operaciones con funciones unidad 1 funciones y transformaciones a.pr.11.3.1 j. pomales cel
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OPERACIONES CON
FUNCIONESUNIDAD 1
FUNCIONES Y TRANSFORMACIONESA.PR.11.3.1
J. POMALES CeL
INTRODUCCIÓN• Hasta el momento hemos visto como las
funciones sirven para representar procesos.
• Hoy trataremos a las funciones como objetos.
• Al estudiarlas como objetos matemáticos, las funciones pueden combinarse mediante las 4 operaciones aritméticas: +, -, · , ÷ , para obtener nuevas funciones las cuales también pueden ser graficadas.
SUMA DE FUNCIONES
• Para sumar dos funciones debemos tener elementos comunes (intersección) en el dominio (variable independiente)
• En esos elementos comunes podremos definir la nueva función que se genere de la suma.
• Veamos un ejemplo con dos funciones, f y g.
SUMA DE FUNCIONES
• Dadas dos funciones f y g podemos definir una nueva función, a la que llamaremos f + g que actúe del siguiente modo:
Para cada x que está en los dominios de f y de g , el valor de f + g en x será:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
SUMA DE FUNCIONES
• Es decir, el valor de f + g es la suma de los valores individuales de f y de g para cada valor de x que esté en ambos dominios.
• La función f + g no estará definida en un valor de x que no pertenezca a uno de los dominios de f o de g.
• En ambos casos decimos que x no pertenece al dominio de f + g
SUMA DE FUNCIONES• Al lado aparecen
tablas de valores para dos funciones f y g.
• Observa que estas funciones tienen sólo 3 elementos comunes en su dominios.
• Por lo tanto, es en esos elementos que sólo podremos definir la nueva función f + g
x f(x)
3 4
5 8
9 -1
11 3
15 2
x g(x)
3 1
7 3
9 0
11 1
16 -2
¿Puedes identificar estos 3 elementos
comunes en el dominio?
SUMA DE FUNCIONES• El dominio de f + g
es {3, 9, 11}• No es posible definir
los valores de esta nueva función cuando x tiene valor 5, 7, 15 ó 16, pues al menos una de las funciones originales, f ó g, no está definida para alguno de esos números.
x f(x)
3 4
5 8
9 -1
11 3
15 2
x g(x)
3 1
7 3
9 0
11 1
16 -2
EJEMPLO
SUMA DE FUNCIONES• Naturalmente que si
los dominios de dos funciones no tienen elementos en común entonces éstas no se pueden sumar.
x f(x)
3 4
5 8
9 -1
11 3
15 2
x g(x)
3 1
7 3
9 0
11 1
16 -2 x (f + g)(x)
3 4 + 1 = 5
9 -1 + 0 = -1
11 3 + 1 = 4
Finalmente, en este caso si podremos sumar
aquellos valores donde los dominios eran comunes
EJEMPLO
OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES
• De forma similar trabajaremos con las operaciones de resta, multiplicación y división.
• Aunque debemos tener cierto cuidado con la operación de división pues hay que excluir aquellos elementos que hacen el denominador igual a cero.
x f(x)
3 4
5 8
9 -1
11 3
15 2
x g(x)
3 1
7 3
9 0
11 1
16 -2
))(/( xgf
))(( xgf ))(( xgf
OTRAS OPERACIONES CON FUNCIONES
x f(x)
3 4
5 8
9 -1
11 3
15 2
x g(x)
3 1
7 3
9 0
11 1
16 -2
x (f - g)(x)
3 3
9 -1
11 2
x (f · g)(x)
3 4
9 0
11 3
311
43
(f / g)(x)x
Como g(9) = 0, la función f / g no puede estar definida,
así que ese valor queda excluido en la división
EJEMPLO
DEFINICIONES PARA LAS OPERACIONES CON FUNCIONES• Sean f y g funciones, y sea
D = {dominio de f} ∩ {dominio de g} entonces se definen las siguientes funciones para todo x D.
)()())((
)()())((
)()())((
xgxfxgf
xgxfxgf
xgxfxgf
• La función ( f / g)(x) = f(x) / g(x) está definida en el conjunto que contiene elementos de D que no hacen cero el denominador {x D | g ≠ 0}
EN OTROS CASOS
• Estas operaciones pueden realizarse para producir nuevas funciones, sin importar en que representaciones están definidas.
• Al hacer las operaciones en funciones que están definidas por polinomios solo se requiere unirlos por la operación correspondiente y simplificar, si es posible, el polinomio resultante.
Si y realiza las siguientes operaciones
EJEMPLO
43)( 23 xxxf
))(/(,))((,))((,))(( xhfxhfxhfxhf
353
154)(3
)15()43(
)()())((
23
23
23
xxx
xxx
xxx
xhxfxhf
D =
15)( xxh
EJEMPLO
553
1543
)15())(4)(3(
)()())((
23
23
23
xxx
xxx
xxx
xhxfxhf
D =
Si y realiza las siguientes operaciones
43)( 23 xxxf
))(/(,))((,))((,))(( xhfxhfxhfxhf
15)( xxh
EJEMPLO
420815
4320515
)15)(4)(3(
)()())((
234
2334
23
xxxx
xxxxx
xxx
xhxfxhf
D =
Si y realiza las siguientes operaciones
43)( 23 xxxf
))(/(,))((,))((,))(( xhfxhfxhfxhf
15)( xxh
EJEMPLO
15
4)(3
)(/)())(/(23
x
xx
xhxfxhf
Si y realiza las siguientes operaciones
43)( 23 xxxf
))(/(,))((,))((,))(( xhfxhfxhfxhf
15)( xxh
D = , pero x ≠ 51
(Dominio Restringido)
REFERENCIAS
• PRECÁLCULO, Waldo Torres, Publicaciones Puertorriqueñas
• PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS, Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill
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