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NOTAS DE AULA POII-UFF
Prof. Joo Carlos C.B. Soares de Mello
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PESQUISA OPERACIONAL MODELOS ESTOCSTICOS (PO II)
Professor: Joo Carlos Soares de Mello
Bibliografia:Taha, H.A., Pesquisa Operacional, Pearson, 2008Tavares, L.T.; Oliveira, R.C.; Themido, I.H.; Correia, F.N.
Investigao Operacional, McGraw-Hill, 1996Bronson, R. Pesquisa Operacional, McGraw-Hill (Coleo
Schaum), 1985Fiani, R. Teoria dos Jogos, Campus-Elsevier, 2006Revistas: Pesquisa Operacional, Investigao Operacional,
Gesto & Produo, Produo (www.scielo.org)Pgina: www.uff.br/decisao
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TPICOS Otimizao em redes (Teoria dos Grafos)
Tipologia das decises
Decises sob incerteza (jogos contra a natureza)
Teoria dos jogos Decises sob risco e teoria da utilidade
Decises seqenciais (rvores de deciso)
Processos multidecisor (Teorema de Arrow emtodos ordinais)
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TPICOS Processo de Markov
Processos de nascimento e morte Teoriadas filas
Gesto de estoques
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Teoria dos Grafos Pontes de Knigsberg
na Prssia (atualKalingrado, na Russia):seria possvel percorrer
todas as quatro sees evoltar ao local departida cruzando cada
ponte uma nica vez? Resolvido por LeonhardEuler XVIII
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Teoria dos Grafos Um grafo uma noo simples e abstrata
utilizada para representar a idia de relao entreelementos". Exemplos: ......???
Matematicamente: G = (V,A), onde V o
conjunto de vrtices e A o conjunto de ligaesentre vrtices. Grafo no orientado: ligaes representadas os
pares de vrtices no possuem uma ordem (i,j) =(j,i) = [i,j], aresta Grafo orientado (dgrafo): ligaes (arcos)
representadas por partes ordenados (i,j) (j,i)
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Teoria dos Grafos
Grafo no orientado Grafo orientado
V=(1,2,3,4,5,) V=(A,B,C,D,E)
A=([1,2],[1,3],[3,4], A=((A,B),(A,D),(A,C),(B,C),[3,5],[3,4],[4,5]) (C,E),(D,E),(E,D))
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Representao de um Grafo Listas de Adjacncias: armazena o relacionamento
entre os vrtices em uma estrutura de listas.Representao econmica do ponto de vistacomputacional.
Grafos orientados: duas listas origem - destinos edestino - origensGrafo no orientados: uma lista
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Representao de um Grafo Matriz de adjacncias: dois vrtices so adjacentes
se esto unidos por uma aresta ou arco. MatrizMnxn (n total de vrtices)
Exemplo:
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Representao de um Grafo Matriz de adjacncias valorada - Matriz de
Distncias (custos): valores associados s
ligaes, matriz D
Exemplo
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Percursos em grafos Percurso ou itinerrio ou ainda cadeia umafamlia de ligaes sucessivas adjacentes.
Hamiltonianos: percurso que visita cada vrticeuma nica vez. Problema do Caixeiro Viajante:O Caixeiro Viajante deve sair da sua cidade(origem), visitar cada uma das outras (n-1)cidades uma nica vez e retornar cidade deorigem, de forma tal a percorrer uma nica
distncia possvel Eulerianos: percurso que usa cada ligao
exatamente uma vez. Problema do Carteiro
Chins.: o carteiro deseja percorrer todas as
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Problemas estudados em Grafos O Problema do Caixeiro Viajante
O Problema do Carteiro Chins O Problema de Caminho Mnimo O Problema de Fluxo Mximo O Problema de Fluxo Mximo a custo mnimo rvore Geradora Mnima (AGM)
Colorao em Grafos Roteamento de veculos Etc.
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O Problema de CaminhoMnimo
Objetivo: minimizao do custo de percurso de
um grafo entre dois vrtices, custo este dado pelasoma dos custos de cada aresta percorrida.
Existem muitos algoritmos para resolver este
problema, estudaremos dois: Dijkstra e Floyd Algoritmo de Dijkstra: determina o custo ou
distncia mnima entre uma origem e um destino.
Algoritmo de Floyd: determina os custo oudistncias mnimas entre todos os pares devrtices
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Algoritmo de Dijkstra Para cada vrtices usamos a notao: [c,j] X,chamada de rtulo
c custo at o momento, j vrtice precedente, X podeser T (temporrio) ou P (permanente)
Incio no vrtice origem: [0,-]P
Analisar os vrtices adjacentes e colocamos rtulostemporrios, calculamos a distncia at esse ponto,caso esteja rotulado escolhemos o de menor distncia
Todos os vrtices rotulados, pare, caso contrrio,escolha o de menor custo rotule como P e repetir opasso anterior
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Algoritmo de Dijkstra Exemplo:
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Tipologia das decises
Quanto s informaes Quanto ao nmero de decisores
Quanto aos critrios Quanto ao objeto
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Tipologia das decises - Quantos informaes
Determinsticas Com incerteza
Com risco
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Tipologia das decises - Quantoaos decisores
Mono decisor Multi decisor
Jogos
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Tipologia das decises - Quantoaos critrios
Mono critrio Multicritrio
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Tipologia das decises - Quantoao objeto
Escolha (P ) Classificao (P )
Ordenao (P ) Correta descrio do problema
(P)
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DECISES COM INCERTEZA Sem distribuio de probabilidade Racionalidade do decisor Jogo contra a natureza No usar valor esperado
Auxiliar o decisor, sem respostasprontas
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MTODOS Pessimista (Maxmin). Se algo pode dar
errado, vai dar errado Otimista (Maxmax). Tudo vai dar certo
Savage (intermedirio dos anteriores) Custo de oportunidade perdida. No mequero arrepender da deciso tomada.
Laplace. Valor esperado se as alternativasforem equiproporcionais.
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4504504504504
4003003003003
4253752252252
4703502701501
DCBA
Cenrios de a a d, de estagnao a forte crescimento.
As alternativas representam opes de investimento
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MTODO OTIMISTA
45045045045044003003003003
4253752252252
4703502701501
DCBA
Escolhe-se o maior valor da tabela. O valor 470corresponde alternativa 1.
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MTODO PESSIMISTA
45045045045044003003003003
4253752252252
4703502701501
DCBA
Escolhe-se o menor valor de cada linha. Min1=150,Min2=225, Min3=300, Min4=450. V-se ento qual o maior dos mnimos. Max (150, 225, 300, 450)=450.
Escolhe-se a opo 4.
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MTODO DE LAPLACE
45045045045044003003003003
4253752252252
4703502701501
DCBA
Esp1=(150+270+350+470)/4=310
Esp2=(225+225+375+425)/4=312,5
Esp3=(300+300+300+400)/4=325
Esp4=450
Consideram-se as
alternativasequiprovveis eusa-se o valoresperado. Tem
srias restriesde uso
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MTODO DE SAVAGE
45045045045044003003003003
4253752252252
4703502701501
DCBA
S1=470 +150(1+150(1--
))
S2=425 +225(1+225(1--
))
S3=400S3=400 +300(1+300(1--
))
S4=450S4=450
Faz uma avaliao de cadaFaz uma avaliao de cada
alternativa ponderandoalternativa ponderandootimismo e pessimismo.otimismo e pessimismo.Adota um coeficiente deAdota um coeficiente deotimismo,otimismo, subjetivo esubjetivo edifdifcil de determinar.cil de determinar.ParaPara =1=1 o mo mtodotodootimista. Paraotimista. Para =0=0 oommtodo pessimista.todo pessimista.
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MTODO DE SAVAGE
45045045045044003003003003
4253752252252
4703502701501
DCBA
470 +150(1+150(1--
)>450, significa que a alternativa 1 ser)>450, significa que a alternativa 1 ser
escolhida. Caso contrescolhida. Caso contrrio a escolhida serrio a escolhida ser a alternativa 4.a alternativa 4.
Resolvendo:Resolvendo: 470 +150-150 =450
320320 =300 As duas alternativas s=300 As duas alternativas so equivalentes parao equivalentes para =15/16.`=15/16.`
preciso um otimismo superior a 93,75% para escolher apreciso um otimismo superior a 93,75% para escolher a
alternativa 1alternativa 1
necessnecessrio compararrio compararapenas 1 e 4, japenas 1 e 4, j que 4que 4domina 2 e 3. Ou seja, nadomina 2 e 3. Ou seja, nahiphiptese do decisor achartese do decisor acharque deveria escolher 2 ou 3,que deveria escolher 2 ou 3, melhor escolher 4.melhor escolher 4.
Dominar significa nuncaDominar significa nuncaser pior e ser melhor peloser pior e ser melhor pelomenos um vezmenos um vez
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MTODO DE SAVAGE
S1=470 +150(1+150(1--
))
S2=425 +225(1+225(1--
))
S3=400S3=400 +300(1+300(1--
))
S4=450S4=450
Grfico do mtodo de Savage
0
100
200
300
400
500
Alfa
S
A avaliao otimista sempre superior
pessimista. Este comentrio, que parecebvio, pode no ser vlido em situaes emque otimismo e pessimismo tenham umsignificado diferente, envolvendo valoresrelativos
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MTODO DO MENOR ARREPENDIMENTO
(OU DO MENOR CUSTO DEOPRTUNIDADE PERDIDA)
4504504504504
4003003003003
42537522522524703502701501
DCBA
Verificar qualVerificar qual a melhor opa melhor opo de cada ceno de cada cenrio. Nos cenrio. Nos cenrios A, B erios A, B e
C a melhor alternativaC a melhor alternativa a 4, com valor 450. No cena 4, com valor 450. No cenrio D a melhorrio D a melhoralternativaalternativa a 1 com valor 470. Para cada par (alternativa, cena 1 com valor 470. Para cada par (alternativa, cenrio)rio)
verificaverifica--se quanto se deixou de ganhar por nse quanto se deixou de ganhar por no ter escolhido ao ter escolhido a
melhor alternativa para aquele cenmelhor alternativa para aquele cenrio. Assim, para cenrio. Assim, para cenrio A tendorio A tendo
escolhido a alternativa B o arrependimentoescolhido a alternativa B o arrependimento 450450--150=300. Constr150=300. Constrii--
se uma matriz auxiliarse uma matriz auxiliar
200004
701501501503
4575225225201001803001
DCBA
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MTODO DO MENOR ARREPENDIMENTO
(OU DO MENOR CUSTO DEOPRTUNIDADE PERDIDA)
Os valores da matriz, agora, sOs valores da matriz, agora, so perdas. Quem no perdas. Quem no quer sofrero quer sofrer
crcrticas quer, no pior dos caso, ter a menor perda possticas quer, no pior dos caso, ter a menor perda possvel. Para cadavel. Para cadaalternativa o pior casoalternativa o pior caso a pior perda. A menor das piores perdasa pior perda. A menor das piores perdas aa
escolhida. Temescolhida. Tem--se assim um problemase assim um problema minmaxminmax..
200004701501501503
4575225225201001803001
DCBA
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MTODO DO MENOR ARREPENDIMENTO
(OU DO MENOR CUSTO DEOPRTUNIDADE PERDIDA)
Max1=300Max1=300
Max2=225Max2=225
Max3=150Max3=150
Max4=20Max4=20
Min(300,225,150,20)=20. EscolheMin(300,225,150,20)=20. Escolhe--se a alternativa 4.se a alternativa 4.
200004701501501503
4575225225201001803001
DCBA
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DISCUSSO Diante dos vrios mtodos, qual alternativa
escolher? Depende da psicologia do decisor.
Neste caso h uma rara convergncia paraa alternativa 4. S o otimista escolheria a 1. Savage permite uma anlise de
sensibilidade. Pelo grfico v-se que quasecertamente a 4 seria a escolhida.
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EXEMPLO
005000150A3
15403020A2
0-100100050010A1
C5C4C3C2C1
Observar que nenhuma alternativa dominada
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EXEMPLO MTODOOTIMISTA
005000150A3
15403020A2
0-100100050010A1
C5C4C3C2C1
Escolhida a A1
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EXEMPLO MTODOPESSIMISTA
005000150A3
15403020A2
0-100100050010A1
C5C4C3C2C1
Escolhida a A2
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EXEMPLO MTODO DE
LAPLACE
005000150A3
15403020A2
0-100100050010A1
C5C4C3C2C1
Esp A1= (10+500+1000-100)/5=282
Esp A2=(20+30+40+5+1)/5=19,2
Esp A3=(150+500)/5=130
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EXEMPLO MTODO DE
SAVAGE
005000150A3
15403020A2
0-100100050010A1
C5C4C3C2C1
-
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EXEMPLO MTODO DE
SAVAGE
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
A1
A2
A3
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EXEMPLO MTODO DE
MENOR ARREPENDIMENTO
005000150A3
15403020A2
0-100100050010A1
C5C4C3C2C1
155005000A3
00960470130A2
110500140A1
C5C4C3C2C1
QUAL A ESCOLHIDA?
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FIM DO PRIMEIRO TPICO
EM SEGUIDA: TEORIA DOSJOGOS
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O que um jogo Situaes em que o resultado esperado no
depende s das nossas decises. Interao estratgica
Racionalidade Xadrez, Bridge, Guerra, Cartel, Combate
ao Crime, Localizao, Poltica...
No so considerados jogos de sorte ehabilidade puras.
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Batalha do Mar de Coral II Guerra Mundial, derrota de Guadalcanal para
os japoneses (1942) Transporte de tropas
Risco: poderio areo aliado (americano)
Duas rotas possveis
Dificuldades de reconhecimento aliado
Fevereiro de 1943: transporte de 6900 soldadosem uma frota escoltada a alta velocidade naval.
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Batalha do Mar de Coral Rota Norte: mau tempo
Rota Sul: bom tempo Reconhecimento em uma rota de cada vez
Rota Norte: dois dias de bombardeio se foremdescobertos no primeiro dia,1 caso contrrio
Rota Sul: 3 dias de bombardeio se forem
descobertos no primeiro dia, 2 caso contrrio O que fazer?
MODELO PARA O MAR DE
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MODELO PARA O MAR DE
CORAL
Rota Sul Rota Norte
Busca Sul 3 1
Busca Norte 2 2
MODELO PARA O MAR DE
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MODELO PARA O MAR DE
CORAL
Rota Sul Rota Norte
Busca Sul 3 1
Busca Norte 2 2
Jogo estritamente competitivo, estratgias dominantes
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DILEMA DOS PRISIONEIROSConfessa No confessa
Confessa (-3,-3) (-1,-5)
No confessa (-5, -1) (-2,-2)
Cooperao e competio, combate ao crime,Equilbrio de Nash, timo de Pareto, Deciso
pessimista
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DILEMA DOS PRISIONEIROSConfessa No confessa
Confessa (-6,-6) (-4,-10)
No confessa (-10, -4) (-2,-2)
Dificuldade no Equilbrio de Nash
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TEORIA DOS JOGOS Lgica situacional de Popper: objetividade
dos dados, sem subjetividade dos decisores Entender situaes Aprimorar raciocnio Cournot (1838), Zermelo e o jogo de
Xadrez, Borel e o conceito de estratgia,
von Neumann e Morgenstern 1994, Nash,1950
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JOGOS COM 3 JOGADORES Votao em 2 turnos
O truelo
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Votao em 2 turnos.Diretor 1 Diretor 2 Diretor 3
I Ap Am
Ap I I
Am Am Ap
Primeiro turno entre Investir e Ampliar
Ao estratgica do diretor 2
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O Truelo 3 atiradores
Atirador 1 100% Atirador 2 80%
Atirador 3 20%
TEORIA DA DECISO
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TEORIA DA DECISO
RACIONAL Preferncias do decisor
Relaes binrias: ordem, ordem lata Dadas A e B, A P B, B PA ou A I B
Se A P B e B P C ento A P C Se A I B e B I C ento A I C
Racionalidade forte e fraca Simplicidade, aprendizado, recompensas
IRRACIONALIDADE DE
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IRRACIONALIDADE DE
GRUPO Aumentar programas sociais G
Manter programas sociais M Diminuir programas sociais D
Conservador: D G M Moderado: M D G
Radical: G M D G P M, M P D, D P G
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SOLUO DE JOGOS Eliminao sucessiva de estratgias dominadas: a
racionalidade conhecimento comum Exemplo: Gato e Rato
Emprstimos bancrios: decises simultneas
Renova No renova
Renova 4,4 1,5
No renova 5,1 3,3
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LIMITAO DO MTODO
No exporta Exporta pouco Exporta muito
Investe 2,1 1,0 0,-1
No investe 1,0 2,1 -1,2
No h eliminao de estratgias
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EQUILIBRIO DE NASH Cada estratgia a melhor resposta
possvel s estratgias dos demaisjogadores e isso verdade para todos osjogadores
No exporta Exporta pouco Exporta muito
Investe L2,1 C 1,0 L0,-1
No investe 1,0 L2,1 -1,2 C
COMRCIO
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COMRCIO
INTERNACIONAL
Tarifa protecionista Tarifa simblica
Tarifa protecionista 800, 800 2300, -700
Tarifa simblica -700, 2300 1700, 1700
Compara Nash com Pareto
VRIOS EQUILIBRIOS DE
-
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59/161
VRIOS EQUILIBRIOS DE
NASH
Campanha agressiva
Campanha agressiva -20, -20 10, -10
Campanha normal -10, 10 0,0
Campanha normal
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GUERRA DOS SEXOS
Cinema Jogo
Cinema 2, 1 -1, -2
Jogo -2, -1 1, 2
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61/161
LOCALIZAO Sem custos de transporte: localizao
concentrada Com custos de transporte: Localizao nos
extremos
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Localizao de lojas 3 cidades, ABC d(A,B)=10, d(A,C)=20, d(B,C)=15
P(A)=45%, P(B)=35%, P(C)=20% Rede I (Grande), rede II (pequena)
I e II juntas ou equidistantes, I fica com65% I mais prxima fica com 90%
I mais distante fica com 40% I no fica em C Onde localizar?
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Localizao de lojas Jogo estritamente competitivo(soma=100%)
(I,A), (II,A) g(I)=65% (o mesmo para B) (I,A), (II,B)
g(I)=0,9x0,45+0,4x0,35+0,4x0,2=0,625 (I,A), (II,C)g(I)=0,9x0,45+0,9x0,35+0,4x0,2=0,8
...
-
7/25/2019 NOVOPOII.pdf
64/161
Localizao de lojasII,A II,B II,C
I,A 65 62,5 80
I, B 67,5 65 80
-
7/25/2019 NOVOPOII.pdf
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Soluo As duas em B
Soluo contra intuitiva Jogo estvel, equilibrio de Nash
determinstico.
-
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Jogos de Soma Zero O que um ganha o outro perde
Guerra (ser mesmo), medalhas olmpicas,mercados de demanda fixa.
A soma pode ser constante, no nula. Jogos estveis (exemplo anterior). J tendo
jogado antes, os jogadores repetem asestratgias.
Jogos instveis. Um jogador muda aestratgia como resposta estratgia do
outro
-
7/25/2019 NOVOPOII.pdf
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Jogos de Soma Zero Conceito de maxmin e min max: na pior dashipteses ganhar o mximo ou perder o
mnimo (se perder sempre, para qu jogar?). Matriz do segundo jogador a simtrica da
transposta do primeiro jogador. Estabilidade: se os dois jogadores
concordam com a soluo:
minmax=maxmin=equilibrio de Nash,ponto de sela (rever as lojas).
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Jogo instvelII,A II,B II,C
I,A 2 10 1
I, B 3 -1 -2
II,A II,B
I,A 2 10
I, B 3 -1I,A I,B
II,A - 2 -3
II, B -10 1
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Jogo instvel No tem equilibrio de Nash se for jogado
uma s vez. Resolvido em termos de probabilidades O jogo tem que ser jogado vrias vezes
para se obter um equilibrio de Nash emestratgias mistas, isto , com alternnciaaleatria de estratgias, segundo uma
determinada distribuio de probabilidade
II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1
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Jogo instvel Se o jogador II escolhe a sua estratgia A,
o ganho esperado do jogador I : E1=2p1+3p2 onde pi a probabilidade do
jogador I escolher a estratgia i (ele
controla essa probabilidade, no asescolhas do jogador II). Se II escolhe a sua B, temos E2=10p1-p2
A soma das probabilidades unitria
I, B 3 1
II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1
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Jogo instvel O jogador I quer maximizar o seu ganho. Mas,
qual deles? Deve minimizar o pior caso, que no sabe qual . Pior caso: min [(2p1+3p2), (10p1-p2)]
Max E=min [(2p1+3p2), (10p1-p2)]s.ap1+p2=1
p1,p2 0Isto um PPNL (problema de programao no
linear), no separvel, no diferencivel
,
II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1
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Linearizao Max (2p1+3p2) se este for o menor (podendo ser
igual). Ou, Max (10p1-p2) se o menor for este (podendoser igual)
s.ap1+p2=1p1,p2 0
So, aparentemente, dois Problemas deProgramao Linear (PPL). Mas, E sempre serigual a uma das expresses.
II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1
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Linearizao Max E onde E=(2p1+3p2) e E< (10p1-p2).
Ou, Max E onde E=(10p1-p2) e E< (2p1+3p2)s.a
p1+p2=1
p1,p2 0
As restries de menor podem ser agrupadas
com as de igual, dando duas restries de menorou igual.
II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1
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Linearizao Max E
s.aE 2p1+3p2
E 10p1-p2
p1+p2=1
p1,p2 0
PPL com 3 variveis. Pode ser usado o mtodogrfico?
II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1
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Linearizao p2=1-p1 e p1 est entre 0 e 1.
Max Es.a
E 2p1+3(1-p1)
E 10p1-(1-p1)
p1 1
p1 0
II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1
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Linearizao p2=1-p1 e p1 est entre 0 e 1.
Max Es.a
E -p1+3E 11p1-1
p1 1
p1 0
II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1
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Grfico
Ponto comum s retas:-p1+3=11p1-1, donde p1=1/3 ep2=2/3. E=-1/3 + 3 = 8/3
p1=1/3p1=1/3p1=1/3p1=1/3
II,A II,BI,A 2 10I, B 3 -1
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E para o segundo jogador?
p1=1/3p1=1/3p1=1/3p1=1/3
Usar dualidade
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JOGOS REPETIDOS-Jogo possui uma histria prvia de
conhecimento comum.-Negcios, poltica, biologia.
-Formao de carteis: o cartel no estvel.Exemplo: OPEP e a tica entre ladres.
-Ganha-se com coordenao, mas mais ainda
se apenas um trapacear.
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COALIZO Coordenao de quantidades ou preos. O
caso extremo o cartel em que se chega aopreo do monoplio. Pode haver conluios explcitos e tcitos.
Os explcitos so, normalmente proibidospor lei.
Conluios tcitos: empresas dominantes,pontos focais.
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REPETIO E se o jogo for realizado outra vez?
Os jogadores sabem que na segunda vezno haver cooperao.
Logo, no h incentivo para cooperao naprimeira.
Pode-se generalizar para qualquer nmero
de repeties finitas.
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JOGOS REPETIDOS Loja dominante com nmero finito de unidades.
Se no valer a pena impedir a concorrncia umavez, no valer nunca. Ou seja, no vale a penater fama de durona.
Cartis existem, obstculos concorrnciaexistem. O que falha?
Hipteses simplificadoras: custos no
conhecidos, modelagem finita no apropriada.
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EQUILIBRIOS ADICIONAIS Todo o equilbrio de Nash em jogo
simples, tambm em jogo repetido. Jogos com mais de um equilbrio de Nash
podem gerar repeties em que o equilbriono nenhum dos originais.
Situao de ameaas
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AMEAAS Urgente Normal RpidaEspecial 4,3 0,0 2,5*
Comum 0,1 2,2* 0,1
Primeiro ano: Especial, urgente
Segundo ano: mantm se o compromisso foi honrado,muda para comum normal caso contrrio
Qual o novo equilbrio?
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INDUO COOPERAO Coero externa: punies adequadas,
custo da estrutura. Cooperao espontnea: estratgia severa e
de Talio.
Probabilidade do jogo acabar.
Fatores de desconto e somas infinitas.
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DECISES SEQUENCIAIS
rvores de deciso e jogossequenciais
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DECISES SEQUENCIAIS Aps uma tomada de deciso espera-se um
acontecimento para toma a prximadeciso
O acontecimento pode ser aleatrio (rvorede deciso) ou a deciso de outro (jogosequencial)
Forma matricial e estendida.
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EXEMPLO Duas empresas, dominante e desafiante.
Desafiante: entra ou no Dominante: acomoda ou luta
No entra, (0,10) Entra, luta (-1,9)
Entra acomoda (3,7)
Sub jogos e soluo reversa
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Ameaas e promessas: regulao
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Credibilidade
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Jogos sequencias contra o acaso Segundo jogador no racional
Podem ser estimadas probabilidades Valor esperado ou pessimista
Indicar se deciso ou acaso
Exemplo
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Recursos provveis num terreno Companhia oferece 60 pelos direitos Opo para investimentos futuros se os atuais forem
promissores: valor 600 Explorao prpria : 100 de custo inicial, 2000 de lucro
se houver explorao positiva Supor probabilidade de haver o recurso de 60% E se houver uma opo de terceirizar aps a descoberta
do recurso?
E se a empresa tiver outros terrenos para pesquisar?
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Mtodos ordinais multidecisor
Mtodos Ordinais
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Problema: existem n ordenaes
(correspondendo a n critrio ou ndecisores). Como fazer uma ordenaojusta?
O que uma ordenao justa?
Escolha justa-Axiomas de Arrow
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Independente em relao s alternativas
irrelevantes Ordem total (sem intransitividades e sem
incomparabilidades)
Unanimidade de Pareto
Universalidade
S MTODOS DITATORIAIS
Mtodos de ditador
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Ditador puro
Ditadores sucessivos (ou lexicogrfico) De novo as medalhas
Bb x Azar
Mtodo de Borda
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Chevalier de Borda
Revoluo francesa Soma de postos
No respeita a independncia em relaos alternativas irrelevantes
Exemplo piorado: Frmula 1
Exemplo para fazer por Borda
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D1 D2 D3
a b b
d a ae e c
c c d
b d e
a 5
b 7
c 11d 11
e 11
Borda: retira-se c, d
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D1 D2 D3
a b b
e a a
b e e
a 5
b 5
e 8
Borda: retira-se c, d, e
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D1 D2 D3
a b b
b a a
a 5
b 4
Dependo do conjunto de anlise pode-se ter aPb, bPa
ou aIb.
Mtodo de Condorcet
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Resolver o paradoxo de Borda
Considera apenas as alternativas duas aduas.
Constri uma matriz binria
Maria Jean de Caritat, Marquis deCondorcet
Para o exemplo de Borda:
comparaes pareadas
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comparaes pareadasa 1 x b 2
a 3 x c 0
a 3 x d 0
a 3 x e 0
b 2 x c 1
b 2 x d 1
b 2 x e 1
c 2 x d 1
c 1 x e 2
d 2 x e 1
Para o exemplo de Borda: matriz
de Condorcet
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de Condorceta b c d e
a 0 1 1 1
b 1 1 1 1
c 0 0 1 0
d 0 0 0 1e 0 0 1 0
B ganha de todos. colocado em primeiro eretirado da matriz. Destilao descendente.
Para o exemplo de Borda: matriz
de Condorcet
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de Condorcet
A ganha de todos. colocado em segundo eretirado da matriz. Destilao descendente.
a c d e
a 1 1 1
c 0 1 0
d 0 0 1
e 0 1 0
Para o exemplo de Borda: matriz
de Condorcet
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de Condorcet
c ganha de d que ganha de e que ganha de c. Ciclode intransitividade. No fornece ordenao.Paradoxo de Condorcet.
c d e
c 1 0
d 0 1
e 1 0
Mtodo de Copeland:
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a b c d e
a 0 1 1 1
b 1 1 1 1
c 0 0 1 0
d 0 0 0 1e 0 0 1 0
a=3
b=4
c=1
d=1e=1
Tirou a intransitividade. Empate bem diferente de
intransitividade.
Copeland=Condorcet quando no intrnasitividade..Quando h. melhor que Borda para resolver.
Tratamento de empates nas
ordenaes: Borda
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ordenaes: Borda: D1 D2
a,b a,b,c
c d
d
a 1,5+2
b 1,5+2
c 3+2
d 4+4
Tratamento de empates nas
ordenaes: Condorcet
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ordenaes: Condorcet: Substituir ganhar por no perder
a b c d
a 1 1 1 1
b 1 1 1 1
c 0 0 1 1
d 0 0 0 1
a,b empatado em primeiro, c em terceiro, d em quarto.
Tratamento de empates nas
ordenaes: Copeland
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ordenaes: Copeland
:
Fazer linhas menos colunasa b c d
a 1 1 1 1
b 1 1 1 1
c 0 0 1 1
d 0 0 0 1
a,b empatado em primeiro, c em terceiro, d em quarto.
a=2, b=2, c=-1, d=-3
Borda no SIAD: Invertido
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DECISES COM RISCO
Risco e utilidade
Deciso com risco
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conhecida uma distribuio de
probabilidade Valor mdio, com seus problemas; moda
Deciso eficiente: conceito de risco
Escolha entre decises eficientes
Propenso e averso ao risco.
Loterias
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Um evento estocstico com apenas dois
resultados. P(A)=1-P(B)
Utilidade
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Verdadeiro valor do ganho
Definida probabilisticamente. Se definidadeterministicamente chama-se funo devalor
Exemplo: loteria do milho, rea para umafbrica, nota numa matria, tamanho de
onda, salrio, raspadinha...
Utilidade
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Averso ao risco: utilidade marginal
diminui Propenso ao risco: utilidade marginalaumenta
Utilidade assinttica Teorias psicolgicas da utilidade
Utilidade
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Utilidade de von Neumann: Indiferenaentre obter um ganho e, com 100% de
probabilidade e participar de uma loteriaem que o maior valor tem probabilidade pe o menor 1-p. Determinar esse p.
U(e) =pU(max) + (1-p)U(min) Se normalizado, U(e) = U(max)
Crticas conduzem a funes de valor
Funes usadas para modelar a
utilidade
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utilidade Raiz
Ln[(a+bx)/c] Arctg
tgh
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PROCESSOS DE MARKOV
Definies bsicas
E d d i i
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Estado de um sistema: situao em que seencontra em determinado tempo
Vetor de estado: indica a probabilidade de cadaestado, em um determinado instante ou etapa doprocesso
Processo de Markov: a probabilidade de numaetapa o sistema se encontrar em um determinadoestado, depende apenas do estado anterior (sem
memria) Cadeia de Markov: processo de Markov discreto
Definies bsicas
P b bilid d d t i b bilid d d
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Probabilidade de transio: a probabilidade de osistema chegar ao estado j na etapa n+1, dado que
na etapa n estava no estado i. Matriz de transio: matriz composta das
probabilidades de transio
Propriedades: produto de matrizes de transio uma matriz de transio, produto de uma matrizde transio por um vetor de estado um vetor de
estado Transies sucessivas
Exemplos
Vi j d i f
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Viajar de vrias formas
Processos peridicos Estados absorventes
Matriz regular
P l t i d t i t h
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Pelo menos uma potncia da matriz no tem nenhumvalor nulo
Comportamento esttico: vP=v Significa tem um autovalor unitrio
O autovetor associado o vetor de estado no infinito, ou
vetor fixo. Vetor fixo independe do estado inicial:
n
lim
(n) =n
lim
(0). P n =
Cada linha da matriz converge para o vetor v
Exemplo: manuteno de uma
mquinaE i b
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q Esperar que a mquina quebre
Trocar no comeo do quarto ms Trocar no comeo do terceiro ms
Trocar no comeo do segundo ms1 a mquina inicia o primeiro ms de operao e a substituiofoi planejada.Q a mquina inicia o primeiro ms de operao
e a substituio se deveu a quebra da anterior.2 a mquina inicia o segundo ms de operao.3 a mquina inicia o terceiro ms de operao.4 a mquina inicia o quarto ms de operao.
Exemplo: manuteno de uma
mquinaC t d t d 500
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q Custo de troca programada 500
Custo de troca por quebra 1500 Probabilidade de quebrar no ms 1: 0,1
Probabilidade de quebrar at o ms 2: 0,2
Probabilidade de quebrar at o ms 3: 0,5
Probabilidade de quebrar at o ms 4: 1
DETERMINE A POLTICA TIMA
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TEORIA DAS FILAS
Fogliatti, MC, Mattos, N.M.C.,Teoria das Filas, 2007, Intercincia
Teoria das Filas
Surge no incio do sculo XX para centrais
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Surge no incio do sculo XX para centrais
de telefone. Existncia de filas: clientes que precisamde um servio.
Fonte (populao), fila, servio, sistema
Fonte
Universo onde se encontram a populao que
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Universo onde se encontram a populao quedar origem aos clientes
Populao: finita, infinita. Influncia naprobabilidade de novas chegadas.
Chegadas simples e em grupo
Chegadas controlveis e incontrolveis Taxa de chegada (cliente por unidade de tempo).
Pode ser constante ou aleatrio. Mede-se o tempo
entre duas chegadas. Clientes podem ser pacientes ou impacientes
Fila
Simples e mltiplas
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Simples e mltiplas
Finita ou infinita Disciplina: FIFO (PEPS), FILO (PEUS),
aleatria, prioridades.
Servio
Simples ou em grupo
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Simples ou em grupo
Tempo de servio Taxa de servio (numero de clientes por
unidade de tempo)
Parmetros e critrios
Congestionamento: tempo do cliente
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Congestionamento: tempo do cliente
pouco valorizado Ociosidade: tempo do cliente muitovalorizado
Parmetros e critrios
Comprimento mdio da fila L
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Comprimento mdio da fila Lq
Nmero mdio de clientes no sistema L Tempo mdio de espera na fila Wq Tempo mdio de espera no sistema W
Taxa de ocupao
Probabilidade de haver n atendentes
desocupados...
Parmetros e critrios
Pn Probabilidade de haver n elementos no
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sistema
P (n k) Probabilidade de haver k ou maiselementos no sistema
P (W>t)
taxa de chegada. O seu inverso o intervalomdio de chegada.
taxa de servio e seu inverso o tempo mdio
de servio Taxa de ocupao
Distribuies usuais
Exponencial negativa f(t) =a.exp (-at)
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p g ( ) p ( )
Poisson f(x)= (at)x.exp (-at)/x!
Clculo de valor esperado, varincia, CV
Propriedade inversa
Falta de memria:P(T>a+b/T>b)=P(T>a+b)/P(T>b)=P(T>a)
Distribuio de chegadas em relao mdia
Relao fundamental
L=W
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L W
Lq=Wq W=wq+1/
L=Lq+ /
Classificao das filas
X/Y/Z/W
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W
Entrada, sada, nmero de servidores,outras propriedades (finita, paciente...)
M/M/1
Nascimento e morte M/M/1
Estado zero para 1 com chegada
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Estado 1 para zero com sada, para 2 com
chegada P1=P0 P1 = P0 / Generalizando: Pn = nP0 /n ou Pn = nP0 Somatrio dos P deve ser unitrio Utilizando convergncia chega-se taxa de
desocupao e seu valor
Nascimento e morte M/M/1
O comprimento do sistema igual ao valor
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p g
mdio do estado do sistema, somatrio den por Pn.
L= /( -) Para a fila, Lq=L-(1-Po)
Formulrio M/M/1
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Exemplo
Caminhes a serem descarregados
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g
Chegada de 16 por dia
105
124
153
202
501
Tempo (minutos)Funcionrio
Exemplo
Caminho parado: 3000/h
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Funcionrio 1500/h Dia de trabalho com 8h
Quantos empregados contratar?
Formulrio M/M/S
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Exemplo
Verificar o que melhor para a fila:
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duplicar a velocidade de atendimento ouduplicar o nmero de servidores.
Comprimento Limitado e um
servidor M/M/1/K n= para n de 0 a k-1
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n=0 caso contrrio mdio= (1-Pk)
preciso distinguir entre taxa de ocupaoe taxa de presso. A taxa de presso destecaso equivale de ocupao no caso
M/M/1
Formulrio para M/M/1/K
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Exemplo
Porto com um guindaste mvel de descarga edois beros
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dois beros.
Porto ocupado implica em desviar navios. Custode 20000 por navio desviado e de 12000 por diapor navio parado.
Chegadas markovianas de 3 navios por dia eatendimento de 5 navios por dia. Expanso para 3 beos custa 1000 por dia. Vale a
pena?
Formulrio para populao finita
(M/M/1/N)
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M/G/1
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Exemplo
Chegada markoviana de 15 clientes porhora
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hora
Tempo de atendimento mdio de 3 minutos a)Com distribuio constante (varincia
nula) b)Com distribuio uniforme entre 1 e 5minutos
c)Com distribuio exponencial
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GESTO DE ESTOQUES
Papel dos estoques
Haver abastecimento quando a procura superior oferta
Manter o abastecimento quando no h produo
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Manter o abastecimento quando no h produo
Modelos de gesto de estoques
Determinsticos ou Estocsticos Quanto comprar
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Quanto comprar
Quando comprar Minimizao de custos (incluindo perda de
oportunidade)
Acumulao de estoques custos de posse Baixo estoque mau servio Modelos diferentes para vrios itens
classificao ABC
Custos dos estoques
Aquisio: pagamento ao fornecedor. C1.Q
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Encomenda: custos administrativos,geralmente fixos e sub-avaliados. A
Custo de posse: seguros, aluguel de
espao, capital imobilizado, obsolescncia Custos de quebra
Modelos determinsticos
Reposio: instantnea, gradual
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Procura: constante, varivel Quebra: permitida, no permitida
Preo: constante, com descontos
Modelos determinsticos
Reposio instantnea, procura constante,quebra no permitida, sem descontos
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quebra no permitida, sem descontos
Q: Quantidade encomendada T: intervalo entre encomendas
r: procura por unidade de tempo(determinada por modelos de previso,aqui suposta conhecida)
Q=Tr
Modelos determinsticos
Custo de encomenda: A C : manter uma unidade de artigo numa
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C2
: manter uma unidade de artigo numaunidade de tempo. Custo de todas asunidade, variveis no tempo, a integral aolongo do perodo T= C
2
(Q/2)T CT=A+C2(Q/2)T Ciclos de tamanho diferente no so
comparveis.
Modelos determinsticos
Custo por unidade de tempo
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K=CT/T=A/T + C2Q/2=Ar/Q + C2Q/2 Custo mnimo: deriva e iguala a zero
Q*=(2Ar/C2)1/2
E os custos de aquisio C1Q?
A derivada nula, no interferem nos
valores timos das variveis de deciso
Anlise de sensibilidade
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Modelo robusto, curva quase plana no mnimo.; Melhorcomprar mais que menos. E o JIT,como fica?
Outros casos
Reposio no instantnea: fazer o grfico ecalcular nova integral
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Demanda varivel: fazer o grfico e calcular novaintegral
Quebra permitida: incluir o custo de quebra.
Nova varivel quanto de quebra se permite.Problema com derivadas parciais Custo de encomenda varivel: incluir esse custo
no custo total e resolver novo problema deotimizao
Exemplo
Consumo: 10000/ano
Custo unitrio: 3100 at 2000 unidades, 3000
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Custo unitrio: 3100 at 2000 unidades, 3000
entre 2000 e 5000 unidades, 2900 para mais de5000 unidades
Custo fixo 5000
Custo de posse 600/unidade/ano (na verdade tempequenas variaes pelos descontos)
Calcular o lote timo
Modelos Estocsticos
Encomenda fixa no ponto de encomenda,intervalos variveis
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intervalos variveis
Intervalos de tempo fixos, quantidadevarivel
Ambas trabalham com estoques desegurana
Simulao
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FIM
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