MMéétodo de todo de LewisLewis--MathesonMatheson
∑ α
α=
ii1
ii1
i1/y
/yx
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos18
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
a) Sector de agotamiento
• A partir de bi, se calculan x1i• A partir de x1i, se calcula y1i
• Para los demás pisos:
• Al llegar a j = f:
Cálculos:
∑ α
α=
iBi
iBiBi
x
xy
L
b
L
Vyx i1j
ji +=+
∑ α
α=
iji
iji
jix
xy
i
fi
i
fi
b
Vy
b
v=
MMéétodo de todo de LewisLewis--MathesonMatheson
4
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos19
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MMéétodo de todo de LewisLewis--MathesonMatheson
Suponer di, bi
Cálculo piso a piso desde la
cabeza de la columna hasta el
piso de alimentación: vji/di
Cálculo piso a piso desde la base
de la columna hasta el piso de
alimentación: vji/bi
Suponer
nuevos di, bi
di y bi
supuestos y
calculados son
iguales
Fin
SIMULACIÓN
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos20
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MMéétodo de todo de LewisLewis--MathesonMatheson
DISEÑO
1. Especificación completa del alimento y de di y bi para HK y para LK
2. Suposición de NR y NS y del resto de di no especificadas
3. Cálculo piso a piso desde el condensador hasta el piso de alimentación y desde la caldera hasta el piso de alimentación
4. Comparación de las composiciones obtenidas para el piso de alimentación por ambos caminos. Si no coinciden, repetir desde el paso 2
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos21
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La matriz La matriz tridiagonaltridiagonal. Algoritmo . Algoritmo de Thomasde Thomas
Nomenclatura para una etapa
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Matriz Matriz tridiagonaltridiagonal
• Etapa 1 = condensador
• Lo = 0
• Destilado vapor = V1 + W1
• Destilado líquido = U1
• Reflujo = L1• Calor eliminado en el condensador = Q1
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Matriz Matriz tridiagonaltridiagonal
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos24
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Matriz Matriz tridiagonaltridiagonal
• Etapa N = caldera
• VN+1 = 0
• Residuo = LN• Calor aportado en la caldera = QN
5
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos25
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Matriz Matriz tridiagonaltridiagonalEcuaciones MESH:
1. M- c ecuaciones por etapa:
2. E- c ecuaciones por etapa:
3. S - una por etapa:
4. H- uno por etapa:
0y)WV(x)U(L zFyVxLM ijjjijjjijj1j,i1j1j,iijij =+−+−++= ++−−
0xKyE ijijijij =−=
00.1x)S(
00.1y)S(
c
1iijjx
c
1iijjy
=−=
=−=
∑
∑
=
=
0QH)WV(H)U(L HFHVHLH jjVjjjLjjjFj1jV1j1jL1jj =−+−+−++=++−−
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos26
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V)UWF(VLj
1m
1mmmj1j ∑=
− −−−+=
Vj Lj-1
V1
F1j
1m
m∑−
=
UW1j
1m
mm∑−
=
+
Matriz Matriz tridiagonaltridiagonal
0y)WV(x)U(L zFyVxLM ijjjijjjijj1j,i1j1j,iijij =+−+−++= ++−−
ijijij xKy =
Poner Lj en función de Vj
Poner yij en función de xij
Xi, j-1
Xi, j
Xi, j+1
Obtener los coeficientes que multiplican a
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos27
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j1j,ijijj1j,jj DxCxBxA =++ +−
Nj2 V)UWF(VA1j
1m1mmmjj ≤≤−−−+= ∑
−
=
Nj1 )KW+(V+U+V)UWF(VB ji,jjj
j
1m1mmm1jj ≤≤
−−−+−= ∑
=+
1-Nj1 KVC 1j,i1jj ≤≤= ++
Nj1 zFD ijjj ≤≤−=
con xio = 0, VN+1 = 0, W1 = 0 y UN = 0.
Para resolver el sistema se necesita conocer el perfil de
V
Kij
Matriz Matriz tridiagonaltridiagonal
¡OJO! ¡Se ha omitido el subíndice i de los coeficientes!
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos28
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Matriz Matriz tridiagonaltridiagonal
=
−−−
−−−
N
2
1
N
2
1
NN
1N1N1N
2N2N2N
331
222
11
D
...
...
...
...
...
...
...
...
...
D
D
x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
x
x
BA000.........0
CBA00.........0
0CBA0.........0
......
......
......
......
.........
.........
0.........0CBA0
0.........00CBA
0.........000CB
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos29
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
Algoritmo de ThomasAlgoritmo de Thomas
1
2i111i
B
xCDx
−=
B
Dq
B
Cp
1
11
1
11 ==
2i111i xpqx −=
Etapa 1
Cambio de variable:
Matriz Matriz tridiagonaltridiagonal
3i
122
2
122
1222i x
pAB
C
pAB
qADx
−−
−
−=
Etapa 2
Cambio de variable:
122
22
122
1222
pAB
Cpy
pAB
qADq
−=
−
−=
3i222i xpqx −=En general
1jjj
j
j
1jjj
1jjj
jpAB
Cpy
pAB
qADq
−−
−
−=
−
−=
1j,ijjij xpqx +−=
Etapa N
NiN qx =
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos30
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
Algoritmo de ThomasAlgoritmo de Thomas
�Se conoce el perfil de coeficientes A, B, C y D
(a partir de las especificaciones y estimaciones iniciales)
Matriz Matriz tridiagonaltridiagonal
1jjj
j
j
1jjj
1jjj
jpAB
Cpy
pAB
qADq
−−
−
−=
−
−=
1j,ijjij xpqx +−=
NiN qx =
�Se calcula el perfil de coeficientes p y q
(una vez calculado q1 y p1, cada qj y pj se obtiene a partir de los valores obtenidos en el piso anterior)
�Se llega a qN y se calcula la composición del residuo
�Se calcula la xij en sentido ascendente a partir de la del piso inferior
6
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos31
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
MMéétodos numtodos numééricosricos
• Dificultad: cálculo de las derivadas parciales de K y de H.
• Métodos de derivación numérica.
• Convergencia: cálculo de la norma.
• Restricciones para las variables.
• Factorización LU
• Métodos quasi-Newton
¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ Importancia de las estimaciones iniciales!!!!!Importancia de las estimaciones iniciales!!!!!
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos32
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
MMéétodo del punto de burbuja para todo del punto de burbuja para destilacidestilacióónn
En cada iteración se calcula un nuevo conjunto de temperaturas de las etapas a partir de las ecuaciones del punto de burbuja.
Las ecuaciones se separan y se resuelven en forma secuencial, excepto las ecuaciones M modificadas, que se resuelven de forma separada para cada componente por el método de Thomas
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos33
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
Se calculan Qj mediante la ecuación H para la etapa 1 y QNmediante el balance global de entalpía
MMéétodo BPtodo BPSe especifica Fj, zij, TFj, PFj (o HFj), Qj (excepto para j=1 y
j=N), N, L1 (reflujo), V1 (destilado), Pj
Se ajustan las variables de tanteo (Tj, Vj, Kjj)
Se calculan las xij por el método de Thomas
Se normalizan las xij
Se calculan nuevas Tj mediante la ecuación del punto de burbuja
Se calculan nuevos Vj (2.57) y Lj (2.34)
SI NO
Se ajustan las variables de tanteo
τ = 0.01 N (2.60)FIN
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos34
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MMéétodo BPtodo BP
Ecuaciones H reordenadas:
j1jjjj VV γ=β+α +
( ) jLVjFLjLL
1j
1m
1mmmj
LVj
VLj
Q)HH( W)HH(F)HH(VUWF
HH
HH
jjjj1jj
j1j
j1j
+−+−+−
−−−=γ
−=β
−=α
−
+
−
∑−
=
γ
γ
γ
γ
γ
α−γ
=
βα
βα
βα
βα
βα
β
−
−
−
−
−
−−
−−
−−
1N
2N
3N
4
3
222
N
1N
2N
5
4
3
1N1N
2N2N
3N3N
44
33
2
...
...
...
...
...
...
V
V
V
V
...
...
...
...
...
...
V
V
V
000.........0
000.........0
000.........0
......
......
......
......
.........
.........
0.........000
0.........000
0.........0000
1j
1j1j1j
j
3
3334
2
2223
VV
...
VV
VV
−
−−−
β
α−γ=
β
α−γ=
β
α−γ=
V1 es el destilado vapor
V2 se obtiene de un balance en el condensador
Se empieza por la ecuación H2
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos35
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
MMéétodo BPtodo BP
ε≤
−+
−∑∑=
−
=
−2
N
1j)k(
j
)1k(
j
)k(
j
2
N
1j)k(
j
)1k(
j
)k(
j
V
VV
T
TT
N01.0)TT(N
1j
2)1k(
j
)k(
j ≤−=τ ∑=
−
Criterios de convergencia:
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos36
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
MMéétodo de la Suma de Caudalestodo de la Suma de Caudales
Método BP: falla en problemas de absorción/desorción.
� Cálculo del punto de burbuja muy sensible a la composición de la fase líquida
� Balance de entalpía de la etapa más sensible a T que a los caudales L y V
Método de suma de caudales (SR)
7
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos37
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante MMéétodo SRtodo SR
� Especificaciones y estimaciones iniciales: como en el método BP
� Xij: resolución de ecuaciones M modificadas por el algoritmo de Thomas
� Lj: ecuación de suma de caudales
� Vj: balances de materia
� Tj: balances de entalpía
∑=
+=
c
1iij
)k(
j
)1k(
j xLL
∑=
− −−+−=N
jmmmmN1jj )UWF(LLV
0QH)WV(H)U(L HFHVHLH jjVjjjLjjjFj1jV1j1jL1jj =−+−+−++=++−−
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos38
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
MMéétodo SRtodo SR
Especificar todas las Fj y zij junto con su condición térmica, Pj, Uj, Wj, Qj, N
Inicializar variables de tanteo (Tj y Vj)
Calcular xij de (2.37) por el método de Thomas
Calcular nuevos Lj de la ecuación de suma de caudales (2.61) y nuevos Vj de (2.62) (balance de materia con la cabeza de la columna)
Normalizar xij para cada etapa. calcular los correspondientes yij = Kijxijy normalizarlos
Calcular nuevas Tj según (2.31) (ecuaciones H)
Evaluaciones secuenciales (una ecuación cada vez)
τ (de (2.60)) < 0.001 N
FIN
SI
NO
Evaluaciones de la ecuación de la matriz tridiagonal (un componente cada vez)
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos39
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
MMéétodo de la Suma de Caudales todo de la Suma de Caudales IsotIsotéérmicosrmicos
� Aplicable cuando las corrientes están a la misma T, el calor de mezcla es despreciable (operación isotérmica) o cuando están especificadas todas las Tj
� Aplicable a extracción Líquido-Líquido
� Friday y Smith – Tsuboka y Katayama
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos40
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
MMéétodo ISRtodo ISR
Especificar Fj, zij, TFj, PFj, Pj, Uj, Wj, Tj, N
k = 1
Inicializar Vj
Suponer valores de xijCalcular yij (balance de materia)
Calcular γijL, γijVCalcular Kij
r = 1
Calcular xij por el método de Thomas (2.37)
τ1 (2.64) < ε1 Normalizar xij Calcular nuevos gijL y Kij
Calcular nuevos yij(y=Kx). Normalizar. Calcular nuevos γijV y Kij
NO
Calcular nuevos yij (
SI
Calcular nuevos Vj de la relación de suma de Caudales (2.65). Calcular nuevos Lj (
τ2 (2.66)<ε2 FINSI
Evaluación secuencial (una ecuación cada vez)
Ajustar variables de tanteo
k = k +1
r = 1
NO
r = r+1
Especificar Fj, zij, TFj, PFj, Pj, Uj, Wj, Tj, N
k = 1
Inicializar Vj
Suponer valores de xijCalcular yij (balance de materia)
Calcular γijL, γijVCalcular Kij
r = 1
Calcular xij por el método de Thomas ( . )
τ1 ( .6 ) < ε1τ1 ( .6 ) < ε1 Normalizar xij Calcular nuevos gijL y Kij
Calcular nuevos yij(y=Kx). Normalizar. Calcular nuevos γijV y Kij
NO
Calcular nuevos yij ( equilibrio) equilibrio)
SI
Calcular nuevos Vj de la relación d suma de ( . ). Calcular nuevos Lj ( ecuación H) ecuación H)
τ2 ( . )<ε2 FINFINSI
Evaluación secuencial (una ecuación cada vez)
Ajustar variables de tanteo
k = k +1
r = 1
NO
r = r+1
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos41
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
MMéétodos Newton 2Ntodos Newton 2N
�BP, SR perfil de T y perfil de L o V se calculan en pasos separados.
�Otra alternativa: calcularlos de forma conjunta, planteando dos ecuaciones por piso, que se resuelvenpor el método de Newton-Raphson.
�Tomich, Holland y Orbach y col. (difieren en la elecciónde las ecuaciones y variables independientes)
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos42
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
MMéétodos Newton 2Ntodos Newton 2N
MMéétodo de todo de TomichTomich::
0xyc
1iij
c
1iij =− ∑∑
==
Ecuaciones HEcuaciones
VariablesPerfil de T
Perfil de V
8
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos43
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
MMéétodos Newton 2Ntodos Newton 2N
1. Suponer T y V para cada piso.2. Calcular los valores de L mediante los balances de materia.
3. Calcular las composiciones del líquido , considerando los últimos perfiles de T, L y V, utilizando el método de la matriz tridiagonal, y las composiciones del vapor, a partir de las relaciones de equilibrio.
4. Generar un perfil de T y V resolviendo las ecuaciones independientes mediante el método de Newton-Raphson.
5. Comprobar si la norma de las funciones independientes es lo suficientemente pequeña.
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos44
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
MMéétodos Newton Globales o detodos Newton Globales o deCorrecciCorreccióón simultn simultáánea (SC)nea (SC)
�Más generales
�Capaces de resolver todos los problemas de separaciónmulticomponente en etapa múltiple
�Basados en la resolución conjunta de todas lasecuaciones MESH por técnicas de corrección simultánea
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos45
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante
�En sistemas altamente no ideales (K y H dependenmucho de la composición) no resulta adecuadocalcular las composiciones a partir de los valoresprocedentes de la iteración anterior
�Muy sensibles a la calidad de las estimacionesiniciales
�Muy poderosos a la hora de tratar mezclas no ideales
MMéétodos SCtodos SC
�En ocasiones se requiere aplicar primero otrométodo riguroso (BP o SR) para encontraraproximaciones a la solución final que sirvan comoestimaciones iniciales para el método SC.
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos46
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AplicaciAplicacióón basada en el mn basada en el méétodo de todo de NewtonNewton--RaphsonRaphson
Seleccionar y ordenar variables y ecuaciones
c elevado y N pequeño ecuaciones por tipos
c pequeño y N elevado ecuaciones por etapas
MMéétodos SCtodos SC
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos47
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MMéétodos SCtodos SC
c pequeño y N elevado ecuaciones por etapas
NaphtaliNaphtali y y SandholmSandholm
Goldstein- Stanfiel
Ishii-Otto
Gallum y Holland (“almost band”)
Difieren en la elección de las funciones y variables independientes
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos48
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MMéétodos SCtodos SC
MMéétodo SC de todo SC de NaphtaliNaphtali y y SandholmSandholm
En vez de resolver simultáneamente las N(2C + 3) ecuaciones MESH, se combinan para eliminar 2N variables, reduciendo el problema a la resoluciónsimultánea de N(2c + 1) ecuaciones.
ij
C
1ij
ij
C
1ij
lL
vV
∑
∑
=
=
=
=
9
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos49
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MMéétodos SCtodos SC
Se definen sj = Uj/Lj y Sj = Wj/Vj(flujos adimensionales de corrientes laterales)
0fvl)S1(v)s1(lM ij1j,i1j,ijijjijij =−−−+++= +−
0vl
vlKE ijc
1kkj
c
1kkj
ijijij =−=∑
∑
=
=
0QfHvH-lHv)S1(Hl)s1(HH j
c
1i
ijF
c
1i
1j,iV
c
1i
1j,iL
c
1i
ijjV
c
1i
ijjLj j1j1jjj=−−−+++= ∑∑∑∑∑
==+
=−
==+−
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos50
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MMéétodos SCtodos SCLas funciones y las variables de salida se agrupan por etapas, de cabeza a cola, obteniéndose una estructura de bloque tridiagonal en la matriz jacobiana de las derivadas parcial, con el fin de aplicar el algoritmo de Thomas:
[ ]T
Nj21 X,...,X,...,X,XX =
[ ]T
Nj21 F,...,F,...,F,FF =
[ ]Tcjijj2j1jcjijj2j1j l,...,l,...,v,l,T,v,...,v,...,v,vX =
[ ]T
cjijj2j1cjijj2j1jj E,...,E,...,E,E,M,...,M,...,M,M,HF =
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos51
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante MMéétodos SCtodos SC
Newton-Raphson:
)k(
1
)k(F
X
FX
∂
∂−=∆
− )k()k()1k(XtXX ∆+=+
∂
∂
F
X
B C
A B C
A B C
A B C
A B
N N N
N N
=
− − −
1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1
0 0 0
0 0
0
0 0
0 0
0 0 0
...
...
... ...
... ...
... ...
...
...
...
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos52
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MMéétodos SCtodos SC
∂
∂
F
X
B C
A B C
A B C
A B C
A B
N N N
N N
=
− − −
1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1
0 0 0
0 0
0
0 0
0 0
0 0 0
...
...
... ...
... ...
... ...
...
...
...
Submatrices(2c+1)x(2c+1) de derivadas parciales
Con respecto a las variables de salida de la etapa j-1
Con respecto a las variables de salida de la etapa j
Con respecto a las variables de salida de la etapa j+1
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos53
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MMéétodos SCtodos SC
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos54
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MMéétodos SCtodos SC
10
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos55
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MMéétodos SCtodos SC
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos56
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2N,C3,1
C
1i
33,i
3
V
3,C
C
1i
V3,i
3,1
V
3,1
C
1i
V3,i
3,1
V
2,C
C
1i
2L2,i2
2,C
L
2,1
C
1i
2L2,i2
2,1
L
2
C
1i
C
1i
2,i2
2
V
i,12
2
L
2C
C
1i
2Vi122
2C
V
2,1
C
1i
2Vi,12
2,1
V
1,CL
C
1i
1,i
1,C
L
1,1
C
1i
L
C
1i
1,i
1,1
L
11,i
1
L
1,C1,1
Hl...l(0TvTv
H
vHvv
H...vHv
v
Hl)s1(Hl)s1(
l
H
...l)s1(Hl)s1(l
HTv)S1(
T
Hl)s1(
T
H
v)S1(Hv)s1(v
H
v)S1(Hv)S1(v
HlHl
l
H
......lHll
H)T(l
T
H)v...v(
3
3
3
3
3
2
2
2
222
2
2
2
2
j
j
j
jj
−=∆++∆+
∆
∂−
∆
+
∂
∂−−∆
+
∂
∂−∆
+++
∂
∂+
+∆
+++
∂
∂++∆
+
∂
∂++
∂
∂+
∆
+++
∂
∂+
∆
+++
∂
∂+∆
+
∂
∂−
−∆
+
∂
∂−∆
∂
∂−∆++∆
∑
∑∑∑
∑∑ ∑
∑
∑∑
∑ ∑
=
===
== =
=
==
= =
MMéétodos SCtodos SC
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos57
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SuposicionesSuposiciones parapara loslos valoresvalores de de laslas variables de variables de salidasalida::
�T, V y L para las etapas de cabeza y cola (quizá parauna o más etapas intermedias): el resto se obtienepor interpolación lineal
�Si los valores de K son independientes de la composición: se pueden hallar valores xij y loscorrespondientes yij en equilibrio.
MMéétodos SCtodos SC
�Una estimación menos precisa se obtiene realizandolos cálculos de flash para una combinación de losalimentos a una presión media de la columna y unarelación V/L que se aproxime a la relación entre losflujos de destilado y colas.
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos58
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MMéétodos SCtodos SC
[ ]{ }∑ ∑= =
ε≤++=τN
1j3
c
1i
2
ij
2
ij
2
j3 )E()M()H(
ε32
1
102 1 10= +
=
−∑N C Fjj
N
( )
X
Xt expXX
)k(
(k))k()1k(
∆=+
Si se obtiene un caudal negativo:
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos59
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MMéétodos SCtodos SC Especificar F j , z ij , T Fj , P Fj (o H F ), P j , η j , N
todas las Q j (excepto para j = 1 y j = N; una
variable para cada corriente lateral, una variable para la etapa de cabeza, y una para la de cola
Ajustar k = 1 (para comenzar
la primera iteración)
Inicializar las variables de tanteo T j , V j , L j
Calcular las suposiciones
iniciales de v j ,l ij
Calcular la suma de los cuadrados de las funciones de de discrepancia
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos60
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MMéétodos SCtodos SC
τ 3<= ε
3
Calcular V j y
L j
Calcular Q 1 de
H 1 y Q N de H N si
no se especifican
FIN
Calcular
correcciones de
Newton-Raphson
Calcular t óptimo
para minimizar τ . 3
Calcular nuevos
valores de vj , l ij , T j
SI
(Ha convergido)
No
(No ha
convergido)
Ajustar k=k+1
Resolución
simultánea de
las ecs. por el
método de
newton-Raphson
11
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos61
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MMéétodos todos InsideInside--OutOut
� Los métodos anteriores: nuevos valores de K y H cadavez que cambian las variables MESH.
� El concepto inside-out: utiliza las correlacionescomplejas para K y H para generar parámetros paramodelos más sencillos:• Estos parámetros son característicos para cada etapa, y
constituyen las variables para un bucle exterior.
• El bucle interior contiene la resolución del sistema de ecuaciones MESH, y consiste en alguna variante de losmétodos BP, SR o Newton 2N.
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos62
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MMéétodos todos InsideInside--OutOut
BUCLE EXTERNO
k y H mediante modelos rigurosos (complejos)
BUCLE INTERNO
k y H mediante modelos sencillos (aproximados)SE APLICA UN MSE APLICA UN MÉÉTODO TODO RIGUROSO (BP, SR, SC)RIGUROSO (BP, SR, SC)
Se calculan Se calculan coeficientes coeficientes para modelos para modelos del bucle del bucle internointerno
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos63
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicante MMéétodos todos insideinside--outout
Modelos termodinModelos termodináámicos aproximadosmicos aproximados
Kbj = exp(Aj-Bj/Tj)
ln Kbj = Aj + Bj (1/Tj - 1/T*)
ln γij* = aij + bij xij
(Russell)
(Boston)
= ∑
i
iijbj KlnwexpK
[ ][ ]∑ ∂∂
∂∂=
i
ijij
ijij
ij)T/1(/Klny
)T/1(/Klnyw
∆HVj = cj - dj (Tj - T*)
∆HLj = ej - fj (Tj - T*)
Inicialización
Bucle interno
Bucle externo
Kbj = 1/Σαijxio también:
En el bucle interno:
xij, yij y Tj KijKij KbjKbj Tj
método riguroso
(sólo sustituir)
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos64
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InicializaciInicializacióónn1. Se especifica N, condición de todos los alimentos y perfil de presión de la
columna
2. Se especifica localización de productos laterales (incluyendo intercambios de calor)
3. Se da una especificación adicional por cada producto lateral adicional.
4. Si no están especificados, se estiman los caudales de los productos laterales y, en función de éstos, los valores de Vj y Lj.
5. Se estima un perfil inicial de Tj (a partir de los puntos de burbuja y de rocíode una mezcla ficticia formada por la combinación de las corrientes de alimentación).
6. Se hace un flash isotérmico de la mezcla ficticia anterior, a la presión media de la columna y se utilizan las composiciones resultantes como perfil inicial de composición en la columna.
7. Se utilizan las estimaciones anteriores junto con los modelos termodinámicosrigurosos para determinar los valores de los coeficientes de los modelosaproximados.
MMéétodos todos insideinside--outout
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos65
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Bucle internoBucle internoSe resuelven las ecuaciones MESH. Los valores de Kbj se obtienen mediante
Kbj = 1/Σαijxij
y permiten calcular nuevos valores de T y H mediante los modelos aproximados
MMéétodos todos insideinside--outout
Ecs MESH: proporcionan xijxij; proporcionan KbjKbj: proporciona Tj
(mediante parámetros Aj y Bj)
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos66
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Bucle externoBucle externo
• Se calculan los valores de las volatilidades relativas y de las entalpías utilizando los resultados del bucle interno y aplicando los modelos termodinámicos rigurosos. Si los valores obtenidos son próximos a los utilizados para iniciar el bucle interno, el problema quedó resuelto al salir del bucle interno. En caso contrario, se continúa con el siguiente paso.
• Se utilizan los valores procedentes del paso anterior para obtener nuevos valores de los parámetros en losmodelos sencillos y volver al bucle interno.
MMéétodos todos insideinside--outout
12
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos67
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MMéétodos de relajacitodos de relajacióónn• Rose, Sweeny y Schrodt, modificado por Ball, y posteriormente
mejorado por Jelinek, Hlavacek y Kubicek
• Utiliza ecuacionesecuaciones diferencialesdiferenciales en en estadoestado no no estacionarioestacionario parapara loslosbalances de balances de energenergííaa y de y de materiamateria de de loslos componentescomponentes. Comenzandoa partir de un conjunto supuesto cualquiera de valores iniciales, se resuelven estas ecuaciones numéricamente, para cada intervalo de tiempo, con las ecuaciones de equilibrio entre fases, para obtenervariaciones en las temperaturas de las etapas, flujos y composiciones.
• La velocidadvelocidad de de convergenciaconvergencia disminuyedisminuye al al aproximamosaproximamos a la a la solucisolucióónn..
• En el caso de problemas difíciles, Ketchum combina la estabilidad del método de relajación con la velocidad del método de Newton-Raphson SC para obtener un algoritmo sencillo que utiliza un factor de relajación ajustable.
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos68
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MMéétodos de relajacitodos de relajacióónn
p,jppp,jp1p,j1p1p,j1Pp,j
p fxVxLyVxLdt
dx+−−+= −−++U
Balance de componente para una etapa p (Up son los moles de líquido en la etapa):
El incremento de tiempo se elegirse de manera más o menos arbitraria, de forma que el parámetro wp = ∆t/Up (factor de relajación) es el que gobierna la convergencia hacia la solución.
Analogía razonable a procesos de puesta en marcha de la columna.
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos69
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MMéétodos todos homothomotóópicospicos o de o de continuacicontinuacióónn
F(x, B) = 0 • Se desea obtener x para distintos valores de B, dentro de un intervalo
• Dado B1, se puede obtener x1• Para un valor de B2 = B1+∆B, x1 puede ser un buen valor de partida para obtener x2
0=∂
∂+⋅
∂
∂
B
f
dB
dx
x
f Permite obtener directamente el conjunto de valores de x para un conjunto de valores de B, a partir de unos (x, B) iniciales
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos70
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MMéétodos todos homothomotóópicospicos o de o de continuacicontinuacióónn
F(x*) = 0 Sistema que se desea resolver
t tal que: cuando t = 0, x = x0cuando t = 1, x = x*
F(x(tF(x(t)) = (1)) = (1--t) t) f(xf(x00))
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos71
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MMéétodos todos homothomotóópicospicos o de o de continuacicontinuacióónn
H(x,t) = tF(x) + (1-t)G(x)
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos72
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MMéétodos todos homothomotóópicospicos o de o de continuacicontinuacióónnH(x,t) = tF(x) + (1-t)G(x)
1. Se fija un conjunto inicial de temperaturas y caudales de vapor y de líquido para cada etapa y se resuelve la columna para obtener la solución conocida inicial (caso o modelo más sencillo).
2. Los resultados obtenidos en el paso anterior constituyen los valores iniciales para x en el método SC. Se hace t = 0.
3. Se resuelve H(x,t) = 0 mediante el método SC. Los valores de K y de las entalpías están determinados por el valor actual de t.
4. Si t < 1, se resuelve la ecuación (2.94) para obtener 5. Se obtiene un nuevo conjunto de variables, x, y se vuelve
al paso 3.
td/xd
13
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos73
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MMéétodos todos homothomotóópicospicos o de o de continuacicontinuacióónnH(x,t) = tF(x) + (1-t)G(x)
1. t = 02. G(x) es el sistema MESH para una columna “sencilla”. La
resolución de G(x) = 0 permite obtener valores de las variables.
3. Se resuelve H = G(x) (por SC): se obtienen valores para las variables.
4. t = t + ∆t5. Se evalúan Hx y Ht y se obtienen los ∆x, que a su vez
proporcionan nuevos valores de las variables.6. Con los valores de las variables del paso 5 se calculan las K
y las H.7. Se repite desde el paso 3 hasta alcanzar t = 1
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos74
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ResumenResumen• Métodos etapa a etapa y ecuación a ecuación� Entorno para balances: entre la etapa y la cabeza o la cola.
� Se requiere información (especificada o estimada) que permita partir de un extremo de la columna.
� Se va avanzando en el cálculo etapa a etapa y se van aplicando consecutivamente las ecuaciones para cada etapa.
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos75
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ResumenResumen• Métodos componente a componente� Entorno para balances: alrededor de la etapa.
� Se requiere información (especificada o estimada) sobre perfiles en la columna (normalmente de T y L).
� Se resuelven simultáneamente las ecuaciones para todas las etapas. Se agrupan por componentes.
BP (T: cálculos punto burbuja, L: balances H)
SR, SRI (T: balances H, L: suma caudales)
No usan métodos numéricos
xij: matriz tridiagonal
Newton 2N
Utilizan métodos numéricosSC
Métodos numéricos para sistemas de 2N ecuaciones
xij: matriz tridiagonal
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos76
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ResumenResumen• Otros métodos� Combinan alguno de los anteriores (componente a componente) con algún otro criterio.
Inside-Out (bucle interno con modelos sencillos)
Relajación (ecuaciones en estado no estacionario)
Homotopía (principio de homotopía)
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos77
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¿¿CCóómo y cumo y cuáándo se debe ndo se debe utilizar cada mutilizar cada méétodo?todo?
• Consideraciones relativas al conjunto de estimaciones iniciales
• Problemas que pueden plantearse durante la introducción de datos
• Análisis de resultados y resolución de problemas
• Aspectos a considerar en la elección de un paquete de programas
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos78
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MMéétodos BP, SR, Newtontodos BP, SR, Newton--2N y SC2N y SC: sólo compatibles con un conjunto limitado de especificaciones (caudales), que son las que permiten resolver más fácilmente el conjunto de ecuaciones MESH. Suele preferirse otro tipo de especificaciones (pureza).
14
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos79
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Algunos métodos pueden modificarse para adaptarse a un cierto tipo de especificaciones. En otros casos hay conjuntos de especificaciones incompatibles.
• Especificación simultánea de las purezas de las corrientes de cabeza y cola.
• Hay algunas variables pueden ser especialmente sensibles a la especificación.
• Concentración especificada para un componente demasiado pequeña
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos80
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Problemas que pueden plantearse
�Localización del piso de alimentación: si está lejos del óptimo, puede aparecer un pinch-point.
�Un alimento demasiado frío o demasiado caliente puede perturbar uno o más pisos y provocar un pinchpoint.
�La razón de reflujo en cada sector ha de superar el mínimo de operación para la columna. Problemas ocasionados por columnas operando cerca del mínimo.
�No todos los métodos permiten la especificación de la pureza o la recuperación de más de un producto.
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos81
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� En una columna sencilla, dos especificaciones de pureza para el mismo producto o dos especificaciones para la misma corriente pueden ser imposibles.
� Especificación de pureza/recuperación demasiado elevada.
� Las combinaciones de especificaciones de pureza/recuperación y de caudal de producto pueden ser discordantes.
� Especificación de todos los caudales.
� Especificación de un vapor de cabeza en un sistema que contiene incondensables.
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos82
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�Especificación de la temperatura de los pisos.
�Caudales de productos (examinar el alimento y decidir que componentes podrán estar en cada producto a la vista de sus puntos de ebullición).
�Especificación de las pérdidas/aportes de calor y el reflujo o el vapor generado en la caldera (están directamente interrelacionados).
�Especificación de la temperatura y el producto de un piso (sólo hay un margen muy estrecho de soluciones para esta combinación).
Ampliación Operaciones de Separación. 2. Métodos rigurosos83
Universitat d’AlacantUniversidad de Alicanteidealidad del
sistem a
SC Inside-Out Rango de T ª
ebu llic ión
Altam ente no
ideal
Moderadam ente
no idea l
idea l o poco no
ideal
No-equilibrio
- Absorción con
reacción quím ica
- Dependencia de la
transferencia de
m ateria
Destilación
altura de
la
colum na
Relajación Hom otopía
baja alta
destilación absorción
Estrecho
Inside-Out
(Rusell)
(2N-Newton)
Inside-Out
(Ruse ll)
(SR)
Medio
destilación absorción
Inside-O ut
(Boston o
Rusell)
(2N-Newton)
Inside-Out
(Rusell)
(2N-Newton)
Am plio
Destilación
Colum na
Inside-ou t
(Boston o
Rusell)
Com plejaSencillaTam año
co lum na
Inside-Out
(Boston o
Rusell)
(2N-Newton)Baja
AltaInside-Out
(boston)(BP)
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