ortsabhängige kräfte bsp.: rakete im gravitationsfeld (g nicht const.) (später mehr) nur r-komp....
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Ortsabhängige Kräfte Bsp.: Rakete im Gravitationsfeld (g nicht const.)
rer
MmGrF
2)( (später mehr)
Nur r-Komp. (Abschuss vom Pol)
v vr
a dv
dt
1
2v2
G M
r C1
{
}M R
re
v0r
h=r-R
Erde
C1 1
2v0
2 GM
R
dv
dr
dr
dt
dv
drv
a dr
v dv
dvv
G M
r 2 dr
1
2v0
2 gR
E1 WS14/15Gaub 1
{
}M R
re
v0r
h=r-R
Erde
G M
R2
v(rmax) 0
rmax R
1 (v0
2
2 R g)
für
v0 2 R g
v0 v2 2 R g Fluchtgeschwindigkeit (2.kosmische Geschwindigkeit)
Kleinste Kreisbahn (Newton)
v1 G M
R
1. Kosmische Geschwindigkeit
1
2v 2
g R2
r
1
2v0
2 g R
mit
a(R) g
11.2km
s
v2
2
7.9km
s
gR
v12
R
G M
R2
Gaub
1
2v2
G M
r
1
2v0
2 g R
2E1 WS14/15
Raketen-gleichung
Triebwerks-Schub
dm d m Ausstoßgeschwindigkeit relativ zur Rakete
Nur z-Richtung
dv ve dm
m g dt
mT
T0
m0
m
t
v(T ) ve(ln mT ln m0 ) g T
v(T ) ve lnm0
mT
gT Viel Treibstoff schnell verbrennen
Gaub
Newtons Sicht:
dp
dtm
dv
dt m
dv
dt
dm
dtv
d m
dtv
Gesamtimpuls(Rakete+Gas)
0
Rakete
v
v Gas
bezogen auf Eroberfläche
m
m
m dv
dt
dm
dtv e m
g
v e v
v const
TTm
m
e
Tv
v
tdgdmm
vdv0
)(
)0(
)(
)0(
1
(m m )g
Näherung
3E1 WS14/15
Gaub
http://www.youtube.com/watch?v=wvWHnK2FiCkApollo 11 Saturn V lauch
Bsp.: 1. Stufe Saturn V
ve 4 km
s
m0 3106 kg
mT 1106 kg
T 100s}
g 0
g 9,81m / s2
v(T ) 4,4 km
s
v(T ) 3,4 km
s
unterhalb der Fluchtgeschwindigkeit
Mehrstufige Trägerraketen
4E1 WS14/15
§2.7 Energiesatz der Mechanik
Arbeit + Leistung
dtvrd
F
)(tr
P1
P2
y
x
z
2
1
21
p
p
rdFW
rdFdW
Linienintegral
zdFydFxdFrdFz
z
z
y
y
y
x
x
x
p
p
2
1
2
1
2
1
2
1
Anmerkung:
Leistung:
P dW
dt
F
v
„Arbeit“[W]= Nm = Joule
[P]=
J
s=Watt=W
Bsp. Gleichförmige Kreisbewegung:tevv
;
F F
e r
00 WrdF
Bsp.: Dehnarbeit einer Feder von :
0 x xx dFW
Bahnkurve
x
xdxD0
1
2Dx 2
rdF
W = 0 für
Gaub 5E1 WS14/15
Konservative Kraftfelder
x
y
z
P1
P2
v F t
dv r
r (t)
II
I
2
1
P
P
I rdFW
2
1
P
P
II rdFW
Wenn
WI WII WIII
=> Integral wegunabhängig
Kraftfeld konservativ
v F (r)
Konservatives Kraftfeld:
Die Arbeit hängt nur von Start- und Endpunkt, nicht vom Weg ab.
Stokes´scher Satz konservativ falls rot
F 0Vektoranalysis:
12
1 2
P
II
P
P
I
PIII rdFrdFWW
1
2
2
1
P
I
P
P
II
P
rdFrdF
0 rdF
Gaub 6E1 WS14/15
I
II
z
x
z2
P2
x2
z1
P1
x1
2
1
P
P
I drFW
02
1
2
z
zII dzFW
0rdF
Konservatives Kraftfeld
Bsp.: homogenes Kraftfeld
z
r
F
F 0
0
Bsp.: zentrales Kraftfeld )(rfF
II
I
P2
P1
02
1
2
1
r
r
r
P
P
drFrdF
konservativ
2
1
0z
z
z dzF
1
2
r
r
r drF
0rdF
Gaub 7E1 WS14/15
Potentielle Energie
konservatives Kraftfeld
dr
v F
Bemerkung: I. Vorzeichen so gewählt, dass Arbeit, die am Körper am Körper verrichtet wird, dessen erhöht
E p
II. Nullpunkt wird oft so gewählt, dass
E p () 0
Def !
Ep (P1) Ep(P2 ) Ep
Gaub
2
1
P
P
rdFW
P
P rdFW Arbeit die geleistet wird um P
ins Unendliche zu bringen
E p (P)
8E1 WS14/15
Bsp. Gravitationsfeld
Nahe Erdoberfläche g = const.
Geleistete Arbeit hat zur Zunahme der geführt
E p
m g R
Ep G M m
r
E p
rR
mit
Ep(0) 0
E p(h) m g h
rdFW
E p (0) E p (h)
mgh h
dzgm0
Für grösseren Entfernungsbereich gilt das Gravitationsgesetz
rder
mMGW r
r
2dr
r
mMG
r
2 r
mMG
Ep(r) Ep ()
Gaub 9E1 WS14/15
Energiesatz der Mechanik
dt
vdmF
P
P
t
t
rdFtdvF00
konservatives Kraftfeld
vdvmtdvtd
vdm
v
v
t
t
1
00
Def.: 2
2v
mEkin
Ekin W Die Zunahme der kinetischen Energie eines Körpers ist gleich der an ihm geleisteten Arbeit
Im konservativen Kraftfeld ist die Summe aus potentieller Energie und kinetischer Energie konstant
E E p (P0 ) Ekin (P0 )
tdvtd
vdmtdvF
t
t
t
t
00
E p (P0 ) E p (P)
W
20
21 22
vm
vm
Ep(P) Ekin(P)
Gaub 10E1 WS14/15
Bsp: freier Fall
v(h) 0
z h;
EP (0) 0;
z
P dzgmzE0
)(
2
2)( v
mzEkin
E EP (z) Ekin (z) Unabhängig von z!
mgz
2)(2
tgm
mg(h z)
mgh
Gaub 11E1 WS14/15
Potential Kraftfeld
x
yr
),( yxF
),( yyxxF
EP EP
xx
EP
yy
EP
zz
Dafür benötigte Arbeit
PErdFW
z
z
Ey
y
Ex
x
EzFyFxF PPP
zyx
NablaDef.: Potential = Potentielle Energie pro Masse
V(r) GME
rBsp.: Gravitation
=> Schwerkraft
F (r) grad(V )m
z
Ey
Ex
E
F
P
P
P
)( PEgrad
EP
EP (x, y)
EP (x x,y y)
P
P
Gaub 12E1 WS14/15
Gaub
Bestimmung von G, Bsp: Gravitationswaage
Schema Gravitationswaage
Drehmoment des verdrillten Fades
= 2 L FG
13E1 WS14/15
Drehimpuls
L
Ebene beliebig gekrümmte Bahn
mvmp
O
)(tr
v
vr
)(),( tvtr
Def.: Drehimpuls )()( vrmprL
vrL
,
Ebene von undr v
In Polarkoordinaten:
))(( vvrmL r
)( 2tr
0 weil
v r
v v r
2rvr
2rmL
Kreisbewegung:
L m r2
)()( vrmvrm r
;
v v
Gaub
weil
14E1 WS14/15
Drehmoment:
0 weil
v v
v p
(r
F )
Newton
Def: Drehmoment )( FrDdt
Ld
Für zentrale KraftfelderrerfF ˆ)(
ist 0
D
= const. bzgl. Kraftzentrum DrehimpulserhaltungL
Zeitliche Veränderung des Drehimpulses ist gleich dem wirkenden Drehmoment
)()( prpv
dt
pdrp
dt
rd
dt
Ld
Gaub
v F r
D
..
15E1 WS14/15
Man Beachte: L
und D
werden bzgl. eines festen Punktes O im Raum definiert
r
v
m
O1
O2
Gerade Bewegung kann Drehimpuls haben bzgl.
O2
L2 mrv sin 0
01 L
Analogie: r v
F
D
p
L
Später noch:
I
m
Ekin
Erot
Gaub 16E1 WS14/15
Gaub
Tycho BraheJohannes Keppler
17E1 WS14/15
Planetenbewegung:
Kepplergesetze (Basierend auf Beobachtung Tycho Brahes))
I. Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit Sonne im Brennpunkt
II. Fahrstrahl von Sonne zu Planet überschreitet in gleichen Zeiten gleiche Flächen
S
A1
P( t1)
P( t1 t)
A2
P( t2 )
P(t2 t)
III. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die 3. Potenzen ihrer großen Halbachsen
T12
T22
a13
a23 oder
Ti2
ai3 const für alle Planeten
Gaub 18E1 WS14/15
Zum 2. Kepplerschen Gesetz
S
dA
h
dtvsd Bogen ≈ Sehne
sin2
1 dtvrdA
Lm
2
1
+ 1. Gesetz (planare Bahn) => Richtung L konst
constL
v r (t)
p
)( dttr
sin2
1vr
dt
dA
pr
m
2
1
Gaub 19
ds
E1 WS14/15
Newtons Analyse:
!! !!Planetenbahnen
Fallender Apfel
Selbe AxiomatikGravitation !
aus .constL
aus Actio = Reactio
rG erfrF ˆ)()(
(Zentralkraft)
FG ~ m1 m2
rG erfmmGrF ˆ)()( 21
Mit Ellipse ~ Kreis =>
mp wp
2 rp G mp ms f (ri)
3. Keppler
Gaub
w2 ~ T 2 ~ r 3
f (r) ~ r 2
F G mp M S
r2 ˆ e r
Newtonsches Gravitationsgesetz
20E1 WS14/15
Bestimmung von g: Mathematisches Pendel
l
mg
F t
F r
l (1 cos)
Ft mat
lmgm sin
sin 3
3!
5
5!...
sin
l
g
Lösung der DGL: tl
gAt sin)(
gg
lT 2
Gaub 21E1 WS14/15
Genauer:
Ep mg l (1 cos ) 222
22 l
mv
mEkin
Start
l
g
dt
d )cos(cos2 0
4
00 0
0
coscos
T
dtd
g
l
T
4mit
2sin
2sin
sin0
2
022 sin1
4
k
d
g
lT ;
k sin0
2
.....)16
11(2)( 2
00 g
lT
0
1.00
T (0 )
T0
10
30
20
1.01
1.02
E Ekin E p 22
2)cos1( l
mlgm
Ep0 )cos1( 0 lgm
Gaub 22
+ Bronstein oder Mathematica
E1 WS14/15
X
da
{
a
r
R P
m
Gravitation Kugelschale
dm 2 adadx
dEP G m dm
r
a
ax
P r
dxdaamGE 2
r2 y2 (R x)2
y2 x2
a 2
R2 2 R x
a2 R2 2 R x
dx / r dr / R
aR
aRr
P drGR
mdaaE
2
EP G m m
R
mit
m 4 a2 da = Masse der KS
Kreisscheibe der Dicke dx schneidet aus der Kugelschale der Dicke da das Volumenelement (Kreisring)
dV = 2 p a dx da
dV = 2 p y ds dx, y = asin ,a ds=da/sina
dx /dr r / R
dx
ds
y
Gaub 23E1 WS14/15
Þ Außerhalb der Hohlkugel erscheint die gesamte Masse konzentriert in O
Innerhalb Hohlkugel:
RdrERar
Rar
Pi
2~
a
mmGE
iPconst. R a !
F gradE P 0 für R < a
Gaub
0R
EP
a
G m m
R
G m m
a
0
F a
F 0
F G m m
R2
R
R innerhalb der Kugel!
24E1 WS14/15
Gaub
Varianten der Coulomb WW
25E1 WS14/15
Gaub
Varianten der Coulomb WW
Siehe J.N. Israelachvili, Intermolecular and Surface Forces with Applications to Colloidal and Biological Systems, Academic Press 1985
26E1 WS14/15
Gaub
d
r
A
B
d
y
dy
BA A
B
BA M
ABW ~ 1/d
ABW ~ 1/d 3
ABW ~ 1/d 2
ABW ~ 1/d 5
a) b)
c) d)
a
L R d
d
d
322)(
2
yd
ydydndw B
0 0
36y
BAB d
ndww
Bsp.: VdW-Potentiale ausgedehnter Körper
22
2 1
12
1
12 d
H
d
nnW ABBA
AB
Nochmalige Integration => Potetial zwischen 2 Wänden
HAB typisch ≈10-20 J Hamaker Konstante
27E1 WS14/15
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