operad and recognition principle
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2016/04/28 ロマンティック数学ナイトs.t.@simizut22Operad と Recognition Principle
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内容
0. Historical Reasons and Motivation1.What is an Operad…2.Operad Algebra3.Recognition Principle(Delooping Machine) ※ 0 章を追加 (4/30)
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Historical Reason and Motivation Stasheff の Associahedra円周を i.e. 区間を端点をくっつけたもので考える ( 基点 * はくっつけた件の点 )基点付き位相空間のループ空間
には “積” が入る . たとえば
( 𝑓 1∗ 𝑓 2)∗ 𝑓 3=¿ 𝑓 1∗ ( 𝑓 2∗ 𝑓 3 )=¿
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Historical Reason and Motivationの積を定めると、次の 2 通りが考えられる
この 2 つは一般的には異なる。ただし連続的に変形して互いに移り合うことは可能である。
この homotopy を
で現すことにする。これを形式的に表すと、以下の図になる (* や f は省略
これを、 4 つの積、 5 つの積 ... と繰り返していく。
( 𝑓 1∗ 𝑓 2)∗ 𝑓 3=¿ 𝑓 1∗ ( 𝑓 2∗ 𝑓 3 )=¿
(12)3 1(23)
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Historical Reason and Motivation例 ) 4 つの積は 5 通りの結合方法が考えることができ、例えば
なる連続変形には次の 2 つの path が存在する
この二つの経路をつなぐ homotopy( 面 ) を
((12)3)4
(1(23))4
1((23)4)
1(2(34))
(12)(34)
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Historical Reason and Motivation 5 つの場合は以下の 14 頂点の polytope で表される
ここで、各 5 角形の面は先の 4 積の homotopy 結合性を表した K4 である
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Historical Reason and MotivationStasheff はより一般に次の概念を導入したDef() [J. D. Stasheff(1963)]位相空間 Y が ( 高次の ) 積の列
を持ち、“適切な” compatibility を unit が存在するときがを持つという Fact 今までの議論よりループ空間 ) は
実は、これの逆が成立するThm 連結成分が群を成す Hopf 空間 Y が 構造を持てば、 Y はループ空間のホモト ピー型を持つ. i.e.同様の議論を多重ループ空間にも拡張したい
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What is an Operad… RemarkD.Borisov, Y.Manin[2007] は Operad の解釈として次の 3 つを挙げている1. グラフ理論の圏化 (Categorification) を実現するもの2. 計算プロセスの形式化3. 射の合成 (with relation) がある集合上の代数構造を調べる道具
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What is an Operad… Def(Operad)と Operadic Composition の集まりが次の条件
1. に対し
を満たすとき、 Operad という 自明な(でも大切な例 )位相空間 X に対し
with とすると、これは Operad
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例1
Tree Operad w/ {root が n 個、葉が 1 つからなる tree}
合成は接ぎ木をすることで得られる
例: w/
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例 2 Little n-Disks Operad は次のもので構成される
単位円盤 に埋め込まれた j 個の n 次元円盤で1. それぞれの内部は互いに交わらない2. 平行移動とサイズの縮小のみ ( ゆがめたりしない ) このような埋め込み全体を とする
合成 は の大外の円盤を の 第 i 円盤の中に adjust して、ぶち込む
DefLittle n-Disks Operad と homotopy 同値な operad を operad という
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例2 (Little n-disks Operad)
Little 2-disks での合成例
画像は math.stackexchange より拝借http://math.stackexchange.com/questions/1459369/clarification-regarding-little-n-discs-operads
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Operad Algebra Def(Operad Algebra)Operad C に対し空間 が C -Algebra の構造を持つとは 射 が存在する 具体的には各 n に対し が存在し、
が成立する ( 合成と compatible)これは、
を考えても同じ (compatibility は省略 )
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Operad Algebra Operad Algebra の構造からわかることの例
( 仮定 ) に対し,が定まる.これは algebra X に積構造が入ったことと思える
0. が弧状連結
⇒ homotopy unital ! ( が hom. unit) という道が作れる
2. が弧状連結 ( 任意の二点をつなぐ道が存在 ) ⇒ homotopy assoc. !!
という道が作れる in 3. が弧状連結
⇒ homotopy comm. !!!
2. Homotopy associativity
3. Homotopy commutativity
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Operad Algebra ループ空間と En-algebra空間 X に対し n 重ループ空間
境界はすべて基点に移す写像全体
は En-algebra の構造を持つ
実際、 に対し次のループをにより
を定めることとする:
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Recognition Principle Theorem(Recognition Principle) [J.P.May(1972)][J.M.Boardman, R.M.Vogt(1973)]弧状連結な空間 X が En-algebra の構造を持つならば、 X は n 重ループ空間の弱ホモトピー型を持つ
つまり、先ほどの自明な主張の逆がある意味で成立しているということ
で のループを解消した空間をあらわすとする i.e.
実際には Bn を構成して、その後に 弱同値を示すので、このような functor は存在する
⇒ こういうものは Delooping Machine と言われる
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まとめ
Operad は、代数的な操作 ( 積とか和というものを ) を抽象化したもの 空間を調べるために、その operad algebra としての構造を調べる 代数的な話から位相空間としての性質が見えてくる 付加的な代数構造が分かる⇒以下、できるまで…
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代数トポロジーはいいぞぉ!!!!
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