Ótica - refração

Refração Óptica

13-03-2008Departamento de Física

Professor:

Alejandro Pedro Ayala

Óptica Refração

Tópicos

ReflexãoÍndice de Tópicos

Índice de Tópicos:

Leis da reflexão e da refração

Princípio de Fermat

Princípio de Huygens

Exemplos

Reflexão interna total

Equações de Fresnel

Pág. 2

Óptica Refração

Tópicos

Refração numa interface

Pág. 3

Leis da reflexão e da refração

Óptica Refração

Tópicos

Freqüência entre meios Quando a luz que viaja de um meio a outro a freqüência se mantém constante:

– Os frentes de onda não podem ser empilhados, nem criados ou destruídos, então f deve ser a mesma. 

– A velocidade e o comprimento de onda devem mudar. 

1

2

2

1

2

1

2

1

//

nn

ncnc

vv

===λλ

21 ff =2

2

1

1

λλvv

=

Pág. 4

Leis da reflexão e da refração

Óptica Refração

Tópicos

Alguns índices de refração

Pág. 5

Leis da reflexão e da refração

Óptica Refração

Tópicos

Raios refletidos e refratados

1 Raio incidente2 Raio refletido3 Raio refratado do ar para 

o vidro4 Raio refletido 

internamente5 Raio refratado do vidro 

para o ar.

Pág. 6

Leis da reflexão e da refração

Óptica Refração

Tópicos

Leis da reflexão e da refração

Pág. 7

Leis da reflexão 1ª lei - os raios incidente e refletido e a normal à

superfície, estão no mesmo plano (plano de incidência) 2ª lei - os ângulos de incidência e reflexão são iguais

Leis da refração1ª lei - os raios incidente, refratado e a normal à

superfície de separação dos meios, estão no mesmo plano (plano de incidência)

2ª lei - os ângulos de incidência e de refração estão relacionados por:

2211 θθ sennsenn ⋅=⋅

As leis da reflexão e refração foram estabelecidas empiricamente:

(Em que n1 e n2 são os índices de refração dos meios de incidência e transmissão respectivamente)

Leis da reflexão e da refração

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Tópicos Pág. 8

Leis da reflexão e da refração

Óptica Refração

Tópicos

Refração e o princípio de Fermat

Pág. 9

No caso da refração a velocidade, não é a mesma antes e depois da interface... o “princípio de tempo mínimo” não leva ao “princípio de caminho geométrico mínimo”

Princípio de Fermat

Óptica Refração

Tópicos

Refração e o princípio de Fermat

Pág. 10

O tempo de trânsito da luz de A para B é dado por :

( )222 2

AB AP PBi r

d b xd xt t tv v

+ −+= + = + =

( )222 2

i r

d b xd xv v

+ −+= +

pelo princípio de Fermat a distância x deverá ser tal que o tempo entre A e B seja mínimo, ou seja :

0=∂∂

xtAB

Princípio de Fermat

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Tópicos Pág. 11

( )( )2 2 22

1 1 0AB

i r

b xt xx v vd x d b x

− −∂= ⋅ + ⋅ =

∂ + + −

O termo entre parêntesis tem de ser nulo…… e pela definição de seno:

1 1i r

i r

sen senv v

θ θ⋅ = ⋅

Princípio de Fermat

… multiplicando ambos lados por c obtemos a lei de Snell-Descartes

Assim:

Princípio de Fermat

UA 3

i i r rn sen n senθ θ⋅ = ⋅

Óptica Refração

Tópicos

Caminho óptico

Pág. 12

O conceito de caminho óptico, CO, é consequência do princípio de Fermat:

O tempo total t, é o que a luz leva de O a I, ... atravessando os meios de índices de refracção ni, ... às velocidade vi

... percorrendo em cada meio no tempo ti

... e os espaços si

∑=

=+++=m

i i

i

m

m

vs

vs

vs

vst

12

2

1

1 .....

1 1

1 m m

i i i ii i

t n s CO n s t cc = =

= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅∑ ∑

t, é

Princípio de Fermat

Óptica Refração

Tópicos Pág. 13

CO – Caminho Óptico, é o espaço que a luz percorreria no vácuo, no tempo t, em que vai de O a I através

dos meios envolvidos

O princípio de Fermat pode enunciar-se agora, dizendo que a luz no percurso entre dois pontos descreve o caminho que minimiza o percurso óptico.

Se vários caminhos são possíveis no percurso entre dois pontos então, eles têm o mesmo caminho óptico e levam no percurso todos o mesmo tempo.

( na última expressão, tempo mínimo equivale a CO mínimo)

Princípio de Fermat

Óptica Refração

Tópicos

Princípio de Huygens

Pág. 14

Princípio de Huygens

Óptica Refração

Tópicos

Princípio de Huygens

b

a

AB v tQO v t

=

=a

b

vQOAB v

=

Pela figura vemos que:

a

b

QOsenAOABsenAO

θ

θ

=

=

a a

b b

sen vQOsen AB v

θθ

= =

Como n1 = c / v1 e n2 = c / v2

1 1 2 2sen n sen nθ θ=

Num certo intervalo de tempo t, a onda se desloca de AQ até BO

O trecho AB é percorrido no meio b, com velocidade vb e o trecho QO é percorrido no meio 

a, com velocidade va. Então: 

Princípio de Huygens

Pág. 15

Óptica Refração

Tópicos

Exemplos

Pág. 16

Óptica Refração

Tópicos

Quando um feixe de brilha na superfície do rio a 2.4 m do píer, ele está incidindo numa moeda que está a 5.5 m de profundidade. Sabendo que o laser está a 1.8 m sob a superfície, ache a distância horizontal x. . 

1 1

Do triângulo superior temos:2,4tan 53,11,8

θ θ= ⇒ =

1 2 2

A partir da lei de Snell:1 sin 1,33 sin 37,0θ θ θ⋅ = ⋅ ⇒ =

2

Finalmente, considerando o triângulo inferior temos que:

tan 4,145,5x x mθ = ⇒ =

Exemplos

Pág. 17

Óptica Refração

Tópicos

Superfície refratora planaA imagem formada por uma superfície refratora plana está do mesmo lado da superfície que o objeto

– A imagem é virtual– A imagem se forma entre o objeto e a 

superfície

11 2

2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2

1 2

| | tantan tan

| | tan

Na aproximação paraxial:tan sin for 1

sin sintan tan

p Lp q

q L

n n n np q p q

n np q

θθ θ

θ

θ θ θ θ

θ θ θ θθ θ θ θ

= ⎫⇒ =⎬= ⎭

≈ ≈ <<

= ⇒ =

= ⇒ =

∴ =

n1

p= −

n2

q⇒ q = − n2

n1

p

θ1θ2 L

Exemplos

Pág. 18

Óptica Refração

Tópicos

Quando a luz passa através de uma placa de faces paralelas é refratado duas vezes:

– Na direção da normal na primeira interface

– Afastando‐se da normal na segunda interface

De acordo com a lei de Snell:

Como conseqüência:

Placa de faces paralelas

1 1 2 2 2 2 1 3sin sin e sin sinn n n nθ θ θ θ= =

1 3θ θ=

t

d

L

O deslocamento do feixe pode ser calculado considerando que:

1 22

sin( ) e cos

td L Lθ θθ

= − = ⇒ 1 2

2

sin( )cos

td θ θθ−

=

Exemplos

Pág. 19

Óptica Refração

Tópicos

m

n

α

α

O prisma da figura possui um índice de refração de 1,66, e os ângulos A são de 25,0o . Dois feixes paralelos de luz m e n entram no prisma. Ache o ângulo entre os raios que emergem do prisma.

( )12sin 1.66sin 25.0 50 39.2δ −= − =

δ

Pela a lei de Snell: sin sin rn α θ=θi

θr

Comparando os triângulos: iθ α=

( )2 2 2rπ δ π θ α= + − +

( ) ( )( )12 2 sin sinr nδ θ α α α−= − = −

Usando os dados do problema:

Exemplos

Pág. 20

Óptica Refração

Tópicos Pág. 21

Reflexão interna total

Óptica Refração

Tópicos

Divisão da energia nas interfaces

Reflexão e refracção parciais da luz, numa reflexão externa, em que n2> n1 e o raio transmitido se aproxima da normal, pela aplicação da lei de Snell

... a fracção de energia transportada em cada uma das ondas reflectida e refractada... é determinada pelas equações de Fresnel

Na superfície de separação entre dois meios a radiação pode ser reflectida, refractada ou sofrer ambos os processos

UA 3

Pág. 22

Reflexão interna total

Óptica Refração

Tópicos

Divisão da energia nas interfaces

Reflexão interna em que n1< n2... Observa-se refracção parcial em que o raio

transmitido se afasta da normal

º902 sensenn c =⋅ θ

csenn

θ1

2 =

... este fenómeno é importante em aplicações como, guias de onda e fibras ópticas

... o ângulo de incidência correspondente à refracção de 90º , a partir do qual se extingue o raio refractado, chama-se ângulo crítico, θc

…quando o meio 1 é o ar:

A relação entre o índice de refracção do meio mais denso e o ângulo crítico é:

Pág. 23

Reflexão interna total

Óptica Refração

Tópicos

Retrovisor de carro dia/noite

• Com a orientação para o dia, o raio mais intenso é refletido para os olhos do motorista.

• Na configuração da noite, o raio tênue (D) é refletido para os olhos do motorista, entanto que o raio intenso é refratado numa outra direção. 

Pág. 24

Equações de Fresnel

Óptica Refração

Tópicos

As equações de Fresnel são deduzidas para os dois casos de polarizações normal e paralela independentemente.

Pág. 25

Equações de Fresnel

Óptica Refração

Tópicos

Refletância e Transmitância para uma interface Ar‐Vidro

Note that    R + T  = 1

Perpendicular polarization

Incidence angle, θi

1.0

.5

00° 30° 60° 90°

R

T

Parallel polarization

Incidence angle, θi

1.0

.5

00° 30° 60° 90°

R

T

Pág. 26

Equações de Fresnel

Óptica Refração

Tópicos

Refletância e Transmitância para uma interface Vidro‐Ar

Note that    R + T  = 1

Perpendicular polarization

Incidence angle, θi

1.0

.5

00° 30° 60° 90°

R

T

Parallel polarization

Incidence angle, θi

1.0

.5

00° 30° 60° 90°

R

T

Pág. 27

Equações de Fresnel

Óptica Refração

Tópicos

Incidência normal à superfíciePara incidência normal  (θi = 0),                                            

No caso da interface ar‐vidro  (ni = 1 e nt = 1.5),

R = 4%    e    T = 96%

Os valores são os mesmos independentemente da direção na que a luz viaje , isto é, ar‐vidro ou vidro‐ar.

2

t i

t i

n nRn n

⎛ ⎞−=⎜ ⎟+⎝ ⎠ ( )2

4 t i

t i

n nT

n n=

+

Pág. 28

Equações de Fresnel

Óptica Refração

Tópicos

Ângulo de Brewster

A luz refletida está completamente polarizada quando o feixe refletido e o refratado são perpendiculares. A direção de polarização é paralela à superfície refletora. 

Ar/Vidro:  θB=  56,3o

( )1 2

2

1

sin sin 2

tan

B B

B

n nnn

θ π θ

θ

= −

=

Pág. 29

Equações de Fresnel

Óptica Refração

Tópicos

Ângulo de Brewster

Ângulo de Brewster para a interface ar‐vidro:  56oSem polarizador Com polarizador

Pág. 30

Equações de Fresnel

Óptica Refração

Tópicos

A transmissão na primeira interface é( )2

4 t i

t i

n nT

n n=

+

Pág. 31

Equações de Fresnel

Um feixe de luz incide perpendicularmente num placa de diamante de faces paralelas rodeada de ar. Ache a fração de luz transmitida considerando a luz refletida nas paredes da placa para o interior da mesma. 

Considerando as sucessivas reflexões‐refrações:

( ) ( ) ( )2 4 62 2 2 21 1 1tT T T T T T T T= + − + − + − +

Como T < 1: ( )

2

21 1tTT

T=

− −

No caso da placa de diamante, n= 2,419 → T=0,828   e    Tt = 0,706    

Óptica Refração

Tópicos

Fibras ópticas

Pág. 32

Aplicações

Óptica Refração

Tópicos

Prismas refletores

Pág. 33

Aplicações

Na interface vidro‐ar : θc = 41.1o

Óptica Refração

Tópicos

Prismas refletores

Pág. 34

Aplicações

Prisma de Abbe‐KoenigPrisma de Porro‐Abbe

Prisma de Topo Prisma de Amici

Prisma de Schmidt‐Pechan

Prisma de Dove

Óptica Refração

Tópicos

Prismas dispersivos

Pág. 35

Aplicações

Óptica Refração

Tópicos

Halita ‐ NaCl(opticamente isotrópico)

Calcita(opticamenteanisotrópico)

Calcita entre dos polarizadores perpendiculares. 

Birrefringência

Pág. 36

Aplicações

Óptica Refração

Tópicos

Prismas dispersivos

( ) 2 4 6

B C Dn Aλλ λ λ

= + + + +

Óptica Refração

Tópicos

Prismas de desviação constante

Pág. 38

Aplicações

Prisma de AbbePrisma de Pellin‐Broca

Óptica Refração

Tópicos

Ângulo de desvio mínima

• O ângulo de desvio está dado por:

• Note  que:

• Como conseqüência:

Pág. 39

Aplicações

Óptica Refração

Tópicos

Ângulo de desvio mínima

• O ângulo de desvio está dado por:

• A condição para desvio mínimo é:

• Aplicando a lei de Snell:

Pág. 40

Aplicações

Óptica Refração

Tópicos

Ângulo de desvio mínima

• A condição de desvio mínimo é:

• Devido a isto:

• Finalmente: 

Pág. 41

Aplicações

Óptica Refração

Tópicos

O

d

S

P

Q

Um raio luminoso incide sobre o plano equatorial de uma esfera transparente de raio R e índice de refração n com um ângulo de incidência i. Calcular a distancia d medida desde o centro da esfera até o ponto S onde o raio refratado corta ao eixo do sistema.

i

R

Pág. 42

Aplicações

Óptica Refração

Tópicos

i

rir

P

Q

O

180‐ii α β

r21800 −=θ

iri −=−−= 2180 0θα

d

S

)(2)180(180 rii −=−−−= αβ

βsen)180sen(R

id

=−

Teorema do seno:

R

O triângulo OPQ é isósceles porque as distâncias OP y OQ são iguais ao raio R da esfera

θ0

)(2sensen)180sen(

sen riiRiRd−

⋅=−⋅=

β

Dado o índice de refração n, o ângulo r se calcula pela lei de Snell:

rni sensen ⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

nir sensen 1

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Tópicos Pág. 44

Aplicações

Óptica Refração

Tópicos

Características de um diamante

Brilho

Clivagem

Fogo

Pág. 45

Aplicações

Óptica Refração

Tópicos

Clivagem

Pág. 46

Aplicações

Óptica Refração

Tópicos

O brilho dos diamantes

Para um raio que incide perpendicular a uma interface:

21 2

21 2

(n n )Intensity of reflected beamIntensity of incident beam (n n )

R −= =

+

Vidro – n2 = 1.5,  0.04R =

Diamante – n2 = 2.4,  0.17R =

Se o meio de incidência for ar (n1=1) :

Pág. 47

Aplicações

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Tópicos Pág. 48

Aplicações