natuurkunde voor delfstofproductie.ppt 08
Post on 22-Oct-2015
34 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Natuurkunde voor DelfstofproductieNatuurkunde voor Delfstofproductie
P t ti 08
Trillingen
Presentatie 08:
Trillingen
Docent: Dhr. Ir. D. C. Wip.C W pTelefoonnummer: 465558, Ext.: 372.Email-adres: d.wip@uvs.edu.Gebouw: 16, Kamernummer: 78.
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.1
Gebouw: 16, Kamernummer: 78.Studierichting: Delfstofproductie.
Optelling van harmonische trillingen
De werking van 2(twee) trillingen op een lichaam kanDe werking van 2(twee) trillingen op een lichaam kan opgevat worden als de optel som van de 2(twee) trillingen. Elk van de trillingen geeft aan het lichaam een uitwijking.Noem de uitwijkingen u en u De uiteindelijke uitwijking isNoem de uitwijkingen u1 en u2. De uiteindelijke uitwijking is dan de som van uitwijking u1 en u2. Deze optelling is echter niet zonder meer uitvoerbaar, daar het van belang is te weten of de trillingen in de zelfde richting op het lichaam werken ofof de trillingen in de zelfde richting op het lichaam werken, of ze loodrecht op elkaars richting werken, of de trillingen de zelfde periode hebben, enzovoort.
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.2
I. Optelling van trillingen met dezelfde trillingsrichting m.b.v. grafische methode
( )t2iA(t) ( )tω2sinA(t)u 1x1 =( )tωsinA(t)u 2x2 =
Figuur 1
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.3
II. Optelling van trillingen met dezelfde trillingsrichting m.b.v. goniometrische methode
Figuur 2( ) (1)t2iA(t) Figuur 2( )( )
(3)uuu(2)tωsinA(t)u(1)tω2sinA(t)u
x2x1resx
2x2
1x1
+===
−
( ) ( ) (4)tωsinAtω2sinAu:(3)in(2)en(1)rSubstituee
21resx
⎤⎡
+=−
( ) ( )
( ) ( )[ ]
tωsinAA
Atω2sinAA
AAAu22
21
2
22
21
122
21resx
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
++=⇔ −
( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]tωsinsintωcostωsin2cosAAu
(5)tωsinsintω2sincosAAu22
21resx
22
21resx
φφ
φφ
+⋅+=⇔
++=⇒
−
−
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] (6)i2iAA
sintωcoscos2tωsinAA
22
22
21
φφ
φφ ++=
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.4
( ) ( )[ ] (6)sintωcoscos2tωsinAAu 22
21resx φφ ++=⇒ −
II. Optelling van trillingen met dezelfde trillingsrichting m.b.v. goniometrische methode (vervolg)
(4)(3)ldtdAAAI di( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]tωsintωcostωsin2A
tωsinAtω2sinAuuu:(4)en(3)voorgeldtdanAAAIndien
x2x1resx
21
+=+=+=
==
−
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]1tωcos2tωsinA
tωsintωcostωsin2A+=+
( ) ( )[ ] (7)1tωcos2tωsinAu resx +=⇒ −
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.5
III. Optelling van trillingen met dezelfde trillingsrichting m.b.v. wijzerdiagram methode
De wijzerdiagram methode wordt hier toegepast door deDe wijzerdiagram methode wordt hier toegepast door de lengte van de wijzers van de respectieve uitwijkingsfuncties op het zelfde assenstelsel uit te zetten. Het doorlopen van een periode wordt in voor beide trillingen gelijke tijdsintervallenperiode wordt in voor beide trillingen gelijke tijdsintervallen uitgezet, zodat op elk van de tijdstippen de projectie van beide wijzers op de y–as gesommeerd kan worden.
Figuur 3
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.6
Optelling van trillingen met loodrechte trillingsrichting op 3(drie) manieren plaats hebben:1. Grafische methode.2 G i i h h d2. Goniometrische methode.3. Wijzerdiagram methode.
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.7
1. De grafische methode
Deze methode behelst de optelling van de resptieveDeze methode behelst de optelling van de resptieve uitwijkingen van de uitwijkingen van ux en uy. De functies uxen uy zijn respectievelijk en . De uitwijking wordt verkregen door in het x–y vlak de plaats van het trillend punt vast te leggen als functie van de tijd.
Figuur 4Figuur 4
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.8
2. De goniometrische methode
( ) (8)tA(t) ( )
( )Au
tωcos
(8)tωcosA(t)u
x
xx
=⇒
=
( )u
(9)tωsinA(t)uA
yy
x
=
( )
( ) ( ) (10)1tωcostωsin
Au
tωsin
22
y
y
=+
=⇒
( ) ( ):volgt(10)en(9)(8),Uit
(10)1tωcostωsin
22⎞⎛⎞⎛
=+
( ) ( ) (11)1Au
Au
tωcostωsinx
x
y
y22 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+⇒
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.9
3. De wijzerdiagram methode
De wijzerdiagram methode wordt hier toegepast door deDe wijzerdiagram methode wordt hier toegepast door de lengte van de wijzers van de respectieve uitwijkingsfuncties op 2(twee) verschillende assenstelsels uit te zetten. Deze assenstelsels worden zodanig geplaatst dat zij in het verlengde liggen van de as waarop zij loodrecht trillen.
Figuur 5
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.10
De gedempte harmonische trilling
In principe zijn alle trillingen gedempte trillingen tenzij er opIn principe zijn alle trillingen gedempte trillingen, tenzij er op gezette tijden energie wordt toegevoerd. Alle vrije trillingen zijn gedempte trillingen. Bij behandeling van de ongedempte trilling wordt de wrijvingskracht of weerstandskracht die voor de demping zorgt, verwaarloosd. In de gedempte trilling wordt deze wrijvingskracht wel in rekening gebracht. In het j g g galgemeen is de wrijvingskracht evenredig met de snelheid van het trillend systeem. Er geldt dan: (12)vrFwr ⋅−=
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.11
du
(13)durvrF
:(12)voorvolgtdandtduv
wr −=−=
=
(14)FFamF
( )dt
wrdrsystsystres
wr
+=⋅=
d (t):volgt(14)en(13)u(t),bFUit dr
yy
−=
(15)dt
du(t)ru(t)bam systsyst −−=
du(t)u(t)ddu(t)u(t)d
:(15)voorvolgtdandtu(t)da
22
2
2
syst =
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.12
(16)0u(t)bdt
du(t)rdtu(t)dm
dtdu(t)ru(t)b
dtu(t)dm 2syst2syst =++⇔−−=
2
G i h t f it d t k i h i h f ti
(16)0u(t)bdt
du(t)rdtu(t)dm 2
2
syst =++
Gezien het feit dat er sprake is van een harmonische functie kan gesteld worden dat de oplossing een sinus of cosinus functie dient te zijn of een combinatie van de 2(twee). Om de
lijki l ki d i d kki (17)vergelijking op te lossen kiezen we voor de uitdrukking (17):(17).eAu(t) tλ=
d ( )
(t)d
(18)eλAλeAdt
du(t)
2
tλtλ =⋅=⇒
(19)eλAλeλAdtu(t)d tλ2tλ
2
2
=⋅=⇒
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.13
Uitwerking van de bewegingsvergelijking (16) m b v (17)Uitwerking van de bewegingsvergelijking (16) m.b.v. (17), (18) en (19) levert het volgende resultaat:
( )0eAbeλAreλAm
λ2
tλtλtλ2syst =⋅+⋅+⋅
( )( )
b4b4
0bλrλm0eA
(20)0eAbλrλm
22
2syst
tλ
tλ2syst
±
=+⋅+⋅⇒≠
=+⋅+⋅⇔
brrbm4rr
m2bm4r
m2r
m2bm4rr
λ
2t
2
syst
syst2
systsyst
syst2
1,2
−−
=−
±−
=⋅
⋅⋅−±−=⇔
mb
m4r
m2r
m4bm4r
m2r
syst2systsyst
2syst
syst
syst
−±−=±=
(21)eAeAeu(t)
:danvolgteAu(t)Voor
syst2syst
2
syst2syst
2
syst mb
m4r
2m
bm4r
1
tm2
r
tλ
⎪⎬⎫
⎪⎨⎧
⋅+⋅=
=
−−−− tt
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.14
( )( ) 21⎪⎭⎬
⎪⎩⎨
Voor u(t) zijn er 3(drie) gevallen te onderscheiden namelijk:Voor u(t) zijn er 3(drie) gevallen te onderscheiden, namelijk:a. De kritieke demping.b. De sterke demping.c. De zwakke demping.
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.15
a. De kritieke demping
b2
(22)0m
bm4r
syst2syst
2
=−
(23)ωm
bm4r 2
osyst
2syst
2
==⇒
( )
:danvolgt(21)vanu(t)en(23)Uitt
2r
−
( )
(25)AA(t)
(24)AAeu(t)
tωt
m2r
21m2
syst
syst
−−
+=
(25)eAeAu(t) tωm2 osyst ==⇒
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.16
b. De sterke demping
2
(26)0m
bm4r
syst2syst
2
>−
(27)ωm
bm4r 2
syst2syst
2
=−⇒
[ ]
:danvolgt(21)vanu(t)en(27)Uittr
− [ ][ ] (29)eAeAeu(t)
(28)eAeAeu(t)tω
2tω
1tω
tω2
tω1
m2
o
syst
−−
−
+=⇒
+=
[ ] ( )( ) 21
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.17
c. De zwakke demping
b2
bb
(30)0m
bm4r
22
syst2syst
2
<−
:danvolgt(21)vanu(t)en(31)Uit
(31)ωim4r
mbi
mb
m4r
12syst
2
systsyst2syst
2
=−=−⇒
{ } (32)eAeAeu(t)
:danvolgt(21)vanu(t)en(31)Uittωi
2tωi
1tω 11o += −−
( ) ( ){ }( ) ( ){ } (34)tωsinitωcosAeA
(33)tωsinitωcosAeA
112tωi
2
111tωi
1
1
1
−=
+=− ( ) ( ){ }
:(32)in(34)en(33)rSubstituee
( )1122
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.18
( ) ( ) ( ) ( ){ } (35)tωsinAAitωcosAAeu(t) 121121tωo −++= −
c. De zwakke demping (vervolg)
u(t) is reëel dus het imaginair deel van de vergelijking moetu(t) is reëel, dus het imaginair deel van de vergelijking moet 0(nul) zijn, wat betekent dat (A1 – A2) = 0 of A1 = A2.
:(35)uitvolgtdanA A 21 =
( ){ }( ) (37)tωcosAeu(t)
(36)tωcos2Aeu(t)
( )g
tω11
tω21
o
o
−
−
=⇒
=⇒
( ) (37)tωcosAeu(t) 1o=⇒
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.19
Figuur 6Figuur 6
O h t tijd ti t 0 i d it ijki 0( l)Op het tijdstip t = 0 is de uitwijking 0(nul), en de snelheid groter dan 0(nul).
Figuur 7
Op het tijdstip t = 0 is de snelheid 0(nul),
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.20
Op het tijdstip t 0 is de snelheid 0(nul), en de uitwijking groter dan 0(nul).
De gedwongen trilling
Een gedwongen trilling is een proces waarbij periodiekEen gedwongen trilling is een proces waarbij periodiek energie aan het trillend systeem wordt toegevoerd. Wanneer op een niet stijf systeem een uitwendige periodieke kracht wordt uitgeoefend, zal er een gedwongen trilling ontstaan. Indien de periodieke kracht F die op het systeem werkt van de vorm is, kan de algemene ( )tωcosFF o ⋅= , gbewegingsvergelijking voor een gedwongen trilling opgesteld worden. Er geldt dan:
( )o
du(t)u(t)d2
Indien een oplossing voor de vergelijking is:
( ) )38(tωcosFu(t)bdt
du(t)rdtu(t)dm o2syst =++
Indien een oplossing voor de vergelijking is:( ) (39)tωcosAu(t) φ−=
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.21
d (t) ( )
( )u(t)d
(40)tωsinωAdt
du(t)
22
φ−−=⇒
Substitutie van (39), (40) en (41) in de bewegingsvergelijking
( ) )41(tωcosωAdtu(t)d 2
2 φ−−=⇒
(38) levert de onderstaande relatie (42) op:( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )tiAtAtbA
tωcosFtωcosAbtωsinωArtωcosωAm2
o2
⇔
=−⋅+−−⋅+−−⋅
φφφ
φφφ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ] ( ) )42(tωcosFtωsinωrtωcosωmbAtωsinωrtωcosωmtωcosbA
tωsinωrAtωcosωmAtωcosbA
2
2
2
=−−−−⇔
−−−−−⇔
−−−−−⇔
φφ
φφφ
φφφ
( ) ( ) ( )[ ] ( ) )42(tωcosFtωsinωrtωcosωmbA o=−−−−⇔ φφ
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.22
Er kan een geïntroduceerd worden zodanig dattg φEr kan een geïntroduceerd worden, zodanig dat 1tg φ)43(
ωmbωrtg 21 −
=φ
( ) ( ))44(
ωrωmb
ωrsin222
1
+−=⇒ φ
( )( )
( ) ( ))45(
ωrωmb
ωmbcos222
2
1
+−
−=⇒ φ
Stel D b i lijki (38) k h h d
( ) ( )
( ) ( ) )46(Kωrωmb 222 =+−De bewegingsvergelijking (38) kan nu herschreven worden tot (48):
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.23
K
( ) ( ) ( ) ( ) (47)tωcosFtωsinωrKtωcosωmbKA
:KKnamelijk(46),m.b.v.1met(42)gergelijkinbewegingsvdeldigVermenigvu
2
=⎥⎤
⎢⎡
−−−− φφ( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) (48)tωcosFtωsinsintωcoscosKA
:nu(47)wordt(45)en(44)M.b.v.
(47)tωcosFtωsinK
KtωcosK
KA o
=
=⎥⎦
⎢⎣
−−−
φφφφ
φφ
( ) ( )[ ] ( ) (48)tωcosFtωsinsintωcoscosKA o11 =−−− φφφφ
Met de relatie ( ) (49)βiiββ
kan de bewegingsvergelijking nog verder vereenvoudigd worden, namelijk tot:
( ) (49)βsinαsinβcosαcosβαcos −=+
( )[ ] ( ) (50)tωcosFtωcosKA o1 =−+ φφ
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.24
d t(50)lijkib idl tdI di φφ
( )[ ] ( )( ) ( )
(51)tωcosFtωcosKA
:dat(50)gergelijkinbewegingsvdevoorvolgtdanIndien
o
1
=−+⇒
=
φφ
φφ
( ) ( )
( ) ( )(52)
FK
FA
FKAtωcosFtωcosKA
22
o)46(
o
oo
==⇔
⇔=⇔=⇔
( ) ( )ωrωmbK 222 +−
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.25
De amplitudo van de gedwongen trilling wordt na zekere tijdDe amplitudo van de gedwongen trilling wordt na zekere tijd constant. Dit gebeurd indien de uitwendige kracht per periode evenveel arbeid verricht, als nodig is om de vanwege wrijving gedispeerde energie te compenseren. De amplitudo zal dus des te groter zijn, naarmate de wrjvingsarbeid geringer is. Het blijkt dat de amplitudo sterk toeneemt wanneer de frequentie j p qvan de gedwongen trilling ω de frequentie ωo van de ongedempte trilling nadert. Ui d l i blijk d kl i k h h lUit deze relatie blijkt dat een kleine kracht een heel grote uitwijking kan veroorzaken. Er zijn 2(twee) situaties te onder scheiden waarbij het systeem extreme waarden zal aannemen.j ya. Indien r = 0, dan is de amplitudo in formule (52) verworden tot:
(53).F
A o=
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.26
( )(53).
ωmbA
22−
Indien de frequentie van het systeem de natuurlijke frequentieIndien de frequentie van het systeem de natuurlijke frequentie van de ongedempte trilling is, dan zal de noemer 0(nul) worden. De amplitudo wordt dan
(54)mbω o =
( ) ponbeperkt groot en het systeem breekt. Men zegt dan dat voor de resonatie frequentie geldt:
)55(ωω =
b Indien r ≠ 0 is de resonantie frequentie te vinden door
)55(ωω oresonantie =
b. Indien r ≠ 0, is de resonantie frequentie te vinden door differentiatie van de functie. De amplutudo is groot maar blijft eindig. De resonatie frequentie is voor r ≠ 0, dan gelijk aan:
)56(m2r
mbω 2
2
resonantie −=
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.27
m2m
Men noemt de term de dempingsfactor(57)μr=Men noemt de term de dempingsfactor.
Het verband tussen de amplitudo en de verhouding tussen de gedwongen frequentie ω en de eigenfrequentie ωo van de
ij t illi it t hill d d d
(57)μ2m
=
vrije trilling uitgezet voor verschillende waarden van de dempingsfactor μ geeft inzicht in de uitwijking.
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.28
Figuur 8Figuur 8
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.29
Einde van “Presentatie 08”
Collegejaar 2007–2008 AdeK-UvS FTeW 8.30
top related