otimização do método multigrid geométrico em transferência de calor dr. sc. marcio augusto...

Otimização do Método Otimização do Método MultigridMultigrid Geométrico Geométrico em Transferência de em Transferência de CalorCalor

Dr. Sc. MARCIO AUGUSTO VILLELA Dr. Sc. MARCIO AUGUSTO VILLELA PINTO PINTO

I Seminário de Multigrid de 2008 I Seminário de Multigrid de 2008 LENA - UFPRLENA - UFPRCuritiba – 17/04/2008Curitiba – 17/04/2008

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Roteiro da apresentação- Introdução;

- Fundamentação teórica;

- Motivação;

- Objetivos;

- Revisão bibliográfica;

- Dados de implementação;

- Problemas abordados:

- unidimensionais lineares e não-linear;

- bidimensional linear (isotrópico);

- bidimensional linear (anisotrópico);

- Conclusões gerais;

- Contribuições;

- Trabalhos futuros.

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Introdução

- Modelos matemáticos na dinâmica dos fluidos computacional recaem em equações diferenciais que geralmente não têm soluções analíticas conhecidas;

- Técnicas utilizadas: experimental, teórica e numérica.

- Estas eq. diferenciais são discretizadas resultando emum conjunto de equações algébricas do tipo:

- Problemas práticos; Características da matriz A;

- Erros; Métodos diretos X Métodos iterativos.

bAx

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Introdução

Queda do resíduo para o solver GS e 4 tamanhos de malhas

5

Introdução

Fonte: http://www.math.utah.edu/~eagan/multigrid.html

6

Fundamentação teórica

Engrossamento: (engross. Padrão, r = 2)h

Hr

7

Fundamentação teórica

Engrossamento: e (semi-engrossamento)

y

x

h

hRA

1yr

h

H

x

xx h

hr

Anisotropia geométrica:

x

xx h

Hr

Isotropia N = 9x9; RA = 1 Anisotropia N = 5x9; RA = 2

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Resolver Au=f com u0 , calcular o resíduo (r) e restringir

Resolver Ae=rprolonga a correção (e)

Resolver Au=f e Resolver Au=f e verificar a convergênciaverificar a convergência hh

2h

4hh

8hh

Resolver Ae=r calcular o resíduo e restringir

Corrige (Corrige (ee) e Resolve Ae=r) e Resolve Ae=rProlonga a correção (Prolonga a correção (ee))

Ciclo V: Esquema CS

Fundamentação teórica

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Resolver A(u)=f com u0 , restringe o resíduo (r) e a solução (v)

Resolver A(u)=A(v)+r e prolonga a correção (e=u-v)

Resolver Au=f e Resolver Au=f e verificar a convergênciaverificar a convergência hh

2h

4hh

8hh

Resolver A(u)=A(v)+r restringe o resíduo e a solução

Corrigir (v) e Resolver Au=fCorrigir (v) e Resolver Au=f Prolonga a correção Prolonga a correção

Fundamentação teórica

Esquema FAS

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Objetivos

Objetivos gerais:- Utilizar o método multigrid para melhorar a taxa de convergência em problemas lineares e não-lineares, uni e bidimensionais.- Utilizar o método multigrid para melhorar a taxa de convergência em problemas anisotrópicos.

Objetivos específicos:- Comparar os esquemas CS e FAS para as equações de difusão, advecção-difusão e Burgers em malhas isotrópicas.- Comparar algoritmos baseados em engrossamento padrão e semi-engrossamento em malhas anisotrópicas.

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Revisão bibliográfica

- Razões de engrossamento: - Brandt (1977): r = 2, 3 e 3/2; - Briggs et al. (2000): r ≠ 2 desvantagem; - Stüben (1999, 2001): r = 2 e 4 em anisotropias.

- CS e FAS: - Yan e Thiele (1998): Variante do FAS; - Mesquita e de-Lemos (2004): CS para não-linear.

- Semi-engrossamento: - Mulder (1989): SE múltiplo; - Montero et al. (2001): plano EP x plano SE; - Zhang (2002): SE parcial; - Larsson et al. (2005): SE condicional para Eq. Poisson.

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Dados de implementação

- Linguagem: FORTRAN/95;

- Multigrid: Geométrico;

- Suavizadores: TDMA, El_Gauss, GS, MSI, ADI;

- Engrossamento: r = 2, 3, 4 e 5;

- RA: 1/1024, 1, 2, 16, 128, 1024 e 8192;

- Restrição: Injeção;

- Prolongação: Interpolação linear (1D) e bilinear (2D);

- Critério de parada: ;

- Estimativas inicias e tolerâncias (padrão): , .710

1

1

)0(

)(

R

kR

0

v

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Dados de implementação

- Outras estimativas iniciais: e

- Outras tolerâncias: e

- Quem é ? Quem é ?

- Quem é ? Quem é ?

ótimoITI

ótimoL

CPUt

máximoL

1,...,1v 2/1,...,2/1v

410 1010

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Problemas unidimensionais lineares e não-linear

O problema linear de transferência de calor unidimensional pode ser modelado pelas equações diferenciais ordinárias:

Equação de difusão:

Equação de advecção-difusão:

1)1(,0)0(

10,2

2

TT

xxfdx

Td

1)1(,0)0(

10,2

2

TT

xdx

Td

dx

dTPe

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O problema não-linear de escoamento unidimensional pode ser modelado pela equação diferencial ordinária:

Equação de Burgers:

1)1(,0)0(

10,2

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uu

xSdx

ud

dx

duRe

2

2

1

12Re

RexRexRe

e

eeeReS

Problemas unidimensionais lineares e não-linear

16

Escopo

- Itens abordados (influência): - Número de incógnitas;

- Iterações internas;

- Níveis de malhas;

- Razões de engrossamento;

- Esquemas CS e FAS.

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- Número de elementos (1D):

r 2 3 4 5

N mínimo 2 2 2 2

N máximo 8.388.608 9.565.938 8.388.608 3.906.250

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Problema bidimensional linear (isotrópico)

O problema linear de condução de calor bidimensional pode ser modelado pela equação diferencial parcial:

Equação de Laplace:

xsenxTyTyTxT

yxy

T

x

T

)1,(,0),1(),0()0,(

1,0,02

2

2

2

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Escopo

- Itens abordados (influência): - Número de incógnitas;

- Iterações internas;

- Níveis de malhas;

- Razões de engrossamento;

- Solvers;

- Esquemas CS e FAS.

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- Número de incógnitas (2D, iso):

r NN mínimo mínimo NN máximo máximo

SG 3x3 = 9 513x513 = 263169

2 3x3 = 9 2049x2049 = 4198401

3 3x3 = 9 1459x1459 = 2128681

4 3x3 = 9 2049x2049 = 4198401

5 3x3 = 9 1251x1251 = 1565001

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Problema bidimensional anisotrópico: Escopo

- Malhas: isotrópicas e anisotrópicas;

- Várias razões de aspecto para anisotropia;

- Algoritmos para anisotropia: EP, SE, EP-SE e SE-EP.

- Itens abordados (influência): - Iterações internas; - Razão de aspecto; - Número de incógnitas; - Algoritmos.

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- Número de incógnitas (2D, aniso):

RA NN mínimo mínimo NN máximo máximo

1/1024 4097x5 16385x17

1 129x129 2049x2049

2 65x129 2049x4097

16 17x257 513x8193

128 5x513 129x16385

1024 5x4097 33x32769

8192 5x32769 17x131073

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Conclusões gerais

- O esquema FAS (r = 3) é mais rápido que o CS (r = 2) para problemas lineares e não linear, 1D e 2D;

- ITI afeta o significativamente o tempo de CPU; e o esquema utilizado (CS ou FAS) e a dimensão do problema influenciam no ;

- L afeta o significativamente o tempo de CPU; e o esquema utilizado (CS ou FAS) não tem muita influência no ;

- O solver MSI é mais rápido que GS e ADI para os esquemas CS e FAS;

ótimoITI

ótimoL

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Conclusões gerais

- O algoritmo SE-EP (dentre os algoritmos que foram testados) resulta em menor tempo de CPU para problemas anisotrópicos com ou ;

- Grande variação de RA resulta em pequena variação do . para o algoritmo SE-EP .

1RA1RA

ótimoITI

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Trabalhos atuais e futuros

- Ciclos e Roteiros (Fabiane, Marcio e Marchi);

- Outras Anisotropias Geométricas (Fabiane, Marcio e Marchi);

- Anisotropia Física (Roberta, Marcio e Marchi);

- Multigrid Algébrico em problemas difusivos e advectivos (Roberta, Marcio e Marchi).

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Trabalhos atuais e futuros

- Problemas difusivos 1D e 2D com o uso de Volumes Finitos (Rafael, Marcio e Marchi);

- Anisotropia Geométrica (Partial Semicoarsening - Zhang) com razão de engrossamento agressiva (Marcio e Marchi).

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