orbit simulation of planar restricted three-body ploblem

การจ าลองวงโคจรของระบบวตถ 3 ชน ทวงโคจรถกจ ากดบนระนาบ

(Orbit simulation of planar restricted three-body ploblem)

ด าเนนการโดย

นางสาวจฬารตน แกวแหวน

นางสาวนสรา ลาวง

นางสาวรงนภา ตรรตน

โครงงานนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรวทยาศาสตรบณฑต

สาขาวชาคณตศาสตรประยกต ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตรประยกต มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

ปการศกษา 2554

การจ าลองวงโคจรของระบบวตถ 3 ชน ทวงโคจรถกจ ากดบนระนาบ

(Orbit simulation of planar restricted three-body ploblem)

ด าเนนการโดย

นางสาวจฬารตน แกวแหวน

นางสาวนสรา ลาวง

นางสาวรงนภา ตรรตน

โครงงานนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรวทยาศาสตรบณฑต

สาขาวชาคณตศาสตรประยกต ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตรประยกต มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

ปการศกษา 2554

ชอโครงงาน : การจ าลองวงโคจรของระบบวตถ 3 ชน ทวงโคจรถกจ ากดบน ระนาบ

(Orbit simulation of planar restricted three-body ploblem)

โดย : นางสาวจฬารตน แกวแหวน

นางสาวนสรา ลาวง

นางสาวรงนภา ตรรตน

สาขา : คณตศาสตรประยกต

ภาควชา : คณตศาสตร

คณะ : วทยาศาสตรประยกต

อาจารยทปรกษา : อาจารย ดร.มโหสถ ปนโภชา

ปการศกษา : 2554

ไดรบอนมตใหโครงงานนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตร

ปรญญาวทยาศาสตรบณฑต สาขาคณตศาสตรประยกต

........................................................... อาจารยทปรกษา

( ดร.มโหสถ ปนโภชา )

............................................................ กรรมการ

( อ.กรรณการ พงษสวนย)

............................................................ กรรมการ

( ดร.ณชาภทร บญกอเกอ )

ลขสทธของภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตรประยกต

มหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ

ปการศกษา 2554

ก

บทคดยอ

ในโครงงานนจ าลองการโคจรของระบบวตถ 3 ชน ทวงโคจรถกจ ากดบนระนาบ การค านวณ

โดยอาศยหลกการของนวตน คอ กฎการเคลอนท และกฎการดงดดระหวางมวล เพอบรรยายการ

เคลอนทเมอวตถ 3 ชนดงดดซงกนและกน การค านวณเชงตวเลข ของสมการเชงอนพนธ ซงบรรยาย

วงโคจรของวตถทงสาม ใชวธ Fourth - Order Runge - Kutta และเขยนโปรแกรมทใชในการ

ค านวณดวย MATLAB จากนนจ าลองวงโคจรของระบบ ซงประกอบดวย ระบบของ โลก ดวงจนทร

ดาวเทยม และระบบของ ดวงอาทตย โลก ดาวหาง

ข

Abstract

In this project, the orbits of three bodies which are restricted on a plane are

simulated. Newton’s law of motion and law of gravity are used to describe the

motion when three bodies come into intervention. Fourth - Order Runge - Kutta

method is used to solve the ordinary differential equations which describe the orbits

of the three bodies. MATLAB-Program is used for the implementation of the method.

Then the systems of Earth - Moon – Satellite and the systems of Sun - Earth - Comet

are simulated.

ค

กตตกรรมประกาศ

โครงงานเรอง การจ าลองวงโคจรของระบบวตถ 3 ชน ทวงโคจรถกจ ากดบนระนาบ ส าเรจ

ลลวงลงไดดวยดดวยความอนเคราะหและการสนบสนนจากหลายฝายดวยกน ขอขอบพระคณ

อาจารย ดร.มโหสถ ปนโภชา ซงเปนทปรกษาในการท าโครงงานครงน ไดเสยสละเวลาอนม

คาใหแนวคดและค าแนะน าในการด าเนนงานตงแตตน รวมทงชแจงขอบกพรองทเกดขนในการ

ด าเนนงานและชวยแกไขขอผดพลาดตางๆทเกดขนดวยดตลอดมา

ขอขอบพระคณทานอาจารยภาควชาคณตศาสตรทกทานทไดประสทธประสานความรตางๆ

อบรมสงสอน ใหความสามารถ ความมานะ อดทน จนท าใหโครงงานชนนส าเรจเปนทนาพอใจ

ขอขอบพระคณมหาวทยาลยเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอเปนแหลงเรยนรทางการ

ศกษาทมคณภาพ มอบความรตางๆแกขาพเจาและเพอนๆ พนองรวมมหาวทยาลยใหสามารถน ามา

ประยกตใชกบองคกร หนวยงานและชวตประจ าวนไดเปนอยางด

สดทายนขอขอบพระคณเจาหนาทภาควชาคณตศาสตร พบณฑตและเพอนๆ รวมถงผท

เกยวของและใหความชวยเหลอ และเปนก าลงใจสนบสนนใหการท าโครงงานครงนส าเรจไปไดดวยด

นางสาวจฬารตน แกวแหวน

นางสาวนสรา ลาวง

นางสาวรงนภา ตรรตน

ง

สารบญ

เรอง หนา

บทคดยอภาษาไทย ก

บทคดยอภาษาองกฤษ ข

กตตกรรมประกาศ ค

สารบญ ง

สารบญรปภาพ ฉ

บทท 1 บทน า

1.1 ความเปนมาของโครงงาน 1

1.2 วตถประสงคของโครงงาน 1

1.3 ประโยชนทคาดวาจะไดรบ 1

1.4 วธการด าเนนงาน 2

1.5 ขอบเขตของการด าเดนงาน 2

บทท 2 ความรพนฐานและทฤษฎทเกยวของ

2.1 ระบบสรยะ (Solar system) 3

2.2 กฎของนวตน (Newton’s Laws) 10

2.3 กฎแรงดงดดระหวางมวลของนวตน 11

2.4 สมการการเคลอนทส าหรบวตถ 3 ชน 12

บทท 3 ทฤษฎการค านวณเชงตวเลข

3.1 วธ Runge – Kutta 18

3.2 Fourth-order Runge - Kutta method 19

จ

สารบญ(ตอ)

หนา

บทท 4 การค านวณ

กรณท 1 การจ าลองวงโคจรของ โลก ดวงจนทร ดาวเทยม 21

กรณท 2 การจ าลองวงโคจรของ โลก ดวงอาทตย ดาวหาง 27

กรณท 3 การจ าลองวงโคจรของ โลก ดวงอาทตย ดาวหาง

กรณดาวหางมมวลมากขน 31

กรณท 4 การจ าลองวงโคจรของ โลก ดวงอาทตย ดาวหาง

กรณดาวหางโคจรจากจดเรมตนทไกลจากระบบของดวงอาทตย โลก 35

บทท 5 สรปผลการด าเนนงาน

5.1 สรปผลโครงงาน 37

5.2 ปญหาและขอเสนอแนะ 37

บรรณานกรม 38

ภาคผนวก

โปรแกรม MATLAB 39

ฉ

สารบญรปภาพ

ภาพท หนา

2-1 แสดงแรงดงดดระหวางมวล 11 2-2 แสดงต าแหนงรศมของวตถ 3 ชน 12 4-1 แสดงต าแหนงของโลก ดวงจนทร และดาวเทยม 21 4-2 แสดงการโคจรของโลก 24 4-3 แสดงการโคจรของดวงจนทร 24 4-4 แสดงการโคจรของดาวเทยม 25 4-5 แสดงการโคจรระหวางโลก กบดาวเทยม 25 4-6 แสดงการโคจรของโลก ดวงจนทร ดาวเทยม 26 4-7 แสดงต าแหนงของดวงอาทตย โลก ดาวหาง 27 4-8 แสดงการโคจรของดวงอาทตย 29 4-9 แสดงการโคจรของโลก 29 4-10 แสดงการโคจรของดาวหาง 30 4-11 แสดงการโคจรของดวงอาทตย โลก ดาวหาง 30 4-12 แสดงต าแหนงของดวงอาทตย โลก ดาวหาง 31 4-13 แสดงการโคจรของดวงอาทตย 33 4-14 แสดงการโคจรของโลก 33 4-15 แสดงการโคจรของดาวหาง 34 4-16 แสดงการโคจรของดวงอาทตย โลก ดาวหาง 34 4-17 แสดงต าแหนงของดวงอาทตย โลก ดาวหาง 35 4-18 แสดงการโคจรของดวงอาทตย โลก ดาวหาง 36 6-1 แสดงไฟลฟงกชนสมการท (2.24) - (2.35) 41 6-2 แสดงไฟลฟงกชน Fourth-Order Runge- Kutta method ส าหรบแกปญหาสมการเชงอนพนธสามญ 43 6-3 แสดงไฟลฟงกชน printSol ส าหรบแสดงคาทค านวณได 44 6-4 แสดงการเรยกใช และการสรางกราฟ ในกรณท1 46 6-5 แสดงผลทไดจากการค านวณของโปรแกรม MATLAB 46 6-6 แสดงไฟลฟงกชนในกรณท 2 48 6-7 แสดงการเรยกใชและการสรางกราฟในกรณท 2 50

ช

สารบญภาพ(ตอ)

หนา

6-8 แสดงผลทไดจากการเรยกใชและสรางกราฟในกรณท 2 50

6-9 แสดงไฟลฟงกชนในกรณท 3 52

6-10 แสดงการเรยกใชและการสรางกราฟในกรณท 3 54

6-11 แสดงผลทไดจากการเรยกใชและสรางกราฟในกรณท 3 54

1

บทท 1

บทน า

1.1 ความเปนมาของโครงงาน

การศกษาเรองของดาวเคราะหไดเรมมาแลวแตอดตกาล ทงนเพราะมนษยสงเกตเหนวามดาวบางดวง มลกษณะการเคลอนทแตกตางจากดาวดวงอนๆ นกคณตศาสตรสามารถหาค าตอบเชงวเคราะหของวงโคจรทมวตถ 2 ชนได แตในการหาค าตอบเชงวเคราะหของวตถ 3 ชนพบวาไมสามารถหาค าตอบเชงวเคราะหได ตอมาจงมการน าวธการค านวณเชงตวเลขมาใชในการปญหา

ในการศกษานจะท าการศกษาการโคจรของวตถ 3 ชน ในระบบวงโคจรทถกจ ากดบนระนาบ โดยใชวธการค านวณเชงตวเลข (Numerical method) เพอหาต าแหนงทเปลยนไปของวตถในชวงเวลาหนงๆ

1.2 วตถประสงคของโครงงาน

- ศกษาทฤษฏพนฐานของการเคลอนทของระบบวตถ 3 ชน

- ศกษาวธการค านวณเชงตวเลขในการหาค าตอบของระบบสมการเชงอนพนธสามญ

- เพอเสรมความรความเขาใจในการใชโปรแกรมทางคณตศาสตร (MATLAB) ใหมากขน

- ตองการจ าลองวงโคจรของระบบวตถ 3 ชน

1.3 ประโยชนทคาดวาจะไดรบ

- เขาใจทฤษฎพนฐานของการเคลอนทของระบบวตถ 3 ชน ทโคจรและถกจ ากดอยในระนาบเดยวกน

- เขาใจการค านวณเชงตวเลขในการหาค าตอบของระบบสมการเชงอนพนธสามญ

- ไดรบความรความเขาใจในการใชโปรแกรมทางคณตศาสตร(MATLAB) มากขน

- สามารถจ าลองวงโคจรของระบบวตถ 3 ชนได

2

1.4 วธการด าเนนงาน

ขนตอนการด าเนนงานในโครงการน

1.ขนตอนการด าเนนงาน

- ศกษาคนควาทฤษฏพนฐาน

- น าความรทไดมาประยกตใชในการวเคราะหการเคลอนทของวตถ 3 ชน

- ศกษาวธการค านวณทางตวเลขในการแกปญหาสมการเชงอนพนธสามญ

- ใชโปรแกรมทางคณตศาสตร (MATLAB) ในการค านวณ

- สรปผล

2.เครองมอทใชในการด าเนนงาน

- โปรแกรมทางคณตศาสตร (MATLAB)

1.5 ขอบเขตของการด าเนนงาน

โครงงานนศกษาวงโคจรของวตถ 3 ชน ทวงโคจรถกจ ากดอยในระนาบ โดยการศกษาวธค านวณทางคณตศาสตร และการเขยนโปรแกรมทางคณตศาสตรโดยซอฟแวร MATLAB เพอหาค าตอบ

3

บทท 2

ทฤษฎพนฐานทเกยวของ

ในการค านวณทางตวเลขเพอแกปญหาเชงอนพนธสามญ (Ordinary Differential Equation)

จ าเปนตองศกษาทฤษฎพนฐานทเกยวของตามล าดบดงตอไปน

2.1 ระบบสรยะ (Solar system)

2.2 กฎของนวตน (Newton’s Laws)

2.3 กฎแรงดงดดระหวางมวลของนวตน

2.4 สมการการเคลอนทส าหรบวตถ 3 ชน ( Equation of motion for three bodies)

2.1 ระบบสรยะ (Solar system)

ระบบสรยะ ประกอบดวยดวงอาทตยและ

วตถอนๆ ทโคจรรอบดวงอาทตย เชน ดาวเคราะห

ดาวเคราะหนอย ดาวหาง และดาวบรวาร โลกเปน

ดาวเคราะหทอยหางจากดวงอาทตยเปนล าดบท 3

โดยทวไป ถาใหถกตองทสดควรเรยกวา ระบบดาว

เคราะห เมอกลาวถงระบบทมวตถตางๆ โคจรรอบ

ดาวฤกษ

ระบบสรยะ คอ ระบบดาวทมดาวฤกษเปนศนยกลาง และมดาวเคราะหเปนบรวารโคจรอย

โดยรอบ เมอสภาพแวดลอมเอออ านวยตอการด ารงชวต สงมชวตกจะเกดขนบนดาวเคราะหเหลานน

ระบบสรยะมดาวเคราะห 8 ดวง เรยงตามล าดบ จากในสดคอ ดาวพธ ดาวศกร โลก ดาวองคาร ดาว

4

พฤหส ดาวเสาร ดาวยเรนส ดาวเนปจน และยงมดวงจนทรบรวารของดาวเคราะหแตละดวง ยกเวน

เพยง สองดวงคอ ดาวพธ และ ดาวศกร ทไมมดวงจนทรเปนบรวาร ดาวเคราะหนอย ดาวหาง

อกกาบาต ตลอดจนกลมฝนและกาซ ซงเคลอนทอยในวงโคจร ภายใตอทธพลแรงดงดด จากดวง

อาทตย ขนาดของระบบสรยะ กวางใหญไพศาลมาก เมอเทยบระยะทาง ระหวางโลกกบดวงอาทตย

ซงมระยะทางประมาณ 150 ลานกโลเมตร นอกนนจะเปนมวลของเทหวตถตางๆ ซง ประกอบดวย

ดาวเคราะห ดาวเคราะหนอย ดาวหาง และอกกาบาต รวมไปถงฝนและกาซ ทลองลอยระหวาง ดาว

เคราะห แตละดวง โดยมแรงดงดด เปนแรงควบคมระบบสรยะ ใหเทหวตถบนฟาทงหมด เคลอนท

เปนไปตามกฎแรงโนมถวงของนวตน

ดวงอาทตย (Sun)

ดวงอาทตยเปนสวนส าคญทสดของระบบสรยะ

เปนผดงดดใหดาวเคราะหทง 8 ดวงอยในต าแหนงทเปนอย

และดวงอาทตยยงใหแสงและความรอนกบดาวเคราะหนน

ดวย ถาไมมดวงอาทตยระบบสรยะกจะมดมดและหนาวเยน

เมอผาดวงอาทตยออกมาเปนชนภายในดวงอาทตยนนไมได

แขงเหมอนโลก ดวงอาทตยเปนกลมกาซดวงใหญทลกเปน

เปลวไฟ ดวงอาทตยประกอบดวยกาซไฮโดรเจนและฮเลยม

ดวงอาทตยเปนสงทรอนทสดในระบบสรยะทใจกลาง ดวงอาทตยจะรอนถง 15 ลานองศาเซลเซยส

ความรอนขนาดนเพยงกอนโตเทาหวเขมหมดกจะท าใหคนทยนอยหาง 150 กโลเมตรตายได

ดวงอาทตยเปนดาวฤกษศนยกลางของระบบสรยะ ดวงอาทตยเปนดาวฤกษขนาดเลก เมอ

เทยบกบดาวฤกษอน ๆ บนทองฟา แตเปนดาวฤกษทอยใกลโลกทสด จงปรากฏเปนวงกลมโต บนฟา

ของโลกเพยงดวงเดยว ดาวฤกษอนปรากฏเปนจดสวาง เพราะอยไกลมาก ขนาดทแทจรงโตกวาโลก

มาก มเสนผานศนยกลางเกอบ 109 เทาของโลก

โดยดวงอาทตยมคาพนฐานดงตอไปน

มวล 301.988 10 กโลกรม

คาบการโคจร 25.38 วน

5

โลก (Earth)

โลกหมนรอบดวงอาทตยเปนวงโคจรซงใชเวลา 365.25

วน เพอใหครบ 1 รอบ ตามทนกวทยาศาสตรคนพบวงโคจรของ

โลกไมเปนวงกลม ในเดอนธนวาคมมนจะอยใกลดวงอาทตย

มากกวาเดอนมถนายน ซงมนจะอยหางไกลจากดวงอาทตยมาก

ทสด โลกจะเอยงไปตามเสนแกน ในเดอนมถนายน ซกโลกเหนอจะ

เอยงไปทางดวงอาทตยดงนน ซกโลกเหนอจะเปนฤดรอนและซก

โลกใตจะเปนฤดหนาว ในเดอนธนวาคมจะเอยงจากดวงอาทตย ท า

ใหซกโลกเหนอเปนฤดหนาวและซกโลกใตเปนฤดรอน ในเดอนมนาคมและกนยายน ซกโลกทงสองไม

เอยงไปยงดวงอาทตย ในเดอนมนาคม ซกโลกเหนอจะเปน ฤดใบไมผล และซกโลกใตเปนฤดใบไม

รวง ในเดอนกนยายน สถานการณจะกลบกน

โลกมอายประมาณ 4,700 ป โลกไมไดมรปรางกลมโดยสนเชง เสนรอบวงทเสนศนยสตร

ยาว 40,077 กโลเมตร และทขวโลกยาว 40,009 กโลเมตร

ดาวเคราะหดวงอนๆ จะมฤดกาลเปนของตนเองและระยะของการโคจร ความยาวของป

ดาวเคราะหเปนเวลาทมนหมนรอบดวงอาทตยหนงรอบ ถาคณอยบนดาวพธ ปของคณจะมเพยง 88

วนของโลก เปนตน

โดยโลกมคาพนฐานดงตอไปน

มวล 245.9736 10 กโลกรม

คาบการโคจร 365.25วน

อตราเรวเฉลยในวงโคจร 42.9783 10 เมตร/วนาท

ระยะหางจากดวงอาทตย 111.49 10 เมตร

6

ดวงจนทร (Moon)

ดวงจนทรเปนบรวารของโลก โคจรรอบโลกทกๆ

27 วน 8 ชวโมงและขณะเดยวกนกหมนรอบแกนตวเองได

ครบหนงรอบพอดดวย ท าใหเรามองเหนดวงจนทรดาน

เดยว ไมวาจะมองจากสวนไหนของโลก สวนอกครงหนง

มนษยเพงจะไดเหนภาพ เมอสามารถสงยานอวกาศไปใน

อวกาศได บนพนผวดวงจนทรรอนมากในบรเวณทถก

แสงอาทตย และเยนจดในบรเวณเงามด ทพนผวของดวงจนทรมปลองหลมมากมาย เปนหมนๆหลม

ตงแตหลมเลกไปจนถงหลมใหญมภเขาไฟและทะเลทรายแหงแลง

ดวงจนทรเปนดาว ดวงใหญทสด และสวางทสดในทองฟากลางคน ดวงจนทรสองแสง

แตแสงทสองนนไมไดเปลงออกมาจากดวงจนทรเอง ดวงจนทรเมอไดรบแสงจากดวงอาทตยกจะ

สะทอนแสงนนออกมา ดวงจนทรอยใกลโลกมากทสด แตกยงเปนระยะทางไกลมากคอ ระยะสบเทา

ของเสนรอบโลกยงสนกวาระยะทางจากโลกไปดวงจนทร

โดยดวงจนทรมคาพนฐานดงตอไปน

มวล 227.3477 10 กโลกรม

คาบการหมนรอบโลก 27.25 วน

อตราเรวเฉลยในวงโคจร 31.022 10 เมตร/วนาท

ระยะใกลโลกทสด 83.63 10 เมตร

ระยะไกลโลกทสด 84.05 10 เมตร

7

ดาวหาง (Comet)

เปนวตถในทองฟาทไมมแสงในตวเอง

ประกอบดวยฝนผง กอนน าแขงและกาซแขงตว

และจะเคลอนทรอบดวงอาทตยเปนรปวงรมาก

ขณะทอยไกลจากดวงอาทตยจะไมมหาง ไมมแสง

สวาง เมอ โคจรเขาใกลดวงอาทตย พลงงานทงใน

รปความรอนและลมสรยะ (อนภาคมประจจะถก

ปลอยออกมาจากดวงอาทตย สวนใหญ

ประกอบดวยโปรตอนและอเลคตรอน) ท าใหน า

แขงกลายเปนไอ ดาวหางจะขยายตวใหญขน สวางขน และพลงงานดงกลาวจะผลกดนใหหางพงในทศ

ตรงขามกบดวงอาทตยสวนหางจะมทงทเปนฝน กาซและโมเลกลทมประจไฟฟา

ดาวหางแบงออกเปน 2 กลม คอ

1.Periodical Comets คอ ดาวหางทมวงโคจร

แนนอน เชนดาวหางฮลเลยจะมาปรากฏใหเหน

ทกๆ 76 ป

2.Non-Periodical Comets คอดาวหางทมวง

โคจรทไมแนนอน

ลกษณะของวงโคจร

การโคจรของดาวหางสวนใหญมวงโคจรเปนวงรทเรยวมาก ๆ โดยมปลายขางหนงของวงรเขา

ใกลดวงอาทตย สวนปลายอกขางหนงทอดไกลออกไปยงดานนอกของระบบสรยะ สามารถแบง

ประเภทของดาวหางไดเปนกลมตามคาบการโคจร ยงดาวหางมคาบการโคจรยาวเทาใด รปวงรกจะยง

เรยวมากขน

- ดาวหางคาบสน (Short-period comets) เปนดาวหางทมคาบการโคจรรอบดวงอาทตย

นอยกวา 200 ป โดยทวไปมกมระนาบวงโคจรใกลเคยงกบระนาบสรยวถ และเคลอนทไปในทศทาง

8

เดยวกบดาวเคราะห จดปลายของวงรอกดานทไกลจากดวงอาทตยทสดมกอยในแถบของดาวเคราะห

รอบนอกของระบบสรยะ (ตงแตดาวพฤหสบดออกไป) ตวอยางเชน ดาวหางฮลเลยมจดไกลทสดจาก

ดวงอาทตยอยในบรเวณวงโคจรของดาวเนปจน สวนดาวหางทมคาบโคจรสนกวานนเชนดาวหางเอง

เคอมจดไกลทสดเพยงไมเกนวงโคจรของดาวพฤหสบด ดาวหางคาบสน สามารถแบงไดเปน 2 กลมคอ

กลมดาวพฤหสบด (คาบโคจรไมเกน 20 ป) และกลมดาวหางฮลเลย (คาบโคจรระหวาง 20 ถง 200 ป)

- ดาวหางคาบยาว (Long-period comets) มความรของวงโคจรมากกวา และมคาบโคจร

ตงแต 200 ปขนไปจนถงหลายพนหรอหลายลานป (ตามนยามแลว ดาวหางเหลานจะตองยงคงอย

ภายใตแรงโนมถวงของดวงอาทตย ดาวหางทถกดดออกจากระบบสรยะหลงจากเคลอนผานดาว

เคราะหขนาดใหญจะไมนบวาเปนดาวหางทม "คาบโคจร" อกตอไป) จดปลายของวงรดานทไกลจาก

ดวงอาทตยจะอยนอกเขตแดนดาวเคราะหรอบนอกออกไปอก และระนาบโคจรของดาวหางกลมนอาจ

ไมอยในระนาบเดยวกบสรยวถกได

- ดาวหางแบบปรากฏครงเดยว ( Single-apparition comets) มลกษณะคลายคลงกบดาว

หางคาบยาว แตมกมเสนทางแบบพาราโบลาหรอไฮเพอรโบลา ท าใหมนผานเขามาในระบบสรยะเพยง

ครงเดยว

ดาวเคราะหนอย (Asteroid)

ดาวเคราะหนอย (Asteroid) คอ กอนหนขนาดเลกซงรวมอยดวยกนจ านวนหลายพนกอนในระบบสรยะ รายลอมดวงอาทตยและโคจรรอบดวงอาทตยคลายดาวเคราะห อยระหวางดาวองคารและดาวพฤหสบด เรยกบรเวณนวา “แถบดาวเคราะหนอย (Asteroid Belt)”

ดาวเคราะหนอย สามารถ จ าแนกออกไดเปน 3 ประเภท โดยพจารณาจากการสะทอนแสงอาทตย คอ

9

1. C-type Asteroid (Cabonaceous Asteroid)

เปนดาวเคราะหนอยทสะทอนแสงไดนอยมาก มองดมดทสด องคประกอบสวนใหญเปนคารบอน (ถาน ) เปนดาวเคราะหนอยกลมนมจ านวนประมาณ 75% ของเปนดาวเคราะหนอยทงหมด

2. S-type Asteroid (Silicaceous Asteroid)

เปนดาวเคราะหนอยทสะทอนแสงไดปานกลาง มองดเปนสเทา องคประกอบสวนใหญเปนซลกา (Silica) เปนดาวเคราะหนอยกลมนมจ านวนประมาณ 15% ของเปนดาวเคราะหนอยทงหมด

3. M-type Asteroid (Metaliceous Asteroid)

เปนดาวเคราะหนอยทสะทอนแสงไดมากทสดมองดสวาง องคประกอบสวนใหญ

เปน โลหะ (Metal) เปนดาวเคราะหนอยกลมนมจ านวนประมาณ 10% ของเปนดาว

เคราะหนอยทงหมด

โดยดาวเคราะหนอยทเลอกใชในโครงงานนคอ ดาวเคราะหนอยซรส มคาพนฐานดงน

มวล 209.43 0.07 10 กโลกรม

อตราเรวเฉลยในวงโคจร 41.788 10 เมตร/วนาท

ระยะใกลดวงอาทตยทสด 113.81 10 เมตร

ระยะไกลดวงอาทตยทสด 114.47 10 เมตร

10

2.2 กฎของนวตน (Newton’s Laws)

กฎขอท 1 กฎของความเฉอย (Inertia)

“วตถทหยดนงจะพยายามหยดนงอยกบท ตราบทไมมแรงภายนอกมากระท า สวนวตถท

เคลอนทจะเคลอนทเปนเสนตรงดวยความเรวคงท ตราบทไมมแรงภายนอกมากระท าเชนกน”

กฎขอท 2 กฎของแรง (Force)

“ความเรงของวตถจะแปรผนตามแรงทกระท าตอวตถ แตจะแปรผกผนกบมวลของวตถ”

- ถาเราผลกวตถใหแรงขน ความเรงของวตถกจะมากขนตามไปดวย

- ถาเราออกแรงเทา ๆ กน ผลกวตถสองชนดซงมมวลไมเทากน วตถทมมวลมากจะเคลอนท

ดวยความเรงนอยกวาวตถทมมวลนอย

สามารถเขยนในรปสมการไดเปน

F ma

โดยท F คอ แรงทกระท าตอวตถ, m คอ มวลของวตถ และ a คอ ความเรงของวตถ

กฎขอท 3 กฎของแรงปฏกรยา

“แรงทวตถทหนงกระท าตอวตถทสอง เรยกวา แรงกรยา (Action) ยอมเทากบ แรงทวตถ

ทสองกระท าตอวตถทหนง แรงปฏกรยา (Reaction) แตทศทางตรงขามกน”

แรงกรยา (Action) = แรงปฏกรยา (Reaction)

11

2.3 กฎแรงดงดดระหวางมวลของนวตน

“วตถทงหลายในเอกภพจะออกแรงดงดดซงกนและกน โดยขนาดของแรงดงดดระหวางวตถค

หนงๆ จะแปรผนตรงกบผลคณระหวางมวลของวตถทงสองและจะแปรผกผนกบก าลงสองของ

ระยะทางระหวางวตถทงสองนน”

ภาพท 2-1 แสดงแรงดงดดระหวางมวล

ถา 𝑚1และ 𝑚2 เปน มวลของวตถทงสองซงอยหางกนเปนระยะทาง R ขนาดของแรงดงดด

ระหวางมวล 𝐹g เปนขนาดของทง 𝐹 12 และ 𝐹 21 ตามกฎแรงดงดดระหวางมวลของนวตน จะเปนไป

ตามสมการ

𝐹g =𝐺𝑚1𝑚2

𝑅2

G เปนคาคงทของแรงดงดดระหวางมวล และเปนคาเดยวกนเสมอไมวาวตถทดงดดกนจะเปน

วตถใดๆ กตาม G นเรยกวา คาคงทความโนมถวงสากล (universal gravitational constant) G ท

เปนทยอมรบปจจบนมคา 6.673 × 10−11Nm2/kg2

𝐹 12

𝑚1 𝑚2

𝐹 21

R

12

2.4 สมการการเคลอนทส าหรบวตถ 3 ชน (Equation of motion for three bodies)

จากขอมลทกลาวมาขางตน จะไดสมการการเคลอนทส าหรบวตถ 3 ชน (Equation of

motion for three bodies) ดงน

ในการศกษาของเราใหมวล 3 มวลอยบนระนาบเดยวกนดวยรศม r ของวตถชนท i ( ir )

และมวล m ของวตถชนท i (im )

ภาพท 2-2 แสดงรศมของวตถ 3 ชน

ให B เปนจดอางองระบบ

และ 1r คอ รศมจากจดอางองของระบบถงวตถชนท 1

2r คอ รศมจากจดอางองของระบบถงวตถชนท 2

3r คอ รศมจากจดอางองของระบบถงวตถชนท 3

12r คอ รศมจากวตถชนท 1 ถงชนท 2

13r คอ รศมจากวตถชนท 1 ถงชนท 3

12r คอ รศมจากวตถชนท 2 ถงชนท 1

32r คอ รศมจากวตถชนท 2 ถงชนท 3

31r คอ รศมจากวตถชนท 3 ถงชนท 1

32r คอ รศมจากวตถชนท 3 ถงชนท 2

r32 3

1

2

r3 r31

r1

r21

r2

B

13

โดยท 12r มทศตรงขามกบ 12r

23r มทศตรงขามกบ 32r

31r มทศตรงขามกบ 32r

มวลทงหมดของระบบ ( )M คอ

1

3

i

iM m

(2.1)

จากกฎแรงดงดดระหวางมวลของนวตน จะได แรงดงดดระหวางมวลทท ากบวตถ i คอ

3

2

1,

1 i j

i i j

j j i i ji j

G m m

r rF

r rr r

3

1,

3i j

i j

j j ii j

G m m

r r

r r (2.2)

จากกฎขอท 2 ของนวตน (Newton’s Laws)

i iii i

dm m

dt F r r (2.3)

เมอ 2

2,

d d

dt dt

r rr r โดยท ir คอ ความเรวของวตถชนท i และ ir คอ ความเรงของวตถ

ชนท i

น าสมการ (2.2) = (2.3) จะไดวา

3

1,

i j

i

i j

i i jj j i

m G m m

3

r -rr

r -r

3

1,i j

j j i

i

G m m

m

ij

3ij

i

r

rr

3

1,j

j j i

G m

ij

i 3ij

rr

r (2.4)

14

เมอระยะหางระหวางวตถชนท i กบวตถชนท j ( ijr ) มสมการดงน

ij i jr r r (2.5)

ij i jr r r (2.6)

จาก (2.5) เมอแทน i และ j จะไดดงน

12 1 2 r r r

13 1 3 r r r

21 2 1 r r r (2.7)

23 2 3 r r r

31 3 1 r r r

32 3 2 r r r

เวกเตอรของต าแหนงของวตถ

1 1 1ˆ ˆi jx y r (2.8)

2 2 2ˆ ˆi jx y r (2.9)

3 3 3ˆ ˆi jx y r (2.10)

จะไดสมการการเคลอนทของวตถ คอ

13122 33 3

12 13

G m mr r

1

rrr (2.11)

23 21

3 13 3

23 21

G m mr r

2

r rr (2.12)

31 321 23 3

31 32

G m mr r

3

r rr (2.13)

15

จาก (2.11) สามารถเขยนในรปของต าแหนง ไดเปน

1 2 1 2 1 3 1 3

1 2 33 32 2 2 2

1 2 1 2 1 3 1 3

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )x x i y y j x x i y y jG m m

x x y y x x y y

r (2.14)

ในท านองเดยวกนจาก (2.12) และ (2.13) จะได

2 3 2 3 2 1 2 1

2 3 13 32 2 2 2

2 3 2 3 2 1 2 1

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )x x i y y j x x i y y jG m m

x x y y x x y y

r (2.15)

3 1 3 1 3 2 3 2

3 1 23 32 2 2 2

3 1 3 1 3 2 3 2

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )x x i y y j x x i y y jG m m

x x y y x x y y

r (2.16)

เมอน า (2.8) เทยบกบ (2.14) จะได

1 2 1 3

1 2 33 32 2 2 2

1 2 1 2 1 3 1 3

x x x xx G m m

x x y y x x y y

(2.17)

1 31 2

1 2 33 32 2 2 2

1 2 1 2 1 3 1 3

( )( ) y yy yy G m m

x x y y x x y y

(2.18)

เมอน า (2.9) เทยบกบ (2.15) จะได

2 3 2 1

2 3 13 32 2 2 2

2 3 2 3 2 1 2 1

x x x xx G m m

x x y y x x y y

(2.19)

16

2 3 2 1

2 3 13 32 2 2 2

2 3 2 3 2 1 2 1

( ) ( )y y y yy G m m

x x y y x x y y

(2.20)

เมอน า (2.10) เทยบกบ (2.16) จะได

3 1 3 2

3 1 23 32 2 2 2

3 1 3 1 3 2 3 2

x x x xx G m m

x x y y x x y y

(2.21)

3 1 3 2

3 1 23 32 2 2 2

3 1 3 1 3 2 3 2

y y y yy G m m

x x y y x x y y

(2.22)

ก าหนดให

1 1x u 1 2x u 1 3y u 1 4y u 2 5x u 2 6x u

2 7y u 2 8y u 3 9x u 3 10x u 3 11y u 3 12y u

ดงนน สมการ (2.17 - 2.22) สามารถแปลงเปนระบบสมการเชงอนพนธอนดบ 1 เพอน าไปใช

แกปญหาโดยวธการค านวณเชงตวเลข Runge – Kutta method ไดดงน

1 2u u (2.23)

1 5 1 9

2 2 33 32 2 2 2

1 5 3 7 1 9 3 11

u u u uu G m m

u u u u u u u u

(2.24)

17

3 4u u (2.25)

3 7 3 11

4 2 33 32 2 2 2

1 5 3 7 1 9 3 11

u u u uu G m m

u u u u u u u u

(2.26)

5 6u u (2.27)

5 9 5 1

6 3 13 32 2 2 2

5 9 7 11 5 1 7 3

u u u uu G m m

u u u u u u u u

(2.28)

7 8u u (2.29)

7 11 7 3

8 3 13 32 2 2 2

5 9 7 11 5 1 7 3

u u u uu G m m

u u u u u u u u

(2.30)

9 10u u (2.31)

9 1 9 5

10 1 23 32 2 2 2

9 1 11 3 9 5 11 7

u u u uu G m m

u u u u u u u u

(2.32)

11 12u u (2.33)

11 3 11 7

12 1 23 32 2 2 2

9 1 11 3 9 5 11 7

u u u uu G m m

u u u u u u u u

(2.34)

18

บทท 3

ทฤษฎการค านวณเชงตวเลข

การแกสมการเชงอนพนธสามญสามารถแกไดหลายวธ ในการศกษาครงนจะใชวธ Runge -

Kutta

3.1 วธของ Runge - Kutta

จดไดวาเปนวธทไดรบความนยมและใชกนอยางกวางขวางโดยเฉพาะในการค านวณทตองการหาผลเฉลยของสมการ

( , )dy

f x ydx

(3.1)

เราสามารถประมาณไดเปน

1 ( , )i iy yf x y

h

1 ( , )i iy y f x y h (3.2)

โดยวธการของ Runge - Kutta เราจะประมาณดวย

1y y x , y ,ii ii h h (3.3)

โดย x , y ,i i h เรยกวาฟงกชนสวนเพม (increment function) ซงมความหมายของ

ความชนเฉลยตลอดขนาดชวงความกวาง h ฟงกชนสวนเพมนสามารถเขยนใหอยในรปแบบโดยทวไป

ได ดงน

1 1 2 2 3 3 n na k a k a k a k (3.4)

19

โดย ; 1,2,3 , ,ia i n เปนคาคงทและ

1 ( , )i ik f x y (3.4a)

2 1 11 1( , )i ik f x p h y q k h (3.4b)

3 2 21 1 22 2( , )i ik f x p h y q k h q k h (3.4c)

⋮ ⋮

1 1,1 1 1,2 2 1, 1 1( , )n i n i n n n n nk f x p h y q k h q k h q k h (3.4n)

โดย n แทนอนดบทของวธ Runge-Kutta ทเลอกใช เชน เมอ 1n เราจะเรยกวา วธ

Runge-Kutta อนดบหนง ในท านองเดยวกนท 2n เปนวธ Runge-Kutta อนดบสองเปนตน

คา , 1,2,3, ,ik i n ในสมการ ( 3.3) ขนอยกบฟงกชนของสมการเชงอนพนธสามญท

ก าหนดมาให ในสวนของคา p และ q ตางๆนนเปนคาคงทซงเราจะศกษาขนตอนในการหาคา

เหลานตอไป

3.2 Runge - Kutta method อนดบ 4 (fourth - order Runge- Kutta method)

Fourth - Order Runge - Kutta method ถกจดวาเปนวธทไดรบความนยมใชกนอยาง

แพรหลาย การดดแปลงสมการ ( 3.3) - (3.4) ทอยในรปแบบทวไปโดยใช n = 4 ท าใหเกด Fourth -

Order Runge - Kutta method ซงใหคาความผดพลาดในรปแบบของความกวางชวงอนดบส 4( )O h ลกษณะของผลลพธทมความเทยงตรงสงนท าใหวธการนถกน าไปประยกตกบงานการค านวณ

ในหลายๆดาน โดยเฉพาะในงานวจยคนควาทตองการความเทยงตรงสง รปแบบของ Fourth - Order

Runge - Kutta method ทใชกนโดยทวไปคอ

1 1 2 3 42 2

6i iy y k k k k

h

(3.5)

20

โดย

1 ( , )i ik f x y (3.5a)

2 1

1 1( , )

2 2i ik f x h y k h (3.5b)

3 2

1 1( , )

2 2i ik f x h y k h (3.5c)

4 3( , )i ik f x h y k h (3.5d)

21

บทท 4

การค านวณเชงตวเลข

ในบทท 4 เราแสดงการค านวณเชงตวเลขโดยวธ Fourth - Order Runge - Kutta กบ

สมการ (2.23-2.34) โดยศกษาตามกรณดงตอไปน

กรณท 1 การจ าลองวงโคจรของ โลก ดวงจนทร ดาวเทยม

กรณท 2 การจ าลองวงโคจรของดวงอาทตย โลก ดาวหาง

กรณท 3 การจ าลองวงโคจรของดวงอาทตย โลก ดาวหาง กรณดาวหางมมวลมากขน

กรณท 4 การจ าลองวงโคจรของดวงอาทตย โลก ดาวหาง กรณดาวหางโคจรจากจดเรมตนท

ไกลจากระบบของดวงอาทตย โลก

กรณท 1 การจ าลองวงโคจรของ โลก ดวงจนทร ดาวเทยม

ภาพท 4-1 แสดงต าแหนงของโลก ดวงจนทร และดาวเทยม

ดวงจนทร

ดาวเทยม (3.8×108,0)

(7.987×106 , 0)

(0,0)

โลก

y

x

22

เมอก าหนดให มวลโลก 24

1( ) 5.975 10m (หนวยเปนกโลกรม)

มวลดวงจนทร 22

2 7.3477 10m (หนวยเปนกโลกรม)

มวลดาวเทยม 3

3 5 10m (หนวยเปนกโลกรม)

1 10 , 0x y แทนต าแหนงเรมตนของโลก (0,0) (หนวยเปนเมตร)

2 20 , 0x y แทนต าแหนงเรมตนของดวงจนทร 8(3.8 10 ,0) (หนวยเปนเมตร)

33 0 , 0x y แทนต าแหนงของดาวเทยม 6(7.987 10 ,0) (หนวยเปนเมตร)

1 10 , 0x y แทนความเรวของโลก (0,0) (หนวยเปนเมตร/วนาท)

2 20 , 0x y แทนความเรวของดวงจนทร ( 1,1000) (หนวยเปนเมตร/วนาท)

3 30 , 0x y แทนความเรวของดาวเทยม (1, 7060) (หนวยเปนเมตร/วนาท)

จากขอมลขางตน น าไปค านวณโดยใชโปรแกรม MATLAB โดยก าหนดให iF i tu ,

iy i tu และ x t ผลลพธทไดจะเปนไปตามตารางท 1 และกราฟแสดงวงโคจรของโลก

ดวงจนทร ดาวเทยม

23

ตารา

ง 4-1

แสด

งผลก

ารค า

นวณใ

นกรณ

ท 1

การโ

คจรข

อง โล

ก ดว

งจนท

ร

ดาวเท

ยม

24

ภาพท 4-2 แสดงการโคจรของโลก

ภาพ 4-3 ภาพแสดงการโคจรของดวงจนทร โดยจะเหนวาวงโคจรของดวงจนทรไมกลบมาซ าทจดเดม

เนองมาจากแรงดงดดระหวางมวลและการเคลอนทรวมของระบบ

1y

1y m

1x

1y m

2y

1y

m

2x

1y m

25

ภาพท 4-4 ภาพแสดงการโคจรของดาวเทยม โดยมการโคจรเหมอนกบดวงจนทรแตในแตละรอบของ

วงโคจรจะใชเวลานอยกวาดวงจนทร จงท าใหในชวงเวลาเดยวกนสามารถเหนรอบไดมากกวา

ภาพท 4-5 ภาพแสดงการโคจรระหวางโลก กบดาวเทยม

3y

1y

m

3x

1y m

y

1y

m

x

1y m

26

ภาพท 4-6 ภาพแสดงการโคจร ของโลก ดวงจนทร และดาวเทยม เนองจากดาวเทยมม

ระยะหางจากโลกนอยท าใหการโคจรอยในระยะทใกลโลกมากๆท าใหมองไมเหนการโคจรของโลก

สวนดวงจนทรมระยะหางจากโลกมากกวาดาวเทยม จงสามารถเหนวงโคจรของดวงจนทรไดชดเจน

y

1y

m

x

1y m

27

กรณท 2 การจ าลองวงโคจรของดวงอาทตย โลก ดาวหาง

ภาพท 4-7 แสดงต าแหนงของดวงอาทตย โลก ดาวหาง

เมอก าหนด มวลดวงอาทตย 30

1( ) 1.988 10m (หนวยเปนกโลกรม)

มวลโลก 24

2 5.9736 10m (หนวยเปนกโลกรม)

มวลดาวหาง 1

3

01.374 10m (หนวยเปนกโลกรม)

1 10 , 0x y แทนต าแหนงเรมตนของดวงอาทตย (0,0) (หนวยเปนเมตร)

2 20 , 0x y แทนต าแหนงเรมตนของโลก 11(1.49 10 ,0) (หนวยเปนเมตร)

33 0 , 0x y แทนต าแหนงเรมตนของดาวหาง 10(6.9 10 ,0) (หนวยเปนเมตร)

1 10 , 0x y แทนความเรวของดวงอาทตย (0,0) (หนวยเปนเมตร/วนาท)

2 20 , 0x y แทนความเรวของโลก ( 1,30000) (หนวยเปนเมตร/วนาท)

3 30 , 0x y แทนความเรวของดาวหาง ( 1,60000) (หนวยเปนเมตร/วนาท)

y

โลก ดาวหาง

(1.49×1011,0) (6.9×1010 , 0) (0,0)

ดวงอาทตย

x

28

ตารา

ง 4-2

แสด

งผลก

ารค า

นวณ

ในกร

ณท 2

การ

โคจร

ของ ด

วงอา

ทตย

โลก

ดาวห

าง

ดาว

เทยม

29

ภาพท 4-8 กราฟแสดงการโคจรของดวงอาทตย

ภาพท 4-9 กราฟแสดงการโคจรของโลก โดยจะเหนวาโลกมวงโคจรทไมกลบมาซ าทจดเดม

เนองมาจากแรงดงดดระหวางมวลและการเคลอนทรวมของระบบ

1y

1y m

1x

1y m

2y

1y

m

2x

1y m

30

ภาพท 4-10 กราฟแสดงการโคจรของดาวหาง โดยจะเหนวาดาวหางมวง

โคจรทไมกลบมาซ าทจดเดม เนองมาจากแรงดงดดระหวางมวลและการเคลอนทรวมของระบบ

ภาพท 4-11 กราฟแสดงการโคจรของ ดวงอาทตย โลก และดาวหาง เนองจากดวงอาทตย มมวลมาก

จงท าใหเคลอนทนอยมากท าใหเหนเปนจด และการทดาวหางมมวลนอยท าใหผลกระทบสงเกตจาก

กราฟไดไมชดเจน

y

1y

m

x

1y m

3y

1y m

3x

1y m

31

กรณท 3 การจ าลองวงโคจรของดวงอาทตย โลก ดาวหาง กรณดาวหางมมวลมากขน

ภาพท 4-12 แสดงต าแหนงของดวงอาทตย โลก ดาวหาง

เมอก าหนด มวลดวงอาทตย 30

1( ) 1.988 10m (หนวยเปนกโลกรม)

มวลโลก 24

2 5.9736 10m (หนวยเปนกโลกรม)

มวลดาวหาง 3

3

29 10m (หนวยเปนกโลกรม)

1 10 , 0x y แทนต าแหนงเรมตนของดวงอาทตย (0,0) (หนวยเปนเมตร)

2 20 , 0x y แทนต าแหนงเรมตนของโลก 11(1.49 10 ,0) (หนวยเปนเมตร)

33 0 , 0x y แทนต าแหนงเรมตนของดาวหาง 10(6.9 10 ,0) (หนวยเปนเมตร)

1 10 , 0x y แทนความเรวของดวงอาทตย (0,0) (หนวยเปนเมตร/วนาท)

2 20 , 0x y แทนความเรวของโลก ( 1,30000) (หนวยเปนเมตร/วนาท)

3 30 , 0x y แทนความเรวของดาวหาง ( 1,60000) (หนวยเปนเมตร/วนาท)

y

โลก ดาวหาง

(1.49×1011,0) (6.9×1010 , 0) (0,0)

ดวงอาทตย

x

32

ตารา

ง 4-3

แสด

งผลก

ารค า

นวณ

ในกร

ณท 3

การ

โคจร

ของ ด

วงอา

ทตย

โลก

ดาวห

าง

ดาว

เทยม

33

ภาพท 4-13 กราฟแสดงการโคจรของดวงอาทตย จะเหนไดวา เมอวตถชนท 3 มขนาดใหญขนจะท า

ใหวงโคจรของวตถชนท 1 (ดวงอาทตย) เปลยนไปจากเดม

ภาพท 4-14 กราฟแสดงการโคจรของโลก มลกษณะเชนเดยวกบภาพ 4-9

1y

1y m

1x

1y m

2y

1y

m

2x

1y m

34

ภาพท 4-15 กราฟแสดงการโคจรของดาวหางมลกษณะเชนเดยวกบภาพ 4-10

ภาพท 4-16 กราฟแสดงการโคจรของ ดวงอาทตย โลก และดาวหาง ในภาพขยายจะเหนวาวงโคจร

ของดวงอาทตยเปลยนไป และวงโคจรของโลกและดาวหางตางจากกรณท 2 ซงมวลของดาวหางมคา

นอยกวา

3y

1y

m

3x

1y m

y

1y m

x

1y m

35

กรณท 4 การจ าลองวงโคจรของดวงอาทตย โลก ดาวหาง กรณดาวหางโคจรจากจดเรมตนทไกล

จากระบบของดวงอาทตย โลก

ภาพท 4-17 แสดงต าแหนงของดวงอาทตย โลก ดาวหาง กรณดาวหางโคจรจากจดเรมตนทไกลจาก

ระบบของดวงอาทตย โลก

กรณนเราจ าลองกรณทจดเรมตนเราใหดาวหางอยไกลจากระบบของดวงอาทตย โลก และ

โคจรเขาใกลโลก จะสรางกราฟไดดงภาพ 4-18

y

โลก

11(1.49×10 ,0)

(0,0)

ดวงอาทตย

x

ดาวหาง

12 13-4.108×10 ,-1.2348×10

36

ภาพท 4-18 แสดงการโคจรของดวงอาทตย โลก ดาวหาง กรณดาวหางโคจรจากจดเรมตนทไกลจาก

ระบบของดวงอาทตย โลก

y

1y

m

x

1y m

37

บทท 5

ผลการด าเนนงานและขอเสนอแนะ

5.1 สรปผลโครงงาน

จากการทเราไดศกษาวงโคจรของวตถ 3 ชนทจ ากดอยบนระนาบจะพบวา เมอมวตถชนท 3

เขามารบกวนในระบบ การเปลยนแปลงขนอยกบขนาดและความเรวของวตถชนท 3 หากวตถมขนาด

ใหญและมความเรวสงจะกอใหเกดการแปรปรวนในการโคจรของระบบ

ดงทเราศกษาในกรณท 1 และกรณท 2 วตถชนท 3 มขนาดเลกแตกท าใหพบวาวงโคจรของ

ระบบมการเคลอนทเปนวงโดยไมกลบมาซ าทจดเรมตน และในกรณท 3 เมอเทยบกบกรณท 2 วตถชน

ท 3 มขนาดใหญขนจะเหนไดอยางชดเจนวาวงโคจรของดวงอาทตย และโลกเปลยนแปลงไปจากเดม

ในกรณท 4 วตถชนท 3 โคจรเขามาใกลโลกจะเหนวา เมอวตถชนท 3 โคจรผานไปเสนทางการโคจร

ของโลกรอบดวงอาทตยจะเกดการเปลยนแปลงอยางชดเจน ซงอาจสงผลตอฤดกาลของโลก

5.2 ปญหาและขอเสนอแนะ

ในการจดท าโครงงานฉบบนผจดท าโครงงานไดประสบปญหาดานตางๆ ซงเกดจากการขาด

ทกษะในการเขยนโปรแกรม MATLAB จ าลองการโคจรของวตถ 3 ชน จงตองมการศกษาการใช

โปรแกรมเพมเตมเขาไป เพอใหสมบรณมากทสด และปญหาการขาดขอมลมวลของวตถทแทจรงของ

ดาวหางกบดาวเคราะหนอย จงตองใชคาประมาณในการค านวณ ขอเสนอแนะของผทจะท าโครงงานน

ตอไป สามารถน าความรทไดไปประยกตใชการจ าลองแบบ 3 มต หรอการจ าลองวงโคจรของวตถท

มากกวา 3 ชนได ส าหรบการประมาณวงโคจรทตองใชระยะเวลานาน ผทจะศกษาตอจะตองศกษา

วธการทางตวเลขทใหคาความผดพลาดในอนดบสงขน

38

บรรณานกรม

[1] Mauri Valtonen and Hannu Karttunen,The Three-Body Problem,Cambridge

University.USA,2005

[2] Jaan Kiusalaas,Numerical Methods in Engineering with Matlab.

Cambridge University.USA,2005

[3] โก นางาชาวา ,หนงสอกลศาสตรทองฟาเบองตน.พมพครงท 1.กรงเทพฯ:ส านกพมพ

จฬาลงกรณมหาวทยาลย,2534

[4] ปราโมทย เดชะอ าไพ ,หนงสอระเบยบวธเชงตวเลขในงานวศวกรรม.พมพครงท 5.

กรงเทพฯ:ส านกพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย,2549

[5] ล าเจยก ปยะนช ,หนงสอดาราศาสตร เอกสารประกอบการสอน.กรงเทพฯ:ส านกพมพ

การศาสนา กรมการศาสนา,2532

39

ภาคผนวก

จากบทท 3 สามารถค านวณผลลพธโดยโปรแกรมMATLAB และผลลพธทไดจะแสดงอยในบท

ท 4 ในการค านวณโดยโปรแกรม MATLAB มขนตอนดงน

กรณท 1

ขนตอนท 1

สรางฟงกชน M-file ส าหรบสมการท (2.23 - 2.34) โดยก าหนดให iF i tu ,

iy i tu และ x t โดยท 1,2,3, ,12i ดงนน จะไดสมการเชงอนพนธสามญอนดบ 1

ทงหมด 12 สมการ และก าหนด

มวลโลก 24

1 5.975 10m kg

มวลดวงจนทร 22

2 7.3477 10m kg

มวลดาวเทยม 3

3 5 10m kg

คาแรงโนมถวงสากล 11 2 26.673 10 /G Nm kg

จากขอมลขางตนสามารถสรางฟงกชนในการเขยนโปรแกรม MATLAB ไดเปน

40

function F = pro1(x,y)

m1 = 5.975e24;

m2 = 7.3477e22;

m3 = 5e3;

G = 6.672e-11;

F = zeros(1,12);

F(1) = y(2);

F(2) = -G*(m2*(y(1)-y(5))/((sqrt((y(1)-y(5))^2+(y(3)-y(7))^2))^3)+m3*(y(1)-y(9))/((sqrt((y(1)-y(9))^2+(y(3)-y(11))^2))^3));

F(3) = y(4);

F(4) = -G*(m2*(y(3)-y(7))/((sqrt((y(1)-y(5))^2+(y(3)-y(7))^2))^3)+m3*(y(3)-y(11))/((sqrt((y(1)-y(9))^2+(y(3)-y(11))^2))^3));

F(5) = y(6);

F(6) = -G*(m3*(y(5)-y(9))/((sqrt((y(5)-y(9))^2+(y(7)-y(11))^2))^3)+m1*(y(5)-y(1))/((sqrt((y(5)-y(1))^2+(y(7)-y(3))^2))^3));

F(7) = y(8);

F(8) = -G*(m3*(y(7)-y(11))/((sqrt((y(5)-y(9))^2+(y(7)-y(11))^2))^3)+m1*(y(7)-y(3))/((sqrt((y(5)-y(1))^2+(y(7)-y(3))^2))^3));

F(9) = y(10);

F(10) = -G*(m1*(y(9)-y(1))/((sqrt((y(9)-y(1))^2+(y(11)-y(3))^2))^3)+m2*(y(9)-y(5))/((sqrt((y(9)-y(5))^2+(y(11)-y(7))^2))^3));

F(11) = y(12);

F(12) = -G*(m1*(y(11)-y(3))/((sqrt((y(9)-y(1))^2+(y(11)-y(3))^2))^3)+m2*(y(11)-y(7))/((sqrt((y(9)-y(5))^2+(y(11)-

y(7))^2))^3));

41

ภาพท 6-1 แสดงไฟลฟงกชนสมการท (2.24 - 2.35)

ขนตอนท 2

โดยวธการแกสมการเชงอนพนธสามญ ในครงนจะใชวธ Fourth-Order Runge- Kutta ซง

ฟงกชน Fourth -Order Runge- Kutta method สามารถเขยนไดดงน

42

function [xSol,ySol] = runKut4(dEqs,x,y,xStop,h)

% 4th-order Runge-Kutta integration.

% USAGE: [xSol,ySol] = runKut4(dEqs,x,y,xStop,h)

% INPUT:

% dEqs = handle of function that specifies the

% 1st-order differential equations

% F(x,y) = [dy1/dx dy2/dx dy3/dx ...].

% x,y = initial values; y must be row vector.

% xStop = terminal value of x.

% h = increment of x used in integration.

% OUTPUT:

% xSol = x-values at which solution is computed.

% ySol = values of y corresponding to the x-values.

if size(y,1) > 1 ; y = y'; end % y must be row vector

xSol = zeros(2,1); ySol = zeros(2,length(y));

xSol(1) = x; ySol(1,:) = y;

i = 1;

while x < xStop

i = i + 1;

h = min(h,xStop - x);

K1 = h*feval(dEqs,x,y);

K2 = h*feval(dEqs,x + h/2,y + K1/2);

K3 = h*feval(dEqs,x + h/2,y + K2/2);

K4 = h*feval(dEqs,x+h,y + K3);

y = y + (K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4)/6;

x = x + h;

xSol(i) = x; ySol(i,:) = y; % Store current soln.

end

43

ภาพท 6-2 แสดงไฟลฟงกชน Fourth-Order Runge- Kutta method ส าหรบแกปญหาสมการเชง

อนพนธสามญ

ขนตอนท 3

สรางโปรแกรมทใชในการแสดงผลใหออกมาในรปแบบของตาราง โดยไดใชฟงกชน printSol

เขามาชวยในการแสดงผล

function printSol(xSol,ySol,freq)

% Prints xSol and ySoln arrays in tabular format.

% USAGE: printSol(xSol,ySol,freq)

% freq = printout frequency (prints every freq-th

% line of xSol and ySol).

[m,n] = size(ySol);

if freq == 0;freq = m; end

head = ' x';

for i = 1:n

44

head = strcat(head,' y',num2str(i));

end

fprintf(head); fprintf('\n')

for i = 1:freq:m

fprintf('%14.4e',xSol(i),ySol(i,:)); fprintf('\n')

end

if i ~= m; fprintf('%14.4e',xSol(m),ySol(m,:)); end

ภาพท 6-3 แสดงไฟลฟงกชน printSol ส าหรบแสดงคาทค านวณได

ขนตอนท 4

การเรยกใชและการสรางกราฟ เราตองใสคาเรมตน โดยท

x คอเวลาเรมตน = 0

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0y x x y y x x y y x x y y

8 60 0 0 0 3.8 1 0 1000 7.986 10 10 1 0 7060 y

xStop คอเวลาทใชในการโคจรสงสด = 3000000

45

h คอ คาความถของเวลาทใชในการค านวณ = 50

freq คอ คาความถทจะแสดงผลใน Command Window = 1

โดยสามารถเขยนการเรยกใชโปรแกรมไดดงน

%run program

clc;

clear all;

x = 0; y = [0 0 0 0 3.8e8 -1 0 1000 7.987e6 1 0 -7060];

xStop = 1000000; h = 50; freq = 1;

[xSol,ySol] = runKut4(@pro1,x,y,xStop,h);

printSol(xSol,ySol,freq);

%plot graph

figure(1)

plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'red')

figure(2)

plot(ySol(1:(xStop/h)+1,5),ySol(1:(xStop/h)+1,7),'blue')

figure(3)

plot(ySol(1:(xStop/h)+1,9),ySol(1:(xStop/h)+1,11),'green')

figure(4)

plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'red',ySol(1:(xStop/h)+1,5),ySol(1:(xStop/h)+1,7),'blu

e',ySol(1:(xStop/h)+1,9),ySol(1:(xStop/h)+1,11),'green')

46

figure(5)

plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'red',ySol(1:(xStop/h)+1,9),ySol(1:(xStop/h)+1,11),'gre

en')

ภาพท 6-4 แสดงการเรยกใช และการสรางกราฟ ในกรณท1

ภาพท 6-5 ผลทไดจากการแสดงการเรยกใชและการสรางกราฟในกรณท 1

47

กรณท2

มขนตอนในการค านวณเหมอนกบ กรณท1 แตจะเปลยนมวลเปน

มวลดวงอาทตย 30

1 1.988 10m kg

มวลโลก 24

2 5.9736 10m kg

มวลดาวหาง 10

3 1.374 10m kg

คาแรงโนมถวงสากล -11 2 26.673 10 /G Nm kg

function F = pro2(x,y)

% Differential eqs.

m1 = 1.98892e30;

m2 = 5.9736e24;

m3 = 1.37e10;

G = 6.672e-11;

F = zeros(1,12);

F(1) = y(2);

F(2) = -G*(m2*(y(1)-y(5))/((sqrt((y(1)-y(5))^2+(y(3)-y(7))^2))^3)+m3*(y(1)-y(9))/((sqrt((y(1)-y(9))^2+(y(3)-y(11))^2))^3));

F(3) = y(4);

F(4) = -G*(m2*(y(3)-y(7))/((sqrt((y(1)-y(5))^2+(y(3)-y(7))^2))^3)+m3*(y(3)-y(11))/((sqrt((y(1)-y(9))^2+(y(3)-y(11))^2))^3));

F(5) = y(6);

F(6) = -G*(m3*(y(5)-y(9))/((sqrt((y(5)-y(9))^2+(y(7)-y(11))^2))^3)+m1*(y(5)-y(1))/((sqrt((y(5)-y(1))^2+(y(7)-y(3))^2))^3));

F(7) = y(8);

F(8) = -G*(m3*(y(7)-y(11))/((sqrt((y(5)-y(9))^2+(y(7)-y(11))^2))^3)+m1*(y(7)-y(3))/((sqrt((y(5)-y(1))^2+(y(7)-y(3))^2))^3));

F(9) = y(10);

F(10) = -G*(m1*(y(9)-y(1))/((sqrt((y(9)-y(1))^2+(y(11)-y(3))^2))^3)+m2*(y(9)-y(5))/((sqrt((y(9)-y(5))^2+(y(11)-y(7))^2))^3));

48

F(11) = y(12);

F(12) = -G*(m1*(y(11)-y(3))/((sqrt((y(9)-y(1))^2+(y(11)-y(3))^2))^3)+m2*(y(11)-y(7))/((sqrt((y(9)-y(5))^2+(y(11)-

y(7))^2))^3));

ภาพท 6-6 แสดงไฟลฟงกชนในกรณท2

และเปลยนคาเรมตน เปน

x คอเวลาเรมตน = 0

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0y x x y y x x y y x x y y

11 100 0 0 0 1.49 1 0 30000 6.9 - 10 10 1 0 60000 y

xStop คอเวลาทใชในการโคจรสงสด = 320000000

h คอ คาความถของเวลาทใชในการค านวณ = 500000

freq คอ คาความถทจะแสดงผลใน Command Window = 1

49

%run program

clc;

clear all;

x = 0; y = [0 0 0 0 1.49e11 -1 0 30000 6.9e10 -1 0 60000];

xStop = 320000000; h = 500000; freq = 1;

[xSol,ySol] = runKut4(@pro2,x,y,xStop,h);

printSol(xSol,ySol,freq);

%plot graph

figure(1)

plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'blue')

figure(2)

plot(ySol(1:(xStop/h)+1,5),ySol(1:(xStop/h)+1,7),'green')

figure(3)

plot(ySol(1:(xStop/h)+1,9),ySol(1:(xStop/h)+1,11),'red')

figure(4)

plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'blue',ySol(1:(xStop/h)+1,5),ySol(1:(xStop/h)+1,7),'green',ySol(1:(xStop

/h)+1,9),ySol(1:(xStop/h)+1,11),'red')

50

ภาพท 6-7 แสดงการเรยกใชและการสรางกราฟในกรณท 2

ภาพท 6-8 ผลทไดจากการแสดงการเรยกใชและการสรางกราฟในกรณท 2

51

กรณท3

มขนตอนในการค านวณเหมอนกบ กรณท1 แตจะเปลยนมวลเปน

มวลดวงอาทตย 30

1 1.988 10m kg

มวลโลก 24

2 5.9736 10m kg

มวลดาวหาง 23

3 9 10m kg

คาแรงโนมถวงสากล 11 2 26.673 10 /G Nm kg

function F = pro3(x,y)

% Differential eqs.

m1 = 1.98892e30;

m2 = 5.9736e24;

m3 = 9e23;

G = 6.672e-11;

F = zeros(1,12);

F(1) = y(2);

F(2) = -G*(m2*(y(1)-y(5))/((sqrt((y(1)-y(5))^2+(y(3)-y(7))^2))^3)+m3*(y(1)-y(9))/((sqrt((y(1)-y(9))^2+(y(3)-y(11))^2))^3));

F(3) = y(4);

F(4) = -G*(m2*(y(3)-y(7))/((sqrt((y(1)-y(5))^2+(y(3)-y(7))^2))^3)+m3*(y(3)-y(11))/((sqrt((y(1)-y(9))^2+(y(3)-y(11))^2))^3));

F(5) = y(6);

F(6) = -G*(m3*(y(5)-y(9))/((sqrt((y(5)-y(9))^2+(y(7)-y(11))^2))^3)+m1*(y(5)-y(1))/((sqrt((y(5)-y(1))^2+(y(7)-y(3))^2))^3));

F(7) = y(8);

F(8) = -G*(m3*(y(7)-y(11))/((sqrt((y(5)-y(9))^2+(y(7)-y(11))^2))^3)+m1*(y(7)-y(3))/((sqrt((y(5)-y(1))^2+(y(7)-y(3))^2))^3));

52

F(9) = y(10);

F(10) = -G*(m1*(y(9)-y(1))/((sqrt((y(9)-y(1))^2+(y(11)-y(3))^2))^3)+m2*(y(9)-y(5))/((sqrt((y(9)-y(5))^2+(y(11)-y(7))^2))^3));

F(11) = y(12);

F(12) = -G*(m1*(y(11)-y(3))/((sqrt((y(9)-y(1))^2+(y(11)-y(3))^2))^3)+m2*(y(11)-y(7))/((sqrt((y(9)-y(5))^2+(y(11)-

y(7))^2))^3));

ภาพท 6-9 แสดงไฟลฟงกชนในกรณท3

ก าหนดใหคาเรมตน เปน

x คอเวลาเรมตน = 0

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0y x x y y x x y y x x y y

11 100 0 0 0 1.49 1 0 30000 6.9 - 10 10 1 0 60000 y

xStop คอเวลาทใชในการโคจรสงสด = 320000000

h คอ คาความถของเวลาทใชในการค านวณ = 500000

freq คอ คาความถทจะแสดงผลใน Command Window = 1

53

%run program

clc;

clear all;

x = 0; y = [0 0 0 0 1.49e11 -1 0 30000 6.9e10 -1 0 60000];

xStop = 320000000; h = 500000; freq = 1;

[xSol,ySol] = runKut4(@pro3,x,y,xStop,h);

printSol(xSol,ySol,freq);

%plot graph

figure(1)

plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'blue')

figure(2)

plot(ySol(1:(xStop/h)+1,5),ySol(1:(xStop/h)+1,7),'green')

figure(3)

plot(ySol(1:(xStop/h)+1,9),ySol(1:(xStop/h)+1,11),'red')

figure(4)

plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'blue',ySol(1:(xStop/h)+1,5),ySol(1:(xStop/h)+1,7),'gre

en',ySol(1:(xStop/h)+1,9),ySol(1:(xStop/h)+1,11),'red')

figure(5)

plot(ySol(1:(xStop/h)+1,1),ySol(1:(xStop/h)+1,3),'blue',ySol(1:(xStop/h)+1,5),ySol(1:(xStop/h)+1,7),'gre

en')

54

ภาพท 6-10 แสดงการเรยกใชและการสรางกราฟในกรณท 3

ภาพท 6-11 ผลทไดจากการแสดงการเรยกใชและการสรางกราฟในกรณท 3

กรณท 4

มขนตอนในการค านวณเหมอนกบ กรณท2 แตเปลยนใหจดเรมตนของดาวหางอยไกลจาก

ระบบของดวงอาทตย และโลก