p redn a ska c. 3-4: z akladn pasivn a aktivn obvodov e prvky€¦ · z aklady elektrotechniky 1,...

21ZEL1- Přednáška č. 3

Derivace a integrál v elektrotechnice

Základní pasivní a aktivní obvodové prvky

Elektrický odpor, rezistory

(autorem části je Ing. Jindřich Sadil, Ph.D.)

Derivace a integrály

• v předmětu budeme používat matematické operace derivace a určitý integrál

• Derivace je pro libovolný časový okamžik

hodnotou směrnice dané funkce

– jednotka [x]/s

• kdo umí sčítat, odečítat, násobit, dělit, nebojí se derivovat

Derivace

• = lim→

( )

• − = ∆, − = ∆• pro → je rozdíl − = , − = , čili jde o „nekonečně (infinitezimálně) malou změnu času dt“ a „nekonečně malou změnu hodnoty funkce dx“

• přibližná hodnota derivace ∆∆ =

( ) je

směrnicí sečny v bodě – tím, jak se „blíží“ k , sečna přejde v tečnu

Derivace

sečna „přejde“ v tečnu

Derivace

• = lim→

= lim→

( )( ) = lim→ + =

= 2• např. v bodě t = 3, tj. y2 = 9 je hodnota

derivace 6, tj. směrnice tečny v tomto bodě je 6

• obecně hodnota derivace funkce = v

bodě t je 2; píšeme ´ = = 2

Příklad:

• určete hodnotu derivace funkce () = v bodě

Derivace

Derivace funkcí často využívaných v elektrotechnice

Funkce Derivace

x(t) = a x´(t) = 0

x(t) = a‧t x´(t) = a

x(t) = t n x´(t) = n‧t (n-1)

x(t) = sin(t) x´(t) = cos(t)

x(t) = sin(ωt) x´(t) = ωcos(ωt)

x(t) = cos(t) x´(t) = -sin(t)

x(t) = e t x´(t) = e t

x(t) = e at x´(t) = a‧e at

Derivace

• derivace je lineární

– derivace součtu funkcí je součet derivací jednotlivých funkcí

– (a‧f(t))´ = a‧f ´(t)

Příklad:

• vypočítejte derivaci funkce = 3 − 5 + 3• ´ = 6 − 5

Derivace

• derivace složené funkce

– (f(g(t))´ = f ´(g(t)) g´(t)

• zderivuji vnější funkci (argumentem zůstává vnitřní funkce) a vynásobím derivací vnitřní funkce

Příklad:

• vypočítejte derivaci funkce = 7"#$#• ´ = 7"#$# ⋅ (6 − 5)

Derivace

• numerický výpočet derivace (přibližná hodnota)

– tečnu nahradíme sečnou; výpočet

provádíme pro malé h = t - t0

– ∆∆ =

( ) = ' ( )

'

Derivace

Příklad:

• vypočítejte numericky derivaci funkce () = v bodě = 3 s krokem ℎ = 0,001

• ´ 3 =+ #,,#,, = 6,001

Poznámka:

• při zmenšujícím h roste přesnost výpočtu hodnoty derivace, ale pouze do určité hodnoty; pro příliš malá h se projevují zaokrouhlovací chyby při výpočtu

Derivace v elektrotechnice

• většina vztahů z fyziky ve tvaru podílu, které znáte ze střední školy, má pro okamžité hodnoty podobu derivace

• např.

rychlost - = . okamžitá rychlost -() = .()

proud / = 0

okamžitý proud 1() = 2()

indukované napětí

3 = − ∆∅∆

okamžité indukované napětí

5 = − ∅()

Derivace v elektrotechnice

Příklad:

• vypočtěte průběh proudu vodičem v čase =0,3 s, znáte-li průběh prošlé hodnoty náboje

vodičem v čase = 0,3 s: 6 = 0,5", − 17• vypočtěte okamžitou hodnotu proudu v čase

= 2 s

1 = 6 = 0,5", − 1 ´ = 0,2 · 0,5 · ",= 0,1 · ",9

1 2 = 0,1 · ",:9 = 0,1499

Derivace v elektrotechnice

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

t

i(t)

• průběh proudu v čase

Neurčitý integrál

• neurčitý integrál je inverzní operací k derivaci

• F(t) je taková funkce, že =´ = > • F(t) je tzv. primitivní funkce

?> = =()

Neurčitý integrál

?@ = @ + 7

? = 12 + 7

?A = 1B + 1 A, + 7

?sin() = −cos() + 7

?cos = sin() + 7

? sin(G) = − 1G cos(G) + 7

?" = " + 7

?"H = 1@ "H + 7

Určitý integrál

• hodnota určitého integrálu je rovna obsahu plochy ohraničené touto funkcí a intervalem a,b

– plocha pod osou x se započítává se záporným znaménkem

Určitý integrál

∫ ⋅⋅=1

0

2)cos()sin( dxxxxI

Určitý integrál

• máme funkci f(x) po částech spojitou na intervalu <a,b>

• provedeme dělení D intervalu <a,b> s body C - značíme (D,C):

Riemannova definice určitého integrálu (zatím zjednodušeně):

110

0

),,,(

),,(

+− ≤≤==

iiin

n

tctccC

ttD

K

K

Numerický výpočet integrálu

• Riemannova suma:

)()(),,( 1

1

0

ii

n

i

i ttcfCDfR −= +

−

=∑

• norma dělení:

)(max)( 110

iini

ttD −= +−≤≤λ

),,(lim0)(

CDfRID →

=λ

Numerický výpočet integrálu

• dolní a horní integrální součty

Numerický výpočet integrálu

• rozdělíme interval na N dílků

• krok h

N

abh

−=

• obdélníková metoda

– uvažujeme funkční hodnotu ve středu dílku, tj.

hxxaxxxxD iiN +=== +1010 ,),,,,( K

)2

(h

xf i +

Numerický výpočet integrálu

∑−=

=

⋅+=1

0

)2

(Ni

i

i hh

xfI

x

y

a bh

Numerický výpočet integrálu

∑−=

=

⋅+=1

0

)2

(Ni

i

i hh

xfI

Srovnání:

∫=b

a

dxxfI )(

)()(),,( 1

1

0

ii

n

i

i ttcfCDfR −= +

−

=∑

Numerický výpočet integrálu

zadaný příklad:

• a = 0, b = 1

• zvolíme N = 10

– h = 0,1

Numerický výpočet integráluVypocet integralu pomoci obdelnikove metody.

--------------------------------------------

Zadej horni a dolni mez integralu: 0 1

Zadej pocet deleni intervalu n: 10

x0 = 0.000000 f(0.050000) = 0.000125 S = 0.0000125 I = 0.0000125

x1 = 0.100000 f(0.150000) = 0.003325 S = 0.0003325 I = 0.0003449

x2 = 0.200000 f(0.250000) = 0.014982 S = 0.0014982 I = 0.0018431

x3 = 0.300000 f(0.350000) = 0.039458 S = 0.0039458 I = 0.0057890

x4 = 0.400000 f(0.450000) = 0.079312 S = 0.0079312 I = 0.0137202

x5 = 0.500000 f(0.550000) = 0.134795 S = 0.0134795 I = 0.0271997

x6 = 0.600000 f(0.650000) = 0.203552 S = 0.0203552 I = 0.0475548

x7 = 0.700000 f(0.750000) = 0.280545 S = 0.0280545 I = 0.0756094

x8 = 0.800000 f(0.850000) = 0.358239 S = 0.0358239 I = 0.1114333

x9 = 0.900000 f(0.950000) = 0.427018 S = 0.0427018 I = 0.1541351

Zjistena velikost plochy pod krivkou je: I=0.154135.

Určitý integrál

• hodnota určitého integrálu se vypočítá pomocí primitivní funkce:

)()()( aFbFdxxfI

b

a

−== ∫

Určitý integrálPříklad:

• spočtěte plochu pod křivkou = na intervalu <1,2>

Určitý integrál

I = J , = ,

# # ,=,#2# −

,#1# =

,#8 −

,# =

L#

Fyzikální význam určitého integrálu

• okamžitý proud: 1 = 2

• vynásobíme rovnici infinitezimálně malým přírůstkem času dt:

6 = 1 • co nám říká tato rovnice?

– infinitezimálně malý přírůstek náboje ve vodiči v čase t za dobu dt je roven 1

tato infinitezimálně malá plocha pod křivkou o obsahu i(t)dt

(aproximována obdélníkem) představuje infinitezimálně malýpřírůstek náboje, který proteče vodičem v čase t za dobu dt

Fyzikální význam určitého integrálu

t

i

t

dt

i(t)

Fyzikální význam určitého integrálu

t

i

tt1

dtt0

Náboj proteklý vodičem za dobu od t0 do t1 je plocha pod křivkouprůběhu proudu, tj. suma infinitezimálních obdélníků limitovaná donekonečna, čili hodnota určitého integrálu

Fyzikální význam určitého integrálu

M = ? 1 + 6()N

náboj v čase t0

Fyzikální význam určitého integrálu

Příklad:

• vypočtěte, jaký náboj proteče vodičem v čase =0,5 s při průchodu stejnosměrného proudu I =

2A; náboj proteklý v čase 0 je 0 C

• příklad umíme vypočítat ze střední školy:

• M = / · = 29 · 5O = 107• nyní k výpočtu použijeme určitý integrál:

M = ? 1()N

= ?2 = 2 $ = 2 ⋅ 5 − 2 ⋅ 0 = 107

$

Fyzikální význam určitého integrálu

Příklad:

• vypočtěte, jaký náboj proteče vodičem v čase =0,3 s při průchodu proudu 1() = 2"A; náboj

proteklý v čase 0 je 0 C

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

i

Fyzikální význam určitého integrálu

M = ? 1()N

= ?2" = 2 1

−2 "

#= −"P + " =

#

0,9987

Určité integrály často využívaných funkcí v elektrotechnice

Fyzikální význam určitého integrálu

?@Q

= @Q = @ − @ + 1B = @( − ) + 1B

• odvodíme si první řádek tabulky

Klasifikace obvodových prvků

• podle počtu svorek

– n-póly

– n-brany (2n-póly)

dvojpóly

čtyřpóly = dvojbrany

příklad n - pólu

Klasifikace obvodových prvků

• podle typu charakteristik

lineární nelineární

Klasifikace obvodových prvků

Z energetického hlediska

• pasivní prvky

– elektrická energie se v nich mění na jinou formu nebo se dočasně akumuluje a může se zase do obvodu vracet

– platí spotřebičová orientace (stejný směr) proudu a napětí

– základní pasívní dvojpóly jsou:• rezistor (ideální odporník) o odporu R

• induktor (ideální cívka) o indukčnosti L

• kapacitor (ideální kondenzátor) o kapacitě C

Klasifikace obvodových prvků

• aktivní prvky

– „trvale“ dodávají elektrickou energii, kterou získávají přeměnou z jiné formy energie

– platí zdrojová orientace (opačný směr) proudu a napětí

– základní aktivní dvojpóly jsou:• ideální zdroj napětí u(t)

• ideální zdroj proudu i(t)

Rezistor o odporu R

• ideální rezistor je součástka, kteránemá jinou vlastnost než elektrický odpor

• představuje v obvodech nevratné změny elektrické energie (ztráty – přeměna na "teplo")

• platí Ohmův zákon, který udává vztah mezi odporem rezistoru R [Ω], napětím na tomto rezistoru U [V] a proudem tímto rezistorem I [A]

R = 3/ 3 = R ⋅ // = 3R

Pozor: v Ohmově zákonu je nezbytně nutné, aby si napětí na rezistoru, proud rezistorem a odpor rezistoru vzájemně odpovídaly

Rezistor o odporu R

• okamžitá hodnota výkonu (nevratně přeměňova-ného v teplo) je

S = 5 ⋅ 1 = R ⋅ 1 = T()U [W]

• elektrická energie přeměněná v teplo mezi ; , :

W = J S(Q)QN [J]

Rezistor o odporu R

• schématická značka rezistoru

evropská americká (japonská)

Rezistor o odporu R

• Voltampérová charakteristika lineárního rezistoru je dána Ohmovým zákonem

5 = R ⋅ 1 nebo 1 = X ⋅ 5 , kde– R [Ω] je odpor rezistoru v Ohmech

– G [S] je vodivost rezistoru v Siemensech

– u(t) [V] je časový průběh napětí (rozdílu potenciálů) na rezistoru

– i(t) [A] je časový průběh proudu rezistorem

Rezistor o odporu R

zkrat si můžeme představit jako propojení vodičem o nulovém odporu

Důsledek zkratu mezi svorkami s napětím U z Ohmova zákona I = U/R: proud vzroste (teoreticky k nekonečnu)

• Zkrat a rozpojený obvod - speciální případy „rezistorů“

– R = 0Ω - zkrat (krátké spojení, spojení nakrátko)• napětí na rezistoru (dvojpólu) musí být nulové, rezistorem

(dvojpólem) může téci libovolný proud,\item $R=\infty~\Omega$ -

– R = ∞Ω - rozpojený obvod (naprázdno)• napětí na rezistoru (dvojpólu) může být libovolné, rezistorem

(dvojpólem) musí téci nulový proud

Rezistor o odporu R

• Odpor rezistoru je R = [ \] , kde

– ρ [Ωm] je rezistivita (měrný odpor) rezistoru, materiálová konstanta,

– l [m] je délka rezistoru

– S) [m2] je příčný průřez rezistoru

• Vodivost rezistoru je X = ^ ]\ , kde

– γ [S/m] je konduktivita (měrná vodivost) rezistoru, materiálová konstanta,

– l [m] je délka rezistoru

– S) [m2] je příčný průřez rezistoru

• platí: R = ,_

• platí: ` = ,a

Rezistor o odporu R

Rezistivita materiálů

Rezistor o odporu R

Na obrázku je vodič ve tvaru dutého válce délky h z látky, jejíž rezistivita je ρ. Vnitřní poloměr prstence je r1 a vnější r2. Spočtěte elektrický odpor dutého válce mezi elektrodami v případě, jsou-li elektrody umístěny na protilehlých podstavách, a v případě, jsou-li elektrody umístěny na vnitřním a vnějším plášti vodiče.

Rezistor o odporu R

Zamyslete se, jak bychom počítali odpor tělesa ve tvaru komolého kužele o výšce v a poloměrech podstav r1 > r2 mezi podstavami

Rezistor o odporu R

Rezistor o odporu R

Rezistor o odporu R

• rezistor v provedení SMD • surface montage technology – technologie

povrchové montáže• součástky nemají „nožičky“, pouze plošky (pájejí

se nebo lepí vodivým lepidlem) • číslo 1206 na obrázku není hodnota odporu, ale

označení velikosti pouzdra• pouzdro 1206 má rozměr 3,1mm x 1,6mm x 0,55 mm

Teplotní závislost odporu

• odpor materiálu se mění s teplotou podle vztahu

Rb = R 1 + c e ]\ , kde

– Rb je odpor při teplotě e, R je odpor při teplotě e– c [K-1] je teplotní součinitel odporu

– e = e −e• c > 0 ... vodiče, odpor roste s teplotou

• c ≈ 0 ... přesné rezistory pro měřicí techniku

• c < 0... polovodiče, odpor klesá s teplotou

• termistory - teplotně závislé rezistory

– využívají se k měření teploty

Rezistor o odporu R

Rezistor o odporu R

Teplotní součinitelé

Rezistor o odporu R

Rezistor (odporník) jako součástka

• udává se hodnota odporu a výkonová zatížitelnost ve wattech

• rezistory pro větší zatížení: keramické tělísko s navinutým drátem z odporového materiálu, např. konstantan (slitina mědi a niklu), kanthal, manganin

• rezistory pro menší zatížení: tzv. hmotové rezistory, keramické tělísko s nanesenou vrstvou

– metalické: vrstva napařeného kovu, nejčastěji používané

– cermetové (zkratka ceramic metal): otěruodolné, použití pro potenciometry

– uhlíkové: vybrousí se nanesená vrstva "sazí", nejsou stabilní

Rezistor o odporu R

• běžné rezistory mají standardní zatížitelnost do max. P = 0,125 W• vyrábějí se i rezistory pro větší zatížitelnost (výkonovou

ztrátu) – 0,25 W, 0,5W, 1W, ..., až po řádově kW, MW –liší se provedením pouzdra

• ve schématech se rezistory pro vyšší výkony označují čárkou (nestandardizováno)

Rezistor o odporu R

Rezistor o odporu R

• vyráběné rezistory nemají libovolné hodnoty, ale jsou standardizovány v číselných geometrických řadách E12 (5%), resp. E24 (1%)• řada E12 má 12 členů, řada E24 24 členů

Řada E12

1R 1R2 1R5 1R8 2R2 2R7 3R3 3R9 4R7 5R6 6R8 8R2

10R 12R 15R 18R 22R 27R 33R 39R 47R 56R 68R 82R

atd.

1k 1k2 1k5 1k8 2k2 2k7 3k3 3k9 4k7 5k6 6k8 8k2

10k 12k 15k 18k 22k 27k 33k 39k 47k 56k 68k 82k

atd.

Rezistor o odporu R

Potenciometry – proměnné odpory

Potenciometr odporový trimr

• průběh dráhy:• lineární• logaritmický (pro audiozařízení)

• tandemové provedení (dva potenciometry na jedné ose) pro stereofonní audio zařízení

Spojování rezistorů

R = R,RR, +R

výsledný odpor dvou paralelně spojených rezistorů

Literatura

• Vobecký J., Záhlava V.: ELEKTRONIKA, součástky a obvody, principy a příklady, ČVUT 2005

• Havlíček V., Pokorný M., Zemánek I.: Elektrické obvody 1, ČVUT 2005

• Vysoký P., Malý K., Fábera V.: Základy elektrotechniky, Akad. nakladatelství CERM, Brno 2003

• Büscher G.: Elektrotechnik in Bildern, Stuttgart 1943