optimalizálási módszerek 1. a lineáris vektortér
Post on 05-Jan-2016
35 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Optimalizálási módszerek
Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem
1
Optimalizálási módszerek1. A lineáris vektortér
Kiegészítő gépész levelezők 2003/2004-es tanév II. félév
Optimalizálási módszerek
Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem
2
Vektorok, a lineáris vektortér - 1Definíció: (vektor)
Vektoron rendezett szám n-est fogunk érteni. (Valós számokkal dolgozunk.)A szám n-esben szereplő számokat koordinátáknak nevezzük. A vektor rövid jelölésére vastagított kisbetűket használunk.Pl: x=(x1,…,xn).
Definíció: (két vektor összeadása)Legyen x=(x1,…,xn), y=(y1,…,yn) két n elemű vektor.
A két vektor összege egy z=(z1,…,zn) harmadik vektor az alábbi szerint:
x+y=(x1+y1,…,xn+yn)=(z1,…,zn)=z
Az összeadás tulajdonságai:
- kommutativitás: x+y=y+x
- asszociativitás: (x+y)+z=x+(y+z)
- invertálhatóság: bármely x,y esetén az x+z=y egyenletnek létezik z megoldása.
Definíció: (Nullvektor, zérusvektor)Olyan 0-val jelzett vektor, amelyre bármely x vektor esetén teljesül az x+0=x összefüggés.0=(0,…,0)
Optimalizálási módszerek
Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem
3
Vektorok, a lineáris vektortér - 2
Definíció: (Vektor szorzása számmal)Legyen x=(x1,…,xn) egy vektor és valós szám.
Az x vektor -szorosán azt a z= x vektort értjük, amely képzési szabálya: z= x = (x1,…,xn)
A vektor szorzása számmal művelet tulajdonságai- vektor disztributivitás: (x+y)=x+y- skalár disztributivitás: (+)x=x+x- skalár asszociativitás: ()x=(x)- egységelemmel szorzás: 1x=x
Definíció: (Lineáris vektortér)Vektorok összessége, melyben a fenti két művelet bevezetésre került.
Optimalizálási módszerek
Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem
4
Skaláris szorzat
Definíció: (Két vektor skaláris szorzata)Legyen x=(x1,…,xn), y=(y1,…,yn) két n elemű vektor.
Két vektor skaláris szorzatán azt az xy-nal jelzett valós számot értjük, amelynek képzési szabálya:xy= x1y1+…+xnyn
A skaláris szorzat tulajdonságai:- kommutativitás: xy=yx- disztributivitás: (x+y)z=xz+yz- skalár asszociativitás: (x)y=(xy)- pozitivitás: xx 0 egyenlőséggel akkor és csak akkor, ha
x=0.
Optimalizálási módszerek
Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem
5
A lineáris kombinációDefiníció: (Vektorok lineáris kombinációja)
Ha a b vektor az a1,a2,…,an vektorok és a 1,…,n valós számok segítségével a b=1a1+
…+nan alakban áll elő, akkor azt mondjuk, hogy b az a1,a2,…,an vektorok lineáris
kombinációja 1,…,n együtthatókkal.
Definíció: (Generáló rendszer)
Egy vektorrendszer részhalmazát a vektorrendszer generáló rendszerének nevezzük, ha a rendszer minden eleme előáll a részhalmaz lineáris kombinációjaként.
Definíció: (Független rendszer)
Egy vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezünk, ha egyetlen eleme sem állítható elő a többiek lineáris kombinációjaként.
Egyetlen vektorból álló rendszert lineárisan függetlennek nevezünk, ha az nem a zérusvektor.
Definíció: (Bázisrendszer)
Egy vektorrendszer bázisrendszere (röviden bázisa) az olyan részrendszer, amely lineárisan független és generáló rendszer is egyidejűleg. A bázisrendszer által a rendszer minden eleme egyértelműen fejezhető ki. Az így kapott lineáris kombinációban szereplő együtthatókat a vektor adott bázisbeli koordinátáinak nevezzük.
Optimalizálási módszerek
Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem
6
A Steinitz tétel
Tétel: (Steinitz tétel, független és generáló forma)
Egy vektorrendszer bármely lineárisan független részrendszerében a vektorok száma nem lehet több, mint bármely generáló részrendszerében a vektorok száma.
Tétel: (Steinitz tétel, bázisforma)
Egy vektorrendszer bármely bázisa azonos számú vektorból áll.
Definíció: Mesterséges bázise1=(1,0,0,…,0,0)
e2=(0,1,0,…,0,0)
e3=(0,0,1,…,0,0)
…en-1=(0,0,0,…,1,0)
en =(0,0,0,…,0,1)
Optimalizálási módszerek
Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem
7
Vektorrendszer rangja
Definíció: (Vektorrendszer rangja (mátrixrang, sorrang, oszlop-rang))
A vektorrendszer egy (bármely) bázisában lévő vektorok számát a vektorrendszer rangjának nevezzük. Jele: rang(a1,a2,…,an)
Definíció: (Lineáris altér és dimenziója (rangja))
Lineáris altérnek nevezzük egy vektorrendszer tagjai által generált összes lehetséges lineáris kombinációinak összességét. Ezen altér rangja megegyezik a vektorrendszer rangjával.
Optimalizálási módszerek
Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem
8
Bázistábla és tulajdonságai
Adott bázis esetén egy vektorrendszer tagjait koordinátáikkal egy táblázatba (úgynevezett bázistáblába) foglalhatjuk. A táblázat fejlécében felsoroljuk a rendszer tagjait, a tábla balszélén pedig felsoroljuk a bázisbeli elemeket. Maga a tábla a vektorok koordinátáit tartalmazza az adott bázisban a tábla balszélének megfelelő kiosztásban.
a1 … an
b1 t11 … t1n
… … … …
bm tm1 … tmn
Optimalizálási módszerek
Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem
9
Pivotálás
Tétel: Pivotálás=bázisvektorcsere hatása a bázistáblára
Ha a bázistáblában valamely vektornak (legyen az s indexű) valamely koordinátája (legyen az r indexű) nem zérus, akkor a bázisban az r indexű vektort kicserélhetjük a kiszemelt s indexű vektorra. A bázistábla ezáltal a következő módon változik meg:
sorbantöbbiatt
ttt
sorbanindexűrazt
tt
isrs
rjijij
rs
rjrj
Optimalizálási módszerek
Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem
10
Ortogonalitási tétel
Tétel: Ortogonalitási tétel
Ugyanazon vektorrendszer két tetszőleges bázistáblája esetén fennáll a ti’tk”=0 összefüggés. Itt ti’ az első tábla i-dik sora, tk” pedig a második tábla k-dik oszlopa kiegészítve olyan vektorrá, amelyben annyi koordináta van, mint a vektorrendszer tagjainak a száma, miközben a kiegészítés zérusokkal történik, kivéve a k-dik koordinátát, ahol a kiegészítő elem –1. A k-dik oszlopban a koordináták olyan indexelés szerint olvasandók, mint az első tábla i-dik sorában.
Optimalizálási módszerek
Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem
11
Kompozíciós tételTétel: Kompozíciós tétel
Legyen a bázistábla kezdetben olyan, hogy a bázisban az egységvektorok (mesterséges bázis) találhatók.
Ekkor tetszőleges számú pivotálás után T=YA. Sematikusan
a1 … an e1 … em
e1 a11 … a1n 1 … 0
… … … … … … …
em a1m … amn 0 … 1
a1 … an e1 … em
b1 t11 … t1n y11 … y1m
… … … … … … …
bm t1m … tmn y1m … ymm
Optimalizálási módszerek
Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem
12
Mátrix rangja és inverze
Mátrix rangjának meghatározása
Mátrix rangja meghatározható azáltal, hogy oszlopait vektoroknak tekintve hány vektort tudunk a bázisba bevonni az egységvektorok helyére. A rang a bevont oszlopok száma.
Mátrix inverzének meghatározása
Négyzetes mátrix esetén ha a bázisba az összes oszlopot sikerült bevinni, akkor a bázistáblában az Y mátrix helyén keletkezik az eredeti inverze. A bázisban lévő vektorok indexeit a kiolvasásnál figyelembe kell venni.
Optimalizálási módszerek
Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem
13
Lineáris egyenletrendszerek és megoldásaik
Lineáris egyenletrendszerek és megoldásaik (általános megoldás)
A lineáris egyenletrendszer Ax=b alakban írható fel. A bázistáblában az A oszlopai és a b oszlop szerepel, a bázisba pedig felvesszük az egységvektorokat. Ezt követően a megoldás, ha van, pivotálások sorozatával kapható meg, mely során az egységvektorokat az A oszlopaira cserélgetjük ki. A megoldás (egy lehetséges), ha van, a b oszlopban keletkezik.
Legyen az induló tábla particionálva az alábbi módon:
A végső tábla:
a1… …an b e1… …em
e1… A11 A12 b1 Ek 0
…em A21 A22 b2 0 Em-k
a1… …an b e1… …em
a1… Ek T12 q1 Y11 0
…em 0 0 q2 Y21 Em-k
Optimalizálási módszerek
Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem
14
Lineáris egyenletrendszer általános megoldása
vektorstetszölegetahol,tE
T
0
qx
km
121ált
Optimalizálási módszerek
Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem
15
Bázismegoldás
Definíció: A lineáris egyenletrendszer bázismegoldása
Bázismegoldásnak nevezzük egy lineáris egyenletrendszer megoldását, ha a nembázisbeli koordináták zérusok, a bázisbeliek pedig nemzérusok. Degenerált bázismegoldásról beszélünk, ha a bázisbeliek között is előfordul zérus.
Definíció: A lineáris egyenletrendszer nemnegatív bázismegoldásai
Ha a bázismegoldásban a bázisbeli koordináták pozitívak akkor nemnegatív bázismegoldásról beszélünk.
top related