or320 chapter 02 linear programing (ppt)
Post on 14-Nov-2014
155 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
LINEAR PROGRAMMING การโปรแกรมเชิงเส้ นตรง
C H A P T E R 3
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
LINEAR PROGRAMMING
เป็�นเทคน�คในการแก ป็�ญหาทางการจั�ดสรรป็�จัจั�ยและทร�พยากรท��มี�ล�กษณะความีส�มีพ�นธ์!ของตั�วแป็รตั%าง ๆ ท��เก��ยวข องเป็�นเชิ�งเส นตัรง (all linear function) โดยมี�จั*ดหมีายเพ+�อแก ป็�ญหาและตั�ดส�นใจัให เก�ดผลตัามีแนวทางการด-าเน�นงานท��ด�ท��ส*ด (Optimal) เชิ%น ก-าไรส/งส*ด ค%าใชิ จั%ายน อยส*ด
มี�กจัะมี�เง+�อนไขเข ามีาก-าหนดเสมีอ ในท*ก ๆ ป็�ญหาท��เราตั องการแก ไข ยกตั�วอย%างเชิ%น ข�ดความีสามีารถในการผล�ตั จั-านวนว�ตัถ*ด�บ เง�นลงท*น
2
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
โครงส้ร างของ LINEAR PROGRAMMING MODEL
1. ม�ส้มการก�าหนดเป�าหมาย (Objective Function) ค+อสมีการแสดงความีส�มีพ�นธ์!ระหว%างตั�วแป็รตั%าง ๆ เพ+�อก-าหนดเป็2าหมีายท��ตั องการ (ส/งส*ด , ตั-�าส*ด)
2. มี�สมีการ หร+ออสมีการแสดงขอบข%าย (constraints) ซึ่4�งแสดงความีจั-าก�ดของป็�จัจั�ยหร+อทร�พยากร
3. ความีส�มีพ�นธ์!ของตั�วแป็รในสมีการตั%าง ๆ ของร/ป็แบบแทนระบบตั องล�กษณะเชิ�งเส นตัรง (linear form) ก-าล�งเด�ยว
4. ตั�วแป็รท*กตั�วตั องมี�ค%ามีากกว%า หร+อเท%าก�บศู/นย! (all positive value)
3
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
MODEL SOLUTIONS
เมี+�อท-าการจั�ดป็�ญหาเข าร/ป็แบบโป็รแกรมีเชิ�งเส นตัรง (สมีการ /อสมีการ ) แล ว จัะสามีารถหาผลล�พธ์! ได ด วยว�ธ์�การด�งน�6 คณ�ตัศูาสตัร! (Mathematical Techniques)
a) ในกรณ�ท��เป็�นป็�ญหาท��มี�ตั�วแป็รเป็�น 2 ตั�ว เราอาจัใชิ 1. ว�ธ์�ก-าจั�ดขอบข%ายของค-าตัอบ (direct elimination method) 2. ว�ธ์�กราฟ (graphical method)
b) ในกรณ�ท��เป็�นป็�ญหามี�ตั�วแป็รมีากกว%า 2 ตั�ว เราอาจัใชิ 1. ว�ธ์�ทางพ�ชิคณ�ตัท��วไป็ (general algebraic method) 2. ว�ธ์� simplex method
4
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
PROTOTYPE EXAMPLE
ผลิตภั�ณฑ์ ใหม" ส้�าหร�บ Wyndor Glass ค$อProduct 1 : An 8-foot glass door with aluminum framing
Product 2 : A 4x6 foot double-hung wood-framed window
โดย product 1 จัะตั องท-าการผล�ตัในโรงงานท�� 1 และ 3 ส%วน product 2 จัะตั องใชิ เคร+�องจั�กรในโรงงานท�� 2 และ 3 ทางบร�ษ�ทควรจัะท-าการผล�ตัส�นค าแตั%ละชิน�ดเป็�นจั-านวนเท%าไหร% เพ+�อให เก�ดก-าไรส/งส*ด
5
ข อม%ลิที่�'ต องที่ราบ เพื่$'อที่�าการวิเคราะห ประกอบด วิย 1 จั-านวน production time ในแตั%ละ plant ท��สามีารถใชิ ในการผล�ตัส�นค าใหมี%
2. จั-านวน production time ท��ใชิ ในการผล�ตัส�นค าใหมี%ในแตั% batch
3. Profit per batch ของท�6งสองผล�ตัภั�ณฑ์!
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
PROTOTYPE EXAMPLE
Data for Wyndor Glass problem
6
Plant
Production time per batch, hours Production
time available PW,hours1 2
1 1 0 4
2 0 2 12
3 3 2 18
Profit per batch
$3,000 $5,000x1 = จั-านวน batch ของ product 1 ท��ผล�ตัตั%อส�ป็ดาห! x2 = จั-านวน batch ของ product 2 ท��ผล�ตัตั%อส�ป็ดาห!Z = total profit per week ($1,000)
ผลิลิ�พื่ธ์ ที่�'ต องการที่ราบMaximize Z = 3x1 +
5x2
เง$'อนไข x1 ≤ 4
2x2 ≤ 12
3x1 + 2x2 ≤ 18
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
GRAPHICAL SOLUTION
72 4 86 10
2
4
8
6
10
x1
x2
x1 = 4
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
GRAPHICAL SOLUTION
8
x1 = 4
2 4 86 10
2
4
8
6
10
x1
x2
Feasible
region
3x1 + 2x2 = 18
2x2 = 12
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
GRAPHICAL SOLUTION
92 4 86 10
2
4
8
6
10
x1
x2
Z = 36 = 3x1 + 5x2
Z = 20 = 3x1 + 5x2
Z = 10 = 3x1 + 5x2
(2,6)
The value of x1 x2 that maximize 3x1 + 5x2
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
LINEAR PROGRAMMING MODEL
10
Prototype Example General Problem
Production capacity of plants3 plants
Resourcesm activities
Production of products2 products
Activitiesn activities
Production rate of product j, xj
Level of activity j, xj
Profit Z Overall measure of performance Z
จากต�วิอย"าง Wyndor Glass co. ส้ามารถเปร�ยบเที่�ยบตาม Terminology ของ Linear Programming ได ด�งตาราง
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
ข อม%ลิที่�'จ�าเป/นในการส้ร างร%ปแบบแที่นระบบของป0ญหา(MODEL FORMULATION)
Data needed for a linear programming model ที่�'เก�'ยวิข องก�บการจ�ดส้รรที่ร�พื่ยากร ให ก�บกจกรรมต"าง ๆ ในองค กร
11
Resource
Production time per batch, hours
Amount of Resource Available
Activity
1 2 3 … … n
1 a11 a12 a13 … … a2n b1
2 a21 a22 a23 … … a2n b2
. . . . … … . .
. . . . … … . .
m a12 a12 a12 … … amn bm
Contribution to Z per unit of
activity
c1 c2 c3 … … cnMaximize Z = c1x1 + c2x2 + …… cnx n
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
TERMINOLOGY FOR SOLUTIONS OF THE MODEL
12
x1 = 4
2 4 86 10
2
4
8
6
10
x1
x2
Feasible
region
3x1 + 2x2 = 18
2x2 = 12
Feasible solution - ค�าตอบที่�'เป/นไปได
ในกรณ�น�6 ค+อ พ�ก�ด (2,3) , (4,1)
Infeasible solution – ค�าตอบที่�'เป/นไปไม"ได
ในกรณ�น�6 ค+อ พ�ก�ด (-1,3) , (4,4)
Feasible region – บรเวิณของค�าตอบที่�'เป/นไปได
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
SOLUTIONS FOR THE MODEL
13
ในกรณ�ของ Wyndor glass ถ าก�าหนด วิ"าจะต องได ร�บ net profit เป/นจ�านวินอย"างต�'า $ 50,000 ต"อส้�ปดาห เง$'อนไขที่�'ก�าหนดวิ"า 3x1 + 5x2 ≥ 50 จะที่�าให ไม"ม�ค�าตอบที่�'เป/นไปได
ส้�าหร�บกรณ�น�3 เราจะเร�ยกวิ"าเป/น no feasible solution (ไม"ม�ค�าตอบที่�'ส้ามารถแก ป0ญหาได )
2 4 86 10
2
4
8
6
10
x1
x2
3x1 + 5x2 ≥ 50
2x2 ≤ 12
x1 ≤ 4
3x1 + 2x2 = 18
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
SOLUTIONS OF THE MODEL
142 4 86 10
2
4
8
6
10
x1
x2
Feasible
region
ถ าเราเป็ล��ยนเง+�อนไขว%า profit per batch produced ส-าหร�บ ส�นค าชิน�ดท�� 2 เป็�น $2,000 ด�งน�6น สมีการเป็2าหมีาย จัะเป็ล��ยนเป็�น Max Z = 3x1 + 2x2
ท*กจั*ดบนเส นส�แดง ค+อค-าตัอบท��ด�ท��ส*ด ซึ่4�งจัะส�งเกตัได ว%า มี�อย/%หลายค-าตัอบ เราจัะเร�ยกกรณ�น�6ว%า multiple optimal solution (มี�ค-าตัอบท��ด�ท��ส*ด หลายค-าตัอบ )
Z = 18 = 3x1 + 2x2
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
SOLUTIONS OF THE MODEL
152 4 86 10
2
4
8
6
10
x1
x2
Max Z = 3x1 + 5x2
เง$'อนไขค$อ x1 ≤ 4
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
ในกรณ�น�6 จัะเห:นว%า เราตั�ดเง+�อนไขออกไป็สองข อ เหล+อไว เพ�ยงแค% x1 ≤ 4 ซึ่4�งท-าให x
2 เป็�นจั-านวนเท%าใดก:ได อย%างไมี%มี�
ข�ดจั-าก�ด
ในกรณ�น�6 เราจัะเร�ยกว%า no optimal solution (ไมี%มี�ค-าตัอบท��ด�ท��ส*ด ) มี�กจัะเก�ดข46นในกรณ� 1.no feasible solution
2. ไมี%มี�เง+�อนไขท��เข ามีาจั-าก�ดค%าส/งส*ด ในท�ศูทางท��ควรจัะเป็�น
Feasible
region
(4,8), Z = 62
(4,6), Z = 42
(4,4), Z = 32
(4,2), Z = 22
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
SOLUTIONS OF THE MODEL
162 4 86 10
2
4
8
6
10
x1
x2
Feasible
region
A corner-point feasible (CPF) ค+อค-าตัอบท��เป็�นไป็ได ท��อย/%ตัรงบร�เวณ มี*มี ของ feasible region
CPF solution ท��ด�ท��ส*ด มี�กจัะเป็�น ค-าตัอบท��ด�ท��ส*ด
ถ าป็�ญหามี�เพ�ยงค-าตัอบเด�ยวท��เหมีาะสมี (one optimal solution) ค-าตัอบน�6นตั องเป็�นหน4�งใน CPF solution
ถ าป็�ญหามี�ค-าตัอบท��เหมีาะสมีหลายค-าตัอบ อย%างน อยสองค-าตัอบตั องเป็�น optimal solution
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
ASSUMPTIONS OF LINEAR PROGRAMMING
17
1. Proportional ตั�วแป็รตั น และผลล�พธ์!จัากสมีการท��ตั องการทราบค%า เป็�นส�ดส%วนก�นอย%างชิ�ดเจัน ยกตั�วอย%างเชิ%น Z = 3x1 ส%วนใหญ%ผลล�พธ์!เก�ดจัากตั�วแป็รตั นตั�วเด�ยว
2. Additive มี�ตั�วแป็รตั น อย%างน อย 2 ตั�วแป็ร (cross-product term) ตั�วแป็รหน4�ง อาจัมี�ผลกระทบก�บอ�กตั�วแป็รหน4�ง หร+อไมี%มี�ก:ได 3 . Divisibility ตั�วแป็รท��น-ามีาแทนค%าในสมีการผลล�พธ์! อาจัเป็�นตั�วแป็รท��ไมี%ใชิ%จั-านวนเตั:มี (noninteger) ก:ได 4 . Certainty สมีมีตั�ฐานน�6ค-าน4งถ4งส�มีป็ระส�ทธ์�<ของตั�วแป็ร ท��จัะน-ามีาสร างเป็�น model
x1
Profit from product 1 ($ 000 per week)
Proportionality Satisfied
Proportionality Violated
Case 1 Case 2 Case 3
0 0 0 0 0
1 3 2 3 3
2 6 5 7 5
3 9 8 12 6
4 12 11 18 6
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
PROPORTIONALITY + CASE 1
181 2 43 10
2
4
8
6
10
x1
Contribution of x1 to Z
Violates
proportionality
assumption
Satisfies
proportional
assumption
start-up cost
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
PROPORTIONAL + CASE 2
191 2 43 10
2
4
8
6
10
x1
Contribution of x1 to Z
Satisfies
proportional
assumption
Violates
proportionality
assumption
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
PROPORTIONAL + CASE 3
201 2 43 10
2
4
8
6
10
x1
Contribution of x1 to Z
Satisfies
proportional
assumption
Violates
proportionality
assumption
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
ตั�วอย%างของ MODEL FORMULATION
21
ชินดของเคร$'องจ�กรที่�'ใชิ
เวิลิาที่�'ใชิ ในการผลิตส้นค า (ชิ�'วิโมง)เวิลิาเคร$'องจ�กร (ชิ�'วิโมง / อาที่ตย )1 2 3
เคร+�องตั�ด 8 2 3 200
เคร+�องกล4ง 4 3 - 100
เคร+�องข�ด 2 - 1 50
ผลิก�าไรต"อหน"วิยของส้นค า
20 6 8
ผลิลิ�พื่ธ์ ที่�'ต องการที่ราบMaximize Z = 20x1 + 6x2
+ 8x3
เง$'อนไข เคร$'องต�ด 8x1 + 2x2 + 3x
3 ≤ 200
เคร$'องกลิ4ง 4x1 + 3x2 ≤ 100
เคร$'องข�ด 2x1 + x3 ≤ 50
x3 ≤ 20
ส�นค าชิน�ดท�� 1 และ 2 สามีารถขายได ไมี%จั-าก�ด แตั%ส-าหร�บส�นค าชิน�ดท�� 3 ความีตั องการมี�ไมี%เก�น 20 หน%วยตั%อส�ป็ดาห! ฝ่?ายผล�ตัควรด-าเน�นการอย%างไรจั4งจัะได ผลก-าไรส/งส*ด
ต�วิอย"างที่�' 1
21
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
DESIGN OF RADIATION THERAPY
22
Area
Fraction of entry dose absorbed by
area (ave.) Restriction on total average
dosage, kiloradsBeam 1 Beam 2
Healthy anatomy
0.4 0.5 Mimimize
Critical tissues 0.3 0.1 ≤ 2.7
Tumor region 0.5 0.5 = 6
Center of tumor
0.6 0.4 ≥ 6ตั องท-าการฉายร�งส�ชิน�ดท�� 1 และชิน�ดท�� 2 อย%างละเท%าใด จั4งจัะให ผลการร�กษา
ท��ด�ท��ส*ดในโจัทย!ป็�ญหาน�6 ตั องการทราบค%าตั-�าส*ด (Minimize Z)
ต�วิอย"างที่�' 2
22
1
23
3
Beam 1
Beam 2
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
DESIGN OF RADIATION THERAPY
23
แก ป0ญหาโดยวิธ์�กราฟ
232 4 86 10
5
10
15
x1
Contribution of x1 to Z
0.3x1 + 0.1x2 ≤ 27
0.5x1 + 0.5x2 = 6
0.6x1 + 0.4x2 ≥ 6
Z = 5.25 = 0.4x1 + 0.5x2
(6,6)
(7.5,4.5)
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
REGIONAL PLANNING
24
KibbutzUsable Land (Acres) Water Allocation
(Acre feet)
1 400 600
2 600 800
3 300 375
24
ต�วิอย"างที่�' 3 Southern Confederation of Kibbutzim ข อจ�าก�ดด านพื่$3นที่�' แลิะแหลิ"งน�3า
cropAllocation (Acres) in Kibbutz area
1 2 3
Sugar beets
x1 x2 x3
Cotton x4 x5 x6
Sorghum x7 x8 x9
ข อม%ลิส้�าหร�บการเพื่าะปลิ%กพื่$ชิแต"ลิะชินด
การก�าหนดต�วิแปร
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
REGIONAL PLANNING
25
25
ต�วิอย"างที่�' 3 Southern Confederation of Kibbutzim
cropAllocation (Acres) in Kibbutz area
1 2 3
Sugar beets
133.33 100 25
Cotton 100 250 150
Sorghum 0 0 0
RESULTS
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
CONTROLLING AIR POLLUTION
26
Pollutantต องการลิดการปลิ"อยของเส้�ยให ได อย"างน อย
(ลิ านปอนด )Particulates 60
Sulfur oxides 150
Hydrocarbons 125
26
ต�วิอย"างที่�' 4 Nori and Leets Co. ข อจ�าก�ดด านพื่$3นที่�' แลิะแหลิ"งน�3า
ควิามส้ามารถในการลิดมลิพื่ษโดยวิธ์�การต"าง ๆ
วิธ์�การลิดมลิพื่ษ Blast Furnaces
Open-Heart Furnace
Taller Smokestacks
8 10
Filters 7 6
Better-fuels 11 9
ต นที่7นในการก�าจ�ดมลิพื่ษโดยวิธ์�การต"าง
ๆ
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
RECLAIMING SOLID WASTES
27
Grade
SpecificationAmalgamationCost per pound
($)
Selling price per pound ($)
A Material 1: ไมี%มีากกว%า 30% ของท�6งหมีดMaterial 2: ไมี%น อยกว%า 40% ของท�6งหมีดMaterial 3: ไมี%มีากกว%า 50% ของท�6งหมีดMaterial 4: เท%าก�บ 20% ของท�6งหมีด
3.00 8.50
B Material 1: ไมี%มีากกว%า 50% ของท�6งหมีดMaterial 2: ไมี%น อยกว%า 10% ของท�6งหมีดMaterial 4: เท%าก�บ 10% ของท�6งหมีด
2.50 7.00
C Material 1: ไมี%มีากกว%า 70% ของท�6งหมีด 2.00 5.50
27
ต�วิอย"างที่�' 5 Save-It Co. ข อม%ลิพื่$3นฐานชิองการผลิตส้นค าของบรษ�ที่ save-it
MaterialPound per
week available
ค"าใชิ จ"ายในการบ�าบ�ดต"อปอนด
($)ข อก�าหนด
1 3,000 3.00 1 . ในขยะแตั%ละชิน�ด อย%างน อย คร4�งหน4�งของ pound per week available ควรถ/กเก:บและบ-าบ�ด
2. ควรใชิ เง�น $ 30,000 ตั%อส�ป็ดาห!ในการบ-าบ�ดขยะเหล%าน�6
2 2,000 6.00
3 4,000 4.00
4 1,000 5.00
Solid waste materials data for Save-It Co.
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
RECLAIMING SOLID WASTES
28
28
RESULTS ต�วิอย"างที่�' 5 Save-It Co.
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
PERSONNEL SCHEDULING
29
29
ต�วิอย"างที่�' 6 Union Airwaysข อม%ลิของการจ�ดตารางพื่น�กงานของส้ายการบน Union
Airways
Operation Research (IE 255320)©Copyright
Original work by K.Yaibuathet May, 2008
PERSONNEL SCHEDULING
30
30
ต�วิอย"างที่�' 7 Distribution Unlimited Co.The distribution network for Distribution
Unlimited Co.
F1
F2
DC
W1
W2
$ 900/ unit
$ 200/ unit
50 units produc
ed
40 units produc
ed
$ 400/ unit
$ 300/ unit
$ 100/ unit
80 units max
$ 200/ unit $ 300/ unit
30 units needed
60 units needed
10 units max
top related