pandeo en columnas.ppt,dmil14108200910
Post on 03-Jul-2015
982 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Universidad Austral de ChileFacultad de Ciencias de la IngenieríaResistencia de Materiales (DMIL 141)
PANDEO EN COLUMNAS
2
PANDEO EN COLUMNAS
Las estructuras y máquinas pueden fallar en una gran variedad de formas, dependiendo de los materiales, tipos de carga y condiciones de apoyo.
Un tipo de fallas es el Pandeo de columnas.
3
PANDEO EN COLUMNAS Un elemento recibe
el nombre de columna, si su medida longitudinal es grande comparada con las dimensiones de su sección transversal. De lo contrario se hablará de bloque sometido a presión pura.
4
PANDEO EN COLUMNAS
Por lo general reciben el nombre de COLUMNA los miembros estructurales largos y esbeltos cargado axialmente en compresión.
5
PANDEO EN COLUMNAS Para las columnas con cargas de
compresión existe un cierto valor denominada CARGA CRÍTICA para el que puede producirse una gran flecha
Experimentalmente se ha encontrado, que cuando la fuerza compresora de una pieza esbelta se aproxima a este valor, la columna empieza a curvarse, o sea pandearse, a tal punto que puede colapsar
6
PANDEO EN COLUMNAS
Por lo tanto, la carga crítica debe considerarse como la carga de rotura de la columna.
Aunque existen varios planteamientos para el estudio de columnas se estudia la planteada por Euler.
7
TEORÍA DE EULER
Es aplicable a columnas cuya:1. Sección transversal sea uniforme
en toda su longitud2. El material sea homogéneo e
isótropo3. La tensión máxima sea la
correspondiente al límite elástico del material σfluencia, esto es:
FLUENCIAMAX
8
TEORÍA DE EULER
Se analizan cuatro casos dependiendo de la forma de los apoyos en los extremos de la columna
9
CASO 1 Columna
empotrada-libre.
10
CASO 1. De la ec. diferencial de la curva elástica:
El momento M en la sección a-a es:
2
2
dx
ydIEM
YPM
Luego, reemplazando:
2
2
dx
ydIEYP
11
CASO 1.
El fenómeno de Pandeo se presenta siempre en el plano de menor rigidez, o bien, con respecto al eje de radio de giro menor, esto es, donde la inercia sea menor.
A
IR
MINMIN
12
CASO 1.
Si reemplazamos
Se tiene la ec. diferencial
iE
Pp
2
2
222
dx
ydYpp
Cuya solución general es:
xpCxpCY coscos 21
13
CASO 1.
Donde C1 y C2 son constantes que dependen de las condiciones de borde.
Para X=0, Y=0 y dy/dx=0, Estas condiciones se cumplen si:C1 =-δ y C2=0 LuegoY= δ- (1- cos (p*x))
14
CASO 1. En el extremo superior de la columna
del caso 1 se verifica que Y=δ, en X=L, lo cual se cumple para:(ec. 1) cos p*L=0 →
El valor de p*L y por consiguiente de P, se obtiene haciendo n=0, resultando con:(ec. 2) →
2
12
nLP
IE
Pp
IE
Pp
2
15
CASO 1. Igualando ec. 1 y ec. 2, tenemos:
Despejamos la ecuación, obtenemos el valor de la carga crítica para el caso 1, columna empotrada-articulada.
2
IE
PLLP
2
2
4 L
IEPCRIT
16
CASO 2. Columna articulada-
articulada
17
CASO 2.
A esta situación se le denomina caso fundamental del pandeo de columnas, siendo la deducción del PCRIT similar al caso 1, reemplazando L=L/2, ya que la mitad de la pieza está en las mismas condiciones que la barra completa del caso anterior.
18
CASO 2. A este valor de PCRIT se le conoce como
carga de Euler.
Se considera este caso, cuando no se enuncia o se desconoce el tipo de apoyo de la columna.
2
2
L
IEPCRIT
19
CASO 3. Columnaempotrada-
empotrada
20
Caso 3.
En forma analoga si se le compara con el caso 1, se obtiene para L= L/4:
2
24
L
IEPCRIT
21
CASO 4. Columna articulada-
empotrada
22
CASO 4.
Cuando a columna se pandea, se desarrollan fuerzas reactivas R horizontales en los apoyos, así como un momento M0 en la base.
Luego la ecuación de la curva elástica, se obtiene:
XLIE
Ryp
dx
yd
2
2
2
23
CASO 4. Cuya solución general es:
Haciendo un análisis similar al del caso 1, se obtiene igualmente:
XLp
RxpCxpsenCY cos21
2
2
7.0 L
IEPCRIT
24
CARGA CRÍTICA
Todas las expresiones obtenidas de PCRIT, se utilizan considerando una longitud efectiva Le, que es la longitud de la columna de extremos articulados equivalentes, o la distancia entre los puntos de inflexión de la curva de deflexión.
25
CARGA CRÍTICA
Donde1. α=1 → columna articulada-articulada2. α=1/2 → columna empotrada-empotrada3. α=2 → columna empotrada-libre4. α=0.7 → columna empotrada-articulada
2
2
L
IEPLL CRITe
26
CARGA CRÍTICA
Sin embargo las ecuaciones de Euler tienen limitaciones para ciertos valores de esbeltez, por lo tanto, es necesario conocer el rango de aplicación de estas relaciones para cada caso.
Para este análisis se utiliza:
A
PCRITCRIT
27
RELACION DE ESBELTEZ
Y como k=radio de giro, definido antes (Pág. 11)
Reemplazando para el caso 1:
pandeoCRIT
pandeoAL
IE
2
2
4
A
Ik
28
RELACIÓN DE ESBELTEZ
→Valor límite de la relación de esbeltez para el caso 1.
AL
IEpandeo
4
2
2
22
4 L
kEpandeo
pandeo
E
k
L
4
2
2
2
pandeo
E
k
L
2
29
RELACIÓN DE ESBELTEZ
Ejemplo: Para un acero SAE 1010, donde:
σpandeo=2100 kg/cm2
E=2,1x106 kg/cm2
Relacion de esbeltez →λ= L/k
6.49k
L
30
RELACIÓN DE ESBELTEZ
Procediendo en forma análoga para el caso 2, que corresponde a la situación fundamental, se obtiene:
2.99k
L
31
RELACIÓN DE ESBELTEZ
Además →
Para usar las relaciones de euler, se debe verificar en cada caso que:
MIN
eREAL
k
L
FLUENCIAREAL
32
RELACIÓN DE ESBELTEZ
En caso contrario, la columna no es esbelta y por lo tanto corresponde a una columna intermedia, ante lo cual se debe usar la siguiente fórmula empírica, en la cual el miembro de la derecha esta expresado en kg/cm2
2
0341.01200
MIN
eTRABAJO
k
L
A
P
33
OBSERVACIONES
Si se desconocen las condiciones de apoyo en los extremos, se debe usar la ecuación fundamental de Euler (caso 2) verificando sus restricciones.
σpandeo =1500 kg/cm2 para el hierro
34
OBSERVACIONES La fórmula empírica presentada
también se puede expresar en lb/pulg2
El estudio hecho por Euler entrega el valor de PCRIT, en cambio las fórmulas empíricas entregan el valor de PTRABAJO.
También existen relaciones empíricas para aleaciones de aluminio y columnas de madera.
2
3
115000
MIN
TRABAJO
k
L
A
P
top related