paklaidų autokoreliacijos problema ir jos sprendimo būdai

Paklaidų autokoreliacijos problema ir jos sprendimo būdai

2013-05-07

2011-05-03D. Gujaraty “Basic Econometrics” Part 2 Relaxing the Assuptions of the Classical Model, chapter 12 Autocorrelation 400 453 (1995) .

V.Boguslauskas. “Ekonometrika”, technologija, skyreliai 6,6 ir 6,7 Kaunas, 2008 psl. 187-192,

Paklaidų autokoreliacijos problema ir jos sprendimo būdai

1. Autokoreliacijos problemos esmė

2. Autokoreliacijos diagnostika3. Autokoreliacijos problemos

sprendimo būdai

Klasikinės regresijos prielaidos

Prielaida Prielaidos simbolinė išraiška

I. Regresijos funkcija koeficientų ir paklaidų atžvilgiu yra tiesinė (tiesiškumas)

Yi=0+1X1i+…+kXki+i

II. Paklaidų vidurkis lygus nuliui (nulinis vidurkis)

E(i) = 0

III. Paklaidos neautokoreliuoja (likučių ne autokoreliacijos) , t.y, paklaidos tarpusavyje nėra susijusios ir nestebimi sklaidos dėsningumai.

Cov(i j) = 0, i,j / ij

IV. Paklaidų dispersija yra pastovi (ne heteroskedastiškumas)

Didėjant nepriklausomų kintamųjų reikšmėms, priklausomojo kintamojo sklaidos intervalas išlieka pastovus.

2(i) = const.

V. Nepriklausomi kintamieji nėra tiesiškai tarpusavyje susiję, t.y. nėra tiesinės vieni kitų tiesinės kombinacijos (ne multikolinearumas, neinterkoreliacija )

Xi +jXj, i,j / ij

Klasikinės regresijos prielaidos

Prielaida Prielaidos simbolinė išraiška

VI. Nepriklausomi kintamieji nėra atsitiktiniai dydžiai

VII. Nepriklausomų kintamųjų reikšmės vienas pastovus skaičius, o įgauna bent dvi skirtingas reikšmes

Xi Xj, i,j / ij

VIII. Stebėjimų skaičius yra didesnis negu parametrų skaičius

IX. Paklaidos pasiskirsčiusios pagal normalųjį skirstinį (normalumas).

i ~ N (0, 2)

Autokoreliacijos problemos esmė

Autokoreliacijos priežastys: nagrinėjamo reiškinio inertiškumas Netiksliai parinkti nagrinėjamą reiškinį

įtakojantys veiksniai Neteisingai parinkta veiksnių

priklausomybės matematinė išraiška

Autokoreliacijos problemos esmė

Matematiškai autokoreliacija reiškia Yi=b0+ b1X1i+ b2X2i + …b1X1k+ei,

Autokoreliacija: ei= ρ·ei-1 +ui

ei-1 –vėluojanti paklaida

ui –paklaidų autoregresijos likutis

,

Yi=b0+ b1X1i+ b2X2i + …b1X1k+ ρ ei-1 +ui

Autokoreliacijos problemos esmė

Standartinė modelio paklaida be autokoreliacijos

Standartinė modelio paklaida su autokoreliacija

1

)ˆ( 2

kn

YYSE

ii

i

1

)()ˆ( 2

kn

fYYSE

ii

i

Pagal MKM apskaičiuota SE yra mažesnė negu tikroji

Autokoreliacijos problemos esmė

Kodėl autokoreliacija yra blogai MKM apskaičiuotas determinacijos

koeficiento R2 yra didesnis už tikrąjį MKM apskaičiuotos įverčių

standartinės paklaidos SEbj yra mažesnės

Negalima tikrinti hipotezių nei t-stjudento nei F kriterijaus pagalba

Autokoreliacijos diagnostika

Grafinis būdas Ženklų sekų kriterijus Durbin-Watson testas Kiti kriterijai

Autokoreliacijos diagnostika Grafinis būdas

Observation

Predicted Studento

ūgis ResidualsStandard Residuals

1 182,5138 11,48623 2,1036222 184,9394 0,060561 0,0110913 182,1637 -5,163739 -0,9457034 183,3766 -3,376572 -0,6183965 182,5649 7,435142 1,3616956 182,4797 4,520282 0,8278587 181,5658 1,434163 0,2626578 181,6169 -10,61692 -1,9444159 183,7266 -1,726607 -0,316216

10 183,7607 -0,760663 -0,13931

Autokoreliacijos diagnostika Grafinis būdas

Studentų ūgių regresijos paklaidų grafikas

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 20 40 60 80 100 120

Autokoreliacijos diagnostika Grafinis būdas

Standartizuotų paklaidų sklaida

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 20 40 60 80 100 120

Autokoreliacijos diagnostika Grafinis būdas

Paklaidų sklaida vėjuojančių paklaidų atžvilgiu

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-15 -10 -5 0 5 10 15 20ei-1

ei

PVM paklaidų analizė

PVM paklaidų diagrama

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Standartizuotos PVM Paklaidos

Standartizuotos PVM paklaidos

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 5 10 15 20 25 30 35 40

PVM paklaidos vėluojančių paklaidų atžvilgiu

PVM modelio paklaidos

-300

-200

-100

0

100

200

300

-300 -200 -100 0 100 200 300

e(i-1)

E(i

)

Ženklų sekų kriterijus

Observation

Predicted Stude

nto ūgis Residuals

Standard Residuals Ženklai

1,00 193,00 1,00 0,22 +

2,00 185,49 4,51 0,98 +

3,00 181,37 -6,37 -1,39 -

4,00 182,69 -2,69 -0,59 -

5,00 190,51 5,49 1,20 +

6,00 176,43 -4,43 -0,97 -

7,00 184,93 -2,93 -0,64 -

8,00 185,39 -2,39 -0,52 -

9,00 186,69 3,31 0,72 +

10,00 186,61 7,39 1,61 -

Ženklų sekų kriterijus

n- stebėjimų skaičius n1–”+” ženklų skaičius n2 -”-” ženklų skaičius k - sekų skaičius

Jeigų sekų skaičius k, turint n stebėjimų yra labai didelis, tuomet turime neigiamą paklaidų autokoreliaciją

Jeigų sekų skaičius k, turint n stebėjimų yra labai mažas , tuomet turime teigiamą paklaidų autokoreliaciją

Ženklų sekų kriterijus

12

)(_21

21

nn

nnkEvidurkis

)1()(

)2(2)(_

212

21

2121212

nnnn

nnnnnnkdispersija

)(96.1)()(96.1)( kkEkkkE

95 proc. pasikliautini intervalai

Ženklų sekų kriterijus

)(96.1)()(96.1)( kkEkkkE

H0: Sekų skaičius k atsitiktinis, nepriklausomas ir pagal normalųjį skirstinį pasiskirstęs (Autokoreliacijos nėra)

HA: Sekų skaičius k nėra atsitiktinis, nepriklausomas ir pasiskirstęs pagal normalųjį skirstinį dyds, (Autokoreliacijos yra)

Jeigu apskaičiuota k reikšmė patenka į intervalą, tuomet 95 proc. tikimybe galime teigti, kad autokoreliacijos nėra

Autokoreliacijos diagnostika

Yi=b0 + b1X1i + b2X2i + b3X3i ...+ bkXki + ei

Pirmos eilės autokoreliacija

ei= ρ·ei-1 + ui ,

kur ρ - koreliacijos koeficientas tarp ei ir ei-1

Antros eilės autokoreliacija

ei= ρ·ei-2 + ui

...

n

ii

n

iii

e

ee

2

21

21

-1 ρ 1

Autokoreliacijos diagnostika Durbin-Watson kriterijus

Idėja

Yi=b0 + b1X1i + b2X2i + b3X3i ...+ bkXki + ei

Nagrinėjame pirmos eilės autokoreliaciją

ei= ρ ·ei-1 + ui

ρ 0 autokoreliacijos nėra

ρ -1 neigiama autokoreliacija

ρ 1 teigiama autokoreliacija

Autokoreliacijos diagnostika Durbin-Watson kriterijus

n

ii

n

iii

e

eedDW

2

2

2

21)(

d 2 (1- ρ )

ρ =0 d = 2

ρ = -1 d = 4

ρ = 1 d = 0

Durbin -Watson statistika

Autokoreliacijos diagnostikaDurbin-Watson testas

H0 : autokoreliacijos nėra , t.y, ρ =0

H1 : autokoreliacija yra t.y, | ρ | 1 Apskaičiuojame d statistiką išvados: Jeigu

dU d 4 - dU H0

d dL arba d 4 - dL H1

dL d dU arba 4- dU d 4 - dL neapibrėžtas rezultatas

Autokoreliacijos diagnostikaDurbin-Watson kriterijus

40 dL 4-dUdU 4-dL

autokoreliacijos

nėra

Teigiama

autokoreliacija Neigiama

autokoreliacija

Neapibrėžtumo sritys

2

PVZ:

Paklaidos ei

Vėluojančios

paklaidos ei-1 ei-ei-1 (ei-ei-1)

2 (ei)2

-0,770,89 -0,77 1,66 2,77 0,80

-4,03 0,89 -4,93 24,29 16,28-1,69 -4,03 2,35 5,50 2,851,45 -1,69 3,13 9,82 2,09

-0,67 1,45 -2,12 4,49 0,455,77 -0,67 6,44 41,45 33,244,44 5,77 -1,32 1,75 19,741,29 4,44 -3,15 9,93 1,671,90 1,29 0,60 0,37 3,60

-1,16 1,90 -3,06 9,34 1,342,31 -1,16 3,47 12,06 5,35

Susumuojame 3525,88 1628,34

PVZ. Su studentų ūgiais

DW= 17.234,1628

88,3525

DL=1.52 DU=1.70

Autokoreliacijos nėra, nes 1,70<DW=2.17<4-1.70

PVZ. Su PVM modeliu

DW= 76,1321552

564373

DL=1.34 DU=1,58

Autokoreliacijos nėra, nes 1,58<DW=1,76<4-1.58=2.42

Breusch –Godfrey (BG) testas

yi= b0 + b1x1i + b2x2i + b3x3i + …..bkxki + ei

BG testas

Skaičiuojame papildomąją regresiją

ei= c0 + c1ei-1 +c2ei-2 +c3ei-3 +...cpei-p +d1x1i + d2x2i + d3x3i + …..dkxki + ui

Breusch –Godfrey (BG) testas

H0 c1= c2=… cp=0 autokoreliacijos nėra

Skaičiuojame papildomąją regresiją

ei= c0 + c1ei-1 +c2ei-2 +c3ei-3 +...cpei-p +d1x1i + d2x2i + d3x3i + …..dkxki + ui pR2

Testo statistika: BG= n* pR2 ~ χ2(p)

Jeigu BG < χ2(p) , tuomet negalime atmesti H0 t.y., autokoreliacijos jokios eilės nėra

Jeigu BG > χ2(p) , tuomet atmetame H0 t.y., regresija pasižymi

paklaidų autokoreliacija s- eilės ( reikšminga t stat.)

HA bent vienas ir cj ≠0 autokoreliacija yra

Autokoreliacijos problemos sprendimo būdai

1. Įtraukti naujus veiksnius

• laiko veiksnys

• vėluojantis priklausomas kintamasis

2. Peržiūrėti modelio matematinę išraišką

3. Tranformuoti duomenis.

• Skaičiuoti pokyčių, o ne absoliučių dydžių regresiją: Yt - Yt-1 = b1(Xt - Xt-1) + …… ui

4. Autokoreliacijos koregavimas d-statistikos pagalba

5. Cochrane-Orcut procedūra