Übung zur gleichnamigen vorlesung, ss 2016 jana börner, julia...
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Inverse Probleme in der GeophysikÜbung zur gleichnamigen Vorlesung, SS 2016
Jana Börner, Julia Weißflog
Ziel
ZIEL DER ÜBUNG
Einführung in inverse Probleme
Handwerkszeug zur Lösung inverser Aufgaben
Überblick zu Inversionsverfahren
Nutzung von A-Priori-Information
Auswirkung von Datenfehlern
Nur mit Hilfe von Inversionsrechnungen könnengeophysikalische Messungen petrophysikalisch undgeologisch richtig interpretiert werden!
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Ziel
ZIEL DER ÜBUNG
Einführung in inverse Probleme
Handwerkszeug zur Lösung inverser Aufgaben
Überblick zu Inversionsverfahren
Nutzung von A-Priori-Information
Auswirkung von Datenfehlern
Nur mit Hilfe von Inversionsrechnungen könnengeophysikalische Messungen petrophysikalisch undgeologisch richtig interpretiert werden!
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Ziel
ANWENDUNGSBEISPIELE
Lösen von Gleichungssystemen
Lineare Regression als inverses Problem
Bildkomprimierung mittels Singulärwertzerlegung
Laufzeit-Tomographie
1D-Inversion von DC-Sondierungskurven
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Ziel
INHALT
Einführung
Lineare Inversion
Nichtlineare Inversion
Literatur
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Einführung
Einführung
Lineare Inversion
Nichtlineare Inversion
Literatur
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Einführung
ZielBestimme eine plausible Verteilung von Modellparametern ~m,welche die gemessenen Daten ~d erklären:
~m = F−1(~d). (1)
Dabei ist der Vorwärtsoperator F im Wesentlichen einepartielle Differentialgleichung, die physikalische undgeometrische Abhängigkeiten beschreibt.I. A. liegt das Vorwärtsproblem
F(~m) = ~d (2)
in diskretisierter Form (FD, FE, . . . ) vor.
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Einführung
Lineares Problem
F hängt nicht von ~m ab:
F · ~m = ~d. (3)
Beispiel: Gravimetrie, Magnetik, Tomographie mit linearemStrahlengang
Nichtlineares Problem
F hängt von ~m ab:F(~m) = ~d. (4)
Beispiel: Geoelektrik, elektromagnetische Methoden,Tomographie unter Berücksichtigung der Brechung
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Einführung
~m = F−1~d ergibt i. A. keine Lösung, weil ...
... F nicht invertierbar ist.
... das inverse Problem nicht korrekt gestellt ist. D.h. dieForderungen von Hadamard hinsichtlich der
1. Existenz einer Lösung2. Eindeutigkeit der Lösung3. Stetigkeit der Lösung bei Datenfehlern
sind nicht erfüllt.
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Einführung
AufgabentypEntscheidend für den Aufgabentyp sind die AnzahlMessungen N und die Anzahl der Modellparameter M.
Überbestimmtes ProblemN > M: Mittels Ausgleichsrechnung wird eine Lösung imSinne kleinster Quadrate gesucht.
Unterbestimmtes ProblemN < M: Zusätzliche Forderungen an die Lösung führen zuEindeutigkeit.
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Einführung
Beispiel: Überbestimmtes ProblemBestimme einen PunktP(x1, x2) welcher die fol-genden Gleichungen er-füllt:
x1 − x2 = −12x1 − x2 = 0x1 + x2 = 2.5︸ ︷︷ ︸
A~x=~b(5)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x1
x2
x1 + 1
2 * x1
2.5 − x1
Loesung A\b
Loesung NG
Es gibt mehr Gleichungen als Unbekannte. Lösung ist derPunkt P mit dem geringsten Abstand zu allen drei Geraden.
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Lineare Inversion
Einführung
Lineare InversionDie Methode der kleinsten QuadrateSingulärwertzerlegungTomographieRegularisierung
Nichtlineare Inversion
Literatur
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Lineare Inversion
DIE METHODE DER KLEINSTEN QUADRATEAusgangspunkt ist die Minimierung der Euklidnorm desResiduums bzw. der Zielfunktion Φ:
Φ(~x) =‖ A~x− ~b ‖22:=
√∑i,j
(Aijxj − bi)2
2
→ min
= (A~x− b)T(A~x− b)
= ~xTATA~x−~xTAT~b− ~bTA~x+ ~bT~b (6)
Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremums istdas Verschwinden der ersten Ableitungen von Φ(~x) nach allenParametern in ~x:
∂Φ(~x)∂~x
!= 0.
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Lineare Inversion
Aus der partiellen Ableitung von Gleichung (6)
∂Φ(~x)∂~x
= 2ATA~x− 2AT~b != 0
folgt schließlich das System der Normalgleichungen
ATA~x = AT~b (7)
mit der Lösung im Sinne der kleinsten Quadrate(„Least-Squares-Lösung“)
~xls = (ATA)−1(AT~b). (8)
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Lineare Inversion
1. Aufgabe: Least-Squares-Ansatz1. Lösen Sie das Gleichungssystem (5) mit Hilfe der
Methode der kleinsten Quadrate! Stellen Sie dazu dieNormalgleichungen auf und lösen Sie diese nachGleichung (8)!
2. Überprüfen Sie das Ergebnis mit Hilfe der Grafik aufFolie 9!
3. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Lösung von A\~b!Was ist daraus zu schließen?
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Lineare Inversion
Lineare Regression
Finde m und n so, dassdie Gerade y = mx +n die gegebenen Punk-te im Sinne der kleinstenQuadrate nähert.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x
y
Regressionsgerade
Punkte
Mittels der Methode der kleinsten Quadrate wird eineAusgleichsgerade durch die Punktschar gelegt.
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Lineare Inversion2. Aufgabe: Lineare RegressionGegeben seien die Koordinaten (xi, yi) der Punkte P1 bis P11,sowie die lineare Abbildung (m, n)→ (mx+ n). Dabei stellenn und m die gesuchten Modellparameter dar.
1. Stellen Sie das lineare Gleichungssystem für diegegebene Abbildung auf (vgl. Folie 9).
2. Erzeugen Sie eine Funktion ’linreg.m’! (Bittekommentieren!)
3. Stellen Sie das System der Normalgleichungen auf.Lösen Sie anschließend dieses Gleichungssystem.
4. Geben Sie m und n als Funktionswerte zurück.
5. Testen Sie die Funktion mit beliebigen Daten (grafischerVergleich)!
Zusatz: Berechnen Sie die Summe der Quadrate derAbweichungen der einzelnen Punkte von der Geraden(Fehlerquadratsumme)!TU Bergakademie Freiberg | Jana Börner, Julia Weißflog | Inverse Probleme, SS 2016 | 07. Juni 2016 15
Lineare Inversion
SINGULÄRWERTZERLEGUNG
Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen
Multipliziert man einen Vektor ~x ∈ Rn\{~0} mit einer MatrixA ∈ Rn×n, so ändert sich i. A. seine Richtung und sein Betrag.Erfüllt ~x jedoch die Gleichung
A~x = λ~x −→ (A− λI)~x = ~0, (9)
so ist der resultierende Vektor stets parallel zumAusgangsvektor. Man bezeichnet ~x als Eigenvektor (EV) derMatrix A.
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Lineare Inversion
Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer MatrizenDie zugehörigen Eigenwerte (EW) λ verändern den Betragvon ~x (und ggf. sein Vorzeichen) und ergeben sich aus denNullstellen des charakteristischen Polynoms:
cA(λ) = det(A− λI) = 0. (10)
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Lineare Inversion
3. Aufgabe: Berechnung von EW und EV
Gegeben ist die Matrix A: 2 −3 13 1 3−5 2 −4
(11)
Bestimmen Sie die Eigenwerte (Gl. (10)) der Matrix A.
Hausaufgabe
1. Bestimmen Sie die Eigenvektoren (Gl. (9)) der Matrix A.
2. Geben Sie außerdem die algebraische und geometrischeVielfachheit der EW an.
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Lineare Inversion
Zu voneinander verschiedenen EW lässt sich stets ein Satz vonlinear unabhängigen EV finden.(Ausnahme: geometrische Vielfachheit < algebraischeVielfachheit)
Symmetrische MatrizenIm Speziellen sind die EV von symmetrischen Matrizen immerorthogonal zueinander.Weiterhin existiert eine Faktorisierung/Zerlegung mit den EWin der Diagonalmatrix D und den zugehörigen EV in derMatrix U:
A = UDUT. (12)
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Lineare Inversion
Da U eine Orthogonalmatrix ist, gilt U−1 = UT.Mit Hilfe dieser Beziehung und unter Verwendung vonGleichung (12) lässt sich die Diagonalisierung der Matrix Abeschreiben:
U−1AU = D. (13)
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Lineare Inversion
Singulärwertzerlegung (SVD) rechteckiger Matrizen
Wir konstruieren aus einer Rechteckmatrix A ∈ Rn×m einesymmetrische quadratische Matrix S:
S =
(0 AAT 0
). (14)
Diese besitzt eine Eigenwertzerlegung der Form:
S~wi = σi~wi mit ~wi =
(~ui~vi
). i = 1 . . . n+m (15)
Dabei wird ~w in einen n-dimensionalen “Datenanteil“ ~u undeinen m-dimensionalen ”Modellanteil“ ~v zerlegt.
Beachte: Wir bezeichnen die EW der Matrix S mit σ.TU Bergakademie Freiberg | Jana Börner, Julia Weißflog | Inverse Probleme, SS 2016 | 07. Juni 2016 21
Lineare InversionModell- und Datenvektorraum
Wir erhalten zwei gekoppelte Singulärwertprobleme (SP) für Aund AT: A~vi = σi~ui, (16)
AT~ui = σi~vi. (17)
Um die SP zu entkoppeln, multiplizieren wir die Gl. (16) und(17) mit AT bzw. A und erhalten nach Substitution dieEigenwertprobleme (EP):
ATA~vi = σ2i ~vi, (EP des Modellraums) (18)
AAT~ui = σ2i ~ui. (EP des Datenraums) (19)
Beachte:
Bei ATA und AAT handelt es sich stets um symmetrischeMatrizen!
Die Eigenwerte σ der Matrix S entsprechen den Singulärwertender Matrix A!
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Lineare Inversion
Ausgehend von Gleichung (16) erhält man analog zum Fallquadratischer Matrizen eine Singulärwertzerlegung(Faktorisierung) der Matrix A ∈ Rn×m in der Form:
A = UWVT. (20)
Aufgrund der Orthogonalität der EV gilt: U−1 = UT undV−1 = VT.Dabei bilden die normierten Eigenvektoren
in U ∈ Rn×n den Datenvektorraum (aus Gl. (18)) und
in V ∈ Rm×m den Modellvektorraum (aus Gl. (19)).
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Lineare Inversion
Die ”rechteckige Diagonalmatrix“ W ∈ Rn×m wird aus denSingulärwerten σ der Matrix A gebildet (vgl. Gl. (16)). Dieseerhält man aus den Quadratwurzeln der EW von ATA undAAT:
W enthält im linken oberen Block diag(σ1, σ2, . . . , σl),wobei σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σl mit l = min(n,m)
σ mit algebraischer Vielfachheit k werden dabei k-fachaufgeführt.
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Lineare Inversion
4. Aufgabe: a. SVD
Betrachten wir die Matrix A =
1 1 00 0 10 0 −1
. Weder ihre
Spalten- noch ihre Zeilenvektoren sind linear unabhängig.
1. Berechnen Sie die Singulärwerte von A mit Hilfe derEigenwertzerlegung von ATA und AAT! Vergleichen Siedas Ergebnis der Handrechnung mit den Resultaten derFunktion ’eig’!
2. Machen Sie sich mit der Funktion ’svd’ vertraut undberechnen Sie die Singulärwertzerlegung der Matrix A!
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Lineare Inversion
Der verallgemeinerte VorwärtsoperatorDie Singulärwerte σi stellen Elemente einer Wichtungsmatrixfür die einzelnen Daten- und Modellvektoren dar. Die zuverschwindenden Singulärwerten σi = 0 gehörenden ~ui und ~vispannen den Daten- bzw. den Modellnullvektorraum auf. Dadie Beiträge der Nullvektorräume keinen Einfluß auf dasVorwärts- bzw. Inversionsproblem haben, erhalten wir durchausschließliche Betrachtung der r nichtverschwindenenSingulärwerte einen für unser Problem äquivalentenverallgemeinerten Operator:
Ar = UrWrVTr . (21)
Beachte:
Bei rechteckigen Matrizen A existiert immer ein Daten- oderModellnullvektorraum!
Bei quadratischen Matrizen existiert entweder ein Daten- undModellnullvektorraum gleicher Dimension oder keiner vonbeiden!
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Lineare Inversion
Die verallgemeinerte Inverse
Da U und V orthogonal sind, existiert weiterhin einesogenannte verallgemeinerte Inverse (Pseudoinverse) A† vonA:
A† = VrW−1r UTr . (22)
Die Lösung eines Gleichungssystems A~x = ~y ergibt sich dannwie folgt:
~x = A†~y. (23)
Für die meisten Probleme werden Singulärwerte nicht exaktNull, sondern sehr klein. Dann kann anstelle des Rangs r ein„Pseudorang“ bzgl. einer gewissen Genauigkeit für dieRekonstruktion der Matrix gewählt werden.
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Lineare Inversion
4. Aufgabe: b. SVD - Modell- und Datenvektorräume
1. Schauen Sie sich erneut die SVD von A an. Wo liegen derDatenvektorraum, der Modellvektorraum und dieNullvektorräume in U und V?
2. Berechnen Sie die verallgemeinerte Inverse A† der MatrixA aus Aufgabe 4 a) nach Gleichung (22) und lösen SieA~x = ~y für ~y = (1,2,1)T!
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Lineare Inversion5. Aufgabe: Bildkomprimierung mittels SVDDie Idee der Bildkomprimierung besteht in der Zerlegung derBildmatrix mittels SVD und dem Weglassen niedriger Singulärwerte.
1. Speichern Sie dasBild:http://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institute-of-geophysics-and-geoinformatics-575/weissflog/basket.jpg im Arbeitsverzeichnis und stellen Siees dar: imread, imagesc, colormapaxis(’image’), axis(’off’)
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Lineare Inversion
2. Zerlegen Sie die Matrix mit Hilfe der Funktion ’svd’ in ihreEigenvektoren im Datenraum, Eigenvektoren im Modellraumund Singulärwerte (Datenformat beachten!).
double(. . . )[U,S,V]=svd(A);
3. Sehen Sie sich das Singulärwertspektrum sowie einige derModellvektoren an! Was schlussfolgern Sie daraus?
semilogy(diag(S))plot(V(:,1)), plot(V(:,30)), plot(V(:,100))
4. Nähern Sie jetzt die Matrix A durch Betrachtung der ersten nSingulärwerte an und bewerten Sie das Ergebnis optisch!Ab welcher Zahl n ist die Näherung gut genug?
5. Errechnen Sie die Menge der zur Speicherung von Ar nötigenZahlen. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der unkomprimiertenMatrix A!
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Lineare Inversion
Auflösung der SVD
In der Annahme fehlerfreier Messungen (A ·~x = ~y) gilt
~x† = A†~y = A†A~x. (24)
Einsetzen der verallgemeinerten Inversen A† ergibt
~x† = VrW−1r UTr UrWrVTr~x = VrVTr~x. (25)
Die Matrix VrVTr wird als Modellauflösungsmatrix bezeichnet.Auf gleiche Weise ergibt sich die DatenauflösungsmatrixUrUTr :
~y† = A~x† = AA†~y = UrUTr~y. (26)
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Lineare Inversion
6. Aufgabe: Lösung überbestimmter Probleme mittelsSVDBetrachten wir wieder das Gleichungssystem (5) auf Folie 9.
1. Bestimmen Sie die Singulärwertzerlegung der Matrix!
2. Leiten Sie daraus die verallgemeinerte Inverse ab!Dabei ist die Anzahl nichtverschwindender σi zubeachten.
3. Errechnen Sie die Lösung von (5) und vergleichen Siediese mit dem Resultat aus dem Least-Squares-Ansatz!
4. Ermitteln Sie Modell- und Datenauflösungsmatrix undstellen Sie diese mit spy dar! Interpretieren Sie beide!
5. Machen Sie sich mit svd(A,’econ’) vertraut!
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Lineare Inversion
7. Aufgabe: Lösung unterbestimmter Probleme mittelsSVD
Betrachten wir das System A ·~x = ~y mit A =
(1 1 00 0 1
).
Errechnen Sie wieder
1. die verallgemeinerte Inverse,
2. die Modell- und Datenauflösungsmatrix und
3. lösen Sie das Gleichungssystem für ~y = (1,1)T!
Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Resultat für ’\’!
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Lineare Inversion
TOMOGRAPHIE
EinführungAngenommen werden gerade Strahlenwege zwischenSendern und Empfängern in einem zweidimensionalenModellgebiet. Die Laufzeit t ergibt sich für den Laufweg l zu:
t =∫l
1v(l)· dl =
∫l
s(l) · dl, (27)
wobei v die Geschwindigkeit und s die Slowness sind.Durch Übergang zum diskreten Modell mit stückweisekonstanter Slowness erhält man:
t =∑i
sili. (28)
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Lineare InversionVorwärtsrechnungZur Vorwärtsrechnung müssen lediglich die Laufwege durchdie einzelnen Zellen geometrisch bestimmt werden. InMatrixform lässt sich schreiben:
~t = W~s (29)
mit den Gesamtlaufzeiten aller Strahlen in~t, denSlowness-Werten aller Zellen in ~s und den Laufwegen fürjeden Strahl in jeder Zelle in W. Die Matrix W enthält proStrahl eine Zeile und pro Modellzelle eine Spalte.
Laden Sie die Funktion wmatrix.mhttp://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institute-of-geophysics-and-geoinformatics-575/weissflog/wmatrix.m herunter!
Sehen Sie sich die Hilfe zu dieser Funktion an!
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Lineare Inversion8. Aufgabe: a. Tomographie - Slownessfeld
1. Laden Sie hv130.mathttp://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institute-of-geophysics-and-geoinformatics-575/weissflog/hv130.matin den Arbeitsspeicher! ((xt,yt) - Sender, (xr,yr) -Empfänger)
2. Legen Sie x und y als Vektoren sowie ein homogenesSlownessfeld S als Matrix (!) an (Hinweis: siehe Hilfe derFunktion malen.m)!
3. Stellen Sie es mit der Funktionhttp://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institute-of-geophysics-and-geoinformatics-575/weissflog/malen.mmit und ohne Strahlen dar!subplot(...)
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Lineare Inversion
8. Aufgabe: b. Tomographie - Laufwege
1. Bestimmen Sie die Laufwegmatrix W !wmatrix.m
2. Wählen Sie den Laufweg des Strahls Nr. 18 und stellenSie ihn dar!n = 18l = W(n,:)malen(x,y,l,xt(n),yt(n),xr(n),yr(n))
3. Stellen Sie auf gleiche Weise das Überdeckungsschemadar!Summieren Sie dazu die Laufwege aller Strahlen in derjeweiligen Zelle auf!
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Lineare Inversion
9. Aufgabe: Tomographie - SVD
1. Führen Sie eine Singulärwertzerlegung der Matrix Wdurch!W = full(W)
2. Betrachten Sie das Singulärwertspektrum!
3. Sehen Sie sich einige Modellvektoren an!v = V(:,n)malen(x,y,v)
4. Errechnen Sie Modell- und Datenauflösungsmatrixmit Vollrang,mit eingeschränktem Rang!
Stellen Sie die Hauptdiagonalen der Matrizen dar undinterpretieren Sie!
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Lineare Inversion
10. Aufgabe: Tomographie - synthetische Daten1. Legen Sie einen anomalen Bereich im Modell fest!
2. Errechnen Sie die Modellantwort!reshape(...)
3. Stellen Sie die Strahlen im Modell dar, die im Vergleichzum homogenen Modell eine veränderte Laufzeitaufweisen!
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Lineare Inversion
Im Folgenden versuchen wir, aus der synthetischenModellantwort das Modell zu rekonstruieren.
11. Aufgabe a: Tomographie - Inversion mittels LS
Zunächst muss die Überbestimmtheit sichergestellt sein.
Überprüfen Sie ferner, dass: det(WTW) 6= 0(ggf. Änderung des Gitters erforderlich!)→ schlecht gestelltes / konditioniertes Problem,Regularisierung notwendig!
Invertieren Sie mithilfe der Normalgleichungen(LS-Lösung)!
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Lineare Inversion
11. Aufgabe b: Tomographie - Inversion mittels SVD
1. Konstruieren Sie die verallgemeinerte Inverser = rank(full(W))
2. Errechnen Sie daraus die verallgemeinerte Lösung undvergleichen Sie mit der LS-Lsg!
3. Variieren Sie den Pseudorang r und betrachten Sie das Modell!Welches r erscheint am günstigsten?
4. Wiederholen Sie die Schritte 1. bis 3. mit verrauschten Daten!t=t.*(1+noise*randn(size(t))) z.B. noise=0.03
5. Schreiben Sie eine Funktion ’svdinv.m’, in der r gerade sogewählt wird, dass die Daten im Rahmen des Rauschlevelserklärt werden!
norm(Wsinv − t)√length(t)− 1
≤ 2 ∗ noise ∗mean(t) (30)
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Nichtlineare Inversion
Einführung
Lineare Inversion
Nichtlineare Inversion
Literatur
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Literatur
Einführung
Lineare Inversion
Nichtlineare Inversion
Literatur
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Literatur
Unterstützende LiteraturA.J. Scales, M.L. Smith and S. Treitel: Introductorygeophysical inverse theory, Samizdat Press, ColoradoSchool of Mines
R.C. Aster, B. Borchers and C.H. Thurber: ParameterEstimation and Inverse Problems, Elsevier Academic Press
J. Nocedal and S.J. Wright: Numerical Optimization
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