p1 aljabar linear
Post on 01-Jul-2015
163 Views
Preview:
TRANSCRIPT
ALJABAR LINEAR
Materi :
1. Matriks2. Sistem Persamaan Linear (SPL)3. Vektor di bidang dan ruang4. Ruang Vektor5. Ruang Hasil Kali Dalam 6. Nilai dan vektor Eigen7. Transformasi Linier
DAFTAR PUSTAKA
• Anton, Howard, 1981, Elementary Linear Algebra, Third edition, John Wiley and Sons Inc.
• Anton, Howard & Rorres, Chris, Penerapan Aljabar Linear.
• Leon, Steven J., 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi kelima, Erlangga, Jakarta.
MATRIKS
• TIK : Menjelaskan operasi aljabar matriks• Sub Pokok Bahasan– Definisi matriks– Jenis-jenis matriks– Operasi aljabar matriks dan sifatnya
DEFINISI MATRIKS
Susunan segiempat yang terdiri atas bilangan – bilangan real yang tersusun atas baris dan kolom
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
m baris
n kolom
di katakan matriks A berukuran m x n
• Baris ke-i dari A adalah :
• Kolom ke-j dari A adalah :
• Matriks A dapat juga ditulis :A = [aij]
• Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar, dan bilangan a11, a22, …, ann disebut dengan diagonal utama
)1(21 miaaa inii
)1(2
1
nj
a
a
a
mj
j
j
Jenis – jenis Matriks1. Matriks bujur sangkar
Matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Pada diagonal utama terdapat elemen-elemen yang mempunyai nomor baris=nomor kolom.
Contoh :
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Jenis – jenis Matriks
2. Matriks Diagonal Matriks bujur sangkar dengan elemen diluar diagonal utama
adalah nol, yaitu aij = 0 untuk i j
contoh :3.Matriks Skalar Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah
sama, yaitu aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i j
Contoh :
700
070
000
A
700
070
007
A
Jenis – jenis Matriks4.Matriks Segitiga Atas Matriks bujur sangkar dengan elemen dibawah diagonal
utama adalah nolContoh :
5.Matriks Segitiga Bawah Matriks bujur sangkar dengan elemen diatas diagonal utama
adalah nol
Contoh :
700
500
231
A
200
075
000
A
Jenis – Jenis Matriks6.Matriks Identitas
Matriks diagonal dengan elemen pada diagonal utama adalah 1 , yaitu aij = 1 untuk i = j dan aij = 0 untuk i jcontoh:
7.Matriks Nol Matriks yang seluruh elemennya adalah nol.
Contoh :
100
010
001
A
000
00023o
Operasi Matrik
1. Penjumlahan matrik2. Perkalian dengan Skalar3. Perkalian dua Matrik4. Transpos matrik5. Trase matrik
1. Penjumlahan matrik
• Misalkan A = [aij], B = [bij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m
• Jumlah matrik A dan B dinyatakan oleh C = A + B, yang memenuhi:
• Syarat: ordo A = ordo B• Aturan: cij=aij+bij {entri yang seletak dijumlahkan}
Contoh
• Diberikan Matriks A dan B adalah
• maka
312
421A
131
421B
423
002BA
2. Perkalian dengan Skalar
• Misalkan A = [aij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m
• Perkalian matrik A dengan skalar k dinyatakan oleh C=kA, yang memenuhi:
• Syarat: tidak ada• Aturan: cij=k aij {setiap entri pada matrik A dikalikan
dengan skalar k}
Contoh
• Jika k = -3 dan
• Maka
421 A
1263 kA
3. Perkalian dua Matrik
• Jika A = [aij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m dan B = [bjk] dengan k=1, 2, ..., p
•perkalian matrik A dan B yang dinyatakan oleh, C=AB memenuhi:
•Syarat: banyak kolom A = banyak baris B•Aturan :
• {jumlah dari semua perkalian antara elemen A pada baris ke-i dengan elemen B pada kolom ke-k}
jk
m
jijik bac
1
3. Perkalian dua Matriklanjutan
• Dengan aturan ini, dikaitkan dengan vektor kolom dan vektor baris, jika ai vektor baris
• ke-i dari matrik A dan bk vektor kolom ke-k dari matrik B, maka elemen-elemen matrik
• C adalah:kiik bac
4. Transpos matrik
• Misalkan A = [aij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m.
• Transpos matrik A, yang dinyatakan oleh B=AT, didefinisikan sebagai:
• Syarat: tidak ada• Aturan: bji=aji {kolom matrik A menjadi baris matrik AT}
Contoh
• Matrik
Maka
250
324A
23
52
04TA
5. Trase matrik
• Misalkan A = [aij] dengan i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n.
• Trase dari matrik A yang dinyatakan oleh trase(A), didefinisikan sebagai:
• Syarat: matrik bujursangkar• Aturan: trase(A)=a11 + a22 + …+ ann
{penjumlahan semua entri diagonal utama}
Contoh trase matrik
• Diketahui matrik A kemudian hitung trase (A):
1122)(
:
114
523
302
ATrase
jawab
A
Sifat-sifat Matrik
1. Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar
2. Terhadap operasi perkalian, penjumlahan, dan perkalian dengan skalar
3. Terhadap operasi penjumlahan, perkalian dengan skalar, dan trase
1. Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar
• Pada sifat berikut, ordo matrik dianggap telah sesuai, sehingga operasi dapat dilakukan:a. A+B=B+A {sifat komutatif}b. (A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif}c. A+O=O+A=A {sifat matrik nol, identitas penjumlahan}d. A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik}e. k(A+B)=kA+kB {sifat distributif terhadap skalar k}f. (k+l)A=kA+lA {sifat distributif terhadap skalar k dan l}g. (kl)A=k(lA) {sifat asosiatif terhadap perkalian skalar}h. A=A {sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)}i. (A+B)T = AT + BT {sifat transpos matrik terhadap
penjumlahan}
2. Terhadap operasi perkalian, penjumlahan, dan perkalian dengan skalar
• Pada sifat berikut, ordo matrik dianggap telah sesuai, sehingga operasi dapat dilakukan:a. Pada umumnya berlaku sifat AB≠BA {tidak bersifat
komutatif}b. (AB)C=A(BC) {sifat asosiatif}c. AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas perkalian}d. AO=OA=O {sifat matrik nol}e. (kA)B=k(AB)=A(kB)f. (A+B)C=AC+BCg. C(A+B)=CA+CBh. (AB)T = BTAT {urutan operasi dibalik}i. (kA)T=kAT
3. Terhadap operasi penjumlahan, perkalian dengan skalar, dan trase
a. trase(A+B) = trase(A) + trase(B)b. trase(AT) = trase(A)c. trase(kA) = k trase(A)
Latihan Soal1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:
Jika mungkin, maka hitunglaha. AB d. CB + D g. BA + FDb. BA e. AB + DF h. A(BD)c. A(C + E) f. (D + F)A i. trase (C + E)j. (AC)T = BTCT
204
321A
51
42
13
B
211
543
132
C
21
32D
243
512
301
E
14
32F
Terima kasih
• Tetap semangat belajar
• Sampai jumpa di pertemuan selanjutnya
• Wassalam
top related