otimização de estruturas unifilares
Post on 16-Dec-2015
36 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
MINISTRIO DA EDUCAO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA
OTIMIZAO DE ESTRUTURAS UNIFILARES POR PROGRAMAO INTEIRA COM
RESTRIES DE FALHA
por
Adriano Kuckoski
Dissertao para obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia
Porto Alegre, Dezembro de 2013
-
ii
OTIMIZAO DE ESTRUTURAS UNIFILARES POR PROGRAMAO INTEIRA COM
RESTRIES DE FALHA
por
Adriano Kuckoski
Engenheiro Mecnico
Dissertao submetida ao Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica, da
Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como parte dos requisitos
necessrios para a obteno do Ttulo de
Mestre em Engenharia
rea de Concentrao: Mecnica dos Slidos
Orientador: Prof. Jun S. Ono Fonseca, Ph.D
Comisso de Avaliao:
Prof. Dr. Rogrio Marczak, PROMEC / UFRGS
Prof. Dr. Igncio Iturrioz, PROMEC / UFRGS
Prof. Dr. Carlos Eduardo Marcos Guilherme, FURG
Prof. Dr. Rogrio Marczak
Coordenador do PROMEC
Porto Alegre, 10 dezembro de 2013
-
iii
A simplicidade o ltimo grau de sofisticao
Leonardo da Vinci
-
iv
AGRADECIMENTOS
Ao meu orientador Prof. Dr. Jun S. Ono Fonseca pelo apoio e incentivo para o
desenvolvimento deste trabalho.
Aos meus irmos Eliane, Alceu e Elaine Kuckoski pelo companheirismo para vencer as
batalhas da vida.
Em especial a minha esposa, Enf. Milene Castro pela pacincia, carinho e dedicao
nesta longa caminhada.
-
v
RESUMO
O contedo deste trabalho trata da formulao para soluo do problema de otimizao
estrutural com minimizao de massa em estruturas unifilares, sujeitas a restrio de tenso,
flambagem das barras isoladas e fadiga. So considerados trs casos de otimizao:
paramtrica, de forma e dimensional. Os problemas de singularidades nas restries de tenso
e flambagem so evitados atravs de uma formulao que faz uso de programao inteira para
soluo do problema. Outra singularidade encontrada na otimizao topolgica a
singularidade na matriz de rigidez da estrutura. Este problema foi evitado atravs de uma
formulao que considera a existncia de matriz de rigidez regular como restrio do problema.
O mtodo de soluo utilizado para resolver problema de otimizao o mtodo dos
algoritmos genticos. As restries do problema so impostas atravs da penalizao da funo
objetivo. O mtodo de soluo mostrou-se adequado para soluo dos problemas estudados.
A formulao implementada validada atravs da soluo de problemas clssicos de
otimizao estrutural. Os resultados obtidos so comparados com a literatura onde verificou-se
a coerncia dos mesmos. Aps realizar a validao, a formulao utilizada em um estudo que
tem como base uma estrutura real: uma torre de queima de gases (flare) oriundos do processo
de extrao e armazenagem de petrleo em uma unidade flutuante. Para o problema da torre as
restries foram determinadas com base em critrios de falha estabelecido na norma DNV. A
otimizao do flare permitiu minimizar a massa da estrutura sem que os critrios de falha
fossem violados. Verificou-se que a metodologia proposta adequada para soluo com grande
nmero de restries e com diversos casos de carregamento.
Palavras-chave: Otimizao estrutural, unifilares, falha, singularidades, programao inteira.
-
vi
ABSTRACT
The purpose of this work is the development of a methodology to solve the structural
optimization problem of frame structures subject to stress, buckling of isolated members, and
fatigue constraints. Three types of structural optimization problems are considered: sizing,
shape and topological. The stress and buckling singularity problems are avoided by an integer
design variable formulation, using integer programing to obtain the optimization problem
solution. Another issue found in optimization problems is the stiffness matrix singularity. The
proposed formulations include the linear system stability as a constraint in the optimization
problem. A genetic algorithm is used to solve the general optimization problem.
All constraints of the problem are included with a penalization equation. The results
show that genetic algorithm is a good approach to solve the proposed formulation. The proposed
formulation is tested for solving classical optimization problems. The obtained results are
consistent with the literature.
A real engineering problem is solved with proposed methodology: a gas burning tower
(flare). In this problem, all constraints are based on failure criteria recommended by DNV
standards. The structural optimization of this problem shows that structural mass minimization
is possible without violating the failure criteria. It is observed that solution methodology deals
successfully with problems with multiple constraints and load cases
Keywords: Structural optimization, frame, failiure, singularity, integer programming.
-
vii
NDICE
1 INTRODUO ................................................................................................................ 1
1.1 Organizao do trabalho ............................................................................................. 2
2 REVISO BIBLIOGRFICA ........................................................................................ 2
2.1 Breve histrico da otimizao estrutural .................................................................... 2
2.1 Otimizao topolgica em estruturas discretas .......................................................... 3
2.2 Restries e Singularidades ........................................................................................ 4
2.3 Algoritmo de Soluo ................................................................................................. 5
2.4 Objetivos do trabalho ................................................................................................. 6
3 OTIMIZAO ESTRUTURAL ..................................................................................... 7
3.1 Variveis de projeto .................................................................................................... 8
3.2 Funo objetivo .......................................................................................................... 9
3.3 Restries ................................................................................................................... 9
3.4 Apresentao do problema geral de otimizao estrutural ....................................... 10
3.5 Singularidade nas restries de tenso ..................................................................... 10
3.6 Singularidades nas restries de flambagem de barras isoladas da estrutura ........... 11
4 PROGRAMAO INTEIRA ....................................................................................... 14
4.1 Algoritmos genticos (AG) ...................................................................................... 15
4.2 Terminologia dos algoritmos genticos .................................................................... 16
4.3 Operadores genticos ................................................................................................ 16
4.4 Parmetros genticos ................................................................................................ 18
-
viii
4.5 Funo aptido e restries....................................................................................... 19
4.6 Esquema de um algoritmo gentico ......................................................................... 20
4.7 Comparativo entre algoritmos genticos e algoritmos clssicos de otimizao ....... 21
5 TEORIAS ESTRUTURAIS CLSSICAS ................................................................... 23
5.1.1 Carregamento axial em Barras ............................................................................. 23
5.1.2 Toro em membros circulares............................................................................. 24
5.1.3 Flexo de vigas ..................................................................................................... 26
6 ELEMENTOS FINITOS ............................................................................................... 27
6.1 Histrico do Mtodo dos elementos finitos .............................................................. 27
6.2 Formulao geral do mtodo dos elementos finitos ................................................. 28
6.2.1 Princpio dos trabalhos virtuais ............................................................................ 28
6.2.2 Princpio da mnima energia potencial ................................................................. 29
6.3 Elemento finito de barra ........................................................................................... 30
6.4 Elemento finito de toro ......................................................................................... 32
6.5 Elemento finito de viga em duas dimenses ............................................................ 32
6.6 Superposio dos efeitos de barra, toro e flexo ................................................... 35
7 DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL .................................................................... 36
7.1 Mtodo das tenses admissveis ............................................................................... 36
7.2 Mtodo dos estados Limites ..................................................................................... 37
7.3 Mtodo da Confiabilidade ........................................................................................ 38
7.4 Falha por fadiga em unies soldadas ........................................................................ 39
7.4.1 Resistncia fadiga de uma junta soldada ........................................................... 40
7.4.2 Fadiga em juntas tubulares ................................................................................... 44
7.4.3 Anlise simplificada de fadiga em estruturas offshore ......................................... 45
7.5 Critrio de falha por Flambagem .............................................................................. 46
-
ix
7.5.1 Flambagem de colunas de Euler ........................................................................... 46
7.5.2 Critrio de falha por flambagem conforme norma DNV ..................................... 48
8 APRESENTAO DA FORMULAO PROPOSTA E DO ALGORITMO DE
SOLUO IMPLEMENTADO ........................................................................................... 51
8.1 Funo aptido .......................................................................................................... 51
8.1 Esquema geral........................................................................................................... 54
9 SOLUO DE PROBLEMAS ..................................................................................... 57
9.1 Trelia com 5 barras ................................................................................................. 57
9.2 Trelia com 10 barras ............................................................................................... 61
9.3 Trelia com 6 barras ................................................................................................. 65
9.4 Estrutura com elementos de barra e viga .................................................................. 67
9.5 Utilizao do algoritmo implementado para soluo de um problema real de
engenharia ............................................................................................................................. 71
9.5.1 Descrio das variveis de projeto e do modelo numrico .................................. 72
9.5.2 Efeitos de Inerciais ............................................................................................... 75
9.5.3 Cargas de Vento ................................................................................................... 78
9.5.4 Combinao dos casos de carga ........................................................................... 79
9.5.5 Critrio de Falha ................................................................................................... 81
9.5.6 Resultados para otimizao paramtrica e topolgica e de forma ........................ 84
10 CONCLUSO ................................................................................................................. 92
11 SUGESTES PARA TRABALHOS FUTUROS ........................................................ 94
12 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................... 95
APNDICE A - BARRA BI-ARTICULADA SUBMETIDA CARGA COMPRESSIVA
100
-
x
APNDICE B - TRELIA DE 18 BARRAS COM OTIMIZAO DIMENSIONAL E
DE FORMA .......................................................................................................................... 102
APNDICE C - FATORES DE CONCENTRAO DE TENSO E LIMITE DE
RESISTNCIA A FADIGA CONFORME RECOMENDAES DNV ....................... 105
-
xi
Figura 2.1. Exemplos de estruturas de trelia obtidas por Michell em 1904. ............................ 3
Figura 2.2. Ground Structure na otimizao topolgica de estruturas discretas. ....................... 4
Figura 3.1. Tipos de otimizao estrutural: (a) dimensional ou paramtrica; (b) forma; (c)
topolgica. .......................................................................................................................... 8
Figura 3.2. Exemplo de estrutura com restrio de flambagem local. ..................................... 12
Figura 4.1. Esquema de soluo de um algoritmo gentico. .................................................... 21
Figura 5.1. Geometria simplificada de uma barra. ................................................................... 24
Figura 5.2. Ilustrao da hiptese sobre os deslocamentos em um membro circular de seo
constante. .......................................................................................................................... 25
Figura 6.1. Elemento finito para uma barra, definido em coordenadas globais e coordenadas
paramtricas. ..................................................................................................................... 30
Figura 6.2. Elemento finito para flexo, definido em coordenadas globais e coordenadas
paramtricas. ..................................................................................................................... 33
Figura 6.3. Funes de interpolao para um elemento de viga em duas dimenses. ............. 33
Figura 7.1. Distribuio de probabilidades para a solicitao e resistncia. ............................ 38
Figura 7.2. Efeito da tenso mdia em um ciclo de carga de fadiga. ....................................... 41
Figura 7.3. Curvas S-N para diversas juntas soldadas em ao. ................................................ 42
Figura 7.4. Solda cruciforme em T. .......................................................................................... 42
Figura 7.5. Curvas S-N para diversas juntas soldadas em ao. ................................................ 43
Figura 7.6. Comprimento efetivo em funo da condio de contorno. .................................. 47
Figura 7.7. Curva tpica de falha por flambagem. .................................................................... 49
Figura 7.8. Curvas limite de flambagem. ................................................................................. 50
Figura 8.1. Comportamento do coeficiente de violao das restries para diversas
penalizaes. ..................................................................................................................... 52
Figura 8.2. Estrutura cuja matriz de rigidez singular. ............................................................ 53
Figura 8.3. Fluxograma do algoritmo de soluo. .................................................................... 54
LISTA DE FIGURAS
-
xii
Figura 8.4. Fluxograma do clculo estrutural e avaliao da funo aptido. ......................... 56
Figura 9.1. Trelia de 5 barras. ................................................................................................. 57
Figura 9.2. Curvas de convergncia para diversos coeficientes de penalizao. ..................... 60
Figura 9.3. Curvas de convergncia para diversas taxas de mutao. ...................................... 61
Figura 9.4. Trelia de 10 barras. ............................................................................................... 61
Figura 9.5. Topologia final trelia com 10 barras. ................................................................... 62
Figura 9.6. Tenses axiais na trelia de 10 barras. ................................................................... 64
Figura 9.7. Curvas de convergncia para diversos coeficientes de penalizao. ..................... 64
Figura 9.8. Modelo estrutural da trelia de 6 barras. ................................................................ 65
Figura 9.9. Curva de convergncia para a trelia de 6 barras. .................................................. 66
Figura 9.10. Tenses axiais. ..................................................................................................... 66
Figura 9.11. Estrutura com elementos de barra e viga. ............................................................ 67
Figura 9.12. Definio das variveis de projeto. ...................................................................... 67
Figura 9.13. Topologia final da estrutura. ................................................................................ 68
Figura 9.14. Tenso axial na estrutura otimizada. .................................................................... 70
Figura 9.15. Torre de queima com seo triangular. ................................................................ 72
Figura 9.16. Torre de queima com seo retangular. ............................................................... 72
Figura 9.17. Definio das variveis de projeto. ...................................................................... 72
Figura 9.18. Numerao das variveis de projeto e restries. ................................................ 73
Figura 9.19. Esquema de aplicaao das cargas de vento na torre. ............................................ 75
Figura 9.20. Graus de liberdade de um navio. .......................................................................... 76
Figura 9.21. Locais onde as aceleraes so conhecidas. ........................................................ 76
Figura 9.22. Coeficiente de arrasto para estruturas de perfis tubulares. ................................... 79
Figura 9.23. Junta utilizada para estimativa inicial do fator de concentrao de tenso. ......... 83
Figura 9.24. Topologia final do flare aps a otimizao. ......................................................... 85
Figura 9.25. Valores mnimos para razo d
d
SR para diferentes critrios de falha. .................... 86
Figura 9.26. Tenses de fadiga na estrutura. ............................................................................ 87
Figura 9.27. Curvas de convergncia normalizadas para dois diferentes casos de otimizao.
.......................................................................................................................................... 90
Figura 9.28. Detalhe curva de convergncia da Figura 9.27 a partir da gerao 500. ............. 90
-
xiii
Figura A.1. Condies de contorno e numerao das variveis de projeto. ........................... 100
Figura A.2. Geometria final da barra aps a otimizao. ....................................................... 101
Figura A.3. Tenses axiais na barra aps a otimizao. ......................................................... 101
Figura A.4. Deformao do primeiro modo de flambagem da barra, sendo coeficiente de carga
de flambagem 1.0. .......................................................................................................... 101
Figura B.1. Trelia de 18 barras. ............................................................................................ 102
Figura B.2. Forma final da trelia de 18 barras. ..................................................................... 104
Figura C.1. Definies geomtricas de uma junta tubular. .................................................... 105
Figura C.2. Equaes utilizadas para o clculo dos fatores de concentrao de tenses. ...... 106
Figura C.3. Modelo estrutural da junta tubular. ..................................................................... 106
Figura C.4. Tenses na junta tubular. ..................................................................................... 107
Figura C.5. Intervalo de tenses admissvel em funo do parmetro h. ............................... 108
Figura C.6. Fator de utilizao em funo do fator de projeto de fadiga e da vida til de projeto.
........................................................................................................................................ 108
Figura C.7. Fator de reduo das resistncias em funo do fator de utilizao. ................... 109
-
xiv
LISTA DE TABELAS
Tabela 7.1. Parmetros da equao de flambagem. .................................................................. 49
Tabela 9.1.reas da trelia de 5 barras aps a otimizao para diferentes formulaes.......... 58
Tabela 9.2. Tenses para cada um dos casos de carregamento. ............................................... 59
Tabela 9.3. Resultados da otimizao para diversos mtodos. ................................................. 62
Tabela 9.4. Tenses nas barras aps a otimizao. .................................................................. 63
Tabela 9.5. Tenses e limite de flambagem em cada uma das barras. ..................................... 69
Tabela 9.6. Tabela de aceleraes sobre o flare. ...................................................................... 77
Tabela 9.7. Aceleraes mdias no flare. ................................................................................. 78
Tabela 9.8 Fatores de majorao das cargas para estados limites ltimos. .............................. 80
Tabela A.1. Valores discretos das variveis de projeto. ......................................................... 100
Tabela B.1. Variveis de projeto aps a otimizaao para diversos autores. ........................... 103
Tabela B.2. Tenses axiais e limite de flambagem. ............................................................... 104
Tabela C.1. Tenses axiais nas barras e fator de concentrao de tenso. ............................. 107
-
xv
LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS
SCF Stress Concentration Factor
DNV Det Norsk VERITAS
ABS American bureau of shipping
GALIB Genetic Algorithm Library
FPSO Floating Production and Storage
DOC Design operation Conditions
DEC Design Extreme Conditions
ELU Estado Limite Ultimo
ELF Estado Limite de Fadiga
AG Algoritmo Gentico
-
xvi
LISTA DE SMBOLOS
X Vetor de variveis de projeto
f(x) Funo objetivo
ix i-sima varivel de projeto
minx Limite inferior da varivel de projeto
maxx Limite superior da varivel de projeto
0)( xg j Conjunto de restries de igualdade
0)( xhk Conjunto de restries de desigualdade
adm Tenso admissvel
ij Tensor de tenses
iA rea da i-sima barra
Coeficiente de relaxao
b Limite de tenso de flambagem elstica de Euler
l
ia Limite mvel inferior
u
ia Limite mvel superior
)(xf p Funo objetivo penalizada
C Constante de penalizao
i Constante de violao de restrio
ij Tensor de deformaes infinitesimal
it Vetor de traes de superfcie
jn Vetor normal superfcie
if Vetor de foras de corpo
Constante de Lam
-
xvii
Constante de Lam
E Mdulo de Elasticidade
Coeficiente de Poisson
u Vetor de deslocamentos
d Regio superficial onde so aplicadas restries de deslocamentos
n Regio superficial onde so aplicadas tenses prescritas
R Raio da seo circular
Funo de empenamento da seo transversal
Funcional de energia potencial total
)(uB Energia potencial de deformao
)(uf Trabalho realizado pelas foras externas
C Tensor constitutivo do material
N Vetor de funes de interpolao
eu Vetor de deslocamentos do elemento
eK Matriz de rigidez do elemento
eF Vetor de foras do elemento
Eixo do sistema de coordenadas paramtrico
L Comprimento de uma barra
A rea da seo transversal de uma barra
G Mdulo de cisalhamento do material
tI Momento polar de inrcia da seo
zI Momento de inrcia da seo
nS Tenses geradas pelas cargas de servio
dR Resistncia do material
dS Solicitao de dimensionamento
dR Resistncia de dimensionamento
N Nmero de ciclos de carga at a falha por fadiga
C Constante do material para caracterizar a resistncia fadiga
-
xviii
Intervalo de variao das tenses em um ciclo de fadiga
max Tenso mxima do ciclo de fadiga
min Tenso mnima do ciclo de fadiga
m Inclinao da curva de fadiga
nom Tenso nominal
hotspot Tenso estrutural
)( Q Probabilidade de que seja excedido
h Parmetro de forma
q Parmetro de escala
critP Carga crtica de flambagem linear de uma coluna
I Momento de inercia da seo transversal
effL Comprimento efetivo de uma barra
k Fator para o clculo do comprimento efetivo de uma barra
ndice de esbeltes
esc Limite de escoamento
E Limite de flambagem elstica
ji,,1 Coeficiente de restrio de tenso
ji,,2 Coeficiente de restrio de flambagem
ki,,3 Coeficiente de restrio de fadiga
ELTn Nmero de casos de carregamento para estados limites de tenso
ELFn Nmero de casos de carregamento para estados limites de fadiga
barrasn Nmero de barras
jieqv ,, Tenso equivalente na barra i para o caso de carga j
iadm, Tenso admissvel na barra i
jiB ,, Tenso de flambagem na barra i para o caso de carga j
-
xix
iBadm ,_ Tenso de flambagem admissvel na barra i
kiF ,, Tenso de fadiga na barra i para o caso de carga k
iFadm ,_ Tenso de fadiga admissvel na barra i
Densidade do material
ndice de reas exposta
Re Nmero de Reynolds
01fc Coeficiente de arrasto na direo 1
02fc Coeficiente de arrasto na direo 2
kp Presso caracterstica
kV Velocidade caracterstica
iG Coeficiente de carga relativo ao cargas de peso prprio
iE Coeficiente relativo s cargas ambientais
?ja Aceleraes para cada estado de carregamento
?V Carga de Vento
ELFdS , Solicitao de dimensionamento para estado limite de fadiga
-
1
1 INTRODUO
No passado, o projeto de estruturas mecnicas era feito com base em clculos analticos
simplificados e principalmente experincia do projetista. Aps a realizao do projeto, quando
necessrio, era construdo um prottipo para realizao de testes e verificao do desempenho.
Surgiram ento os mtodos numricos, que com o advento dos computadores digitais,
permitiram realizar o clculo das solicitaes de forma muito mais precisa. A etapa de
construo do prottipo para testes passou a ser realizada de maneira virtual. Logo, durante
concepo do projeto so criadas diversas configuraes para um componente ou estrutura, que
so simuladas numericamente para avaliar o desempenho. Por critrio de comparaes
estabelecida a configurao estrutural que melhor atende os requisitos de projeto e com maior
viabilidade econmica. No entanto, no se pode afirmar que a soluo encontrada por esse
mtodo a soluo mais econmica para construo de uma estrutura mecnica.
O crescente aumento de competitividade, e a incansvel busca pela reduo de custos,
tm impulsionado o desenvolvimento da tcnica que atravs de algoritmos de busca determina
a soluo tima para o problema: a otimizao estrutural. A otimizao estrutural busca
determinar a configurao estrutural para qual todos os requisitos de projeto so atendidos e
que apresente o menor custo.
Os primeiros problemas de otimizao foram abordados por Maxwell em 1872 e
posteriormente por Michell [Michell, 1904]. No entanto, foi a partir da dcada de 60, com o
surgimento dos computadores digitais, que a pesquisa por mtodos de otimizao se
intensificou.
Diversos livros foram publicados com os conceitos bsicos de otimizao. Destacam-se
as publicaes de Haftka [Haftka e Grdal, 1992], Arora [Arora, 2012] e [Bendsoe, 1995].
A proposta deste estudo o desenvolvimento de uma formulao para o problema de
otimizao estrutural, por variveis inteiras, submetidas a restries de critrios de falha. As
restries so determinadas com base em critrios de falha por escoamento, flambagem das
barras e fadiga. Os critrios de falha so determinados com base na norma de projeto DNV.
O problema de otimizao estrutural abordado considerando trs problemas de
otimizao: paramtrica, de forma e topolgica.
-
2
1.1 Organizao do trabalho
No captulo 2 realizada a reviso bibliogrfica sobre otimizao estrutural. Neste
captulo so enunciados os principais problemas e diversas solues propostas pela literatura
especfica. Por ltimo so apresentados os objetivos deste trabalho.
O captulo 3 dedicado ao estudo das principais formulaes existentes para o problema
de otimizao estrutural em geometrias unifilares. So apresentadas diversas metodologias para
soluo do problema de singularidade de tenses e flambagem.
No captulo 4 so listados os principais mtodos de programao inteira. Neste captulo
so apresentados os conceitos fundamentais dos mtodos dos algoritmos genticos.
Nos captulos 5 e 6 apresentada a reviso bibliogrfica sobre teorias estruturais
clssicas e o mtodo dos elementos finitos.
O captulo 7 trata da apresentao do principais mtodos para o dimensionamento
estrutural.
No captulo 8 apresentada a formulao utilizada na soluo dos casos apresentados
neste trabalho.
Os resultados da aplicao da formulao proposta em problemas clssicos so
apresentados no captulo 9. Tambm so apresentados os resultados da utilizao do algoritmo
para soluo de um caso prtico de engenharia.
As concluses e sugestes para trabalhos futuros so apresentadas no captulo 10 e 11.
2 REVISO BIBLIOGRFICA
2.1 Breve histrico da otimizao estrutural
A otimizao estrutural a disciplina que trata do projeto timo de estruturas. Os
primeiros problemas de otimizao foram abordados por Maxwell em 1872 e Michell [Michell,
1904]. A tcnica utilizada consiste em solucionar o campo de tenses principais, para um dado
caso de carga, e com base nas linhas de isotenso principal, propor uma estrutura formada por
elementos de barra. A estrutura tima consiste em uma forma treliada onde seus elementos
esto alinhados s iso-linhas de tenso, desta forma os membros estruturais esto submetidos
somente a esforos axiais. Este tipo de critrio fornece o mesmo resultado que o critrio da
-
3
mxima rigidez com mnimo material. Atualmente j provado que a configurao tima para
este critrio uma estrutura de trelias. As figuras abaixo ilustram os resultados descritos:
(a) Flexo simples em viga bi apoiada
(b) Toro em casca esfrica.
Figura 2.1. Exemplos de estruturas de trelia obtidas por Michell em 1904.
Embora bastante surpreendentes estes resultados permaneceram esquecidos at a dcada
de 60. Durante este perodo foram estudados somente a soluo de problemas acadmicos em
estruturas simples (vigas e trelias), sem aplicao prtica e que no seguiam a premissa de
Michell.
O advento da otimizao iniciou-se aps a dcada de 60 com o surgimento dos
computadores digitais e o mtodo dos elementos finitos. O trabalho considerado incio da era
moderna da otimizao foi publicado por Schmit [Schmit, 1960]. O artigo trata da otimizao
de trelias combinando a anlise estrutural por computador e a programao matemtica.
Na dcada de 70 vrios algoritmos foram implementados e testados. Assim, por
exemplo, desenvolvido o mtodo Simplex para a soluo de problemas de programao linear.
Os algoritmos de otimizao apareceram em softwares comerciais a partir dos anos 80.
Posteriormente, na dcada de 90, o mtodo da otimizao topolgica (MOT) foi incorporado a
pacotes comerciais de elementos finitos causando grande impacto na indstria automotiva e
aeroespacial [Silva, 2003].
2.1 Otimizao topolgica em estruturas discretas
A otimizao topolgica de estruturas discretas foi incialmente apresentada por Dorn
em 1964 [Dorn et al., 1964], o qual apresentou uma estrutura denominada ground structure.
Nesta estrutura, todos os ns so conectados entre si e so impostas as condies de
carregamento e restries. O autor aplicou a programao linear para retirar da estrutura os
perfis redundantes e desta forma reduzir seu peso. A Figura 2.2 apresenta um exemplo da
denominada ground structure.
-
4
Dobbs e Felton [Dobbs e Felton, 1968] propuseram a reduo do peso de uma trelia,
submetida a mltiplos casos de carga e restrio de tenso, utilizando as sees transversais
como variveis de projeto. O algoritmo de busca utilizado conhecido como steepest descent-
alternate mode. O mtodo busca reduzir o valor da funo objetivo com base nas informaes
dos gradientes. Quando uma seo transversal atinge o limite inferior o elemento removido, no
podendo mais retornar anlise.
Figura 2.2. Ground Structure na otimizao topolgica de estruturas discretas.
2.2 Restries e Singularidades
As restries so condies que impostas ao modelo numrico conduzem a soluo do
problema a um domnio vivel. Qualquer violao de restrio indica que a soluo se encontra
em um ponto em que a soluo no permitida.
Ao inserir restries sobre os limites de tenso, o problema de otimizao topolgica
tem soluo em um ponto do domnio onde ocorrem singularidades. O problema foi constatado
primeiramente por Sved e Ginos [ Sved e Ginos, 1968], os autores estudaram um caso de trelia
de trs barras submetido a diversos casos de carga. A concluso obtida foi que o timo global
s poderia ser alcanado se uma das barras fosse completamente removida, violando assim as
restries de tenso.
Os tipos de problemas onde o timo singular foram abordados por Kirsch [Kirsch,
1990]. Nos seus estudos, o autor concluiu que nos casos de soluo com timo singular pode
ser extremamente difcil ou at impossvel obter o timo global utilizando mtodos numricos.
Cheng e Jiang [Cheng e Jiang, 1992] mostraram que a existncia do timo singular est
vinculada a descontinuidade da restrio de tenso quando a rea de uma barra tende a um valor
nulo.
Diversos autores estudaram formulaes para o problema de singularidade nas
restries de tenso, cabe citar alguns deles: Rozvany [Rozvany e Birker, 1994] e Cheng
[Cheng, 1995].
-
5
Uma soluo para as singularidades nas restries de tenso em trelias foi proposta por
Cheng [Cheng e Guo, 1997] atravs do mtodo da relaxao epsilon (). Este trabalho tem
fundamental importncia, pois a tcnica de relaxao foi estendida para aplicao em estruturas
contnuas.
Assim como as restries de tenso, restries sobre a flambagem das barras de uma
trelia acarretam no aparecimento de singularidades. A incluso do limite de flambagem local
acarreta na ocorrncia de problemas muito mais severos daqueles relatados nos casos de
restrio sobre as tenses [Zhou, 1995].
O problema na singularidade das restries locais de flambagem foi abordado por Guo
[Guo, et al., 2001], no artigo foi proposto a utilizao do mtodo denominado tcnica de
suavizao de segunda ordem. Os autores resolveram com sucesso o problema com restrio
de flambagem para estruturas de barras submetidas a mltiplos casos de carregamentos com
restrio sobre os limites de tenso e flambagem das barras.
Uma formulao exata para este tipo de problema foi proposta por Achtziger [Achtziger,
1999a]. O mesmo autor utilizou a sua formulao para apresentar resultados numricos
Achtziger [Achtziger, 1999b].
2.3 Algoritmo de Soluo
As tcnicas para soluo do problema de otimizao estrutural, em meios contnuos, so
divididas em dois grandes grupos [Kirsch, 1989]:
Mtodos analticos: Critrio de timo;
Mtodos numricos de busca.
Critrios de timo: O mtodo do critrio de timo busca satisfazer um conjunto de critrios
pr-estabelecidos relacionados ao comportamento estrutural. Este tipo de mtodo foi
inicialmente estudado por Michell [Michell, 1904] e [Rozvany, 1994].
Apesar de estar comprovado que os mtodos de programao matemtica so mais
gerais e estarem desenvolvidos a pontos de serem capazes de solucionar problemas de grande
porte, os critrios de timo ainda so amplamento utilizados. Este tipo de critrio permite uma
anlise muito mais qualitativa do fenmeno fsico, alm de muitas vezes, fornecer os limites
superiores e inferiores para as possveis solues timas [Kirsch, 1989].
Programao matemtica: Esta classe de mtodos permite que problemas de otimizao com
diversas restries sejam solucionados de forma sistemtica atravs de algoritmos
-
6
computacionais. O primeiro pesquisador a utilizar esta tcnica para solucionar um problema de
otimizao foi Schmit em 1960 [Schmit, 1960].
Para cada tipo de restrio e forma da funo objetivo existe um mtodo de programao
matemtica que se mostra mais adequado:
Programao linear: funo objetivo e restries so lineares;
Programao quadrtica: funo objetivo quadrtica e restries lineares;
Programao no linear: funo objetivo e/ou restries quadrticas;
Programao inteira: Variveis de projeto possuem valores discretos;
Programao mista: Combinao entre tcnica de programao inteira e qualquer uma
das demais.
Programao linear Sequencial: A programao linear um mtodo utilizado para resolver
problemas de otimizao quando as restries e a funo objetivo so funes lineares. A
abordagem de problemas no lineares feita utilizando a tcnica de expanso das funes
restrio e objetivo em sries de Taylor, onde os termos de segunda ordem so desprezados.
Desta forma, possvel resolver o problema de otimizao no linear atravs de sucessivas
aproximaes em funes lineares.
Aps sucessivas aproximaes esta tcnica converge para a regio prxima soluo
exata do problema de otimizao no linear [Haftka e Grdal, 1992, Cheng, 1992, Kirsch,
1989].
Programao Inteira: Existem diversos algoritmos de programao inteira aplicveis a
otimizao estrutural. Dentre os mais populares importante citar o mtodo do recozimento
simulado proposto por Kirkpatrick [Kirkpatrick, et al., 1983] e o mtodo do algoritmos
genticos [Holland, 1975].
2.4 Objetivos do trabalho
O objetivo geral deste trabalho a formulao de uma metodologia para soluo do
problema de otimizao estrutural com minimizao de massa, submetido a restries de tenso
e flambagem das barras e tenses limites de fadiga
Os objetivos especficos do trabalho so enunciados abaixo:
Propor uma metodologia para soluo de trs casos de otimizao estrutural
(paramtrica, topolgica e de forma) de maneira unificada atravs do uso de
programao inteira;
-
7
Evitar problemas de singularidades nas restries de tenso e flambagem local
sem o uso de tcnicas de relaxao;
Realizar a otimizao de uma estrutura baseado em um caso real de engenharia
com grande quantidade de restries e casos de carregamento, onde:
o So consideradas restries sobre o limite de escoamento, flambagem das
barras da estrutura e tenses limites de fadiga;
o As restries so determinadas com base em critrios de falha
estabelecidos na norma DNV.
3 OTIMIZAO ESTRUTURAL
A otimizao estrutural dividida em quatro diferentes reas: otimizao de material,
otimizao dimensional ou paramtrica, otimizao de forma e otimizao topolgica. A
otimizao de material pode ser o projeto de materiais com caractersticas constitutivas pr-
definidas, ou tambm a determinao dos materiais mais adequados para uma determinada
aplicao. Um exemplo de otimizao de material a criao de um material cujo coeficiente
de Poisson negativo, ou seja, o material expande transversalmente quando submetido a
carregamento de trao simples.
Na otimizao de forma, a geometria do contorno da estrutura determinada. A
aplicao tpica da otimizao de forma a remoo dos concentradores de tenso que levam
um componente a falha.
Na otimizao paramtrica as dimenses da estrutura so as variveis de projeto. Um
exemplo de otimizao dimensional a determinao tima da seo transversal dos elementos
de uma estrutura com minimizao da massa submetida a restries de falha.
Na otimizao topolgica, o objetivo a determinao da disposio tima do material
no domnio de projeto. Em estruturas contnuas a otimizao topolgica consiste em determinar
o formato externo e interno da geometria, bem como a quantidade e posies de buracos e
cavidades. J em modelos discretos, como exemplo: estruturas treliadas, o objetivo
determinar a quantidade, tamanho e conectividade dos elementos estruturais [Haftka e Gurdal,
1992].
A figura abaixo ilustra os tipos de otimizao estrutural geomtrica:
-
8
Figura 3.1. Tipos de otimizao estrutural: (a) dimensional ou paramtrica; (b) forma; (c)
topolgica.
3.1 Variveis de projeto
Quando se fala em otimizao estrutural, pressupe-se certa liberdade em modificar da
estrutura. As possibilidades de alteraes so representadas por um conjunto definido de
parmetros, os quais so denominados variveis de projeto. As variveis de projeto podem ser:
a seo transversal das vigas, parmetros que controlam a geometria da estrutura, propriedades
do material e etc. As variveis de projeto so descritas conforme vetor abaixo:
),...,,( 21 nxxxxX (3.1)
As variveis de projeto podem ser contnuas ou discretas. Quando na forma contnua
esto restritas a um intervalo de valores admissveis. J na forma discreta podem assumir um
conjunto finito de valores dentro de um intervalo.
Em muitos casos, as variveis de projeto so tratadas como contnuas na etapa inicial de
otimizao e, posteriormente, so transformadas em discretas na etapa final. Um exemplo
clssico a otimizao de sees transversais de vigas, onde a soluo tima obtida com
variveis discretas e posteriormente os resultados so ajustados aos valores disponveis nas
tabelas de perfis comerciais.
No entanto, ajustar a soluo tima para valores discretos existentes nem sempre resulta
em boa aproximao. Tal considerao aceitvel quando o domnio discreto apresenta pontos
razoavelmente prximos aos da soluo contnua [Haftka e Grdal, 1992].
-
9
3.2 Funo objetivo
Na otimizao admite-se a existncia de uma funo f(x), ou um conjunto de funes
f(x) = [f1(x), f2(x),,fn(x)], que representa uma caracterstica da estrutura que pode ser
melhorada. Essa funo, ou conjunto de funes, denominada funo objetivo ou funo
custo.
No caso da utilizao de mltiplas funes objetivo, no existe uma nica soluo tima
e sim um conjunto de solues que so melhores que todas as outras encontradas no espao de
busca. Este conjunto de solues conhecido como solues timas de Pareto por formarem a
fronteira de Pareto [Haftka e Grdal, 1992]. No entanto, este conjunto de solues pode
apresentar resposta inferior as demais quando avaliado somente um objetivo.
Para simplificar o problema de mltiplas funes objetivo, possvel combinar as
mesmas atravs de uma tcnica de programao de compromisso, onde montada uma funo
objetivo principal que composta por todas as funes objetivos. Ainda possvel eleger a
funo principal como objetivo e inserir as demais como restries ou limites.
A utilizao de mltiplas funes objetivo adequada para classe de problemas com
objetivos conflitantes, por exemplo: minimizar a massa de uma estrutura e maximizar a vida
em fadiga.
Nos problemas tratados neste estudo a funo objetivo nica: minimizao de massa
da estrutura. As funes de falha so inseridas no problema como restries.
3.3 Restries
Dado conjunto de variveis de projeto definidas na equao (3.1), as restries laterais
do problema so denotadas conforme equao abaixo:
nixxx i ...1maxmin (3.1)
onde n o nmero total de variveis de projeto.
As restries impostas sobre outras quantidades podem ser restries de igualdade ou
desigualdade:
jj njxg ...10)( (3.2)
onde nj a quantidade total de restries de igualdade.
kk nkxh ...10)( (3.3)
-
10
onde nk a quantidade total de restries de desigualdade.
Nos problemas de otimizao estrutural, geralmente, as restries de igualdade so as
equaes de equilbrio. J as restries de desigualdade so os valores limites admissveis de
tenses, deslocamentos, frequncias naturais e etc.
3.4 Apresentao do problema geral de otimizao estrutural
De forma geral, o problema de otimizao escrito da seguinte maneira [Haftka e
Grdal, 1992]:
min )(xf
(3.4)
sujeito
Vx
nixxx
nkxh
njxg
i
kk
gj
...1
...10)(
...10)(
maxmin
onde f(x) a funo objetivo, jg e kh so as restries de igualdade e desigualdade,
respectivamente, ix so as variveis de projeto e V o conjunto de valores para qual as variveis
de projeto so definidas.
3.5 Singularidade nas restries de tenso
Uma soluo para o problema de singularidade nas tenses foi discutido por Cheng e
Guo [Cheng e Guo, 1997]. Nos seus estudos, os autores propuseram a modificao do problema
de restrio de tenses atravs da tcnica reconhecida como relaxao-. O mtodo consiste em
permitir que haja certa violao nas restries de tenso quando as sees transversais se
aproximam do limite inferior:
iijadm A (3.5)
onde adm a tenso admissvel, ij so as tenses na estrutura, iA a rea de cada seo
transversal e um parmetro determinado de forma heurstica.
-
11
O mtodo da relaxao- unificou a otimizao paramtrica e topolgica. O problema
modificado atravs da introduo de um parmetro artificial elimina a existncia do timo
singular no domnio vivel [Cheng e Guo, 1997].
Mais tarde em 2001, Stolpe e Svanberg [Stolpe e Svanberg, 2001] questionaram a
validade do mtodo da relaxao. Foi demonstrado que em alguns casos particulares o mtodo
no capaz de eliminar a descontinuidade no domnio vivel. Desta forma no fica garantido
que os algoritmos de soluo sejam capazes de encontrar o timo global.
No entanto, apesar da contestao de Stolpe e Svanberg, o mtodo da relaxao epsilon
tem sido utilizado com sucesso por diversos autores para resolver o problema de singularidade
nas tenses.
3.6 Singularidades nas restries de flambagem de barras isoladas da estrutura
No caso de estruturas formadas por elementos de barra e vigas, a restrio de tenso
definida com base em dois critrios de falha: a primeira oriunda no limite de tenso admissvel
do material e a segunda relacionada ao limite de flambagem de cada um dos membros da
estrutura.
Zhou [Zhou, 1995] mostrou em seu estudo que a otimizao com restrio de
flambagem das barras da estrutura pode levar a soluo para o caso da condio de equilbrio
instvel. A utilizao de alguma tcnica para a remoo de juntas da estrutura pode devolver o
equilbrio ao sistema. No entanto, a tenso crtica de flambagem alterada de forma bastante
significativa, modificando substancialmente o problema original. Considere o exemplo da
Figura 3.2.
Todos os elementos tem a mesma tenso limite (p) e mdulo de elasticidade (E).
Considerando a restrio de flambagem, esperado que a soluo final seja da topologia
indicada na Figura 3.2-b. Neste caso, a tenso para flambagem de Euler fica:
2L
Ak Ib
(3.6)
onde AI a rea da seo transversal, L o comprimento da barra e k o coeficiente de flambagem.
-
12
(a) (b) (c)
Figura 3.2. Exemplo de estrutura com restrio de flambagem local.
Igualando a equao (3.6), tenso atuante no elemento:
I
I
A
P
L
Ak
2
(3.7)
kPLL
Ak
k
PLA IbI
1,
2
Definindo o coeficiente k conforme equao abaixo, resulta que:
10,
100
)( 2 pb
p
P
Lk
(3.8)
A seo transversal e o volume total ficam definidos como:
b
I
b
I
LPV
PA
10,
10 (3.9)
Agora considerando a topologia indicada pela Figura 3.2-c, o comprimento de cada uma
das barras fica:
32,
3254321
LL
LLLLL (3.10)
Os esforos internos:
32,
3254321
PN
PNNNN (3.11)
A seo transversal tima dos elementos 1-5:
1
1
2
1
1
A
N
L
Akb
(3.12)
-
13
pP
Ak
PLAAAA
32
1,
32
15
434321
Substituindo a definio do coeficiente de flambagem apresentado em (3.8) na equao (3.12),
resulta que o volume total fica:
p
II
PLLALAV
78.74 5511 (3.13)
Verifica se que o volume total menor daquele obtido para o primeiro caso, equao
(3.9) 10/78.7III VV .
No exemplo citado ficam evidenciadas as possveis complicaes na busca da soluo
tima para o caso de restries de flambagem nas barras da estrutura.
Guo [Guo, et al., 2001] props uma formulao para contornar os problemas relativos
as singularidades nas restries de flambagem de barras. Na soluo proposta por Guo, a
restrio de flambagem reescrita da seguinte forma:
T
ii
i
T
i
i
T
iT
i
T
iii
i
Bii
B
i
AAseAF
F
AF
FF
AAseAF
AF
AAAFAg
,1)(
3)(
),(
)(
/)()()(
2mod
,
mod
mod
(3.14)
onde A a rea da barra, Bi, a tenso limite de flambagem da barra e )(AFi a fora atuante
na barra, o coeficiente de relaxao das tenses, TiA um valor limite de rea e
T
iF a fora
barra i sendo sua seo transversal com rea TiA .
A formulao consiste em modificar a forma da restrio de flambagem quando a rea
de uma seo for reduzida gradativamente e se tornar menor que o valor pr-estabelecido TiA .
-
14
4 PROGRAMAO INTEIRA
Em uma grande gama de aplicaes de otimizao, conveniente adotar que as variveis
de projeto assumam valores discretos. Para soluo destes problemas, mais adequado utilizar
uma tcnica de busca baseada em programao inteira, onde as variveis possam assumir
valores discretos dentro de um conjunto finito de possibilidades.
Os mtodos de programao inteira tm como caracterstica fundamental a abordagem
do problema de forma estocstica. Desta forma, necessrio avaliar a funo objetivo um
nmero de vezes muito maior se comparado os mtodos de programao matemtica.
Atualmente existem diversos mtodos de programao inteira para soluo de problema
de otimizao, cabendo citar: o mtodo do recozimento simulado proposto por Kirkpatrick
[Kirkpatrick, et al., 1983] e o mtodo dos algoritmos genticos inicialmente proposto por
Holland [Holland, 1975]. Tambm existem outros mtodos, que conforme Le Riche [Le Riche
e Haftka, 2012] so considerados derivados do recozimento simulado: Particle Swarm (nuvem
de partculas) apresentado por Kennedy [Kennedy e Eberhart, 1995], o mtodo Ant colony
Search (Colnia de formigas) proposto por Dorigo [Dorigo, 1992].
O mtodo dos algoritmos genticos o mais popular entre os mtodos de programao
inteira disponveis. O mtodo tem sido amplamente utilizado na soluo de problemas de
otimizao estrutural. A simplicidade do mtodo, sua fcil implementao e a variada
disponibilidade de bibliotecas computacionais j testadas e validadas fizeram com que este
mtodo fosse escolhido para utilizao neste trabalho.
No artigo publicado por Le Riche [Le Riche e Haftka, 2012], o autor realiza a anlise
sobre os artigos que tratam de mtodos meta-heursticos publicados no peridico Structural
Multidisciplinary Optimization. Frente similaridade entre as diversas metodologias propostas,
o autor estabelece critrios para aceitao de futuros trabalhos no peridico:
Os novos algoritmos de soluo meta-heursticos propostos devem mostrar com clareza
a diferena entre os mtodos j existentes;
Deve ser apresentado estudo mostrando a influncia dos parmetros do mtodo na
soluo do problema, bem como testes para verificar a influncia da estimativa inicial
no resultado final;
O autor deve explicitar claramente para qual classe de problemas o algoritmo proposto
adequado. Tambm deve mostrar porque a classe de problemas em estudo no pode
ser solucionada com mtodos de gradiente.
-
15
Dentro desse contexto, a proposta deste estudo estabelecer uma formulao para
considerar as restries especficas para o problema de otimizao em estruturas unifilares. Para
atingir este objetivo, foi utilizado um mtodo de programao inteira, que leva vantagem sobre
os demais para soluo desta classe de problemas. O algoritmo de soluo no o foco central
da pesquisa, somente umas das ferramentas utilizadas para compor a soluo do problema
formulado.
A utilizao de um algoritmo de soluo por programao inteira se justifica pelas
singularidades intrnsecas classe de problemas estudados, bem como pela necessidade de
adotar variveis inteiras. essencial que as variveis sejam inteiras, pois as mesmas so
definidas com base um conjunto de valores e no apenas por um nico valor representativo.
4.1 Algoritmos genticos (AG)
Os algoritmos genticos so mtodos baseados na teoria da seleo natural proposta por
Darwin. O autor props que a evoluo dos indivduos ocorre naturalmente, tendo maior chance
de sobrevivncia e reproduo aqueles com caractersticas mais adaptveis ao meio. Os
indivduos mais fracos acabam sendo eliminados e suas caractersticas desfavorveis so
extintas da populao em geraes futuras.
Atravs do processo de seleo natural, os indivduos mais adaptados ao ambiente
geram seus descendentes perpetuando suas caractersticas positivas. Desta forma, as
caractersticas desejveis aumentam gradativamente na populao tornando-a cada vez mais
forte.
As primeiras simulaes computacionais envolvendo o mtodo dos algoritmos
genticos foram criadas por bilogos nos anos 50 e 60. John Holland [Holland, 1975] publicou
o livro Adaptation in Natural and Artificial Systems e David Goldberg [Goldberg, 1989]
publicou o trabalho Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning, os
quais foram considerados trabalhos percursores para o desenvolvimento desta classe de
mtodos.
A seguir so apresentados os principais conceitos sobre sobre os algoritmos genticos.
A reviso baseada na documentao da biblioteca de algoritmos genticos GALIB, utilizada
no desenvolvimento desta pesquisa [Wall, 1996].
-
16
4.2 Terminologia dos algoritmos genticos
Conforme dito anteriormente, os algoritmos genticos so baseados na teoria da
evoluo. Os termos utilizados no mtodo tm como base a biologia. Conforme Goldberg
[Goldberg, 1989], a analogia com a otimizao feita conforme descrito abaixo:
Cromossomo ou genoma: Conjunto completo de genes de um organismo. Em termos
do AG: Estrutura de dados que codifica uma soluo para o problema, ou seja, um ponto
de busca Vetor de variveis de projetos;
Gen ou gene: Unidade de hereditariedade que transmitida pelo cromossomo. um
elemento do vetor que representa o cromossomo Cada gene representa uma varivel
de projeto;
Alelo: Representa os valores que o gene pode assumir;
Indivduo: definido por um conjunto de variveis de projeto (cromossomo), que
definem um ponto onde se pode avaliar a funo objetivo;
Populao: Conjunto de cromossomos. Representa certa quantidade de indivduos os
quais constituem uma gerao durante a evoluo do AG;
Gerao: Representa o nmero de iteraes do mtodo. As geraes dizem respeito o
nmero de evolues que as populaes vo tendo ao longo do tempo.
4.3 Operadores genticos
A seguir so apresentadas as etapas do algoritmo baseado em teoria gentica.
Representao e Codificao: Para que seja possvel representar os indivduos com
suas caractersticas genticas, necessrio codificar as variveis do problema de
otimizao em cromossomos. A codificao binria foi a primeira a ser desenvolvida:
cada cromossomo representado por um vetor de zeros e uns. A grande desvantagem
deste tipo de codificao fica aparente quando se deseja maior preciso numrica, o que
gera cadeia de bits excessivamente longas. Para evitar este problema numrico, utiliza-
se a codificao em nmeros reais. A representao feita diretamente atravs de
nmeros reais, os quais so utilizados para gerar as operaes genticas de cruzamento
e mutao;
-
17
Gerao da populao inicial: Geralmente, a populao inicial pode ser gerada de
forma aleatria. No entanto, j foi provado que o ponto de partida pode ter influncia
significativa na velocidade de convergncia do mtodo [Souza, 2009]. Caso se tenha
alguma informao prvia a respeito do problema qual se possa utilizar, como
estimativa inicial para o processo de otimizao, esta deve ser utilizada. Tambm j foi
verificado por Erbatur [Erbatutur et al., 2000] que o ponto final de uma etapa de
otimizao pode ser utilizado como estimativa inicial para a prxima etapa, restringindo
cada vez o limite de variao de cada varivel de projeto;
Seleo: A seleo a escolha dos melhores indivduos os quais so selecionados para
reproduo. Existem diversos mtodos de seleo, entre eles: Mtodo da Roleta
(Roulette Wheel): sobrevive o indivduo que tem a melhor funo objetivo associada;
Seleo por Torneio (Tournament Selector): Seleo aleatria de n cromossomos da
populao e o cromossomo de maior aptido escolhido; Mtodo Elitista: Preserva o
melhor cromossomo de uma gerao para outra sem alterao; Seleo via mtodo
exponencial: Os indivduos so ordenados em ordem crescente de aptido e a aptido
escalonada por um coeficiente de exponenciao [Wall, 1996].
Cruzamento: O cruzamento responsvel por recombinar as caractersticas dos pais
na fase de reproduo. A ideia principal perpetuar as caractersticas favorveis de cada
um dos pais atravs da combinao dos genes de cada progenitor. Aps a fase de
cruzamento os novos indivduos so criados, o que caracteriza a fase de reproduo.
Existem diversos operadores genticos de reproduo a forma como realizada a
reproduo caracteriza diferentes tipos de algoritmos genticos:
o Algoritmo gentico Geracional: Todo populao substituda a cada gerao;
o Algoritmo gentico em Regime (Steady State): Um novo indivduo inserido
na populao a cada vez que criado com base na avaliao de sua aptido. Caso
a aptido do novo indivduo seja melhor que o pior da lista de classificao ele
ter direito a sobreviver, e o pior da lista ser eliminado.
Mutao: A mutao responsvel por garantir a diversidade da populao [Holland,
1975]. No algoritmo, este operador modifica aleatoriamente alguns genes do indivduo.
Esta operao permite ao algoritmo contornar o problema de convergncia para timos
locais. Como a mutao aleatria, a probabilidade de se chegar a qualquer ponto do
espao de busca nunca nula.
-
18
4.4 Parmetros genticos
Na natureza, diferentes espcies constituem um meio o qual est em equilbrio. As
diferenas entre as espcies, condies climticas e etc, introduzem certo grau de dificuldade
para sobrevivncia e perpetuao de determinada espcie. Desta forma, os indivduos mais
adaptados e com caractersticas mais favorveis acabam se sobressaindo e levando vantagem
no processo de procriao, perpetuando assim as melhores caractersticas da populao.
A implementao de um algoritmo gentico deve tentar reproduzir de forma artificial
um meio ambiente que selecione as caractersticas desejadas no processo de otimizao. Num
ecossistema, o tamanho de uma populao, as taxas de reproduo e de mutao so intrnsecas
ao equilbrio ecolgico. J em um algoritmo gentico, estes parmetros so determinados de
forma heurstica e podem assumir valores diferentes de acordo com o a natureza fsica do
problema que se est tratando.
A seguir so explanados os principais parmetros genticos:
Tamanho da populao: ao se trabalhar com populaes pequenas o desempenho do
algoritmo pode ser comprometido, j que o espao de busca tambm reduzido. Utilizar
populaes com grande nmero de indivduos fornece uma melhor aproximao
evitando a convergncia prematura do mtodo. Porm, o uso de populaes muito
grandes pode consumir tanto tempo computacional at tornar o mtodo lento em
demasia;
Taxa de cruzamento: A taxa de cruzamento permite que novo material gentico seja
inserido na populao. No entanto, se a taxa de cruzamento for muito elevada, as
caractersticas genticas de boa aptido sero perdidas;
Taxa de mutao: O operador de mutao responsvel por garantir que a soluo no
fique estagnada em um ponto e que a probabilidade de encontrar um ponto de timo
global nunca seja nula. Se for utilizada uma taxa de mutao muito alta, a busca da
soluo tima se torna praticamente aleatria;
Intervalo de gerao: Determina a porcentagem da populao a ser substituda na
gerao seguinte. Com valor alto possvel que se percam indivduos com boas
caractersticas. J se for baixo, o algoritmo se torna muito lento.
-
19
4.5 Funo aptido e restries
No mtodo dos algoritmos genticos no possvel tratar o problema de otimizao
conforme descrito na equao (3.4). Para o AG a nica informao necessria o valor da
funo objetivo, portanto, deve-se modificar o problema original de para incluir as restries
na funo custo.
Nesta pesquisa adotou-se a tcnica de penalizao sobre as restries. Este mtodo
consiste em utilizar uma combinao linear entre funo objetivo e a equao de cada uma das
restries. Sendo a funo objetivo bem definida, o problema consiste em determinar um
coeficiente de penalizao para as restries de forma que quando as mesmas sejam violadas
causem uma perturbao na funo custo.
O mtodo mais simples de penalizao consiste em aplicar uma penalidade constante a
cada restrio violada:
n
i
ip Cxfxf
1
)()( (4.1)
Onde,
)(xf p a funo objetivo penalizada;
)(xf a funo objetivo original;
C o coeficiente de penalizao imposto as restries;
0i se a restrio no violada;
1i se a restrio violada;
n o nmero de restries do problema.
Diversas tcnicas de penalizao tm sido propostas e algumas delas so discutidas por
Michalewicz [Michalewicz, 1995]. No seu estudo, o autor aborda seis diferentes formas de
penalizao e realiza um comparativo entre elas.
Em um artigo posterior. O mesmo autor [Michalewicz e Schoenauer, 1996] conclui que
mesmo com tcnicas de penalizao mais complexas os ganhos na taxa de convergncia no
so significativos. Ao se realizar uma abordagem mais apurada necessrio realizar o ajuste de
uma srie de parmetros de penalizao. Em consequncia, os coeficientes se tornam adequados
a um problema em especfico e necessitam ser ajustados para cada tipo de problema. Diferente
dos casos mais simples de penalizao onde os coeficientes so mais gerais.
-
20
A grande desvantagem das tcnicas de penalizao a necessidade de ajustar
heuristicamente o valor da penalizao. Diversos autores tm estudado mtodos para evitar o
uso de funes penalizadas. O trabalho mais notrio sobre o assunto foi apresentado por Deb
[Deb, 1998]. No seu trabalho, as restries so impostas ao problema utilizando o mtodo de
seleo por torneio, comparando os indivduos da populao da seguinte forma:
Caso um indivduo tenha soluo possvel e outro no, o primeiro selecionado;
Entre dois indivduos com soluo possvel seleciona-se aquele com melhor valor da
funo objetivo;
Entre dois indivduos cuja soluo no vivel, seleciona-se aquele que viola o menor
nmero de restries.
Na abordagem proposta por Deb, os parmetros de penalizao so eliminados.
A concluso do autor mostra que a metodologia vlida e conduz a resultados
satisfatrios alm de proporcionar grande ganho em custo computacional.
4.6 Esquema de um algoritmo gentico
O algoritmo inicia estabelecendo uma populao inicial, conforme dito anteriormente,
o ponto de partida pode ser aleatrio ou determinado por algum outro mtodo. Cada um dos
indivduos avaliado, e posteriormente, aplicado algum mtodo de seleo a fim de escolher
os cromossomos mais adequados para o cruzamento. Os operadores de cruzamento e mutao
so aplicados e geram novos indivduos, os quais so mesclados com uma porcentagem dos
melhores cromossomos da gerao anterior para formar uma nova populao. A lista de novos
cromossomos avaliada e caso seja atendido o critrio de parada, o processo de evoluo
finalizado.
A Figura 4.1 apresenta o esquema de evoluo dos algoritmos genticos.
-
21
Figura 4.1. Esquema de soluo de um algoritmo gentico.
4.7 Comparativo entre algoritmos genticos e algoritmos clssicos de otimizao
No mtodo da programao linear inicia-se a busca da soluo partindo de um ponto
(estimativa inicial), obtm-se as derivadas e consequentemente a direo para qual soluo deve
progredir. Por necessitarem do clculo de derivadas, estes algoritmos recebem o nome de ordem
n, onde n a ordem da derivada a qual o mtodo necessita. Exemplos tpicos destes mtodos
so os mtodos de Newton e gradientes conjugados.
A soluo da programao linear enunciada atravs do teorema: O timo de uma
funo linear em um poliedro convexo nRP encontra-se pelo menos em um vrtice. Se
encontrar em mais de um vrtice, ento ele obtido em todos os pontos pertencentes a
combinao convexa destes vrtices [Dantzig, 1963]. A consequncia do teorema indica que
no problema de otimizao a soluo est sobre um dos vrtices formados pela interseo entre
-
22
duas ou mais restries. Como a busca feita com base nos gradientes da funo objetivo, ao
chegar em um vrtice onde as derivadas da funo objetivo so positivas, o algoritmo entende
que a soluo do problema foi encontrada. No entanto, no h nenhuma garantia de que o ponto
de mnimo encontrado o mnimo global. O algoritmo apenas convergiu para o ponto timo
mais prximo de sua direo de busca. Desta forma, se faz necessrio utilizar alguma tcnica
de relaxao para que os algoritmos de soluo consigam alcanar os pontos degenerados do
domnio.
Por outro lado, os algoritmos genticos no necessitam nenhuma informao dos
gradientes do problema e so menos suscetveis a e condies de mnimos locais. As diferenas
que tornam os algoritmos genticos versteis e robustos so descritas conforme Goldberg
[Goldberg, 1989]:
Os AGs no necessitam de informaes dos gradientes do problema;
Os AGs podem trabalhar com funes objetivos descontnuas ou com singularidades
sem grande nus ao mtodo;
Os operadores genticos so probabilsticos, desta forma ficam menos suscetveis a
ficarem presos em mnimos locais;
O operador de mutao garante que em nenhum momento a probabilidade de se
encontrar o timo global seja nula.
Permite utilizar as variveis de projeto de forma discreta, Ex: Tabela de perfis comercias
de vigas;
So de fcil implementao numrica.
Dentre as principais desvantagens, cabe citar:
Os parmetros devem ser adequadamente ajustados, caso contrrio pode ocorrer
convergncia prematura ou o problema pode no convergir;
Durante o processo de busca pode ser necessrio avaliar a funo objetivo um nmero
de vezes muito maior quando comparado com os algoritmos de programao linear;
O elevado custo computacional torna esta classe de algoritmos inadequada para
problemas de grande escala.
No h prova de convergncia do mtodo para o mnimo global. No entanto, a prtica
mostra que o mtodo adequado para soluo de problemas multimodais.
-
23
5 TEORIAS ESTRUTURAIS CLSSICAS
A grande maioria das estruturas reais projetada de forma que os deslocamentos
causados pelas condies de utilizao so to pequenos que e a configurao deformada e
indeformada confundida. Ainda, se porventura o carregamento for aliviado, a estrutura retorna
a sua configurao original. Esse comportamento permite utilizar a teoria da elasticidade linear
infinitesimal para caracterizar o comportamento estrutural. No entanto, para as estruturas reais
no possvel obter a solues das equaes da elasticidade linear infinitesimal de forma trivial.
Muitas vezes a utilizao de simplificaes sobre a geometria e a adoo de hipteses
adequadas sobre o campo de deslocamentos permite simplificar substancialmente o problema.
A construo da soluo a partir de hipteses simplificadoras caracteriza a classe mtodos de
soluo baseados nas teorias estruturais.
Existem diversas teorias estruturais as quais so aplicveis aos mais variados tipos de
problemas. Dentre as teorias mais importantes cabe citar a teoria de barras, vigas e eixos. Estas
teorias so aplicveis a membros cuja seo transversal no varia ao longo do comprimento e
uma de suas dimenses muito maior que as outras duas.
5.1.1 Carregamento axial em Barras
Seja o corpo da Figura 5.1, cuja seo transversal considerada constante, e as
dimenses da seo transversal so muito menores quando comparados ao comprimento (L) do
corpo. Ainda, supondo que os nicos esforos aplicados a este elementos sejam colineares com
o eixo longitudinal. Neste caso, a condio de trao na direo do eixo longitudinal fica
simplificada :
jjnt 11 (5.1)
e, 032 tt consequentemente 031 jt .
onde 1t , 2t e 2t so os vetores de trao na superfcie do corpo e j1 , j2 e j3 as
componentes do tensor tenso de Cauchy.
Assumindo que as condies de contorno de tenso nas demais faces da pea so nulas,
o problema de elasticidade linear infinitesimal fica definido como:
-
24
n
d
emnt
emuu
fdx
ud
1111
0
11
1
1
11 0)(
(5.2)
Onde 1f a componente do vetor de foras de corpo na direo axial, 0
11 uu a condio de
fronteira de Diriclet e 1111 nt a condio de fronteira de Neuman.
A figura abaixo, apresenta a geometria considerada no caso de barras sujeitas esforos
axiais.
Figura 5.1. Geometria simplificada de uma barra.
5.1.2 Toro em membros circulares
A deduo das equaes de equilbrio, para toro, assume as seguintes hipteses sobre
o campo de deslocamentos:
As sees transversais inicialmente planas e perpendiculares ao eixo longitudinal
permanecem planas e perpendiculares aps o elemento ser submetido a um esforo de
toro;
As deformaes angulares variam linearmente a partir do eixo central;
As traes so aplicadas apenas nas extremidades.
A figura abaixo ilustra a hiptese sobre o campo de deslocamentos em um membro
circular sob esforos de toro:
-
25
Figura 5.2. Ilustrao da hiptese sobre os deslocamentos em um membro circular de seo
constante.
Para membros circulares, convm definir as equaes no sistema de coordenadas
cilndrico. Assim, resulta que o campo de deslocamentos representado por:
)1(Xu (5.3)
onde u o deslocamento angular da seo.
A nica componente de tenses no nula 1
1dx
duG , onde a coordenada radial
da seo.
O problema geral de toro em barras circulares fica definido da seguinte forma:
A
d
dAT
emuu
fdx
duG
dx
d
1
0
11
0
(5.4)
onde T o torque aplicado nas extremidades da barra.
No caso de membros cuja seo transversal no circular, as hipteses consideradas em
barras circulares no so mais vlidas. A seo transversal, inicialmente plana no permanece
plana aps a deformao. Maiores detalhes sobre a formulao para toro em barras no
circulares podem ser encontrados em Popov [Popov, 20001].
-
26
5.1.3 Flexo de vigas
Dentre muitas teorias de vigas existentes uma se destaca por sua simplicidade e
aplicabilidade em uma variada gama de problemas de engenharia. A teoria de Euler- Bernoulli,
para flexo de vigas, assume a seguinte hiptese fundamental sobre o campo de deslocamentos:
As sees transversais, inicialmente planas e perpendiculares ao eixo da viga,
permanecem planas e perpendiculares aps sofrer uma deformao causada por
momento fletor.
Admitindo a hiptese acima, o campo de deslocamentos descrito em funo da
deflexo vertical da linha mdia da seo:
)( 133
1
331
Xuu
dX
duXu
(5.5)
Calculando as deformaes conforme tensor de deformaes infinitesimais e adotando
a lei constitutiva elstica linear isotpica, resulta no campo de tenses abaixo:
0
0
322331132112
2
1
3
2
333
2211
dX
udEX (5.6)
Reescrevendo a equao de equilbrio em termos do campo de deslocamentos, o
problema de flexo em vigas fica definido como:
2
0
1
3
1
0
33
3
1
3
2
1
2
emdX
du
emuu
fdX
udEI
dX
dz
(5.7)
onde 3f o vetor de cargas na direo 3, 0
3u a condio de deslocamento prescrito e 0 a
condio de rotao prescrita.
A aplicao da teoria de vigas de Euler-Bernoulli restrita aos casos onde o
cisalhamento no tem importncia significativa no comportamento estrutural.
-
27
6 ELEMENTOS FINITOS
Neste captulo feita uma sntese do mtodo dos elementos finitos atravs da abordagem
variacional. A reviso feita com base no livro Finite Element Procedures [Bathe, 1996].
6.1 Histrico do Mtodo dos elementos finitos
Na teoria da elasticidade, a preocupao principal est centralizada em propor modelos
matemticos que sejam capazes de representar a situao real de componentes sujeito a
esforos. Na maioria das vezes, a soluo dos modelos matemticos para casos prticos
apresentam dificuldades intransponveis.
Nos casos reais de engenharia de grande complexidade a tarefa de representar
matematicamente a geometria, condies de contorno, comportamento dos materiais e etc.
Muitas vezes, para obter a soluo de um problema de forma analtica, se faz necessrio
introduo de inmeras hipteses simplificadoras, que acabam diminuindo a fidelidade do
modelo matemtico em relao ao fenmeno fsico. Contudo, cada vez mais necessrio
realizar estudos mais precisos para determinar o comportamento estrutural de peas e
componentes. Resulta, que os modelos matemticos criados so complexos em demasia para
serem tratados analiticamente.
Assim, a nica maneira de obter solues mais precisas para problemas reais a adoo
de um mtodo de aproximao que seja capaz de representar os princpios das teorias
matemticas de forma acessvel e suficientemente precisa. Dentre os diversos mtodos
existentes, os que mais se destacaram so aqueles baseados na diviso do meio contnuo em
pedaos menores. O mtodo dos elementos finitos sem dvida a abordagem mais utilizada
para soluo de problemas estruturais. A sua larga utilizao se deve ao fato de poder ser
aplicado em diferentes reas, mecnica dos slidos, mecnica dos fludos, eletromagnetismo,
etc.
A origem do mtodo no claramente conhecida. Segundo Felippa [Felippa, 2001]
estima-se que o mtodo foi criado na Inglaterra ou na Alemanha no final da dcada de 1920 ou
no nicioda dcada de 1930. No entanto, foi em 1943 que o matemtico Richard Courant
[Courant, 1943] publicou um estudo onde props a aproximao para a soluo do problema
de toro atravs da utilizao de funes lineares. O domnio foi dividido em regies
triangulares, e sobre cada pedao foram aplicadas as condies de equilbrio e obtidas s
-
28
solues para elasticidade linear isotrpica de forma aproximada. Devido aproximao por
funes lineares e a forma de diviso do domnio, esta publicao deu origem ao conhecido
elemento finito denominado triangulo de deformaes constantes (CST).
Argyris e Kelsey [Argyris e Kelsey, 1960] publicaram um estudo onde foram unificados
os conceitos de anlise estrutural e anlise do meio contnuo e propuseram os procedimentos
de soluo na forma matricial. Este o considerado por Bathe [Bathe, 1996] um dos trabalhos
percursores para o desenvolvimento do mtodo dos elementos finitos. Outro trabalho
considerado de suma importncia foi produzido por Turner [Turner, 1956] onde o mtodo da
rigidez direta proposto de maneira geral e eficiente de forma que se tornou a base para o
mtodo dos elementos finitos.
At ento o mtodo no dispunha de uma terminologia caracterstico. O termo
Elemento Finito foi citado pela primeira vez por Clought [Clought, 1960].
Posteriormente as publicaes mencionadas, a partir da dcada de 60, iniciou-se um
desenvolvimento intensivo do mtodo. Impulsionado pelo surgimento dos computadores
digitais e pela nova realidade em termos de processamento computacional o mtodo difundiu-
se e se tornou muito popular na indstria e no meio acadmico [Fonseca, 2002].
6.2 Formulao geral do mtodo dos elementos finitos
O mtodo dos elementos finitos utiliza a formulao fraca dos mtodos dos resduos
ponderados, ou a formulao variacional quando existe um funcional associado ao problema.
No mtodo dos elementos finitos so obtidos os campos de deslocamentos, e
posteriormente, por diferenciao so obtidas as deformaes e tenses.
Uma das formas de deduo do mtodo atravs do enunciado dos princpio dos
trabalhos virtuais e do princpios da mnima energia potencial.
6.2.1 Princpio dos trabalhos virtuais
Considere um corpo qualquer sujeito a foras de corpo e de superfcie. Com base no seu
equilbrio esttico, sua configurao modificada por um conjunto de pequenos deslocamentos
que so compatveis com suas condies de contorno. O princpio dos trabalhos virtuais
estabelece que o trabalho realizado pelas tenses internas nas deformaes virtuais igual ao
trabalho realizado pelas foras externas nos deslocamentos virtuais dos seus pontos de
aplicao.
-
29
6.2.2 Princpio da mnima energia potencial
A energia potencial de um corpo definida como a soma da energia de deformao e o
trabalho realizado pelas foras externas. Partindo da forma geral do funcional de energia
potencial:
)()( ufuB (6.1)
onde
dCuB T )(2
1)( (6.2)
corresponde parcela de energia potencial de deformao, o tensor deformao e C o tensor
constitutivo , e:
dutdubuf )( (6.3)
o trabalho realizado pelas foras externas. O termo esquerda corresponde ao trabalho
realizado pelas foras de corpo e o termo mais direita o trabalho realizado pelas foras de
superfcie.
Princpio da mnima energia potencial: De todas as configuraes possveis
(cinematicamente admissveis) que um slido deformvel pode assumir, a que ocorre aquela
que resulta na energia potencial mnima. Em termos matemticos, significa realizar a primeira
variao do funcional de energia em relao aos deslocamentos:
dutdubdC TTT
0)(
(6.4)
que a forma geral do enunciado do princpios dos trabalhos virtuais.
O mtodo dos elementos finitos, consiste em aproximar o campo de deslocamentos por
um conjunto de funes de interpolao que so definidas em termos dos deslocamentos nodais:
euNu ][ (6.5)
onde eu so os deslocamentos dos ns de cada elemento finito e ][N o vetor de funes de
interpolao. Inserindo a equao 5.5 na equao 5.4 e realizando as devidas simplificaes,
resulta que:
-
30
0
dFNdFNduBCB ST
C
T
e
T (6.6)
A equao acima a forma geral do mtodo dos elementos finitos. O termo
eT
KdBCB
a matriz de rigidez do elemento finito, e o termo
eST
C
TFdFNdFN
o vetor de foras nodais do elemento.
O que resulta na forma clssica de um problema de elementos finitos:
eee FuK (6.7)
6.3 Elemento finito de barra
O elemento finito para barras o elemento mais simples entre os elementos finitos para
anlise estrutural.
Figura 6.1. Elemento finito para uma barra, definido em coordenadas globais e coordenadas
paramtricas.
Conforme dito anteriormente, hiptese fundamental est em definir a forma das funes
de interpolao. Para o caso de barras so consideradas funes de interpolao lineares.
Abaixo so listadas as funes de interpolao para o elemento finito de barra:
2
1 1
N
N (6.8)
As funes de interpolao so equaes polinomiais que atendem o seguinte requisito
fundamental:
Cada uma das funes tem valor unitrio para o n onde definida, e nula nos demais
ns;
-
31
Geralmente, as funes de interpolao so definidas em termos de um elemento
unitrio em coordenadas parametrizadas.
Assim, as coordenadas nodais tambm so definidas em termos das funes de
interpolao:
2
1
21x
xNNx (6.9)
No caso de elementos unidimensionais, a relao entre o sistema de coordenadas global
e o elemento em coordenadas parametrizadas fica:
L
x (6.10)
Definindo os deslocamentos em funo das funes de interpolao:
2
1
21
x
x
eu
uNNu (6.11)
O campo de deformaes fica:
2
121
x
xe
u
u
dx
dN
dx
dN
dx
du (6.12)
Como as funes de interpolao so definidas em termos das coordenadas
paramtricas, para obter as derivadas em relao s coordenadas cartesianas necessrio
utilizar a regra da cadeia:
dx
dN
dx
dNL
dx
dN
dx
dN
d
dx
d
dN
d
dN 212121
(6.13)
11
11 2121
Ld
dN
d
dN
Ldx
dN
dx
dN
(6.14)
Substituindo o resultado acima na equao (6.12), o campo de deformaes definido
da seguinte forma:
2
111
x
x
u
u
LL (6.15)
euB
(6.16)
Substituindo o resultado da equao (6.16) na equao (6.6):
11
111
0L
EALdBEBAK
T
e (6.17)
-
32
Que a matriz de rigidez para um elemento de barra alinhado com o sistema de
coordenadas global.
6.4 Elemento finito de toro
O elemento finito para efeitos de toro utiliza as mesmas funes de interpolao que
o elemento de barra (equao (6.8)). A diferena est nos graus de liberdade que so
interpolados:
2
1
21
x
x
e NNu
(6.18)
onde 1x e 2x so os ngulos de toro do eixo nos ns.
Procedendo de maneira idntica ao a deduo do elemento de barra, a matriz de rigidez
do eixo definida como:
11
111
0L
GILBGBIK t
T
te (6.19)
onde G o mdulo de cisalhamento do material e tI o momento polar de inrcia da seo.
A matriz de rigidez de toro obtida vlida somente para elementos com sees
circulares.
6.5 Elemento finito de viga em duas dimenses
A Figura 6.2 apresenta o elemento finito de viga e os graus de liberdade considerados
para deduo da matriz de rigidez.
So necessrias quatro funes de interpolao para caracterizar o comportamento de
um elemento de viga. A equao (6.20) apresenta as funes de interpolao para o elemento
de viga:
)1(
)23(
)21(
231
2
4
2
3
2
2
32
1
LN
N
LN
N
(6.20)
as quais so chamadas de polinmios de Hermite.
Devido a hiptese de que as sees permanecem planas e perpendiculares aps a
deformao, os deslocamentos transversais e rotaes da linha neutra da viga so relacionados
-
33
de forma direta. Dessa forma, necessrio definir funo de interpolao para 4 graus de
liberdade, 2 translaes e duas rotaes em cada elemento. As funes N2 e N4 so as funes
de interpolao para as rotaes da linha neutra, estas so definidas de maneira que as derivadas
das mesmas so unitrias para o n onde cada uma definida.
A forma de cada um das funes est representada graficamente na Figura 6.3.
Figura 6.2. Elemento fin
top related