normálne rozdelenie
Post on 16-Jan-2016
124 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
N(,2)
Normálne rozdelenie
Normálne rozdelenie (Gauss – Laplaceove rozdelenie)
Pravdepodobnostný model chovania sa veľkého počtu náhodných javov
Používa sa pri náhodných veličinách, ktoré sú súčtom veľkého počtu nezávislých alebo len slabo závislých hodnôt
Príklady:
výška, hmotnosť, chyby merania, ...
Vlastnosti normálneho rozdelenia
Za určitých podmienok je možné pomocou Normálneho rozdelenia aproximovať rad iných spojitých i diskrétnych rozdelení
Je symetrické okolo strednej hodnoty, ktorá je súčasne mediánom aj modusom
Hustota pravdepodobnosti normálneho rozdelenia
, 2 sú parametre normálneho rozdelenia
E(x)= je stredná hodnota, ktorá charakterizuje polohu rozdelenia a je to hodnota s maximálnou hustotou
V(x)=2 je rozptyl, variancia
2
2
2
2
1)(
x
ex
Graf hustoty pravdepodobnosti
Normálne rozdelenie má tvar zvonovitej krivky, ktorá nadobúda maximum v bode x= a pri x sa asymptoticky približuje k osi x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61
Distribučná funkcia
Je tabuľkovaná pre hodnoty normovanej normálnej veličiny u
dxexFx x
2
2
2
)(
2
1)(
Normované normálne rozdelenie N(0,1)
Parametre normovaného normálneho rozdelenia:
Normovaná náhodná veličina u
Každé normálne rozdelenie N(,2) je možné pomocou transformácie upraviť na normované N(0,1)
0)( xE
1)(2 xV
xu
Hustota pravdepodobnosti a distribučná funkcia N(0,1)
Hustota pravdepodobnosti normovaného normálneho rozdelenia
je symetrická okolo nuly, preto platí:
Distribučná funkcia
2
2
2
1)(
u
eu
dueuFu u
2
2
2
1)(
)(1)( uu
Transformácie N(,2) N(0,1)
Pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnoty z intervalu x1 až x2
Pravdepodobnosť, že náhodná premenná X je menšia než vopred zvolená hodnota x
)()()( uFuUPxx
PxXP
2121 )(
xxxPxXxP
1221 )()( uFuFuUuP
Hodnoty uvádzané v tabuľkách
V tabuľkách sú uvádzané nezáporné hodnoty )()( uu
)(1)( uFuF
)()( uux
xu
)()( uFuxF
Laplaceova funkcia
V tabuľkách sa často uvádza namiesto distribučnej funkcie
Využíva symetrie distribučnej funkcie
Vlastnosti
0)0( G 5,0)( G
5,0)(2
1)(
0
2
2
uFdueuGu u
)()( uGuG 5,0)( G
Gaussova krivka
Blíži sa asymptoticky k osi xV bodoch ±1 má inflexné bodyDotyčnice v inflexných bodoch pretínajú
os x v bodoch ±2 Polomer krivosti vo vrchole
Maximálna poradnica v osi y0
2 yr 39894,0
2
10 y
Vlastnosti Gaussovej krivky
Malé chyby majú najväčšiu početnosť a koncentrujú sa okolo strednej hodnoty
Cyby hrubé sú za hranicou 3Koeficient šikmosti
Koeficient špicatosti
0
)()(
33
3
3
3
xExEuA
033)(44
4 uE
Porovnanie normálnych rozdelení s rôznymi parametrami
pravidlo 6 - sigma
-0,05
0,05
0,15
0,25
0,35
0,45
-3 -2 -1 0 1 2 3
- ++2-2
-3 +3
68,26%
95,45%
99,73%
top related